Valoarea unui polinom. Funcția polinomială

Într-un fișier de calculator, un polinom se salvează ca o simplă listă de numere: [-7, 1, -5, 2]. Atât. Nicio literă, niciun $X$, niciun grafic. Când programul trebuie să deseneze curba, el face un al doilea lucru, complet separat: ia lista, primește un număr $x$ și calculează $2x^3-5x^2+x-7$. Prima operație este stocarea polinomului; a doua este evaluarea lui.

Exact această despărțire stă la baza lecției de față. Polinomul $f=2X^3-5X^2+X-7$ este un obiect formal — o listă de coeficienți. Funcția polinomială asociată lui este o mașinărie care primește un număr complex și întoarce altul. Sunt două lucruri diferite, chiar dacă în practică le vom identifica, cu bună știință și cu o justificare precisă. Iar din legătura dintre ele se nasc două instrumente pe care le vei folosi tot restul capitolului: metoda de verificare a oricărui calcul cu polinoame și noțiunea de rădăcină.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi valoarea unui polinom într-un punct real sau complex.
• Vei ști să definești funcția polinomială asociată unui polinom și să explici de ce ea nu este același lucru cu polinomul.
• Vei ști să folosești valorile speciale: $f(0)$ este termenul liber, $f(1)$ este suma coeficienților, iar $f(1)$ și $f(-1)$ împreună dau sumele coeficienților de rang par și de rang impar.
• Vei ști să demonstrezi că evaluarea respectă operațiile: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ și $(fg)(x)=f(x)g(x)$.
• Vei ști de ce, peste $\mathbb{C}$, două polinoame diferite nu pot da aceeași funcție — și de ce pe o mulțime finită acest lucru nu mai e adevărat.
• Vei ști să verifici dacă un număr este rădăcină a unui polinom și să modelezi situații practice cu funcții polinomiale.

Hai să descoperim împreună

1. Valoarea unui polinom într-un punct

Definiție. Fie $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0\in \mathbb{C}[X]$ și fie $\alpha \in \mathbb{C}$. Se numește valoarea polinomului $f$ în $\alpha$ numărul complex

$$f(\alpha )=a_n{\alpha }^n+a_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +a_1\alpha +a_0,$$

obținut înlocuind nedeterminata $X$ cu numărul $\alpha$ și efectuând calculele în $\mathbb{C}$.

Acesta este pasul care leagă lumea formală de lumea numerelor. Până acum, $X$ era un simbol fără conținut numeric; de aici înainte avem o operație bine definită prin care îi punem un număr în loc.

Pentru $f=2X^3-5X^2+X-7$:

$$f(2)=2\cdot 8-5\cdot 4+2-7=16-20+2-7=-9.$$

Iar în puncte complexe procedăm identic, folosind puterile lui $i$:

$$f(i)=2i^3-5i^2+i-7=-2i+5+i-7=-2-i.$$

Observă că, deși polinomul are coeficienți reali, valoarea lui într-un punct complex este, de regulă, un număr complex.

2. Funcția polinomială asociată

Dacă alegem, pe rând, toate numerele complexe și calculăm valoarea polinomului în fiecare, obținem o funcție.

Definiție. Fie $f\in \mathbb{C}[X]$. Se numește funcție polinomială asociată lui $f$ funcția

$$\tilde{f}:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\tilde{f}(x)=f(x).$$

Când polinomul are coeficienți reali, ne interesează adesea și restricția ei la mulțimea numerelor reale, $\tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ — cea care are grafic în plan și pe care ai studiat-o deja pentru gradul întâi și al doilea, la funcția de gradul al doilea.

Notația cu tildă, $\tilde{f}$, se folosește atunci când vrem să subliniem că vorbim despre funcție, nu despre polinom. În practică — la clasă, în manuale și la Bacalaureatul M1 — se scrie aproape întotdeauna simplu $f(x)$, iar contextul lămurește despre ce e vorba; și noi vom face la fel în lecțiile următoare. Tilda o folosim aici, o singură dată, cât timp construim distincția.

