Primitive cu trinom de gradul al doilea

Dintre toate integralele care apar în Subiectul al III-lea, două forme revin la aproape fiecare sesiune: $\int \frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}dx$ și $\int \frac{mx+n}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$. Programa clasei a 12-a le numește explicit, ca aplicație a schimbării de variabilă, iar motivul e simplu: ele nu se rezolvă dintr-o singură mișcare, dar se rezolvă întotdeauna, după aceeași procedură, indiferent de numere. Ai nevoie doar de două idei pe care le stăpânești deja — derivata numitorului și forma canonică a trinomului.

Procedura are trei etape și, o dată învățată, nu mai lasă loc de improvizație. Etapa 1 rupe numărătorul în două bucăți: una proporțională cu derivata trinomului, alta constantă. Etapa 2 integrează prima bucată, care dă mereu un logaritm sau un radical. Etapa 3 integrează bucata rămasă, prin completarea pătratului, și dă — după semnul discriminantului — o arctangentă, un logaritm de raport, un arcsinus sau chiar o simplă putere. Îi vom spune, în tot cursul, rețeta trinomului.

Ce vei învăța

• Vei ști să descompui numărătorul $mx+n$ ca $\alpha$ ori derivata trinomului, plus o constantă $\beta$.
• Vei ști să duci un trinom la forma canonică și să recunoști, din semnul discriminantului, ce formulă urmează.
• Vei ști să folosești rândurile 11–15 din tabelul canonic al primitivelor, cu parametrul potrivit.
• Vei ști să tratezi și cazul coeficientului dominant diferit de $1$, inclusiv cel negativ.
• Vei ști să precizezi intervalul pe care lucrezi, mai ales când trinomul are rădăcini reale.
• Vei ști să verifici orice rezultat prin derivare, în câteva secunde.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este rețeta trinomului?

Rețeta trinomului este procedura în trei etape prin care se calculează primitivele funcțiilor de forma $\frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}$ și $\frac{mx+n}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$: se scrie numărătorul ca sumă dintre un multiplu al derivatei trinomului și o constantă, se integrează separat cele două bucăți, iar a doua se aduce, prin completarea pătratului, la una dintre formulele-tip din tabelul primitivelor.

Două precizări de notație, ca să nu se încurce literele.

Prima. Etapele acestei rețete se numesc Etapa 1, Etapa 2 și Etapa 3, iar numele complet cu care se citează este „Etapa 1 a rețetei trinomului" și așa mai departe. Ele nu sunt cei trei pași ai schimbării de variabilă, fixați la formula schimbării de variabilă — aceia rămân procedura generală și sunt folosiți, ca unealtă, în interiorul Etapelor 2 și 3 —, nu sunt cei trei pași ai integrării prin părți și nu sunt nici Etapele 1–3 de prelucrare algebrică fixate la integrala nedefinită.

A doua. În tabelul canonic al primitivelor, rândurile 11–15 sunt scrise cu un parametru notat acolo cu o literă care, aici, e deja ocupată de coeficientul dominant al trinomului. Pentru toată lecția, parametrul acelor formule se notează $k$, iar $a$, $b$, $c$ rămân coeficienții trinomului $a{x}^2+bx+c$. Iată-le, în forma pe care o vom folosi, valabile pe intervalele pe care funcțiile sunt continue, cu $k>0$:

Observă asimetria de la rândurile cu radical: la $\sqrt{t^2+k^2}$ nu se pune modul, pentru că $t+\sqrt{t^2+k^2}>0$ oricare ar fi $t$; la $\sqrt{t^2-k^2}$ modulul e obligatoriu, pentru că pe ramura $t<-k$ expresia dinăuntru e negativă. Cele cinci formule sunt date, cu verificarea prin derivare, la primitivele cu arctangentă și arcsinus; aici le folosim ca unelte gata făcute.

2. Etapa 1 — cum scrii numărătorul prin derivata trinomului?

Notează trinomul cu $T(x)=a{x}^2+bx+c$. Derivata lui este $T^{\prime }(x)=2ax+b$, tot un polinom de gradul întâi. Prin urmare orice numărător $mx+n$ se scrie în mod unic sub forma $$mx+n=\alpha (2ax+b)+\beta ,$$ identificând coeficienții: din $2a\alpha =m$ obții $\alpha =\frac{m}{2a}$, iar din $\alpha b+\beta =n$ obții $\beta =n-\frac{mb}{2a}$.

În practică nu se folosesc formulele, ci se fac două împărțiri mintale. Exemplu. Pentru $\frac{3x-1}{x^2-6x+13}$: derivata numitorului este $2x-6$; ca să obții $3x$ din $2x$ înmulțești cu $\frac{3}{2}$, ceea ce dă $\frac{3}{2}(2x-6)=3x-9$; îți mai trebuie $-1-(-9)=8$. Așadar $3x-1=\frac{3}{2}(2x-6)+8$. Verificarea durează două secunde și merită făcută mereu.

