Rădăcinile unui polinom

Un inginer proiectează o rampă și ajunge la egalitatea $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ . Un economist calculează pragul de rentabilitate al unei afaceri și obține $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ . Un elev rezolvă un exercițiu de la Bacalaureat M1 și scrie $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ . Trei probleme fără nicio legătură între ele — și aceeași întrebare: pentru ce valori ale lui $x$ se anulează expresia?

Valorile care anulează un polinom se numesc rădăcinile lui, iar aproape tot ce urmează în acest capitol — împărțirea, schema lui Horner, teorema lui Bézout, relațiile lui Viète — se învârte în jurul lor. Rădăcinile sunt „punctele sensibile" ale unui polinom: locurile unde se rupe în factori, unde graficul funcției polinomiale taie axa, unde ecuația asociată își găsește soluțiile.

Ce vei învăța

Vei ști să definești rădăcina unui polinom și să faci diferența dintre polinom, funcție polinomială și ecuație algebrică.
Vei ști să verifici prin calcul dacă un număr dat (real sau complex) este rădăcină a unui polinom.
Vei ști trei scurtături de verificare care economisesc timp la examen: $f (0)$ , $f (1)$ și $f (- 1)$ se citesc direct din coeficienți.
Vei ști să folosești legătura dintre rădăcini și descompunerea în factori și să treci dintr-un sens în celălalt.
Vei ști să determini parametri din condiția ca un număr dat să fie rădăcină, rezolvând ecuații sau sisteme.
Vei ști câte rădăcini poate avea, cel mult, un polinom de grad $n$ și de ce polinomul nul face excepție.

Hai să descoperim împreună

1. De la ecuație la rădăcină

Expresia $x^{2} - 5 x + 6$ se anulează pentru $x = 2$ și pentru $x = 3$ : într-adevăr, $4 - 10 + 6 = 0$ și $9 - 15 + 6 = 0$ . Aceleași două numere sunt soluțiile ecuației $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ și abscisele punctelor în care parabola $y = x^{2} - 5 x + 6$ taie axa $O x$ .

Trei formulări, un singur fenomen. Limbajul polinoamelor le separă limpede: polinomul $f = X^{2} - 5 X + 6$ este un obiect formal, o listă de coeficienți; funcția polinomială $\tilde{f} : C \to C$ , $\tilde{f} (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , este o mașinărie care primește un număr și întoarce altul; ecuația $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ este o cerință care se rezolvă. Distincția o găsești detaliată în Valoarea unui polinom. Funcția polinomială; aici o folosim ca pe un instrument.

Numerele $2$ și $3$ se numesc rădăcinile polinomului $f$ . Sunt, în același timp, zerourile funcției polinomiale și soluțiile ecuației asociate — trei nume pentru aceeași realitate.

✏️Ilustrație: parabola y = x² − 5x + 6 desenată într-un sistem de axe, cu punctele de intersecție cu axa Ox marcate și etichetate „x = 2" și „x = 3"; sub grafic, o casetă în care aceleași două numere apar sub trei etichete: „rădăcinile polinomului f", „zerourile funcției", „soluțiile ecuației"

2. Definiția

Definiție. Fie $f \in C [X]$ un polinom și $a \in C$ . Spunem că $a$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă $f (a) = 0$ , adică dacă valoarea polinomului în $a$ este numărul zero.

Trei observații de fixat din capul locului.

Rădăcinile se caută în $C$ . Lucrăm cu polinoame cu coeficienți complecși, deci și rădăcinile se caută printre numerele complexe — exact motivul pentru care capitolul de numere complexe a fost așezat înaintea acestuia: fără $C$ , multe polinoame simple ar rămâne fără nicio rădăcină.

A fi rădăcină este o proprietate a perechii $(f, a)$ , nu a numărului singur: $2$ este rădăcină pentru $X^{2} - 5 X + 6$ , dar nu pentru $X^{2} + 1$ .

Verificarea este întotdeauna un calcul direct. Înlocuiești $X$ cu $a$ , efectuezi și compari cu $0$ . Nu există „aproape rădăcină": ori valoarea iese exact $0$ , ori nu.

