Matrice care modelează situații practice: costuri, fluxuri, stocuri

Ai învățat regulile: cum se adună două matrice, cum se înmulțesc cu un număr, cum se face produsul „linie pe coloană". Rămâne o întrebare firească: de ce tocmai acestea? De ce se adună element cu element, dar se înmulțesc atât de complicat, cu sume de produse? Răspunsul nu vine din algebră, ci din realitatea pe care matricele o descriu.

Un atelier care ține evidența materialelor, un lanț de magazine care își numără stocurile, o companie de transport care își planifică traseele — toate lucrează, fără să o spună, cu tablouri de numere, iar întrebările lor (Cât mă costă? Cât mi-a rămas? În câte feluri pot ajunge acolo?) se traduc exact în cele trei operații. Lecția face drumul invers: de la situație la operație.

Ce vei învăța

• Vei ști să organizezi datele unei probleme într-o matrice și să citești orice element $a_{ij}$ înapoi, în cuvintele problemei.
• Vei ști când modelul cere adunare, când cere înmulțire cu un scalar și când cere produs matriceal.
• Vei ști regula indicelui comun: două tablouri se pot înmulți doar dacă au o mărime comună, iar aceea dispare din rezultat.
• Vei ști să folosești matricele linie și coloană ca liste de cantități, de prețuri sau de totaluri.
• Vei ști să verifici un model prin controlul dimensiunilor, înainte de orice calcul.

Hai să descoperim împreună

1. Un tablou nu e doar un tablou: contractul de citire

Un atelier de mobilă produce bănci și mese. O bancă cere $4$ scânduri, $20$ de șuruburi și $1$ litru de lac; o masă, $6$ scânduri, $30$ de șuruburi și $2$ litri de lac. Punem numerele într-un tablou, cu produsele pe linii și materialele pe coloane:

$$C=\left(\begin{array}{ccc}4& 20& 1\\ 6& 30& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C}).$$

Numerele singure nu spun nimic. Ce le dă înțeles este contractul de citire, pe care îl scrii o dată și îl respecți până la capăt:

liniile lui $C$ sunt produsele (linia 1 = banca, linia 2 = masa); coloanele sunt materialele (scânduri, șuruburi, lac); elementul $c_{ij}$ este cantitatea din materialul $j$ folosită la o bucată din produsul $i$.

Cu contractul scris, $c_{23}=2$ înseamnă „o masă consumă $2$ litri de lac". Fără el, aceleași cifre pot însemna orice, iar cea mai frecventă greșeală de modelare nu e de calcul, ci de citire. Regula de aur: primul lucru pe care îl scrii nu e matricea, ci ce înseamnă o linie și o coloană.

2. Adunarea: aceeași mărime, aceleași etichete

Un lanț cu două magazine ține stocul a trei produse: la începutul lunii $S$, apoi intră marfă nouă $I$ și se vinde $V$:

$$S=\left(\begin{array}{ccc}40& 25& 60\\ 30& 50& 15\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{ccc}20& 10& 0\\ 15& 5& 30\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{ccc}35& 18& 42\\ 28& 40& 25\end{array}\right).$$

Stocul de la sfârșitul lunii se obține produs cu produs, magazin cu magazin:

$$S+I-V=\left(\begin{array}{ccc}40+20-35& 25+10-18& 60+0-42\\ 30+15-28& 50+5-40& 15+30-25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}25& 17& 18\\ 17& 15& 20\end{array}\right).$$

Aici se vede de ce adunarea matricelor se face element cu element și de ce cere același tip: aduni cantități care se referă la aceeași căsuță din realitate. Condiția algebrică „aceleași dimensiuni" este, în model, condiția „aceleași etichete".