Antrenează-te pe câteva perechi. În fiecare rând, derivata trinomului e scrisă în coloana a doua, iar descompunerea în a treia:

Două cazuri particulare merită numite, pentru că scurtează mult calculul. Dacă $\beta =0$, adică numărătorul este chiar un multiplu al derivatei trinomului, Etapa 3 dispare și rezultatul e doar un logaritm sau un radical. Dacă $\alpha =0$, adică numărătorul e o constantă, Etapa 2 dispare și rămâne doar completarea pătratului. Cele mai multe exerciții de examen sunt însă cu ambele etape prezente.

Odată scris numărătorul așa, integrala se rupe în două prin liniaritate: $$\int \frac{mx+n}{T(x)}dx=\alpha \int \frac{T^{\prime }(x)}{T(x)}dx+\beta \int \frac{dx}{T(x)}.$$ Prima integrală e rezolvată de Etapa 2, a doua de Etapa 3. Aceeași ruptură se face și la varianta cu radical, cu $\sqrt{T(x)}$ în locul lui $T(x)$.

3. Etapa 2 — când iese logaritm și când iese radical?

Aici nu e nimic nou: sunt cele două rânduri din tabelul primitivelor compuse, învățate la substituțiile tipice, aplicate cu $u=T(x)$.

La fracție, rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ dă $$\int \frac{T^{\prime }(x)}{T(x)}dx=\ln \left|T(x)\right|+\mathcal{C}.$$ Modulul din formulă nu e obligatoriu în răspunsul final: el se păstrează doar când trinomul are rădăcini reale, iar la discriminant negativ dispare, conform regulii de mai jos.

La radical, rândul $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$ dă $$\int \frac{T^{\prime }(x)}{\sqrt{T(x)}}dx=2\sqrt{T(x)}+\mathcal{C}.$$

Regula modulului, valabilă în toată unitatea: se scrie $\ln |x-a|$ la un factor de gradul întâi, dar $\ln \left(x^2+px+q\right)$ fără modul atunci când $p^2-4q<0$, pentru că un asemenea trinom cu coeficient dominant pozitiv nu se anulează niciodată și e strict pozitiv. Modulul rămâne scris doar când trinomul are rădăcini reale.

Un exemplu complet de Etapa 2, pentru trinomul $T(x)=x^2-6x+13$, care e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$ (discriminantul lui e $36-52=-16<0$, iar $a=1>0$): $$\int \frac{2x-6}{x^2-6x+13}dx=\ln \left|x^2-6x+13\right|+\mathcal{C}=\ln \left(x^2-6x+13\right)+\mathcal{C}.$$ Modulul a putut fi înlăturat tocmai pentru că trinomul nu se anulează și e pozitiv; când are rădăcini reale, el rămâne scris.

4. Etapa 3 la fracție — ce formulă folosești după completarea pătratului?

A rămas $\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$. Aici intervine forma canonică, adică exact scrierea pe care ai dedus-o la deducerea formulelor ecuației de gradul al doilea: $$a{x}^2+bx+c=a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a^2}\right],\Delta =b^2-4ac.$$ Notând $t=x+\frac{b}{2a}$, totul depinde de semnul discriminantului. Merită observat de ce această substituție e „gratuită": funcția din interior are derivata $t^{\prime }(x)=1$, deci factorul $u^{\prime }$ cerut de formula schimbării de variabilă este deja prezent și nu trebuie fabricată nicio constantă. Practic, în rezultat înlocuiești $t$ cu $x+\frac{b}{2a}$ și nu mai schimbi nimic altceva. Luăm întâi cazul $a=1$, cel mai frecvent:

• $\Delta <0$. Atunci $-\frac{\Delta }{4}>0$ și punem $k^2=-\frac{\Delta }{4}$. Trinomul devine $t^2+k^2$, iar rezultatul este o arctangentă. Exemplu: $x^2+4x+13=(x+2{)}^2+9$, deci $$\int \frac{dx}{x^2+4x+13}=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{3}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

• $\Delta =0$. Trinomul e un pătrat perfect, $t^2$, iar integrala nu mai cere niciun rând special: e simpla putere $t^{-2}$, cu primitiva $-\frac{1}{t}$. Exemplu: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, deci $$\int \frac{dx}{x^2-4x+4}=-\frac{1}{x-2}+\mathcal{C},x\in (-\infty ,2)\text{ sau }x\in (2,+\infty ).$$ E cazul cel mai simplu și, tocmai de aceea, cel mai des ratat: mulți încearcă mecanic arctangenta și nu observă că trinomul e pătrat perfect.

