Nedeterminările infinit minus infinit și zero ori infinit. Expresii cu radicali

Un topograf măsoară, de pe un deal, distanța până la un turn aflat la $x$ metri pe orizontală și la $6$ metri diferență de nivel pe fiecare sută de metri parcurși. Distanța reală, pe linie dreaptă, este $\sqrt{x^2+6x}$, iar el vrea să știe cu cât depășește ea distanța orizontală $x$, pe măsură ce turnul se îndepărtează. Diferența $\sqrt{x^2+6x}-x$ pare că se pierde: ambii termeni cresc nemărginit, iar scrierea $\infty -\infty$ nu decide nimic.

Și totuși diferența nu se pierde, ci se stabilizează: ea tinde la $3$ metri. Rezultatul acesta nu se vede cu ochiul liber și nu iese din nicio regulă de operații; el iese dintr-o rescriere isteață a expresiei, numită amplificare cu conjugata. Lecția de față îți dă cele trei unelte cu care se rescriu expresiile din nedeterminările $\infty -\infty$ și $0\cdot \infty$ — factorul forțat, același numitor și conjugata — plus o capcană de semn care, la funcții, costă cele mai multe puncte la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști tipul $\infty -\infty$ și tipul $0\cdot \infty$ atât la $\pm \infty$, cât și în puncte finite.
• Vei ști să elimini $\infty -\infty$ la polinoame prin factor forțat și la fracții prin aducerea la același numitor.
• Vei ști să amplifici cu conjugata o diferență de radicali de ordinul al doilea, verificând că amplificatorul este nenul.
• Vei ști să folosești corect egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$ și să scoți factor $-x$ atunci când $x\to -\infty$.
• Vei ști să amplifici cu trinomul $a^2+ab+b^2$ la radicalii de ordinul al treilea.
• Vei ști să transformi un produs de tip $0\cdot \infty$ într-un raport și să alegi care factor coboară la numitor.

Hai să descoperim împreună

1. Unde apar cele două nedeterminări

Recunoașterea se face înlocuind mental limitele bucăților, exact ca în lecția Operații cu limite de funcții.

• $\infty -\infty$ apare la o diferență în care ambii termeni au limite infinite de același semn. La $\pm \infty$ e situația obișnuită ($\sqrt{x^2+6x}-x$), dar apare și într-un punct finit, la diferențe de fracții care „explodează" amândouă: $\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}$ în $x_0=1$.
• $0\cdot \infty$ apare la un produs în care un factor tinde la $0$ și celălalt la infinit — de pildă $x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$ la $+\infty$, unde paranteza tinde la $0$, iar $x$ la $+\infty$.

Întrebarea pe care ți-o pui prima, și care hotărăște tehnica, este alta decât ai crede: nu „ce fel de expresie am", ci dacă părțile care cresc cel mai repede se sting sau nu una pe alta. La $x^3-5x^2$ ele nu se sting — gradele sunt diferite, deci unul dintre termeni îl domină clar pe celălalt, iar răspunsul este infinit. La $\sqrt{x^2+6x}-x$ se sting: ambii termeni se comportă, la infinit, ca $x$, iar diferența lor este mult mai mică decât fiecare în parte. Prima situație cere factor forțat și se rezolvă în două rânduri; a doua cere o rescriere care să facă vizibil ce rămâne după stingere, adică exact conjugata sau aducerea la același numitor. Recunoașterea aceasta se face din ochi, comparând „vitezele" celor doi termeni, și îți alege metoda înainte de primul calcul.

Ideea de lucru este, ca la șiruri, una singură: cine domină? Într-o sumă de termeni care cresc nemărginit, unul crește mai repede; îl scoatem factor, iar ceilalți devin neglijabili. Este exact ideea din lecțiile Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit și Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit, pe care nu o reluăm de la zero. Ce se schimbă la funcții sunt două lucruri, și numai două: $x$ poate merge și spre $-\infty$, iar $x$ se poate apropia și de un punct finit. Fiecare dintre ele schimbă câte un pas al calculului, și le vom marca de fiecare dată.