3. Înmulțirea cu un scalar: o schimbare care atinge tot tabloul

Prețurile de listă ale unui furnizor sunt $L=\left(\begin{array}{cc}20& 40\\ 60& 80\end{array}\right)$, iar el anunță o scumpire de $25\%$ la toate articolele. Fiecare preț se înmulțește cu $\frac{5}{4}$, deci noul tablou este

$$\frac{5}{4}L=\left(\begin{array}{cc}25& 50\\ 75& 100\end{array}\right).$$

Înmulțirea cu un număr modelează situațiile în care un singur factor atinge toate căsuțele: o scumpire uniformă, o conversie de unități, dublarea unei comenzi. Dacă factorul diferă de la o coloană la alta, scalarul nu mai ajunge.

4. Produsul: regula indicelui comun

Materialele se pot cumpăra de la doi furnizori: scândura $15$ lei la $F_1$ și $12$ la $F_2$, șurubul $1$ leu, respectiv $2$, litrul de lac $30$, respectiv $25$. Scriem tabloul cu liniile $=$ materiale și coloanele $=$ furnizori:

$$P=\left(\begin{array}{cc}15& 12\\ 1& 2\\ 30& 25\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C}).$$

Întrebarea firească a atelierului: cât costă materialele unei bănci, la fiecare furnizor? La $F_1$ socoteala este $4\cdot 15+20\cdot 1+1\cdot 30=110$ lei — exact regula „linie pe coloană" din înmulțirea a două matrice, cu linia produsului din $C$ și coloana furnizorului din $P$. Făcând toate cele patru combinații:

$$C\cdot P=\left(\begin{array}{ccc}4& 20& 1\\ 6& 30& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}15& 12\\ 1& 2\\ 30& 25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}110& 113\\ 180& 182\end{array}\right).$$

Contractul de citire al rezultatului se deduce singur: elementul de pe linia $i$, coloana $j$ este costul materialelor pentru o bucată din produsul $i$, cumpărate de la furnizorul $j$. Citim: banca ne costă $110$ lei la $F_1$ și $113$ la $F_2$; masa, $180$, respectiv $182$. Deci $F_1$ e mai ieftin la ambele.

Aici e miezul lecției. Cele două tablouri au avut o mărime comună — materialele, coloanele lui $C$ și liniile lui $P$. Produsul le-a „consumat", însumând peste toate materialele, și a lăsat exact ce nu era comun.

Regula indicelui comun. Două tablouri se pot înmulți doar dacă coloanele primului înseamnă același lucru ca liniile celui de-al doilea. Acea mărime dispare din rezultat; rămân liniile primului și coloanele celui de-al doilea. De aceea condiția algebrică este ${\mathcal{M}}_{m,n}\cdot {\mathcal{M}}_{n,p}={\mathcal{M}}_{m,p}$.

Regula explică și de ce produsul nu este comutativ, așa cum ai văzut la proprietățile înmulțirii matricelor: $P\cdot C$ ar cere ca furnizorii să însemne același lucru cu produsele. Necomutativitatea nu e o ciudățenie a algebrei: e faptul că „produse × furnizori" și „furnizori × produse" sunt două tabele diferite.

5. Matrice linie și matrice coloană: cantități, prețuri, totaluri

Atelierul primește o comandă de $30$ de bănci și $20$ de mese, pe care o scriem ca matrice linie $Q=\left(\begin{array}{cc}30& 20\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,2}(\mathbb{C})$, cu contractul „coloanele sunt produsele". Costul total al comenzii, la fiecare furnizor, este

$$Q\cdot (C\cdot P)=\left(\begin{array}{cc}30& 20\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}110& 113\\ 180& 182\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6900& 7030\end{array}\right).$$

Putem socoti și altfel: întâi cât material ne trebuie în total, apoi cât costă acel material.

$$Q\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}240& 1200& 70\end{array}\right)\text{(scaˆnduri, șuruburi, litri de lac)},(Q\cdot C)\cdot P=\left(\begin{array}{cc}6900& 7030\end{array}\right).$$

Aceeași pereche de numere, și nu e o coincidență: este asociativitatea produsului matriceal, $(QC)P=Q(CP)$, citită în cuvinte — două drumuri către aceeași cheltuială. Ordinea în care grupezi calculul e liberă; ordinea factorilor nu este.

