Nedeterminările ∞ − ∞ și 0 · ∞. Radicali: pe scurt

Fiecare tipar are unealta lui.

Diferență de polinoame: scoți factor forțat termenul de grad maxim; paranteza tinde la coeficientul dominant, iar semnul iese din calcul, nu din intuiție.

Diferență de fracții, punct finit: aduci la același numitor — termenii care explodează se sting reciproc la numărător.

Diferență cu radical de ordinul al doilea: amplifici cu conjugata, folosind $\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B$. Nedeterminarea nu dispare, ci se mută: din $\infty -\infty$ ajungi la $\frac{\infty }{\infty }$, tipar pe care îl știi rezolva. Se scrie și că amplificatorul este nenul pe vecinătatea de lucru.

Radical de ordinul al treilea: amplifici cu trinomul $a^2+ab+b^2$, din $(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$ — nu cu $a+b$.

Produs de tip $0\cdot \infty$: cobori un factor la numitor; de regulă prelucrezi întâi diferența, iar produsul se rezolvă singur.

⚠️ Capcana capitolului: $\sqrt{x^2}=|x|$, deci la $x\to -\infty$ se scoate factor $-x$, nu $x$. Cine scrie $\sqrt{x^2}=x$ la stânga obține un rezultat fals fără să vadă nicio greșeală de calcul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)$.

   • a) $0$
   • b) $8$
   • c) $4$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4$

   Tip $\infty -\infty$. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+8x}+x$, strict pozitiv pentru $x>0$: expresia devine $\frac{8x}{\sqrt{x^2+8x}+x}$. Pentru $x>0$, $\sqrt{x^2+8x}=x\sqrt{1+\frac{8}{x}}$, deci raportul este $\frac{8}{\sqrt{1+\frac{8}{x}}+1}\to \frac{8}{2}=4$. Varianta a) presupune că diferența „se pierde”, ceea ce e tocmai ce trebuie verificat.

2. Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+10x}+x\right)$.

   • a) $5$
   • b) $-5$
   • c) $0$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-5$

   La $-\infty$ suma este cea de tip $\infty -\infty$. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+10x}-x$ și obținem $\frac{10x}{\sqrt{x^2+10x}-x}$. Aici intervine capcana: pentru $x<0$, $\sqrt{x^2+10x}=-x\sqrt{1+\frac{10}{x}}$, deci numitorul este $-x\left(\sqrt{1+\frac{10}{x}}+1\right)$ și raportul devine $\frac{-10}{\sqrt{1+\frac{10}{x}}+1}\to -5$. Varianta a) apare dacă scrii, greșit, $\sqrt{x^2}=x$.

3. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+4x}-1}{x}$.

   • a) $2$
   • b) $4$
   • c) $\frac{1}{2}$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2$

   Tip $\frac{0}{0}$ cu radical. Amplificăm cu $\sqrt{1+4x}+1$, strict pozitiv lângă $0$: $\frac{(1+4x)-1}{x\left(\sqrt{1+4x}+1\right)}=\frac{4x}{x\left(\sqrt{1+4x}+1\right)}$. Pentru $x\ne 0$ simplificăm cu $x$ și rămâne $\frac{4}{\sqrt{1+4x}+1}\to \frac{4}{2}=2$.