• $\Delta >0$. Atunci $\frac{\Delta }{4}>0$ și punem $k^2=\frac{\Delta }{4}$. Trinomul devine $t^2-k^2$, iar rezultatul e logaritmul unui raport. Exemplu: $x^2-6x+5=(x-3{)}^2-4$, deci, cu $t=x-3$ și $k=2$, $$\int \frac{dx}{x^2-6x+5}=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-5}{x-1}\right|+\mathcal{C}.$$ Aici intervalul contează cu adevărat: trinomul se anulează în $1$ și în $5$, deci funcția e definită pe trei intervale — $(-\infty ,1)$, $(1,5)$ și $(5,+\infty )$ —, iar formula se scrie pe fiecare separat, cu constante care pot fi diferite.

Rămâne cazul coeficientului dominant negativ, care la fracție nu cere nicio formulă nouă: dai factor $-1$ și te întorci la unul dintre cele trei cazuri de mai sus, cu semnul minus în față. De pildă $-x^2+4x-3=-\left(x^2-4x+3\right)=-\left[(x-2{)}^2-1\right]$, deci pe intervalul $(1,3)$ $$\int \frac{dx}{-x^2+4x-3}=-\int \frac{dx}{x^2-4x+3}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x-3}\right|+\mathcal{C},$$ unde semnul minus din față a răsturnat raportul de sub logaritm. La radical, dimpotrivă, semnul lui $a$ schimbă chiar formula — vezi subsecțiunea următoare.

Cazul $\Delta >0$ se poate rezolva și altfel, prin descompunerea în fracții simple — este chiar metoda lecției următoare, și e la fel de corectă. În lecția de față mergem pe rândul din tabel, pentru că el tratează unitar toate cele trei cazuri și nu cere factorizarea trinomului.

5. Etapa 3 la radical — care sunt cele trei forme?

La $\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ decide, pe lângă discriminant, și semnul lui $a$. Motivul e că sub radical trebuie să rămână o expresie pozitivă, iar asta restrânge domeniul.

• $a>0$ și $\Delta <0$: sub radical rămâne $t^2+k^2$, definit pe tot $\mathbb{R}$, iar rezultatul este $\ln \left(t+\sqrt{t^2+k^2}\right)$. Exemplu: $x^2+4x+8=(x+2{)}^2+4$, deci $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+8}}=\ln \left(x+2+\sqrt{x^2+4x+8}\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

• $a>0$ și $\Delta >0$: sub radical rămâne $t^2-k^2$, pozitiv doar în afara rădăcinilor, iar rezultatul poartă modul. Exemplu: $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$, deci pe $(4,+\infty )$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4x}}=\ln \left|x-2+\sqrt{x^2-4x}\right|+\mathcal{C}.$$

• $a<0$: dăm factor $-1$ și sub radical rămâne $k^2-t^2$, pozitiv doar între rădăcini; rezultatul este un arcsinus. Exemplu: $3-2x-x^2=4-(x+1{)}^2$, deci pe intervalul $(-3,1)$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^2}}=\arcsin \frac{x+1}{2}+\mathcal{C}.$$ Când $a<0$ și $\Delta <0$, trinomul e negativ peste tot, radicalul nu are sens nicăieri și integrala nici nu se pune.

Reține legătura simplă dintre cele două tabele: la fracție, discriminantul negativ dă arctangentă; la radical, coeficientul dominant negativ dă arcsinus. Sunt singurele două locuri din tot capitolul în care apar funcțiile trigonometrice inverse.

6. Ce se schimbă când coeficientul dominant nu este $1$?

Se schimbă un singur lucru: un factor iese în față, iar el e diferit la fracție și la radical.

La fracție se dă factor $a$ la numitor și iese $\frac{1}{a}$: $$\int \frac{dx}{2x^2+4x+10}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+\mathcal{C}=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+\mathcal{C}.$$

La radical se dă factor $a$ sub radical, deci iese $\frac{1}{\sqrt{a}}$ când $a>0$, respectiv $\frac{1}{\sqrt{-a}}$ când $a<0$: $$\int \frac{dx}{\sqrt{3x^2+6x+12}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left(x+1+\sqrt{x^2+2x+4}\right)+\mathcal{C}.$$

Acesta este locul în care se pierd cele mai multe puncte la examen. Greșeala tipică nu e de raționament, ci de neatenție: se completează pătratul fără a scoate întâi factorul $a$, iar atunci coeficientul lui $x^2$ rămâne diferit de $1$ și forma canonică iese greșită. Ordinea corectă e mereu aceeași: întâi scoți $a$, apoi completezi pătratul.