Două unelte mici: înmulțind o matrice la dreapta cu o coloană numai de $1$, obții totalurile pe linii ($S$ dă astfel $125$ și $95$, bucățile din fiecare magazin); înmulțind la stânga cu o linie numai de $1$, obții totalurile pe coloane ($70$, $75$, $75$). Iar dacă datele vin „pe dos", cu produsele pe coloane, folosești transpusa ${}^{t}C$.

6. Fluxuri într-o rețea

Trei orașe, $A$, $B$, $C$, legate prin curse de autocar. Numărul de curse directe se scrie într-o matrice pătratică: linia $i$ = orașul de plecare, coloana $j$ = orașul de sosire.

$$F=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 0& 3\\ 2& 1& 0\end{array}\right).$$

Din $A$ pleacă $2$ curse spre $B$ și una spre $C$; din $B$, una spre $A$ și trei spre $C$; din $C$, două spre $A$ și una spre $B$. Diagonala e nulă: nu există curse din $A$ în $A$.

Întrebarea interesantă: în câte feluri pot merge din $A$ în $C$ cu exact o schimbare? Aleg orașul de escală $k$, apoi o cursă $A\to k$ și una $k\to C$; pentru fiecare escală înmulțesc posibilitățile și adun peste toate escalele: $0\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 0=6$. Este exact elementul de pe linia $1$, coloana $3$ al produsului lui $F$ cu ea însăși:

$$F\cdot F=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 6\\ 6& 5& 1\\ 1& 4& 5\end{array}\right).$$

Elementul de pe linia $i$, coloana $j$ este numărul de trasee de la orașul $i$ la orașul $j$ cu exact o escală. Chiar și diagonala are înțeles: din $A$ te poți întoarce în $A$ cu o escală în patru feluri.

Firește, ai vrea acum să întrebi câte trasee există cu două escale, apoi cu trei — și ai avea nevoie de $F\cdot F\cdot F$ și mai departe. Scrierea prescurtată a acestor produse, puterea unei matrice, este subiectul lecției următoare, Puterea unei matrice pătratice.

7. Controlul dimensiunilor

Înainte de a înmulți ceva, scrie tipurile: dacă $X\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și $Y\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{C})$, produsul $X\cdot Y$ există doar dacă $n=p$, iar atunci $X\cdot Y\in {\mathcal{M}}_{m,q}(\mathbb{C})$. Apoi verifică dacă tipul rezultatului răspunde la întrebarea pusă: dacă iese „materiale × materiale", iar întrebarea cerea un cost pe produs, ai înmulțit în ordinea greșită. Controlul dimensiunilor prinde majoritatea greșelilor fără să calculezi niciun număr — și tot el îți spune, la un exercițiu de Bacalaureat M1, dacă ai copiat corect enunțul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la tabel la matrice și înapoi

O florărie ține evidența a trei sortimente vândute în două zile: luni $12$ trandafiri, $8$ lalele, $5$ crizanteme; marți $9$ trandafiri, $14$ lalele, $6$ crizanteme. Scrieți matricea vânzărilor, precizați tipul ei și spuneți ce reprezintă $v_{22}$ și $v_{13}$.

Rezolvare. Alegem contractul: liniile sunt zilele, coloanele sunt sortimentele. Atunci $V=\left(\begin{array}{ccc}12& 8& 5\\ 9& 14& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$, iar $v_{22}=14$ înseamnă „marți s-au vândut $14$ lalele" și $v_{13}=5$ înseamnă „luni s-au vândut $5$ crizanteme". Contractul opus ar da ${}^{t}V\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$ — la fel de corect, dacă îl respecți până la capăt.