3. Valori speciale: $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$

Trei puncte de evaluare merită reținute, pentru că dau informații directe despre coeficienți.

Valoarea în $0$ este termenul liber:

$$f(0)=a_n\cdot 0+\cdots +a_1\cdot 0+a_0=a_0.$$

Valoarea în $1$ este suma coeficienților:

$$f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0,$$

pentru că orice putere a lui $1$ este $1$. Acest fapt simplu rezolvă instantaneu exerciții care altfel ar cere dezvoltări întregi: suma coeficienților lui $(2X-3{)}^5$ este $(2\cdot 1-3{)}^5=(-1{)}^5=-1$, fără să dezvolți nimic.

Valoarea în $-1$ este suma alternată:

$$f(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots$$

Combinând ultimele două obținem un rezultat foarte util. Notând cu $S_p$ suma coeficienților de rang par și cu $S_i$ suma celor de rang impar, avem $f(1)=S_p+S_i$ și $f(-1)=S_p-S_i$, de unde

$$S_p=\frac{f(1)+f(-1)}{2},S_i=\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$$

Verificare pe $f=2X^3-5X^2+X-7$: avem $f(1)=2-5+1-7=-9$ și $f(-1)=-2-5-1-7=-15$. Formulele dau $S_p=\frac{-9-15}{2}=-12$ și $S_i=\frac{-9+15}{2}=3$. Direct din coeficienți: $S_p=a_0+a_2=-7+(-5)=-12$ ✓ și $S_i=a_1+a_3=1+2=3$ ✓.

4. Evaluarea respectă operațiile

Iată teorema care justifică metoda de verificare folosită la adunare și la înmulțire.

Teoremă. Pentru orice $f,g\in \mathbb{C}[X]$ și orice $\alpha \in \mathbb{C}$:

$$(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha ),(f\cdot g)(\alpha )=f(\alpha )\cdot g(\alpha ).$$

Demonstrație. Pentru sumă: coeficientul de rang $k$ al lui $f+g$ este $a_k+b_k$, deci

$$(f+g)(\alpha )=\sum _k(a_k+b_k){\alpha }^k=\sum _k{a}_k{\alpha }^k+\sum _k{b}_k{\alpha }^k=f(\alpha )+g(\alpha ),$$

unde am folosit distributivitatea și comutativitatea adunării în $\mathbb{C}$.

Pentru produs: coeficientul de rang $k$ al lui $fg$ este $c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j$, deci

$$(fg)(\alpha )=\sum _k\left(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j\right){\alpha }^k=\sum _{i,j}{a}_i{b}_j{\alpha }^{i+j}=\left(\sum _i{a}_i{\alpha }^i\right)\left(\sum _j{b}_j{\alpha }^j\right)=f(\alpha )g(\alpha ).$$

Pasul-cheie este regruparea: fiecare pereche $(i,j)$ apare exact o dată în ambele scrieri, iar ${\alpha }^{i+j}={\alpha }^i{\alpha }^j$. $■$

Consecința practică, pe care o vei folosi la fiecare exercițiu: dacă ai calculat $f+g$ sau $f\cdot g$ și vrei să verifici, alege un număr comod (de obicei $1$, $-1$ sau $2$), calculează valorile celor două polinoame și valoarea rezultatului și compară. O nepotrivire înseamnă sigur o greșeală de calcul.

Atenție însă la ce nu garantează metoda: potrivirea în două-trei puncte nu demonstrează egalitatea. Vom vedea imediat de ce.

5. Polinom și funcție polinomială — de ce sunt lucruri diferite

Iată întrebarea de fond a lecției: dacă două polinoame dau aceeași funcție, sunt ele egale?

Începem cu o observație care taie entuziasmul. Polinoamele $u=X^2$ și $v=3X-2$ sunt evident diferite (au grade diferite), dar

$$u(1)=1=v(1),u(2)=4=v(2).$$

Coincid în două puncte! În al treilea nu: $u(3)=9$, iar $v(3)=7$. Concluzia: coincidența într-un număr finit de puncte nu înseamnă egalitate de polinoame. De aceea metoda de verificare din secțiunea 4 este un detector de erori, nu o demonstrație.