2. $\infty -\infty$ la polinoame: factorul forțat

Când toți termenii sunt puteri ale lui $x$, scoți puterea cea mai mare și te uiți la paranteză: $$x^3-5x^2=x^3\left(1-\frac{5}{x}\right).$$ Paranteza tinde la $1$, iar $x^3$ tinde la $+\infty$ când $x\to +\infty$ și la $-\infty$ când $x\to -\infty$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-5x^2\right)=+\infty$, iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-5x^2\right)=-\infty$. Control numeric: la $x=-10^4$ expresia este de ordinul $-10^{12}$. ✓

De aici regula generală, valabilă pentru orice polinom $P(x)=a_p{x}^p+\cdots +a_0$ cu $a_p\ne 0$: limita la $\pm \infty$ este dată exclusiv de termenul de grad maxim, iar semnul se citește înmulțind semnul lui $a_p$ cu limita lui $x^p$ în direcția cerută. Demonstrația e o linie — se scoate $x^p$ factor, paranteza tinde la $a_p$ — dar concluzia îți scutește jumătate din calculele de examen.

Un al doilea exemplu, în care semnul nu e cel pe care ți-l sugerează primul termen scris: la $-2x^3+x^2$, cu $x\to -\infty$, scoatem $x^3$ și obținem $x^3\left(-2+\frac{1}{x}\right)$. Factorul tinde la $-\infty$, paranteza la $-2$, iar produsul a două mărimi negative este pozitiv: limita este $+\infty$. Semnul iese din calcul, nu din intuiție — de aceea paranteza se scrie de fiecare dată, chiar dacă pare inutilă.

⚠️ Capcana de metodă. Este tentant să scrii „$\lim \left(x^3-5x^2\right)=\lim x^3-\lim 5x^2=\infty -\infty$" și să te oprești. Regula diferenței cere ca operația dintre limite să aibă sens; când nu are, regula pur și simplu nu se aplică, deci rescrii întâi expresia și treci la limită o singură dată, la final.

3. $\infty -\infty$ într-un punct finit: același numitor

La diferențe de fracții nu ai nevoie de nicio idee nouă: aduni fracțiile și obții un raport, adică o expresie din lecția precedentă. $$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}=\frac{(x+1)-2}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}(x\ne 1),$$ deci limita în $1$ este $\frac{1}{2}$. Control numeric (întâi la stânga punctului, apoi la dreapta): la $x=1\pm 10^{-6}$ expresia dă $0,50000025$ și $0,49999975$. ✓

Observă mecanismul, identic cu cel de la șiruri: la numărător, părțile care „explodează" se sting una pe alta, iar ce rămâne decide răspunsul. Când ele nu se sting, rezultatul e infinit.

O precizare de limbaj, cerută de barem: fiecare dintre cele două fracții inițiale nu are limită în $1$ (limitele ei laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$). Spunem deci că scrierea este „de tip $\infty -\infty$" pentru a numi tiparul, dar concluzia se trage abia după rescriere, pe expresia care are limită.

4. Amplificarea cu conjugata

Când în diferență apare un radical, factorul forțat nu mai ajunge: din $\sqrt{x^2+6x}-x$ nu se poate scoate nimic care să simplifice. Unealta potrivită este expresia conjugată, folosită la raționalizarea numitorilor în lecția Radicali: proprietăți și expresii conjugate. Identitatea de bază: $$\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B.$$

Amplificând cu conjugata, diferența devine o fracție în care nedeterminarea dispare: $$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{\left(x^2+6x\right)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}.$$ Identitatea de la numărător a fost verificată exact, cu fracții, pe valorile $x=1,2,3,5,7$: expresia $\left(x^2+6x\right)-x^2$ dă $6,12,18,30,42$, adică exact $6x$. ✓ Numărătorul nu ascunde niciun termen în plus.

Am ajuns la un raport de tip $\frac{\infty }{\infty }$, pe care îl tratăm prin factor forțat. Pentru $x>0$ avem $\sqrt{x^2+6x}=x\sqrt{1+\frac{6}{x}}$, deci $$\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{x\left(\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1\right)}=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}⟶\frac{6}{1+1}=3.$$ Control numeric, cu precizie mare: la $x=10^6$ diferența $\sqrt{x^2+6x}-x$ este $2,9999955$. ✓ (Cu numere în virgulă mobilă obișnuite, un asemenea calcul se pierde din cauza scăderii a două valori aproape egale — de aceea controlul se face cu precizie ridicată.)