Exemplul 2 — Stocuri: adunare și scădere

Cu $S$, $I$ și $V$ din lecție (stoc inițial, intrări, ieșiri, pe două magazine și trei articole), determinați stocul final și verificați dacă vreun articol a scăzut sub $16$ bucăți.

Rezolvare. Cele trei matrice au același tip ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$, deci adunarea și scăderea se fac element cu element: $S+I-V=\left(\begin{array}{ccc}25& 17& 18\\ 17& 15& 20\end{array}\right)$. Singura valoare sub $16$ este $15$: al doilea magazin a rămas cu $15$ bucăți din articolul al doilea. Control util: sumele elementelor sunt $220$, $80$ și $188$, iar $220+80-188=112$ — exact suma elementelor rezultatului.

Exemplul 3 — Costuri, cu produs matriceal

O tipografie face afișe și pliante. Un afiș consumă $2$ coli speciale și $3$ ml de cerneală; un pliant, $1$ colă și $5$ ml. Cola costă $4$ lei la $F_1$ și $5$ lei la $F_2$; mililitrul de cerneală, $2$ lei la $F_1$ și $1$ leu la $F_2$. Determinați costul materialelor pentru fiecare produs, la fiecare furnizor.

Rezolvare. Scriem consumul (produse × materiale) și prețurile (materiale × furnizori); coloanele primeia coincid cu liniile celeilalte, deci produsul e „produse × furnizori":

$$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 4+3\cdot 2& 2\cdot 5+3\cdot 1\\ 1\cdot 4+5\cdot 2& 1\cdot 5+5\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& 13\\ 14& 10\end{array}\right).$$

Afișul costă $14$ lei la $F_1$ și $13$ la $F_2$; pliantul, $14$, respectiv $10$. Aici $F_2$ e mai avantajos la ambele — spre deosebire de atelierul de mobilă.

Exemplul 4 — Controlul dimensiunilor

Se dau $X\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$, $Y\in {\mathcal{M}}_{4,2}(\mathbb{C})$ și $Z\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$. Precizați care dintre produsele $X\cdot Y$, $Y\cdot X$, $Y\cdot Z$, $Z\cdot X$, $X\cdot Y\cdot Z$ există și de ce tip sunt.

Rezolvare. Aplicăm regula ${\mathcal{M}}_{m,n}\cdot {\mathcal{M}}_{n,p}={\mathcal{M}}_{m,p}$. Produsul $X\cdot Y$ există ($4=4$), tip $3\times 2$; $Y\cdot X$ nu există ($2\ne 3$); $Y\cdot Z$ are tipul $4\times 3$; $Z\cdot X$, tipul $2\times 4$; iar $X\cdot Y\cdot Z$ este de tip $3\times 3$ — pătratic, deși niciunul dintre factori nu era.

Exemplul 5 — Trasee cu o escală

Pentru rețeaua $F$ din lecție, determinați în câte feluri se poate ajunge din $B$ în $C$ cu exact o schimbare și în câte feluri din $C$ în $B$.

Rezolvare. Calculăm elementele cerute din $F\cdot F$. Din $B$ în $C$: $1\cdot 1+0\cdot 3+3\cdot 0=1$ (singurul traseu: $B\to A\to C$). Din $C$ în $B$: $2\cdot 2+1\cdot 0+0\cdot 1=4$, toate prin $A$, unde există $2$ curse $C\to A$ și $2$ curse $A\to B$. Cele două numere sunt diferite: $F\cdot F$ nu este simetrică, pentru că nici rețeaua nu este.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$. b) Arătați că $A\cdot B\ne B\cdot A$. c) Un atelier cumpără materialele comenzii de la $F_2$, unde cele $240$ de scânduri costă $12$ lei bucata, cele $1200$ de șuruburi $2$ lei bucata, iar litrul de lac costă $x$ lei. Determinați $x$ știind că factura totală este de $6960$ de lei.