7. Tabelul de decizie al rețetei

Tot ce s-a spus încape într-un singur tabel, pe care îl citești după ce ai calculat $\Delta$ și ai privit semnul lui $a$.

Peste tot $t=x+\frac{b}{2a}$, iar factorul din față este $\frac{1}{a}$ la fracție și $\frac{1}{\sqrt{|a|}}$ la radical.

8. Verificarea și intervalul

Ca la orice primitivă, verificarea e completă și rapidă: derivezi rezultatul și trebuie să obții integrandul. Pentru primitivele din această lecție ea merită făcută de fiecare dată, pentru că lanțul de transformări e lung și o constantă pierdută pe drum nu se vede altfel.

Există și un control mai ieftin decât derivarea completă, util în timpul examenului: controlul structurii. Înainte de a calcula ceva, spune ce funcții au voie să apară în răspuns. La o fracție cu $\Delta <0$ răspunsul are exact doi termeni, un logaritm și o arctangentă; dacă în foaia ta apare un radical, ai greșit undeva. La un radical cu $a<0$ răspunsul conține un arcsinus și, eventual, un radical, dar niciodată un logaritm. Structura se citește din tabelul de decizie în cinci secunde și prinde jumătate dintre erori înainte ca ele să coste timp.

Al doilea reflex obligatoriu privește intervalul. La fracție, trinomul nu are voie să se anuleze: dacă $\Delta >0$, domeniul se rupe în trei intervale, iar răspunsul se scrie pe fiecare; dacă $\Delta =0$, în două. La radical, trinomul trebuie să fie strict pozitiv, deci domeniul este $(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$ când $a>0$ și $\Delta >0$, respectiv intervalul deschis $(x_1,x_2)$ dintre rădăcini când $a<0$. Un răspuns fără interval este, la această lecție, un răspuns incomplet.

Merită spus, în încheiere, ce nu face rețeta trinomului: ea nu tratează numărători de grad mai mare sau egal cu $2$ și nu tratează numitori de grad mai mare decât $2$. Pentru primul caz se face întâi împărțirea, iar pentru al doilea se trece la descompunerea în fracții simple — ambele sunt subiectul lecțiilor următoare din unitate.

O rudă apropiată a formelor de aici este integrala cu trinomul sub radical, la numărător, $\int \sqrt{a{x}^2+bx+c}dx$. Ea se reduce, prin exact aceeași completare a pătratului, la una dintre integralele $\int \sqrt{t^2+k^2}dt$, $\int \sqrt{t^2-k^2}dt$ sau $\int \sqrt{k^2-t^2}dt$ — iar acestea au fost deja calculate, prin părți și cu trucul de rupere a numărătorului, la aplicarea repetată a integrării prin părți. Aici nu le refacem: le citim de acolo și le folosim ca atare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fracție cu discriminant negativ

Calculați $\int \frac{dx}{x^2+2x+17}$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Numărătorul e constant, deci Etapele 1 și 2 nu au ce face: $\alpha =0$, $\beta =1$. Trecem direct la Etapa 3. Discriminantul este $\Delta =4-68=-64<0$, iar $a=1$, deci trinomul e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$ și forma canonică este $$x^2+2x+17=(x+1{)}^2+16.$$ Cu $t=x+1$ și $k=4$ suntem pe rândul arctangentei: $$\int \frac{dx}{x^2+2x+17}=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{4}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Verificare: derivata rezultatului este $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{x+1}{4}\right)}^2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16+(x+1{)}^2}$, adică integrandul. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 2 — Celelalte două cazuri ale fracției

Calculați: a) $\int \frac{dx}{x^2+10x+25}$; b) $\int \frac{dx}{x^2-8x+7}$.

Rezolvare.

a) $\Delta =100-100=0$, deci trinomul e pătrat perfect: $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$. Nu e nevoie de niciun rând special, ci de puterea $t^{-2}$: $$\int \frac{dx}{(x+5{)}^2}=-\frac{1}{x+5}+\mathcal{C}.$$ Rezultatul e valabil pe $(-\infty ,-5)$ și, separat, pe $(-5,+\infty )$.

b) $\Delta =64-28=36>0$, iar $x^2-8x+7=(x-4{)}^2-9$. Cu $t=x-4$ și $k=3$, rândul logaritmului de raport dă $$\int \frac{dx}{x^2-8x+7}=\frac{1}{6}\ln \left|\frac{x-7}{x-1}\right|+\mathcal{C},$$ unde am înlocuit $t-k=x-7$ și $t+k=x-1$. Domeniul se rupe în trei intervale: $(-\infty ,1)$, $(1,7)$ și $(7,+\infty )$; pe fiecare, formula e aceeași, dar constanta poate fi alta. (Ambele verificate numeric, pe câte trei puncte din fiecare interval.) ✓