Merită înțeles ce s-a întâmplat, pentru că mecanismul se repetă la fiecare exercițiu de acest fel. Nedeterminarea nu a dispărut: ea s-a mutat. Înainte era la numărător, sub forma unei diferențe fără rezultat previzibil; după amplificare, numărătorul devine un polinom simplu, iar tot ce era greu s-a strâns în numitor, unde însă avem o sumă de termeni pozitivi, deci nicio nedeterminare. Am transformat un $\infty -\infty$ într-un $\frac{\infty }{\infty }$, adică într-un tipar pe care îl știm rezolva de la lecția precedentă. Toate tehnicile din analiza matematică arată așa: nu fac dificultatea să dispară, ci o mută într-un loc în care ai deja o unealtă.

Două condiții care se scriu, nu se subînțeleg. Prima: amplificatorul $\sqrt{x^2+6x}+x$ trebuie să fie nenul pe vecinătatea pe care lucrăm — aici e strict pozitiv pentru $x>0$. A doua: expresia are sens numai unde radicalul e definit, adică unde $x^2+6x\ge 0$; pentru $\sqrt{x^2+6x}$ aceasta înseamnă $x\le -6$ sau $x\ge 0$, iar ambele capete ale axei sunt în domeniu.

Calculul de mai sus nu depinde de numărul $6$: refăcut cu un parametru, el dă rezultatul general $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax}-x\right)=\frac{a}{2},a\in \mathbb{R},$$ pentru că numărătorul devine $ax$, numitorul $x\left(\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1\right)$, iar raportul tinde la $\frac{a}{2}$. Nu memora formula în locul metodei; memoreaz-o după ce ai făcut metoda de câteva ori, ca instrument de verificare rapidă a propriului rezultat. Cu $a=6$ ea dă $3$, exact valoarea de care avea nevoie topograful din deschidere.

5. ⚠️ Capcana de la $-\infty$: $\sqrt{x^2}=|x|$

Aceasta este deosebirea numărul unu față de capitolul de șiruri, unde indicele era mereu pozitiv și puteam scrie liniștiți $\sqrt{n^2}=n$. La funcții, egalitatea corectă este $$\sqrt{x^2}=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$ și, când $x\to -\infty$, factorul care se scoate de sub radical este $-x$, o cantitate pozitivă.

Să vedem ce efect are. Cerem $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)$ — observă că am schimbat semnul celui de-al doilea termen, pentru că la $-\infty$ tocmai suma este cea de tip $\infty -\infty$: radicalul tinde la $+\infty$, iar $x$ la $-\infty$. (Diferența $\sqrt{x^2+6x}-x$ ar fi, la $-\infty$, de tipul $\infty +\infty$, deci fără nicio nedeterminare: limita ei este $+\infty$.) Amplificăm cu $\sqrt{x^2+6x}-x$, care este strict pozitiv pentru $x\le -6$ (radicalul e nenegativ, iar $-x>0$): $$\sqrt{x^2+6x}+x=\frac{\left(x^2+6x\right)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}-x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}-x}.$$ Acum vine pasul decisiv: pentru $x<0$, $\sqrt{x^2+6x}=|x|\sqrt{1+\frac{6}{x}}=-x\sqrt{1+\frac{6}{x}}$, deci numitorul este $-x\left(\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1\right)$ și $$\frac{6x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1\right)}=\frac{-6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}⟶\frac{-6}{2}=-3.$$ Control numeric: la $x=-10^6$ expresia $\sqrt{x^2+6x}+x$ dă $-3,0000045$. ✓

Compară cele două rezultate: la $+\infty$ am obținut $3$, la $-\infty$ am obținut $-3$. Cine scrie $\sqrt{x^2}=x$ și la stânga obține $0$, adică un rezultat fals, fără să vadă nicăieri o greșeală de calcul. Regula practică: scrii modulul, apoi îl desfaci după semnul lui $x$ pe ramura pe care lucrezi.