Rezolvare. a) Regula „linie pe coloană":

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+2\cdot 1& 1\cdot 0+2\cdot 3\\ 3\cdot 2+4\cdot 1& 3\cdot 0+4\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 10& 14\end{array}\right).$$

b) Cele două matrice diferă pe poziția $(1,1)$: $4\ne 2$, deci $A\cdot B\ne B\cdot A$.

c) Cantitățile totale sunt $\left(\begin{array}{ccc}240& 1200& 70\end{array}\right)$, iar coloana prețurilor la $F_2$ este $\left(\begin{array}{c}12\\ 2\\ x\end{array}\right)$; factura este produsul lor, adică $240\cdot 12+1200\cdot 2+70x=5280+70x$. Condiția $5280+70x=6960$ dă $70x=1680$, deci $x=24$ lei litrul. Verificare: $5280+1680=6960$ ✓.

Să exersăm

La fiecare exercițiu de modelare, scrie întâi contractul de citire și abia apoi numerele; la fiecare produs, verifică dimensiunile înainte de a calcula.

1. O cofetărie vinde în trei zile: luni $20$ de prăjituri și $15$ înghețate; marți $18$ și $22$; miercuri $25$ și $10$. Scrie matricea vânzărilor cu zilele pe linii, dă tipul ei și spune ce reprezintă elementul de pe linia a treia, coloana întâi.

2. Pentru matricea $C$ din lecție, explică în cuvinte ce reprezintă $c_{21}$ și ce ar reprezenta suma $c_{11}+c_{21}$.

3. Cu $S$ și $I$ din lecție, calculează $S+I$ și spune ce reprezintă rezultatul.

4. Comanda $Q=\left(\begin{array}{cc}30& 20\end{array}\right)$ se triplează. Scrie noua matrice a comenzii.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două matrice care conțin date despre aceeași firmă se pot întotdeauna aduna."

6. Calculează $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ și precizează tipul rezultatului.

7. Fie $X\in {\mathcal{M}}_{2,5}(\mathbb{C})$, $Y\in {\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{C})$, $Z\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$. Care dintre produsele $X\cdot Y$, $Y\cdot Z$, $Z\cdot Y$, $X\cdot Y\cdot Z$, $Z\cdot X$ există și de ce tip sunt?

8. Cu $C$ din lecție și coloana prețurilor la $F_1$, calculează costul materialelor pentru fiecare produs la acest furnizor.

9. Pentru rețeaua $F$ din lecție, determină numărul de trasee de la $B$ la $C$ cu exact o escală și scrie care sunt ele.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $C\cdot P$ are sens, atunci și $P\cdot C$ are sens și conține aceeași informație."

11. (Problemă aplicată.) O cantină are două meniuri: primul cu $2$ porții de orez, $1$ de carne și $1$ de ulei; al doilea cu $3$ porții de orez și $2$ de carne. O porție de orez are $130$ kcal și $3$ g proteine, una de carne $200$ kcal și $20$ g, una de ulei $90$ kcal și $0$ g. Calculează, printr-un produs, caloriile și proteinele fiecărui meniu.

12. Scrie ${}^{t}C$ pentru $C$ din lecție și precizează contractul de citire al transpusei.

13. Folosind o matrice coloană potrivită, calculează totalul bucăților din fiecare magazin pentru $S$ din lecție.

14. Folosind o matrice linie potrivită, calculează totalul pe fiecare produs pentru $S$ din lecție.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$. b) Calculați $B\cdot A$. c) Determinați matricea $A\cdot B-B\cdot A$.

16. Verifică pe datele din lecție că $(Q\cdot C)\cdot P=Q\cdot (C\cdot P)$ și explică ce înseamnă fiecare dintre cele două drumuri de calcul.