Mai mult, dacă privim funcțiile doar pe o mulțime finită, ele pot coincide complet. Polinoamele $X^3$ și $X$ sunt diferite, dar pe mulțimea $\{-1,0,1\}$ definesc exact aceeași funcție: $(-1{)}^3=-1$, $0^3=0$, $1^3=1$. Aici se vede limpede că polinomul poartă mai multă informație decât funcția, atunci când funcția e privită pe o mulțime mică.

Vestea bună este că peste $\mathbb{C}$, care este o mulțime infinită, problema dispare:

Teoremă (identificarea polinomului cu funcția sa). Fie $f,g\in \mathbb{C}[X]$. Dacă $f(\alpha )=g(\alpha )$ pentru orice $\alpha \in \mathbb{C}$ (de fapt e suficient pentru o infinitate de valori), atunci $f=g$ ca polinoame, adică au aceiași coeficienți.

Ideea demonstrației. Fie $h=f-g$. Ipoteza spune că $h(\alpha )=0$ pentru o infinitate de numere $\alpha$. Dacă $h$ ar fi nenul, el ar avea un grad $n$, iar un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini — un rezultat care se demonstrează în lecțiile despre rădăcinile unui polinom și teorema lui Bézout, pe baza descompunerii în factori. Am avea deci o infinitate de rădăcini pentru un polinom cu cel mult $n$ — contradicție. Rămâne $h=0$, adică $f=g$. $■$

Din această teoremă rezultă că, peste $\mathbb{C}$, corespondența dintre polinoame și funcții polinomiale este bijectivă: fiecărui polinom îi corespunde o funcție și numai una, iar polinoame diferite dau funcții diferite. Tocmai de aceea avem dreptul să le identificăm în practică și să scriem $f(x)$ atât pentru valoare, cât și pentru funcție.

Reține totuși distincția: egalitatea a două polinoame se verifică pe coeficienți, cum ai învățat la egalitatea a două polinoame, iar egalitatea a două funcții se verifică pe valori. Faptul că cele două criterii dau același răspuns peste $\mathbb{C}$ este o teoremă, nu o definiție.

6. Rădăcina unui polinom și modelarea

Evaluarea dă imediat una dintre noțiunile centrale ale capitolului: numărul $\alpha \in \mathbb{C}$ se numește rădăcină a polinomului $f$ dacă $f(\alpha )=0$. Verificarea este un simplu calcul. De exemplu, pentru $f=X^2+1$:

$$f(i)=i^2+1=-1+1=0,f(-i)=(-i{)}^2+1=-1+1=0,$$

deci $i$ și $-i$ sunt rădăcini. Studiul lor sistematic începe în lecția următoare.

În modelare, funcția polinomială este forma cea mai simplă de dependență neliniară. Dacă un obiect este aruncat în sus cu viteza de $20$ metri pe secundă de la înălțimea de $1$ metru, înălțimea lui după $x$ secunde este aproximativ

$$h(x)=-5x^2+20x+1.$$

Valorile se citesc direct: $h(0)=1$ (înălțimea de pornire, adică termenul liber), $h(1)=16$, $h(2)=21$ (punctul cel mai înalt), $h(4)=1$ (a revenit la înălțimea de pornire) — coeficienți cu sens fizic și valori măsurabile cu un cronometru.

7. Cât costă o evaluare

Calculul direct al lui $f(\alpha )$ cere toate puterile ${\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^n$. Există însă o rescriere mai economică:

$$f(\alpha )=(\dots ((a_n\alpha +a_{n-1})\alpha +a_{n-2})\alpha +\dots )\alpha +a_0.$$

Pentru $f=2X^3-5X^2+X-7$ și $\alpha =2$: $2\cdot 2-5=-1$; $-1\cdot 2+1=-1$; $-1\cdot 2-7=-9$ — același rezultat, din trei înmulțiri. Procedeul se numește schema lui Horner și îl vei studia pe larg în lecția Schema lui Horner.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori într-un punct real și într-unul complex

Pentru $f=2X^3-5X^2+X-7$, calculați $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$, $f(2)$ și $f(i)$.