3. Verificarea prin calcul

Să luăm $f = X^{3} - 4 X^{2} + X + 6$ și să testăm câteva numere:

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 4 \cdot (- 1)^{2} + (- 1) + 6 = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0,$

$f (2) = 8 - 4 \cdot 4 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0,$

$f (3) = 27 - 4 \cdot 9 + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0.$

Am găsit trei rădăcini: $- 1$ , $2$ și $3$ . Și, într-adevăr, se verifică prin desfacerea parantezelor că $f = (X + 1) (X - 2) (X - 3)$ . Numărul $1$ , în schimb, nu este rădăcină: $f (1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq = 0$ .

Atenție la puterile numerelor negative — aici se pierd cele mai multe puncte. La $(- 1)^{3}$ semnul rămâne minus, la $(- 1)^{2}$ devine plus. Scrie parantezele înainte de a calcula, nu după.

4. Trei scurtături care se citesc din coeficienți

Fie $f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ . Trei valori se obțin fără niciun calcul serios:

$f (0) = a_{0}$ — termenul liber. Deci $0$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă termenul liber este $0$ .
$f (1) = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{1} + a_{0}$ — suma coeficienților. Deci $1$ este rădăcină dacă și numai dacă suma coeficienților este $0$ .
$f (- 1) = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots$ — suma alternată a coeficienților.

Pentru $f = X^{3} - 4 X^{2} + X + 6$ : $f (0) = 6$ , $f (1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4$ , $f (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ .

Scurtătura cu $f (1)$ este una dintre cele mai rentabile de la examen. Când vezi $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ , aduni în minte $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ și știi că $1$ este rădăcină, fără să scrii nimic. De aici, prin grupare, obții descompunerea:

$X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = X^{2} (X - 1) - 5 X (X - 1) + 6 (X - 1) = (X - 1) (X^{2} - 5 X + 6) = (X - 1) (X - 2) (X - 3),$

deci celelalte rădăcini sunt $2$ și $3$ .

5. Rădăcini care nu sunt reale

Polinomul $f = X^{2} + 1$ nu are nicio rădăcină reală: pătratul unui număr real nu poate fi $- 1$ . În $C$ însă lucrurile se aranjează: $f (i) = i^{2} + 1 = - 1 + 1 = 0$ și $f (- i) = (- i)^{2} + 1 = - 1 + 1 = 0$ , deci rădăcinile sunt $i$ și $- i$ , iar $X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$ .

La fel, $g = X^{2} - 2 X + 5$ are discriminantul $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ și rădăcinile $1 \pm 2 i$ , după rețeta din Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ. Verificarea directă confirmă:

$g (1 + 2 i) = (1 + 2 i)^{2} - 2 (1 + 2 i) + 5 = (1 + 4 i - 4) - 2 - 4 i + 5 = 0.$

Coeficienții pot fi ei înșiși complecși: $h = X^{2} - 2 i X - 1$ are $h (i) = i^{2} - 2 i \cdot i - 1 = - 1 + 2 - 1 = 0$ , iar $h = (X - i)^{2}$ — aici rădăcina $i$ „apare de două ori" în descompunere, situație studiată în Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate.

Un exemplu care merită memorat: $X^{4} - 1 = (X - 1) (X + 1) (X - i) (X + i)$ , cu rădăcinile $1$ , $- 1$ , $i$ , $- i$ — chiar rădăcinile de ordinul $4$ ale unității.

✏️Ilustrație: planul complex cu cele patru rădăcini ale lui X⁴ − 1 marcate ca puncte pe cercul unitate, în pozițiile 1, i, −1, −i, unite prin laturile unui pătrat punctat

6. Rădăcini și factori: sensul ușor

Legătura dintre rădăcini și descompunerea în factori este miezul întregului capitol. Un sens al ei se demonstrează imediat.

Propoziție. Dacă $f = (X - a) \cdot g$ , unde $g$ este un polinom, atunci $a$ este rădăcină a lui $f$ .