Ai și un control rapid, care prinde greșeala înainte de a o scrie pe foaie: dacă rezultatul tău la $-\infty$ iese exact $0$ sau exact același număr ca la $+\infty$, oprește-te și verifică modulul. Cele două ramuri ale unei asemenea expresii dau, aproape întotdeauna, valori opuse — pentru că înlocuirea lui $x$ cu $-x$ schimbă rolul celor doi termeni ai diferenței. Un al doilea control, la fel de ieftin, este să pui o valoare numerică mare și negativă, de pildă $x=-1000$, și să compari cu răspunsul obținut algebric.

6. Conjugata de ordinul al treilea și conjugata în puncte finite

Radicali de ordinul al treilea. Identitatea potrivită nu mai este diferența de pătrate, ci cea de cuburi: $$(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3,$$ deci se amplifică cu trinomul $a^2+ab+b^2$, unde $a$ este radicalul cubic și $b$ celălalt termen. Identitatea a fost verificată exact pe perechile $(a,b)=(3,2),(5,1),(7,4),(9,5),(11,6)$, unde produsul dă $19,124,279,604,1115$. ✓ Greșeala clasică este să se amplifice tot cu $a+b$ — ceea ce nu elimină radicalul.

Conjugata în puncte finite. Aceeași unealtă rezolvă și fracții de tip $\frac{0}{0}$ în care apare un radical — ele nu sunt funcții raționale, deci nu intrau în lecția precedentă: $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(1+x)-1}{x\left(\sqrt{1+x}+1\right)}=\frac{x}{x\left(\sqrt{1+x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}⟶\frac{1}{2}.$$ Simplificarea cu $x$ este permisă pentru că lucrăm cu $x\ne 0$, iar amplificatorul $\sqrt{1+x}+1$ este strict pozitiv în jurul lui $0$. Control numeric: la $x=\pm 10^{-6}$ expresia dă $0,500000125$ și $0,499999875$. ✓ Vei întâlni această limită și într-o formă generală, la lecția Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit; până atunci, conjugata o rezolvă de fiecare dată.

7. $0\cdot \infty$: coboară un factor la numitor

Un produs se transformă în raport printr-o singură observație algebrică: a împărți înseamnă a înmulți cu inversul. Pentru factori nenuli, $$f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}},$$ deci $0\cdot \infty$ devine, la alegerea ta, $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$. Regula practică: coboară la numitor factorul care se scrie mai simplu ca fracție.

În practică nici măcar nu ai nevoie de rescrierea formală, pentru că unul dintre factori e deja o fracție sau o diferență pe care o prelucrezi prima: $$x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}⟶\frac{1}{2},$$ calculul de la mijloc fiind valabil pentru $x>0$. Control numeric: la $x=10^6$ valoarea este $0,5000000000$, cu o abatere de ordinul $10^{-13}$. ✓

Același tipar într-un punct finit. Nu doar la infinit se întâmplă ca un factor să se stingă și celălalt să explodeze. Pentru $x$ care se apropie de $0$ prin valori pozitive, $\frac{1}{x}$ crește nemărginit, iar $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$ tinde la $0$: tot $0\cdot \infty$. Prelucrăm diferența cu conjugata și abia apoi înmulțim: $$\frac{1}{x}\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)=\frac{1}{x}\cdot \frac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}},$$ deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)=\frac{2}{2}=1$. Ordinea contează: dacă înmulțești întâi și amplifici pe urmă, ajungi la aceeași expresie, dar cu de două ori mai mult scris.

Cum alegi ce factor cobori? Uită-te la care dintre ei se scrie mai simplu ca fracție. Dacă unul este deja o fracție, îl lași sus și îl cobori pe celălalt; dacă unul este o diferență, îl prelucrezi întâi pe acela și, de cele mai multe ori, produsul se rezolvă de la sine, fără nicio rescriere formală. Nu există o alegere „corectă" impusă de teorie — există doar una care îți dă mai puțin de scris, iar la examen aceasta contează.

Iată arborele complet al lecției, de reținut ca atare:

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Conjugata la $+\infty$

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+3x}-2x\right)$.