Exemplul 3 — Rețeta completă, la fracție

Calculați $\int \frac{3x-1}{x^2-6x+13}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Etapa 1. Derivata trinomului este $2x-6$. Scriem $3x-1=\frac{3}{2}(2x-6)+\beta$; cum $\frac{3}{2}(2x-6)=3x-9$, rezultă $\beta =-1+9=8$. Deci $$\int \frac{3x-1}{x^2-6x+13}dx=\frac{3}{2}\int \frac{2x-6}{x^2-6x+13}dx+8\int \frac{dx}{x^2-6x+13}.$$

Etapa 2. Prima integrală e de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2-6x+13>0$ (discriminantul e $-16$), deci dă $\ln \left(x^2-6x+13\right)$.

Etapa 3. Pentru a doua, $x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4$, deci $t=x-3$, $k=2$ și integrala este $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-3}{2}$.

Adunând, cu factorii din fața fiecărei bucăți: $$\int \frac{3x-1}{x^2-6x+13}dx=\frac{3}{2}\ln \left(x^2-6x+13\right)+4\mathrm{arctg}\frac{x-3}{2}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R},$$ unde $8\cdot \frac{1}{2}=4$. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 4 — Radical: cazul logaritmic și cazul arcsinus

Calculați: a) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$; b) $\int \frac{dx}{\sqrt{8+2x-x^2}}$.

Rezolvare.

a) $a=1>0$ și $\Delta =36-52=-16<0$, deci trinomul e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$ și $x^2+6x+13=(x+3{)}^2+4$. Cu $t=x+3$, $k=2$: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+6x+13}}=\ln \left(x+3+\sqrt{x^2+6x+13}\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Modulul lipsește pentru că $t+\sqrt{t^2+k^2}>0$ oricare ar fi $t$.

b) Coeficientul dominant este $-1<0$, deci dăm factor $-1$ și completăm pătratul: $$8+2x-x^2=-\left(x^2-2x-8\right)=-\left[(x-1{)}^2-9\right]=9-(x-1{)}^2.$$ Expresia e strict pozitivă exact pentru $|x-1|<3$, adică pe intervalul $(-2,4)$. Cu $t=x-1$ și $k=3$, rândul arcsinusului dă $$\int \frac{dx}{\sqrt{8+2x-x^2}}=\arcsin \frac{x-1}{3}+\mathcal{C},x\in (-2,4).$$ (Ambele verificate numeric în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 5 — Rețeta completă, la radical

Calculați $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+6x+13}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Etapa 1. Derivata trinomului este $2x+6$, deci $x=\frac{1}{2}(2x+6)-3$ și $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+6x+13}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x+6}{\sqrt{x^2+6x+13}}dx-3\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+6x+13}}.$$

Etapa 2. Prima integrală e de tipul $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$, deci dă $2\sqrt{x^2+6x+13}$.

Etapa 3. A doua e chiar cea calculată la Exemplul 4 a), adică $\ln \left(x+3+\sqrt{x^2+6x+13}\right)$.

Punând la loc factorii $\frac{1}{2}$ și $-3$: $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+6x+13}}dx=\sqrt{x^2+6x+13}-3\ln \left(x+3+\sqrt{x^2+6x+13}\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+2x+5}$. a) Arătați că $f(x)=\frac{2x+2}{x^2+2x+5}+\frac{1}{(x+1{)}^2+4}$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați $\int f(x)dx$, $x\in \mathbb{R}$. c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(-1)=\ln 4$.

Rezolvare.

a) Derivata numitorului este $2x+2$, iar $2x+3=(2x+2)+1$ — aceasta e Etapa 1, cu $\alpha =1$ și $\beta =1$. Cum $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$, egalitatea cerută e chiar ruperea integrandului în două bucăți.

b) Etapa 2 dă, pentru prima bucată, $\ln \left(x^2+2x+5\right)$ — modulul cade, pentru că $\Delta =4-20=-16<0$ și $a=1>0$. Etapa 3 dă, pentru a doua, cu $t=x+1$ și $k=2$, valoarea $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}$. Prin urmare $$\int \frac{2x+3}{x^2+2x+5}dx=\ln \left(x^2+2x+5\right)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

c) Punem $F(x)=\ln \left(x^2+2x+5\right)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+c$ și impunem condiția. În $x=-1$: numitorul este $1-2+5=4$, iar arctangenta e $\mathrm{arctg}0=0$, deci $F(-1)=\ln 4+c=\ln 4$, de unde $c=0$ și $$F(x)=\ln \left(x^2+2x+5\right)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}.$$ (Verificat numeric: $F^{\prime }=f$ în trei puncte, iar $F(-1)=\ln 4$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie întâi discriminantul și semnul coeficientului dominant, apoi forma canonică a trinomului, și abia la final rezultatul, cu intervalul pe care e valabil.