Demonstrație. Valoarea unui produs de polinoame într-un punct este produsul valorilor, deci $f (a) = (a - a) \cdot g (a) = 0 \cdot g (a) = 0$ . $■$

Cu alte cuvinte, de fiecare dată când vezi un factor $(X - a)$ într-o descompunere, ai citit o rădăcină. Din $f = (X + 1) (X - 2) (X - 3)$ citești pe loc rădăcinile $- 1$ , $2$ , $3$ , fără să calculezi nimic.

Sensul invers — dacă $a$ este rădăcină, atunci $f$ se scrie ca $(X - a) \cdot g$ — este adevărat, dar are nevoie de teorema împărțirii cu rest, deci de instrumente pe care nu le avem încă. Îl vei demonstra în Teorema lui Bézout. Reține pentru moment că el este cel care transformă căutarea rădăcinilor într-o metodă de descompunere: găsești o rădăcină, scoți factorul, continui cu un polinom de grad mai mic.

7. Câte rădăcini poate avea un polinom

Un polinom de gradul $1$ , $f = a X + b$ cu $a \neq = 0$ , are exact o rădăcină: $- \frac{b}{a}$ . Unul de gradul $2$ are cel mult două rădăcini distincte. Regula generală, pe care o vei demonstra tot cu teorema lui Bézout, este:

Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $C$ .

Că are și cel puțin una — pentru $n \geq 1$ — este conținutul teoremei fundamentale a algebrei, rezultatul care încheie capitolul.

Excepția care explică de ce e nevoie de cuvântul „nenul": polinomul nul are orice număr complex drept rădăcină, pentru că valoarea lui în orice punct este $0$ . De aici și o consecință folosită des: dacă un polinom de grad cel mult $n$ se anulează în mai mult de $n$ puncte, atunci el este polinomul nul, deci toți coeficienții lui sunt $0$ .

8. Condiția de rădăcină ca ecuație în parametru

Cea mai frecventă formă în care rădăcinile apar la examen nu este „găsește rădăcinile", ci „determină parametrul astfel încât un număr dat să fie rădăcină". Mecanismul este mereu același: scrii $f (a) = 0$ și obții o ecuație — sau, cu două condiții, un sistem liniar — în care necunoscutele sunt parametrii.

Fie $f = X^{3} + m X^{2} + 3 X + 2$ și cerința ca $- 2$ să fie rădăcină:

$f (- 2) = - 8 + 4 m - 6 + 2 = 4 m - 12 = 0 ⟹ m = 3.$

Verificăm, cum se cuvine: pentru $m = 3$ , $f (- 2) = - 8 + 12 - 6 + 2 = 0$ . ✓ Cu doi parametri necunoscuți ai nevoie de două condiții — două rădăcini date, sau o rădăcină plus o valoare cunoscută a polinomului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea directă

Este $2$ rădăcină a polinomului $f = X^{4} - 3 X^{3} + 2 X^{2} - 4$ ?

Rezolvare. Calculăm valoarea în $2$ , cu atenție la ordinea operațiilor:

$f (2) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 4 = 16 - 24 + 8 - 4 = - 4.$

Cum $f (2) = - 4 \neq = 0$ , numărul $2$ nu este rădăcină a lui $f$ . Observă că un rezultat „aproape zero" nu ajută cu nimic: condiția este egalitatea exactă cu $0$ .

Exemplul 2 — Scurtătura sumei coeficienților

Arătați că $1$ este rădăcină a lui $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ și determinați celelalte rădăcini.

Rezolvare. Suma coeficienților este $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ , deci $f (1) = 0$ și $1$ este rădăcină.

Pentru celelalte, grupăm termenii astfel încât să apară peste tot factorul $X - 1$ :

$f = X^{3} - X^{2} - 5 X^{2} + 5 X + 6 X - 6 = X^{2} (X - 1) - 5 X (X - 1) + 6 (X - 1) = (X - 1) (X^{2} - 5 X + 6) .$

Rădăcinile trinomului $X^{2} - 5 X + 6$ sunt $2$ și $3$ , deci rădăcinile lui $f$ sunt $1$ , $2$ și $3$ , iar $f = (X - 1) (X - 2) (X - 3)$ .

Exemplul 3 — Rădăcinile lui $X^{4} - 1$ în $C$

Determinați toate rădăcinile polinomului $f = X^{4} - 1$ și scrieți descompunerea lui în factori de gradul întâi.