Rezolvare. Tip $\infty -\infty$. Amplificăm cu $\sqrt{4x^2+3x}+2x$, strict pozitiv pentru $x>0$. La numărător rămâne $\left(4x^2+3x\right)-4x^2=3x$, verificat exact pe $x=1,2,3,5,7$, unde dă $3,6,9,15,21$. ✓ Apoi, pentru $x>0$, $\sqrt{4x^2+3x}=2x\sqrt{1+\frac{3}{4x}}$: $$\sqrt{4x^2+3x}-2x=\frac{3x}{2x\left(\sqrt{1+\frac{3}{4x}}+1\right)}=\frac{3}{2\left(\sqrt{1+\frac{3}{4x}}+1\right)}⟶\frac{3}{4}.$$

Exemplul 2 — Aceeași expresie, la $-\infty$

Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)$.

Rezolvare. Radicalul este definit pentru $x\le -2$ sau $x\ge 0$, deci $-\infty$ este capăt al domeniului. Radicalul tinde la $+\infty$ și $x$ la $-\infty$: tip $\infty -\infty$. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+2x}-x$, strict pozitiv pentru $x\le -2$: $$\sqrt{x^2+2x}+x=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}=\frac{2x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}=\frac{-2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}⟶-1,$$ unde am folosit $\sqrt{x^2+2x}=|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}}=-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}$, valabil pentru $x<0$. Control numeric: la $x=-10^6$ valoarea este $-1,0000005$. ✓

Exemplul 3 — Conjugata de ordinul al treilea

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+6x^2}-x\right)$.

Rezolvare. Notăm $a=\sqrt[3]{x^3+6x^2}$ și $b=x$. Amplificăm cu $a^2+ab+b^2$, strict pozitiv pentru $x>0$: $$a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{6x^2}{\sqrt[3]{{\left(x^3+6x^2\right)}^2}+x\sqrt[3]{x^3+6x^2}+x^2}.$$ Fiecare dintre cei trei termeni de la numitor se comportă ca $x^2$; scoțând $x^2$ factor forțat, cele trei paranteze tind la $1$, deci limita este $\frac{6}{1+1+1}=2$. Control numeric: la $x=10^5$ valoarea este $1,99996$. ✓

Exemplul 4 — Diferență de fracții, în punct finit

Calculați $\underset{x\to 3}{\lim }\left(\frac{1}{x-3}-\frac{6}{x^2-9}\right)$.

Rezolvare. Fiecare termen are limite laterale infinite, deci scrierea este de tip $\infty -\infty$. Aducem la același numitor, folosind $x^2-9=(x-3)(x+3)$: $$\frac{1}{x-3}-\frac{6}{x^2-9}=\frac{(x+3)-6}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac{1}{x+3}(x\ne 3),$$ deci limita este $\frac{1}{6}$. Termenii de „grad mare" s-au stins reciproc la numărător — mecanismul obișnuit al acestui tip.

Exemplul 5 — Produs de tip $0\cdot \infty$

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)$.

Rezolvare. Paranteza tinde la $0$ (este $\infty -\infty$ cu rezultat nul), iar $\sqrt{x}$ la $+\infty$: tip $0\cdot \infty$. Prelucrăm întâi paranteza, cu conjugata: $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}},$$ amplificatorul fiind strict pozitiv pentru $x>0$. Atunci $$\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}⟶\frac{1}{2},$$ unde la ultimul pas am împărțit numărătorul și numitorul la $\sqrt{x}$. Control numeric: la $x=10^8$ valoarea este $0,4999999988$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f(x)=\sqrt{x^2+2x}-x$, definită pentru $x\ge 0$. a) Arătați că $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$ pentru orice $x>0$. b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3f(x)+1}{f(x)+5}$.

Rezolvare.

a) Amplificăm cu $\sqrt{x^2+2x}+x$, care este strict pozitiv pentru $x>0$, deci amplificarea este legitimă: $$f(x)=\frac{\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{\left(x^2+2x\right)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}.$$

b) Pentru $x>0$ avem $\sqrt{x^2+2x}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}}$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}=\frac{2}{1+1}=1.$$

c) Limita lui $f$ este $1$, finită, iar numitorul $f(x)+5$ tinde la $6\ne 0$; prin regula câtului din lecția Operații cu limite de funcții, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3f(x)+1}{f(x)+5}=\frac{3\cdot 1+1}{1+5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită scrie întâi tipul și tehnica aleasă, apoi calculează. Când apare $\sqrt{x^2}$, scrie explicit ce ai scos factor de sub radical și de ce.

1. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$.

2. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+6x}-3x\right)$.

3. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)$.

4. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+5x}+x\right)$.

5. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x-\sqrt{4x^2-x}\right)$.

6. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)$.

7. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x}\right)$ și explică de ce nu ai nevoie de conjugată.

8. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-5x^2\right)$.

9. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)$.

10. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}\right)$.

11. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$.

12. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ avem $\sqrt{x^2}=x$."

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă amândoi termenii unei diferențe tind la $+\infty$, atunci diferența tinde la $0$."

15. (Problemă aplicată.) Un turn de $h$ metri se vede de la distanța orizontală $x$ metri sub o distanță reală $\sqrt{x^2+h^2}$. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+h^2}-x\right)$ pentru $h$ fixat și interpretează rezultatul.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\sqrt{x^2+4x}-x$, pentru $x\ge 0$. Arată că $f(x)=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$ pentru $x>0$, calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și apoi $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)+3}{2f(x)}$.

17. Explică, în două propoziții, de ce este obligatoriu ca amplificatorul folosit la conjugată să fie nenul pe vecinătatea pe care lucrezi.

18. (Provocare.) Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax}-x\right)=4$. Apoi, pentru valoarea găsită, calculează limita aceleiași expresii scrise cu semnul schimbat, $\sqrt{x^2+ax}+x$, când $x\to -\infty$.

Răspunsuri și explicații

1. Conjugata: $\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\to 2$.

2. Conjugata: $\frac{6x}{\sqrt{9x^2+6x}+3x}=\frac{6}{3\left(\sqrt{1+\frac{2}{3x}}+1\right)}\to 1$.

3. Conjugata: numărătorul devine $\left(x^2+x\right)-\left(x^2-x\right)=2x$, deci raportul este $\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)}\to \frac{2}{2}=1$.

4. Radicalul e definit pentru $x\le -5$. Conjugata dă $\frac{5x}{\sqrt{x^2+5x}-x}$, iar pentru $x<0$ numitorul este $-x\left(\sqrt{1+\frac{5}{x}}+1\right)$, deci limita este $\frac{-5}{2}$.

5. Scriem $2x-\sqrt{4x^2-x}=\frac{4x^2-\left(4x^2-x\right)}{2x+\sqrt{4x^2-x}}=\frac{x}{2x+\sqrt{4x^2-x}}\to \frac{1}{4}$.

6. Cu $a=\sqrt[3]{x^3+3x^2}$ și $b=x$: numărătorul devine $3x^2$, numitorul are trei termeni de tip $x^2$, deci limita este $\frac{3}{3}=1$.

7. Termenul dominant este $x$, deci $x-\sqrt{x}=x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\to +\infty$. Conjugata nu e necesară pentru că cei doi termeni nu cresc la fel de repede; ea se folosește numai când părțile dominante se sting reciproc.

8. $x^3\left(1-\frac{5}{x}\right)\to (-\infty )\cdot 1=-\infty$.

9. $\frac{(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}\to \frac{1}{4}$.

10. $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{3}{x(x+3)}$, deci expresia este $\frac{3x^2}{x^2+3x}\to 3$.

11. Conjugata: $\frac{(x+7)-9}{(x-2)\left(\sqrt{x+7}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}\to \frac{1}{6}$.

12. Conjugata: $\frac{(1+x)-(1-x)}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\to 1$.

13. Fals. Egalitatea corectă este $\sqrt{x^2}=|x|$; pentru $x=-5$ membrul stâng dă $5$, nu $-5$. Este exact greșeala care strică limitele la $-\infty$.

14. Fals. Este cazul $\infty -\infty$: pe $(0,+\infty )$, cu $x\to +\infty$, diferența $(x+5)-x$ dă $5$, diferența $2x-x$ dă $+\infty$, iar $x-x^2$ dă $-\infty$.

15. Conjugata dă $\frac{h^2}{\sqrt{x^2+h^2}+x}$, cu numitorul care tinde la $+\infty$, deci limita este $0$. Interpretare: de la distanță foarte mare, drumul pe linie dreaptă și cel pe orizontală devin practic egale — înălțimea nu mai contează.