Rezolvare. $f(0)=-7$ (termenul liber). $f(1)=2-5+1-7=-9$ (suma coeficienților). $f(-1)=-2-5-1-7=-15$. $f(2)=16-20+2-7=-9$.

Pentru punctul complex, folosim $i^2=-1$ și $i^3=-i$:

$$f(i)=2(-i)-5(-1)+i-7=-2i+5+i-7=-2-i.$$

Observă că $f(1)=f(2)=-9$: două puncte diferite pot da aceeași valoare, exact ca la orice funcție care nu este injectivă. $■$

Exemplul 2 — Suma coeficienților, fără dezvoltare

Pentru $f=(2X-3{)}^5$, calculați suma tuturor coeficienților, suma coeficienților de rang par și suma celor de rang impar.

Rezolvare. Suma tuturor coeficienților este $f(1)=(2-3{)}^5=(-1{)}^5=-1$.

Pentru celelalte două ne trebuie și $f(-1)=(-2-3{)}^5=(-5{)}^5=-3125$. Atunci

$$S_p=\frac{f(1)+f(-1)}{2}=\frac{-1-3125}{2}=-1563,S_i=\frac{f(1)-f(-1)}{2}=\frac{-1+3125}{2}=1562.$$

Control: $S_p+S_i=-1563+1562=-1=f(1)$ ✓. Toate acestea fără să dezvoltăm binomul. $■$

Exemplul 3 — Verificarea unui produs prin evaluare

Verificați, prin evaluare în trei puncte, egalitatea $(X^2+1)(X^2-2X+2)=X^4-2X^3+3X^2-2X+2$.

Rezolvare. Notăm $f=X^2+1$, $g=X^2-2X+2$ și $p=X^4-2X^3+3X^2-2X+2$.

• În $x=1$: $f(1)=2$, $g(1)=1$, produsul $2$; iar $p(1)=1-2+3-2+2=2$ ✓.
• În $x=-1$: $f(-1)=2$, $g(-1)=5$, produsul $10$; iar $p(-1)=1+2+3+2+2=10$ ✓.
• În $x=i$: $f(i)=0$, deci produsul valorilor este $0$; iar $p(i)=1+2i-3-2i+2=0$ ✓.

Trei potriviri, dintre care una într-un punct complex. Nu este o demonstrație, dar este un indiciu foarte puternic; demonstrația riguroasă se face prin identificarea coeficienților. $■$

Exemplul 4 — Două polinoame care coincid în câteva puncte

Arătați că polinoamele $u=X^2$ și $v=3X-2$ iau aceleași valori în $x=1$ și $x=2$, dar nu sunt egale.

Rezolvare. $u(1)=1$ și $v(1)=3-2=1$ ✓; $u(2)=4$ și $v(2)=6-2=4$ ✓.

Nu sunt egale: au grade diferite ($2$ față de $1$), deci coeficienții nu coincid. Confirmarea numerică: $u(3)=9$, dar $v(3)=9-2=7$.

Morala: verificarea în câteva puncte nu poate înlocui compararea coeficienților. Ea prinde greșelile, dar nu certifică o egalitate. $■$

Exemplul 5 — Polinom și funcție pe o mulțime finită

Arătați că polinoamele $f=X^3$ și $g=X$ definesc funcții diferite pe $\mathbb{C}$, dar aceeași funcție pe mulțimea $A=\{-1,0,1\}$.

Rezolvare. Pe $A$: $f(-1)=-1=g(-1)$; $f(0)=0=g(0)$; $f(1)=1=g(1)$. Cele două funcții definite pe $A$ coincid în toate cele trei puncte, deci sunt egale ca funcții pe $A$.

Pe $\mathbb{C}$ însă: $f(2)=8$, iar $g(2)=2$, deci funcțiile sunt diferite.