1. Calculează $\int \frac{dx}{x^2+4}$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează $\int \frac{dx}{x^2-2x+5}$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează $\int \frac{dx}{x^2+6x+10}$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Calculează $\int \frac{dx}{x^2+6x+9}$, $x\in (-3,+\infty )$.

5. Calculează $\int \frac{dx}{x^2-2x-8}$, $x\in (4,+\infty )$.

6. Calculează $\int \frac{x+1}{x^2+2x+10}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

7. Calculează $\int \frac{x}{x^2+4x+5}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

8. Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$, $x\in \mathbb{R}$.

9. Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$, $x\in (-1,5)$.

10. Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+5}}$, $x\in (5,+\infty )$.

11. Calculează $\int \frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+10}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

12. Calculează $\int \frac{x+4}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

13. Calculează $\int \frac{dx}{2x^2+4x+10}$, $x\in \mathbb{R}$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe intervalul $(3,+\infty )$ are loc $\int \frac{dx}{x^2-6x+9}=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x-3}{3}+\mathcal{C}$."

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ca să calculezi $\int \frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}dx$ trebuie întotdeauna să descompui fracția în fracții simple."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+4}{x^2-4x+8}$. a) Scrie numărătorul sub forma $\alpha (2x-4)+\beta$. b) Determină $\int f(x)dx$.

17. (Problemă aplicată.) Numărul de persoane care au aflat o informație într-o rețea crește cu viteza $R(t)=\frac{4t+2}{t^2+t+1}$ mii de persoane pe oră, unde $t\ge 0$ este timpul în ore. Știind că la momentul $t=0$ nu aflase nimeni informația, determină numărul $N(t)$ de persoane informate după $t$ ore.

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{2x+3}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. $t=x$, $k=2$, rândul arctangentei: $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

2. $\Delta =4-20=-16<0$; $x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4$, deci $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-1}{2}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

3. $\Delta =36-40=-4<0$; $x^2+6x+10=(x+3{)}^2+1$, deci $k=1$ și rezultatul este $\mathrm{arctg}(x+3)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

4. $\Delta =0$: $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$, deci $-\frac{1}{x+3}+\mathcal{C}$, pe $(-3,+\infty )$. Nu e nicio arctangentă aici.

5. $\Delta =4+32=36>0$; $x^2-2x-8=(x-1{)}^2-9$, deci $t=x-1$, $k=3$ și rezultatul este $\frac{1}{6}\ln \left|\frac{x-4}{x+2}\right|+\mathcal{C}$, pe $(4,+\infty )$.

6. Numărătorul e jumătate din derivata numitorului ($2x+2$), iar $\Delta =4-40<0$, deci Etapa 3 nu mai apare: $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+10\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

7. Etapa 1: $x=\frac{1}{2}(2x+4)-2$. Etapa 2 dă $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4x+5\right)$; Etapa 3, cu $(x+2{)}^2+1$, dă $-2\mathrm{arctg}(x+2)$. Rezultat: $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4x+5\right)-2\mathrm{arctg}(x+2)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

8. $a>0$, $\Delta =4-20<0$; $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$, deci $\ln \left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

9. Coeficient dominant $-1<0$: $5+4x-x^2=9-(x-2{)}^2$, deci $t=x-2$, $k=3$ și rezultatul este $\arcsin \frac{x-2}{3}+\mathcal{C}$, pe $(-1,5)$.

10. $a>0$, $\Delta =16>0$; $x^2-6x+5=(x-3{)}^2-4$, deci $\ln \left|x-3+\sqrt{x^2-6x+5}\right|+\mathcal{C}$, pe $(5,+\infty )$.

11. Numărătorul e jumătate din derivata trinomului ($2x+6$), deci doar Etapa 2: $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x^2+6x+10}=\sqrt{x^2+6x+10}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

12. Etapa 1: $x+4=\frac{1}{2}(2x+2)+3$. Etapa 2 dă $\sqrt{x^2+2x+5}$, Etapa 3 dă $3\ln \left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)$. Rezultat: $\sqrt{x^2+2x+5}+3\ln \left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

13. Se scoate întâi $2$: $\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}$, adică $\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

14. Fals. Discriminantul este $36-36=0$, deci trinomul e pătratul perfect $(x-3{)}^2$, iar rezultatul corect este $-\frac{1}{x-3}+\mathcal{C}$. Arctangenta apare numai la discriminant strict negativ.

15. Fals. Descompunerea în fracții simple cere ca trinomul să aibă rădăcini reale, adică $\Delta \ge 0$; când $\Delta <0$ ea nu se poate face peste numerele reale, iar metoda corectă este rețeta trinomului, care se încheie cu o arctangentă. Chiar și la $\Delta >0$, rețeta rămâne o alternativă legitimă.

