Primitive cu trinom de gradul al doilea: pe scurt

Rețeta trinomului are trei etape. Etapa 1: numărătorul $mx+n$ se scrie ca $\alpha (2ax+b)+\beta$, adică „$\alpha$ ori derivata trinomului, plus o constantă”. Etapa 2: bucata cu derivata se integrează direct și dă $\ln \left|T(x)\right|$ la fracție, respectiv $2\sqrt{T(x)}$ la radical. Etapa 3: restul se integrează după completarea pătratului, cu rândurile 11–15 ale tabelului canonic.

La fracție decide semnul discriminantului: $\Delta <0$ dă arctangentă, $\Delta =0$ dă un pătrat perfect și deci $-\frac{1}{t}$ (nu arctangentă!), iar $\Delta >0$ dă logaritmul unui raport. La radical decide întâi semnul coeficientului dominant: negativ $\Rightarrow$ arcsinus, pozitiv $\Rightarrow$ logaritm, cu modul doar când $\Delta >0$.

Modulul nu este decorativ: la trinom cu $\Delta <0$ se scrie $\ln \left(x^2+px+q\right)$ fără modul, pentru că expresia e strict pozitivă. Coeficientul dominant se scoate înaintea completării pătratului și lasă în față factorul $\frac{1}{a}$ la fracție, respectiv $\frac{1}{\sqrt{|a|}}$ la radical. Răspunsul se încheie cu intervalul, mai ales când trinomul are rădăcini reale și domeniul se rupe.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{dx}{x^2+4x+29}$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{5}\ln \left(x^2+4x+29\right)+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{1}{5}\arcsin \frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$
   • d) $\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$

   Forma canonică este $x^2+4x+29=(x+2{)}^2+25$, iar $\Delta =16-116<0$, deci se aplică rândul 12 cu $k=5$: $\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$. Factorul $\frac{1}{5}$ este obligatoriu; arcsinusul ar cere radical la numitor.

2. Pe intervalul $(9,+\infty )$, $\int \frac{dx}{x^2-18x+81}$ este egală cu:

   • a) $-\frac{1}{x-9}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{1}{x-9}+\mathcal{C}$
   • c) $\mathrm{arctg}(x-9)+\mathcal{C}$
   • d) $\ln |x-9|+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-\frac{1}{x-9}+\mathcal{C}$

   Aici $\Delta =324-324=0$, deci trinomul este pătrat perfect: $x^2-18x+81=(x-9{)}^2$, iar integrala este a unei puteri, nu o arctangentă: $\int (x-9{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-9}+\mathcal{C}$. Logaritmul apare doar la exponentul $1$.

3. Pe intervalul $(-5,1)$, $\int \frac{dx}{\sqrt{5-4x-x^2}}$ este egală cu:

   • a) $\arcsin \frac{x-2}{3}+\mathcal{C}$
   • b) $\arcsin \frac{x+2}{3}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{1}{3}\arcsin \frac{x+2}{3}+\mathcal{C}$
   • d) $\ln \left(x+2+\sqrt{5-4x-x^2}\right)+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\arcsin \frac{x+2}{3}+\mathcal{C}$

   Coeficientul dominant este negativ, deci rezultatul este un arcsinus: $5-4x-x^2=9-(x+2{)}^2$, iar rândul 15 cu $k=3$ dă $\arcsin \frac{x+2}{3}+\mathcal{C}$, fără factorul $\frac{1}{3}$. Domeniul se citește din $9-(x+2{)}^2>0$, adică $x\in (-5,1)$.