16. Amplificarea cu $\sqrt{x^2+4x}+x>0$ dă forma cerută; apoi $f(x)=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\to 2$. În fine, numitorul $2f(x)$ tinde la $4\ne 0$, deci limita cerută este $\frac{2+3}{4}=\frac{5}{4}$.

17. Amplificarea înseamnă înmulțire și împărțire cu aceeași expresie; dacă expresia s-ar putea anula, împărțirea nu ar avea sens și transformarea nu ar mai fi echivalentă. De aceea se verifică, de fiecare dată, că amplificatorul păstrează semn strict pe vecinătatea pe care se lucrează.

18. Din calculul general, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax}-x\right)=\frac{a}{2}$, deci $a=8$. Pentru $a=8$ și $x\to -\infty$, același calcul cu $\sqrt{x^2+8x}=-x\sqrt{1+\frac{8}{x}}$ dă $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}+x\right)=-\frac{8}{2}=-4$. Cele două rezultate sunt opuse, exact din cauza modulului.

De reținut

• $\infty -\infty$ și $0\cdot \infty$ nu sunt rezultate, ci semnale că expresia trebuie rescrisă; abia pe forma rescrisă se trece la limită, o singură dată.
• La diferențe de radicali de ordinul al doilea se amplifică cu conjugata, iar la cele de ordinul al treilea cu trinomul $a^2+ab+b^2$; amplificatorul trebuie să fie nenul pe vecinătatea de lucru.
• $\sqrt{x^2}=|x|$: la $+\infty$ scoți $x$, la $-\infty$ scoți $-x$. Este singura diferență de calcul față de aceleași tehnici de la șiruri, dar schimbă complet rezultatul.
• Un produs de tip $0\cdot \infty$ devine raport coborând un factor la numitor; alegi factorul care se scrie mai simplu ca fracție.
• La diferențe de fracții într-un punct finit, aducerea la același numitor te readuce la o fracție obișnuită, iar părțile care „explodează" se sting reciproc la numărător.

Greșeli frecvente

• Scrii $\sqrt{x^2}=x$ și la $-\infty$. Rezultatul iese fals, de obicei $0$ în loc de o valoare finită nenulă, iar calculul pare corect. Scrie întâi $|x|$, apoi desfă modulul după semnul lui $x$.
• Amplifici cu conjugata acolo unde nu e nevoie. La $x-\sqrt{x}$ termenul dominant e clar, deci se rezolvă prin factor forțat. Conjugata se folosește numai când părțile dominante se anulează reciproc.
• La ordinul al treilea amplifici tot cu $a+b$. Nu elimină radicalul; identitatea corectă este cea a diferenței de cuburi, cu amplificatorul $a^2+ab+b^2$, care are trei termeni.
• Nu verifici domeniul radicalului. Pentru $\sqrt{x^2+6x}$ domeniul este $x\le -6$ sau $x\ge 0$; a cere o limită într-un punct în afara lui nu are sens, iar la $-\infty$ trebuie spus explicit că acesta e capăt al domeniului.
• Treci la limită în mijlocul prelucrării. Scrii „$\sqrt{x^2+6x}\approx x$, deci diferența este $0$". Aproximările nu se fac la limite: toate egalitățile scrise trebuie să fie exacte pentru orice $x$ din vecinătatea de lucru, iar limita se ia o singură dată, la final.

Aplică acasă

1. Cele trei identități, pe o foaie. Scrie de mână, pe o jumătate de pagină lipită în caiet, identitatea conjugatei de ordinul al doilea, cea de ordinul al treilea și egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$ cu cele două ramuri ale ei. Sunt singurele lucruri pe care trebuie să le știi pe de rost din această lecție.

2. Experimentul cu precizia. Calculează $\sqrt{x^2+6x}-x$ pentru $x=10$, $10^3$, $10^6$, folosind toate zecimalele pe care ți le dă calculatorul. Vezi cum valorile se apropie de $3$ și, la $x$ foarte mare, observă că afișajul începe să dea rezultate ciudate — este scăderea a două numere aproape egale, motivul pentru care controlul numeric se face cu precizie ridicată.