17. (Problemă aplicată.) Două rețete de amestec: prima cere $3$ kg din materia $M_1$ și $2$ kg din $M_2$; a doua, $1$ kg din $M_1$ și $4$ kg din $M_2$. Prețurile sunt $6$ lei/kg și $5$ lei/kg. Calculează, printr-un produs matriceal, costul fiecărei rețete.

18. (Provocare.) Elementele de pe diagonala lui $F\cdot F$ sunt $4$, $5$ și $5$. Explică ce numără fiecare și de ce nu sunt egale, deși toate trei descriu „întoarcerea în orașul de plecare".

Răspunsuri și explicații

1. Cu liniile $=$ zilele și coloanele $=$ produsele, matricea este $\left(\begin{array}{cc}20& 15\\ 18& 22\\ 25& 10\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$, iar elementul de pe linia a treia, coloana întâi este $25$: prăjiturile vândute miercuri.

2. $c_{21}=6$ înseamnă „o masă consumă $6$ scânduri", iar suma $c_{11}+c_{21}=10$ înseamnă câte scânduri se consumă la o bancă și o masă luate împreună — are sens tocmai pentru că ambele elemente sunt din aceeași coloană.

3. $S+I=\left(\begin{array}{ccc}60& 35& 60\\ 45& 55& 45\end{array}\right)$: marfa totală disponibilă în lună, înainte de vânzări.

4. $3Q=\left(\begin{array}{cc}90& 60\end{array}\right)$, adică $90$ de bănci și $60$ de mese.

5. Fals. Adunarea cere același tip și același contract de citire. Un tablou „magazine × produse" de tip $2\times 3$ și unul „luni × produse" de tip $12\times 3$ se referă la aceeași firmă, dar nu se pot aduna.

6. Tipurile sunt $2\times 3$ și $3\times 1$, deci produsul există și este de tip $2\times 1$: $\left(\begin{array}{c}2\cdot 5+1\cdot 2+3\cdot 1\\ 0\cdot 5+4\cdot 2+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}15\\ 9\end{array}\right)$.

7. $X\cdot Y$: tip $2\times 3$. $Y\cdot Z$: tip $5\times 2$. $Z\cdot Y$ nu există ($2\ne 5$). $X\cdot Y\cdot Z$: tip $2\times 2$. $Z\cdot X$: tip $3\times 5$.

8. $C\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ 1\\ 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}110\\ 180\end{array}\right)$: banca $110$ lei, masa $180$ — prima coloană a lui $C\cdot P$, obținută separat.

9. Elementul de pe linia $2$, coloana $3$ al lui $F\cdot F$ este $1\cdot 1+0\cdot 3+3\cdot 0=1$, iar singurul traseu cu o escală este $B\to A\to C$.

10. Fals. $P\cdot C$ ar cere ca furnizorii să însemne același lucru cu produsele. Cele două nu au nici măcar același tip: $C\cdot P$ este $2\times 2$, iar $P\cdot C$ ar fi $3\times 3$ („materiale × materiale"), tablou fără sens aici.

11. Cu $M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 3& 2& 0\end{array}\right)$ (meniuri × ingrediente) și $N=\left(\begin{array}{cc}130& 3\\ 200& 20\\ 90& 0\end{array}\right)$ (ingrediente × valori), produsul $M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}550& 26\\ 790& 49\end{array}\right)$ arată că primul meniu are $550$ kcal și $26$ g proteine, iar al doilea $790$ kcal și $49$ g.

12. ${}^{t}C=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 20& 30\\ 1& 2\end{array}\right)$; liniile sunt acum materialele, iar coloanele produsele.

13. $S\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}125\\ 95\end{array}\right)$: primul magazin are $125$ de bucăți, al doilea $95$.

14. $\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\cdot S=\left(\begin{array}{ccc}70& 75& 75\end{array}\right)$, totalurile pe cele trei produse. Control: $70+75+75=220=125+95$ ✓.

15. a) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right)$. b) $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 10& 14\end{array}\right)$. c) $A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& -2\end{array}\right)$, matrice nenulă — încă o dovadă că produsul nu comută.