16. a) Derivata trinomului este $2x-4$; din $\alpha \cdot 2x=x$ rezultă $\alpha =\frac{1}{2}$, iar $\frac{1}{2}(2x-4)=x-2$, deci $\beta =4+2=6$ și $x+4=\frac{1}{2}(2x-4)+6$. b) $\Delta =16-32=-16<0$, iar $x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4$, deci $$\int \frac{x+4}{x^2-4x+8}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2-4x+8\right)+6\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}+\mathcal{C}=\frac{1}{2}\ln \left(x^2-4x+8\right)+3\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}+\mathcal{C}.$$

17. Derivata trinomului $t^2+t+1$ este $2t+1$, iar $4t+2=2(2t+1)$, deci numai Etapa 2 lucrează: $N(t)=2\ln \left(t^2+t+1\right)+c$. Trinomul are $\Delta =1-4=-3<0$, deci e strict pozitiv și modulul cade. Din $N(0)=2\ln 1+c=c=0$ rezultă $N(t)=2\ln \left(t^2+t+1\right)$ mii de persoane.

18. Etapa 1: derivata trinomului e $2x-2$, iar $2x+3=(2x-2)+5$. Etapa 2 dă $2\sqrt{x^2-2x+10}$; Etapa 3, cu $(x-1{)}^2+9$, dă $5\ln \left(x-1+\sqrt{x^2-2x+10}\right)$. Rezultat: $2\sqrt{x^2-2x+10}+5\ln \left(x-1+\sqrt{x^2-2x+10}\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

De reținut

• Rețeta trinomului are trei etape: Etapa 1 scrie numărătorul ca $\alpha (2ax+b)+\beta$, Etapa 2 integrează bucata cu derivata, Etapa 3 integrează restul prin completarea pătratului.
• Etapa 2 dă întotdeauna $\ln \left|T(x)\right|$ la fracție și $2\sqrt{T(x)}$ la radical, unde $T$ este trinomul; modulul se scrie doar când trinomul are rădăcini reale, iar la discriminant negativ se scrie $\ln \left(x^2+px+q\right)$ fără modul.
• La fracție, semnul discriminantului decide: $\Delta <0$ dă arctangentă, $\Delta =0$ dă $-\frac{1}{t}$, iar $\Delta >0$ dă logaritmul unui raport.
• La radical decide întâi semnul coeficientului dominant: dacă e negativ, rezultatul este un arcsinus; dacă e pozitiv, un logaritm, cu modul doar când discriminantul e strict pozitiv.
• Coeficientul dominant se scoate înaintea completării pătratului și lasă în față factorul $\frac{1}{a}$ la fracție, respectiv $\frac{1}{\sqrt{|a|}}$ la radical.

Greșeli frecvente

• Se completează pătratul fără a scoate întâi factorul $a$. La $2x^2+4x+10$, forma canonică se scrie după ce ai dat factor $2$; altfel coeficientul lui $x^2$ rămâne diferit de $1$ și tot restul iese greșit.
• Se folosește arctangenta când discriminantul e nul. Dacă $\Delta =0$, trinomul e pătrat perfect și integrala e o simplă putere: $\int \frac{dx}{(x-2{)}^2}=-\frac{1}{x-2}+\mathcal{C}$, nu o arctangentă.
• Se pierde factorul $\beta$ sau se aplică pe bucata greșită. După Etapa 1, $\alpha$ înmulțește numai bucata cu logaritm sau radical, iar $\beta$ numai bucata rămasă; scrie-le explicit în fața fiecărei integrale înainte de a calcula.
• Se uită modulul acolo unde e nevoie și se pune acolo unde nu e. La $\ln \left(t+\sqrt{t^2+k^2}\right)$ nu se pune modul, pentru că expresia e mereu pozitivă; la $\ln \left|t+\sqrt{t^2-k^2}\right|$ el e obligatoriu, din cauza ramurii negative.
• Se scrie răspunsul fără interval. Când trinomul are rădăcini reale, domeniul se rupe; la radical, el se restrânge și mai mult, pentru că sub radical trebuie să rămână o expresie strict pozitivă.

Aplică acasă

1. Cele șase forme, pe o singură foaie. Scrie tabelul de decizie din subsecțiunea 7 din memorie, apoi construiește-ți singur câte un exemplu numeric pentru fiecare rând, alegând trinoame cu numere mici. Verifică-le pe toate prin derivare — vei ține minte tabelul mult mai bine decât citindu-l.