Concluzia: un polinom nu este determinat de valorile lui pe o mulțime finită. Peste $\mathbb{C}$, care este infinită, determinarea funcționează — de aceea putem identifica, fără pericol, polinomul cu funcția polinomială asociată. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2+aX+3$, cu $a\in \mathbb{R}$. a) Determinați $a$ știind că $f(1)=5$. b) Pentru valoarea găsită, calculați $f(i)$.

Rezolvare. a) Calculăm valoarea în $1$, adică suma coeficienților:

$$f(1)=1-2+a+3=a+2.$$

Condiția $f(1)=5$ dă $a+2=5$, deci $a=3$.

b) Pentru $a=3$ avem $f=X^3-2X^2+3X+3$. Folosim $i^2=-1$ și $i^3=-i$:

$$f(i)=-i-2(-1)+3i+3=-i+2+3i+3=5+2i.$$

Verificare a primului punct: $f(1)=1-2+3+3=5$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La calculul valorilor în puncte complexe, scrie de fiecare dată explicit puterile lui $i$ pe care le folosești — acolo se pierd cele mai multe puncte.

1. Pentru $f=X^3-4X+1$, calculează $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ și $f(-1)$.

2. Pentru $f=2X^2-3X+5$, calculează $f(i)$, $f(-i)$ și $f(1+i)$.

3. Calculează suma coeficienților polinomului $f=3X^4-2X^3+X-6$.

4. Calculează suma coeficienților polinomului $(3X-2{)}^7$, fără a-l dezvolta.

5. Pentru $f=X^4-3X^3+2X^2+X-5$, calculează suma coeficienților de rang par și suma celor de rang impar, în două moduri: direct din coeficienți și cu formulele care folosesc $f(1)$ și $f(-1)$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(3)=g(3)$, atunci $f=g$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f=g$ ca polinoame, atunci $f(\alpha )=g(\alpha )$ pentru orice $\alpha \in \mathbb{C}$."

8. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât polinomul $f=X^3+mX-4$ să aibă $f(2)=0$.

9. Arată că $i$ și $-i$ sunt rădăcini ale polinomului $f=X^2+1$.

10. Determină termenul liber al polinomului $(X^2-3X+2)(X^3+X-4)$, fără a efectua produsul.

11. Verifică prin evaluare în $x=1$, $x=-1$ și $x=i$ egalitatea $(X^2+1)(X^2-2X+2)=X^4-2X^3+3X^2-2X+2$.

12. (Problemă aplicată.) Înălțimea unei mingi aruncate în sus, la $x$ secunde de la aruncare, este $h(x)=-5x^2+20x+1$ metri. Calculează $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$ și $h(4)$ și interpretează fiecare rezultat.

13. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $f=X^2+aX+b$ să aibă $f(1)=0$ și $f(-2)=9$.

14. Fie $f=X^3+2X$ și $g=X^2-1$. Calculează $(f+g)(2)$ și $(fg)(2)$ folosind proprietățile evaluării, fără a calcula polinoamele $f+g$ și $fg$.

15. Găsește două polinoame diferite, de grad cel mult $2$, care iau aceleași valori în $x=0$ și $x=1$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^3+a{X}^2+bX-1$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determină $a$ și $b$ știind că $f(1)=3$ și $f(-1)=-3$. b) Pentru valorile găsite, calculează $f(i)$.

17. Arată că pentru $f=X^4+X^2+1$ are loc $f(\alpha )=f(-\alpha )$, oricare ar fi $\alpha \in \mathbb{C}$. Explică rezultatul privind rangurile coeficienților nenuli.

18. (Provocare.) Arată că polinoamele $f=X^3$ și $g=X$ definesc funcții diferite pe $\mathbb{C}$, dar aceeași funcție pe mulțimea $\{-1,0,1\}$. Ce concluzie tragi despre legătura dintre un polinom și funcția polinomială asociată?

Răspunsuri și explicații

1. $f(0)=1$; $f(1)=1-4+1=-2$; $f(2)=8-8+1=1$; $f(-1)=-1+4+1=4$.