16. $Q\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}240& 1200& 70\end{array}\right)$, iar înmulțit cu $P$ dă $\left(\begin{array}{cc}6900& 7030\end{array}\right)$; pe celălalt drum, $Q\cdot (C\cdot P)$ dă același rezultat. Primul socotește întâi cantitățile totale de materiale și abia apoi le pune preț; al doilea calculează întâi costul unitar al fiecărui produs și îl înmulțește cu numărul de bucăți.

17. Cu $R=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$ (linii = rețete, coloane = materii) și coloana prețurilor $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$, produsul dă $\left(\begin{array}{c}28\\ 26\end{array}\right)$: prima rețetă costă $28$ de lei, a doua $26$.

18. Elementul de pe poziția $(i,i)$ numără traseele care pleacă din orașul $i$, fac o escală și se întorc în $i$: pentru $A$, $2\cdot 1$ prin $B$ plus $1\cdot 2$ prin $C$, adică $4$; pentru $B$, $1\cdot 2+3\cdot 1=5$; pentru $C$, $2\cdot 1+1\cdot 3=5$. Nu sunt egale pentru că numărul de curse diferă între sensuri: rețeaua nu e simetrică.

De reținut

• Contractul de citire se scrie primul. O matrice fără precizarea „liniile sunt…, coloanele sunt…" e un tablou de cifre fără înțeles, iar toate greșelile de modelare pornesc de aici.
• Adunarea și scăderea modelează cumulul pe aceleași căsuțe și cer matrice de același tip; înmulțirea cu un scalar modelează o schimbare uniformă, care atinge toate elementele.
• Regula indicelui comun: $X\cdot Y$ are sens când coloanele lui $X$ înseamnă același lucru ca liniile lui $Y$; acea mărime dispare din rezultat, care e de tipul „linii de la $X$ × coloane de la $Y$".
• Necomutativitatea are un chip concret: „produse × furnizori" și „furnizori × produse" sunt tabele diferite, deci $X\cdot Y$ și $Y\cdot X$ nu pot fi același lucru.
• Matricele linie și coloană poartă cantități, prețuri sau totaluri; înmulțirea cu o coloană de $1$ dă totalurile pe linii, iar cu o linie de $1$ totalurile pe coloane.

Greșeli frecvente

• Schimbarea contractului pe parcurs. Începi cu „produsele pe linii", iar la a doua matrice le pui pe coloane; calculul iese, dar răspunsul e fără sens. Corectare: scrie etichetele lângă matrice și verifică-le înainte de fiecare produs.
• Înmulțirea în ordinea greșită. $C\cdot P$ și $P\cdot C$ răspund la întrebări diferite, iar de multe ori una nici nu există. Corectare: pune pe primul loc matricea care are mărimea comună pe coloane.
• Adunarea unor tablouri cu semnificații diferite. Două matrice $2\times 3$ se pot aduna algebric chiar dacă una înseamnă „bucăți" și cealaltă „lei". Corectare: verifică nu doar tipul, ci și unitatea de măsură.
• Folosirea unui scalar când factorul nu e același peste tot. O scumpire de $25\%$ la toate articolele înseamnă $\frac{5}{4}L$; una diferită pe categorii nu se scrie cu un scalar.
• Săritul peste controlul dimensiunilor. Se calculează zece minute și abia la final se observă că produsul nu avea sens. Corectare: scrie tipurile înainte de primul număr.

Aplică acasă

1. Bugetul lunii tale. Fă un tablou cu liniile „săptămâna 1–4" și coloanele „transport, mâncare, altele". Calculează totalurile pe săptămâni (cu o coloană de $1$) și pe categorii (cu o linie de $1$); cele două sume finale trebuie să iasă egale.