2. Antrenamentul Etapei 1. Ia zece perechi „numărător de gradul întâi, trinom" la întâmplare și scrie doar descompunerea $mx+n=\alpha (2ax+b)+\beta$, fără să integrezi nimic. Zece descompuneri corecte în cinci minute înseamnă că Etapa 1 a devenit reflex.

3. Discriminantul dintr-o privire. Pe o listă de cincisprezece trinoame, notează în dreptul fiecăruia doar semnul lui $\Delta$ și al lui $a$, apoi ce funcție va apărea în rezultat: arctangentă, logaritm, arcsinus sau putere. Nu calcula nimic altceva. Este exact decizia pe care trebuie să o iei în primele zece secunde ale unui exercițiu de examen.

Pentru părinți și profesori

Această lecție acoperă un conținut numit explicit în programa clasei a XII-a, ca aplicație a schimbării de variabilă: primitivele funcțiilor care conțin un trinom de gradul al doilea, de tipul $\int \frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}dx$ și $\int \frac{mx+n}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$. Este, ca frecvență în subiectele de examen, una dintre cele mai productive lecții ale capitolului, iar dificultatea ei nu e conceptuală, ci de disciplină a calculului: procedura are mai mulți pași și fiecare are propria capcană.

Ce verifică lecția: (1) descompunerea numărătorului prin derivata trinomului; (2) integrarea bucății cu derivata, la fracție și la radical; (3) completarea pătratului, cu scoaterea prealabilă a coeficientului dominant; (4) alegerea formulei-tip după semnul discriminantului și al lui $a$; (5) precizarea intervalului, mai ales când trinomul are rădăcini reale.

Întrebări bune de control: „Cât e discriminantul și ce semn are $a$?", „Ce funcție se va vedea în rezultat?", „Care e derivata trinomului?", „Pe ce interval scrii răspunsul?". La BAC M1, forma cea mai des întâlnită este cea cu $\Delta <0$, care dă logaritm plus arctangentă, exact ca în Exemplul 6. Semn că elevul a înțeles: privind enunțul, spune ce tip de funcție va apărea în răspuns înainte de a face vreun calcul.

Întrebări frecvente

Cum se calculează o primitivă cu trinom de gradul al doilea? Se aplică rețeta trinomului, în trei etape: scrii numărătorul ca $\alpha$ ori derivata trinomului plus o constantă $\beta$, integrezi prima bucată — care dă logaritm la fracție și radical la radical —, apoi aduci trinomul la forma canonică și folosești formula-tip potrivită semnului discriminantului.

Când iese arctangentă și când iese logaritm? La o fracție cu trinom la numitor, arctangenta apare când discriminantul este strict negativ, iar logaritmul unui raport apare când discriminantul este strict pozitiv. Când discriminantul este nul, nu apare niciuna dintre ele: trinomul e pătrat perfect, iar rezultatul este $-\frac{1}{t}$, cu $t=x+\frac{b}{2a}$.

Când apare arcsinusul la primitive? Numai la integrale cu radical din trinom, atunci când coeficientul dominant al trinomului este negativ. Dai factor $-1$, completezi pătratul și sub radical rămâne $k^2-t^2$, formă care are primitiva $\arcsin \frac{t}{k}$. Domeniul este atunci intervalul deschis dintre rădăcinile trinomului.

Ce fac dacă coeficientul lui $x^2$ nu este $1$? Îl scoți factor înainte de a completa pătratul. La fracție rămâne în față $\frac{1}{a}$, iar la radical $\frac{1}{\sqrt{a}}$ dacă $a>0$, respectiv $\frac{1}{\sqrt{-a}}$ dacă $a<0$. Aceasta e greșeala care costă cele mai multe puncte, pentru că restul calculului pare corect.

De ce nu descompun direct în fracții simple? Pentru că descompunerea cere ca trinomul să aibă rădăcini reale, ceea ce se întâmplă doar când discriminantul este pozitiv sau nul. Rețeta trinomului funcționează în toate cazurile, inclusiv la discriminant negativ, unde nu există factorizare peste numerele reale. Când rădăcinile există, ambele drumuri duc la același rezultat.

Cum scriu corect intervalul la aceste primitive? La fracție, elimini rădăcinile reale ale trinomului: domeniul se rupe în trei intervale dacă discriminantul e pozitiv și în două dacă e nul. La radical, ceri ca trinomul să fie strict pozitiv, deci domeniul e în afara rădăcinilor când coeficientul dominant e pozitiv și între ele când e negativ.

Cum verific rapid un astfel de rezultat? Îl derivezi. Derivarea folosește regula funcțiilor compuse și, la primitivele cu arctangentă sau arcsinus, formulele derivatelor acestor funcții. Dacă obții exact funcția de sub integrală, rezultatul e corect; pentru siguranță, compari și numeric derivata cu integrandul în trei puncte din interiorul intervalului.