2. $f(i)=2i^2-3i+5=-2-3i+5=3-3i$. $f(-i)=2(-i{)}^2+3i+5=-2+3i+5=3+3i$. Pentru ultimul, $(1+i{)}^2=2i$, deci $f(1+i)=2\cdot 2i-3(1+i)+5=4i-3-3i+5=2+i$.

3. Suma coeficienților este $f(1)=3-2+0+1-6=-4$.

4. Suma coeficienților este valoarea în $1$: $(3\cdot 1-2{)}^7=1^7=1$.

5. Direct: rang par — $a_0+a_2+a_4=-5+2+1=-2$; rang impar — $a_1+a_3=1+(-3)=-2$. Cu formulele: $f(1)=1-3+2+1-5=-4$ și $f(-1)=1+3+2-1-5=0$, deci $S_p=\frac{-4+0}{2}=-2$ ✓ și $S_i=\frac{-4-0}{2}=-2$ ✓.

6. Fals. Coincidența într-un punct nu spune nimic despre coeficienți. Contraexemplu: $f=X$ și $g=X^2-6$ au $f(3)=3$ și $g(3)=3$, dar sunt polinoame diferite.

7. Adevărat. Dacă polinoamele au aceiași coeficienți, atunci expresiile obținute prin înlocuirea lui $X$ cu $\alpha$ sunt identice, deci dau același număr, pentru orice $\alpha$. (Reciproca este tot adevărată peste $\mathbb{C}$, dar este o teoremă, nu o evidență.)

8. $f(2)=8+2m-4=2m+4$. Condiția $f(2)=0$ dă $m=-2$. Verificare: pentru $m=-2$, $f=X^3-2X-4$ și $f(2)=8-4-4=0$ ✓ — deci $2$ este rădăcină a polinomului obținut.

9. $f(i)=i^2+1=-1+1=0$ și $f(-i)=(-i{)}^2+1=-1+1=0$. Ambele fiind zero, $i$ și $-i$ sunt rădăcini ale lui $f$.

10. Termenul liber al unui produs este produsul termenilor liberi, adică valoarea produsului în $0$: $2\cdot (-4)=-8$.

11. În $x=1$: $2\cdot 1=2$ și $1-2+3-2+2=2$ ✓. În $x=-1$: $2\cdot 5=10$ și $1+2+3+2+2=10$ ✓. În $x=i$: primul factor este $i^2+1=0$, deci produsul valorilor este $0$; iar membrul drept dă $1+2i-3-2i+2=0$ ✓.

12. $h(0)=1$ — înălțimea de la care a fost aruncată mingea. $h(1)=-5+20+1=16$ metri, după o secundă. $h(2)=-20+40+1=21$ metri — este punctul cel mai înalt (vârful parabolei). $h(4)=-80+80+1=1$ metru — după patru secunde mingea a revenit exact la înălțimea de pornire.

13. $f(1)=1+a+b=0$ și $f(-2)=4-2a+b=9$. Scăzând prima ecuație din a doua: $3-3a=9$, deci $a=-2$; apoi $b=-1-a=1$. Verificare: $f=X^2-2X+1$, cu $f(1)=0$ ✓ și $f(-2)=4+4+1=9$ ✓.

14. $f(2)=8+4=12$ și $g(2)=4-1=3$. Atunci $(f+g)(2)=12+3=15$ și $(fg)(2)=12\cdot 3=36$, conform teoremei din secțiunea 4 — fără să calculăm niciunul dintre cele două polinoame.

15. De exemplu $f=X^2-X$ și $g=0$ (polinomul nul): $f(0)=0=g(0)$ și $f(1)=1-1=0=g(1)$, dar polinoamele sunt diferite. Altă pereche: $f=X^2$ și $g=X$, care coincid în $0$ și în $1$.