3. Perechea $+\infty$ și $-\infty$. Alege trei expresii cu radical de forma $\sqrt{x^2+ax}\pm x$ și, pentru fiecare, calculează limita la ambele capete ale domeniului. Notează de fiecare dată ce ai scos factor de sub radical. După a treia pereche, reflexul „la stânga scot $-x$" se fixează de la sine.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide seria tehnicilor algebrice de eliminare a nedeterminărilor. Ideea centrală este că o nedeterminare nu ține de limită, ci de forma scrisă a expresiei, iar sarcina elevului este să găsească forma echivalentă în care operațiile au sens. A doua idee, specifică funcțiilor, este că axa are două capete: tot ce s-a învățat la șiruri rămâne valabil la $+\infty$, dar la $-\infty$ intervine modulul, iar el schimbă semnul rezultatului.

Ce verifică lecția: (1) alegerea tehnicii potrivite, după forma expresiei; (2) scrierea corectă a lui $\sqrt{x^2}$ ca modul și desfacerea lui pe ramura potrivită; (3) menționarea condiției ca amplificatorul să fie nenul; (4) transformarea unui produs în raport. Întrebări bune de control: „Când amplifici cu conjugata și când scoți factor forțat?"; „Cât este $\sqrt{x^2}$ pentru $x=-7$?"; „De ce trebuie ca amplificatorul să nu se anuleze?".

La BAC M1, tiparul $\sqrt{x^2+ax}-x$ apare cu regularitate, adesea ca punct intermediar al unei probleme mai lungi, iar varianta de la $-\infty$ este locul unde se pierd cele mai multe puncte. Semne că elevul a înțeles: înainte de a calcula, scrie domeniul radicalului; scoate factor de sub radical scriind explicit modulul; și nu confundă diferența în care termenii dominanți se sting cu cea în care unul îl domină clar pe celălalt.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă amplificarea cu conjugata? Înseamnă înmulțirea și împărțirea expresiei cu suma corespunzătoare diferenței de radicali, adică folosirea identității $\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B$. Radicalii dispar de la numărător, iar nedeterminarea $\infty -\infty$ se transformă într-un raport pe care îl știi rezolva.

Cât este radicalul din x la pătrat? Este $|x|$, nu $x$. Pentru $x\ge 0$ cele două coincid, dar pentru $x<0$ avem $\sqrt{x^2}=-x$, o cantitate pozitivă. Confuzia dintre ele este cauza numărul unu a rezultatelor false la limitele calculate spre $-\infty$.

De ce limita la minus infinit iese cu semn schimbat? Pentru că factorul scos de sub radical este $-x$, iar el aduce un minus în fața fracției finale. Concret, pentru $\sqrt{x^2+ax}$ diferența față de $x$ tinde la $\frac{a}{2}$ la $+\infty$, în timp ce suma cu $x$ tinde la $-\frac{a}{2}$ la $-\infty$.

Cum rezolv nedeterminarea 0 ori infinit? O transformi în raport, coborând unul dintre factori la numitor: $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$. Obții fie $\frac{0}{0}$, fie $\frac{\infty }{\infty }$, la alegerea ta, și continui cu tehnicile de la rapoarte. În practică, dacă unul dintre factori este o diferență, îl prelucrezi întâi pe acela.

Când folosesc conjugata de ordinul al treilea? Când în diferență apare un radical de ordinul al treilea. Amplificatorul nu mai este o sumă de doi termeni, ci trinomul $a^2+ab+b^2$, din identitatea diferenței de cuburi. Amplificarea cu $a+b$ nu elimină radicalul cubic și te lasă în aceeași nedeterminare.

Poate apărea $\infty -\infty$ într-un punct finit? Da, cel mai adesea la diferențe de fracții ai căror numitori se anulează în același punct. Fiecare termen are acolo limite laterale infinite, iar tiparul se rezolvă aducând la același numitor; după simplificare, expresia are limită și se calculează obișnuit.

De ce trebuie să verific că amplificatorul nu se anulează? Pentru că amplificarea este o înmulțire urmată de o împărțire cu aceeași expresie. Dacă expresia se anulează undeva în vecinătatea punctului, împărțirea nu are sens acolo, iar transformarea nu mai este echivalentă. La Bacalaureat M1 această verificare este un pas de barem.