2. Rețeta preferată, în două matrice. Alege două prăjituri pe care le faci acasă. Scrie matricea „prăjituri × ingrediente" (în grame) și matricea „ingrediente × preț pe gram" de pe bon. Produsul îți spune cât te costă efectiv fiecare prăjitură.

3. Harta traseelor tale. Ia trei locuri în care mergi des și scrie matricea numărului de linii de transport directe între ele. Înmulțește matricea cu ea însăși și verifică pe hartă dacă numerele obținute chiar corespund traseelor cu o schimbare.

Pentru părinți și profesori

Lecția este „traducerea" capitolului de matrice: elevul a învățat regulile de calcul în lecțiile anterioare, iar aici află de unde vin și la ce servesc. Ea acoperă activitățile din programă legate de organizarea și prelucrarea datelor sub formă matriceală și pregătește capitolul de sisteme de ecuații liniare, unde modelarea unei situații practice devine cerință de examen.

De verificat în caiet: (1) elevul scrie contractul de citire înainte de matrice; (2) verifică dimensiunile înainte de a înmulți; (3) explică în cuvinte ce reprezintă un element al produsului, nu doar îl calculează; (4) recunoaște când o operație nu are sens în context, chiar dacă e posibilă algebric. Întrebări de control: „Ce sunt liniile matricei tale?"; „Ce mărime dispare la înmulțire?"; „De ce nu se poate calcula $Y\cdot X$?".

La BAC M1, subiectele nu cer modelare economică explicită, dar cer calcul corect de produse și interpretarea rezultatului, iar elevii care au înțeles ce numără un produs greșesc mai rar ordinea factorilor.

Întrebări frecvente

Cum organizez datele unei probleme într-o matrice? Alegi ce mărime pui pe linii și ce pui pe coloane, apoi scrii alegerea în cuvinte — acesta e contractul de citire. Orice element $a_{ij}$ trebuie să se poată traduce imediat într-o propoziție despre problemă; varianta transpusă e la fel de corectă, dacă e respectată peste tot.

Ce înseamnă produsul a două matrice într-o problemă practică? Combinarea a două tabele care au o mărime comună. Coloanele primului și liniile celui de-al doilea trebuie să descrie același lucru; produsul însumează peste acea mărime și o face să dispară, lăsând un tabel nou, cu liniile primului și coloanele celui de-al doilea.

De ce produsul matricelor nu este comutativ, în termeni de model? Pentru că schimbarea ordinii schimbă întrebarea. Dacă un tabel e „produse × materiale" și altul „materiale × furnizori", produsul în ordinea firească dă „produse × furnizori"; invers, de multe ori nici nu se poate calcula, iar când dimensiunile permit, rezultatul descrie altceva.

Când folosesc adunarea și când folosesc înmulțirea? Aduni când cumulezi valori din aceeași căsuță — stoc plus intrări, vânzări din două luni. Înmulțești matricele când combini două mărimi diferite printr-o mărime comună — cantități cu prețuri, consumuri cu costuri, curse cu curse.

Cum verific rapid dacă un produs de matrice are sens? Scrii tipurile: ${\mathcal{M}}_{m,n}$ înmulțit cu ${\mathcal{M}}_{n,p}$ dă ${\mathcal{M}}_{m,p}$. Dacă numărul de coloane al primei matrice nu e egal cu numărul de linii al celei de-a doua, produsul nu există.

Ce reprezintă produsul unei matrice de rețea cu ea însăși? Numărul de trasee cu exact o escală între fiecare pereche de puncte. Elementul de pe linia $i$, coloana $j$ se obține adunând, peste toate escalele posibile, produsul dintre numărul de legături $i\to k$ și numărul de legături $k\to j$.

Apar problemele de acest tip la Bacalaureat M1? Contextul practic apare rar în enunț, dar calculul e același: produse de matrice, verificarea unei egalități, aflarea unui element necunoscut dintr-o condiție. Înțelegerea modelului reduce mult greșelile de ordine a factorilor și de dimensiuni.