16. a) $f(1)=1+a+b-1=a+b$, deci $a+b=3$. $f(-1)=-1+a-b-1=a-b-2$, deci $a-b-2=-3$, adică $a-b=-1$. Adunând cele două ecuații: $2a=2$, deci $a=1$ și $b=2$. Verificare: $f=X^3+X^2+2X-1$ are $f(1)=3$ ✓ și $f(-1)=-1+1-2-1=-3$ ✓. b) $f(i)=i^3+i^2+2i-1=-i-1+2i-1=-2+i$.

17. $f(-\alpha )=(-\alpha {)}^4+(-\alpha {)}^2+1={\alpha }^4+{\alpha }^2+1=f(\alpha )$: polinomul are coeficienți nenuli doar la ranguri pare, iar $(-\alpha {)}^k={\alpha }^k$ pentru $k$ par. (Un astfel de polinom se numește par; graficul restricției lui la $\mathbb{R}$ este simetric față de axa ordonatelor.)

18. Pe mulțimea $\{-1,0,1\}$: $(-1{)}^3=-1$, $0^3=0$, $1^3=1$ — exact valorile lui $g$, deci funcțiile coincid pe această mulțime. Pe $\mathbb{C}$ însă $f(2)=8\ne 2=g(2)$, deci funcțiile sunt diferite.

Concluzia: un polinom nu este determinat de valorile lui pe o mulțime finită. Peste $\mathbb{C}$, mulțime infinită, situația se schimbă — polinoame diferite dau funcții diferite —, deci identificarea polinomului cu funcția lui devine legitimă.

De reținut

• Valoarea polinomului $f$ în $\alpha$ este numărul $f(\alpha )$ obținut înlocuind $X$ cu $\alpha$; funcția polinomială asociată este $\tilde{f}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $\tilde{f}(x)=f(x)$.
• Valori speciale: $f(0)=a_0$ (termenul liber), $f(1)=$ suma coeficienților, $f(-1)=$ suma alternată; de aici $S_p=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$ și $S_i=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$.
• Evaluarea respectă operațiile: $(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha )$ și $(fg)(\alpha )=f(\alpha )g(\alpha )$ — de aici metoda de control a oricărui calcul cu polinoame.
• Coincidența în câteva puncte nu înseamnă egalitate; pe o mulțime finită, polinoame diferite pot da aceeași funcție ($X^3$ și $X$ pe $\{-1,0,1\}$).
• Peste $\mathbb{C}$, polinoame diferite dau funcții diferite — de aceea avem dreptul să identificăm polinomul cu funcția lui și să scriem simplu $f(x)$. Numărul $\alpha$ cu $f(\alpha )=0$ se numește rădăcină.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre polinom și funcție. Polinomul se compară pe coeficienți, funcția pe valori. „Am verificat în trei puncte, deci polinoamele sunt egale" este un raționament greșit.
• Puterile lui $i$ calculate din memorie greșit. $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ — scrie-le explicit la fiecare evaluare într-un punct complex; aici se pierd cele mai multe puncte la examen.
• Suma coeficienților calculată prin dezvoltare. Pentru $(2X-3{)}^5$ nu dezvolta nimic: suma coeficienților este $f(1)$, adică un singur calcul.
• Uitarea termenului liber la $f(1)$. Suma coeficienților îi include pe toți, inclusiv $a_0$ și coeficienții nuli ai monoamelor lipsă (importanți la $S_p$ și $S_i$).
• Semnul la $f(-1)$. La puteri pare semnul nu se schimbă, la puteri impare se schimbă; scrie pe rând fiecare termen, nu „ghici" alternanța.

Aplică acasă

1. Tabelul de valori și graficul. Alege polinomul $f=X^3-3X$ și calculează valorile lui pentru $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Reprezintă punctele obținute pe hârtie milimetrică și unește-le cu o curbă lină. Observă în câte puncte curba taie axa orizontală — acelea sunt rădăcinile reale.

2. Cronometrul și parabola. Aruncă o minge vertical în sus și cronometrează timpul până revine în mână. Cu modelul $h(x)=-5x^2+v_{0}x$, mingea revine la $h=0$ după $\frac{v_0}{5}$ secunde; află ce viteză inițială $v_0$ explică timpul măsurat.

3. Suma coeficienților fără dezvoltare. Scrie cinci puteri de binom $(aX+b{)}^n$, cu $n$ între $4$ și $8$, și calculează pentru fiecare suma coeficienților și suma celor de rang par, folosind doar $f(1)$ și $f(-1)$. Verifică una prin dezvoltare completă.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la algebra formală a coeficienților la lumea valorilor și conține distincția conceptuală cea mai fină din capitol: polinomul (definit prin coeficienți) față de funcția polinomială (definită prin valori).

Verifică trei lucruri: (1) elevul calculează corect valori în puncte complexe, scriind explicit puterile lui $i$; (2) folosește $f(1)$ pentru suma coeficienților, fără să dezvolte; (3) nu confundă „coincid valorile în câteva puncte" cu „polinoamele sunt egale". Întrebări bune de control: „Cât este $f(0)$?" (termenul liber); „Cum afli suma coeficienților lui $(3X-1{)}^{10}$?" ($f(1)=2^{10}$); „Dacă $f(1)=g(1)$ și $f(2)=g(2)$, sunt $f$ și $g$ egale?" (nu).

La Bacalaureat M1, cerințele bazate pe această lecție apar frecvent ca prim subpunct al problemei de polinoame: „calculați $f(1)$", „determinați $a$ știind că $f(-1)=0$", „calculați suma coeficienților". Sunt puncte care se obțin rapid și complet, cu condiția ca elevul să nu se apuce de dezvoltări inutile.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă valoarea unui polinom într-un punct? Este numărul obținut prin înlocuirea nedeterminatei $X$ cu un număr $\alpha$ și efectuarea calculelor: $f(\alpha )=a_n{\alpha }^n+\cdots +a_1\alpha +a_0$. Punctul $\alpha$ poate fi orice număr complex, nu doar real.

Ce este funcția polinomială asociată unui polinom? Este funcția $\tilde{f}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $\tilde{f}(x)=f(x)$, care fiecărui număr îi asociază valoarea polinomului în acel număr. Polinomul este o listă de coeficienți; funcția este regula de calcul pe care lista o generează.

Care este diferența dintre polinom și funcție polinomială? Polinomul este un obiect formal, definit prin coeficienți; funcția este definită prin valori. Egalitatea a două polinoame se verifică pe coeficienți, egalitatea a două funcții pe valori. Peste $\mathbb{C}$ cele două criterii dau același răspuns, deci le putem identifica — dar acesta este un rezultat demonstrat, nu o definiție.

Cum aflu rapid suma coeficienților unui polinom? Calculează $f(1)$: pentru că orice putere a lui $1$ este $1$, valoarea în $1$ este chiar suma tuturor coeficienților. Pentru puteri de binom, cum ar fi $(2X-3{)}^5$, aceasta înseamnă un singur calcul, în locul dezvoltării complete.

Cum aflu suma coeficienților de rang par? Cu formula $S_p=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$; pentru rangurile impare, $S_i=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$. Ele se deduc adunând, respectiv scăzând, relațiile $f(1)=S_p+S_i$ și $f(-1)=S_p-S_i$.

De ce nu pot demonstra că două polinoame sunt egale verificând câteva valori? Pentru că polinoame diferite pot lua aceleași valori în oricâte puncte fixate dinainte: $X^2$ și $3X-2$ coincid în $1$ și în $2$, iar $X^3$ și $X$ coincid pe toată mulțimea $\{-1,0,1\}$. Verificarea în puncte este un detector de erori; demonstrația se face pe coeficienți.

Atunci de ce se spune că polinomul „este" funcția lui? Pentru că peste $\mathbb{C}$, care este o mulțime infinită, două polinoame diferite dau întotdeauna funcții diferite. Corespondența fiind bijectivă, identificarea nu produce niciun fel de ambiguitate, iar notația $f(x)$ se poate folosi pentru amândouă. Numărul $\alpha$ pentru care $f(\alpha )=0$ se numește rădăcină, iar studiul lor începe în lecția următoare.