Rezolvare. Descompunem succesiv, folosind diferența de pătrate:

$X^{4} - 1 = (X^{2} - 1) (X^{2} + 1) = (X - 1) (X + 1) (X - i) (X + i) .$

De aici rădăcinile se citesc direct: $1$ , $- 1$ , $i$ , $- i$ . Verificare rapidă pentru $i$ : $i^{4} - 1 = 1 - 1 = 0$ ✓. Sunt patru rădăcini distincte pentru un polinom de gradul $4$ — numărul maxim posibil.

Exemplul 4 — Determinarea unui parametru

Determinați $m \in R$ astfel încât $- 2$ să fie rădăcină a polinomului $f = X^{3} + m X^{2} + 3 X + 2$ .

Rezolvare. Punem condiția $f (- 2) = 0$ :

$(- 2)^{3} + m (- 2)^{2} + 3 (- 2) + 2 = - 8 + 4 m - 6 + 2 = 4 m - 12.$

Din $4 m - 12 = 0$ obținem $m = 3$ . Verificare: pentru $m = 3$ , $f (- 2) = - 8 + 12 - 6 + 2 = 0$ ✓.

Exemplul 5 — Două rădăcini, un sistem

Determinați $a, b \in R$ știind că polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 6$ are rădăcinile $1$ și $- 2$ . Aflați apoi a treia rădăcină.

Rezolvare. Cele două condiții dau două ecuații:

$f (1) = 1 + a + b - 6 = 0 ⟹ a + b = 5,$ $f (- 2) = - 8 + 4 a - 2 b - 6 = 0 ⟹ 4 a - 2 b = 14 ⟹ 2 a - b = 7.$

Adunând cele două relații finale: $3 a = 12$ , deci $a = 4$ și $b = 1$ . Așadar $f = X^{3} + 4 X^{2} + X - 6$ .

Pentru a treia rădăcină, notăm $f = (X - 1) (X + 2) (X - c)$ și comparăm termenii liberi: în stânga avem $- 6$ , în dreapta $(- 1) \cdot 2 \cdot (- c) = 2 c$ . Din $2 c = - 6$ rezultă $c = - 3$ . Verificare: $f (- 3) = - 27 + 36 - 3 - 6 = 0$ ✓. Rădăcinile sunt $1$ , $- 2$ și $- 3$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 2 X^{2} + a X + b$ , cu $a, b \in R$ . a) Determinați $a$ și $b$ știind că $f (1) = 0$ și $f (- 1) = - 8$ . b) Determinați toate rădăcinile complexe ale lui $f$ .

Rezolvare. a) Scriem cele două condiții:

$f (1) = 1 - 2 + a + b = 0 ⟹ a + b = 1,$ $f (- 1) = - 1 - 2 - a + b = - 8 ⟹ - a + b = - 5.$

Adunând: $2 b = - 4$ , deci $b = - 2$ și $a = 3$ . Prin urmare $f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 2$ .

b) Știm deja că $1$ este rădăcină. Grupăm ca să scoatem factorul $X - 1$ :

$f = X^{3} - X^{2} - X^{2} + X + 2 X - 2 = X^{2} (X - 1) - X (X - 1) + 2 (X - 1) = (X - 1) (X^{2} - X + 2) .$

Rezolvăm $X^{2} - X + 2 = 0$ : discriminantul este $Δ = 1 - 8 = - 7 < 0$ , deci rădăcinile sunt complexe nereale:

$x_{1, 2} = \frac{1 \pm i 7}{2} .$

Rădăcinile lui $f$ sunt $1$ , $\frac{1 + i 7}{2}$ și $\frac{1 - i 7}{2}$ . Observă că cele două rădăcini nereale sunt conjugate una alteia — un fenomen general la polinoamele cu coeficienți reali, pe care îl vei studia în Ecuații algebrice cu rădăcini conjugate.

Să exersăm

Lucrează pe caiet, scriind de fiecare dată condiția pe care o verifici. La determinarea parametrilor, încheie întotdeauna cu verificarea rezultatului în polinomul obținut — este un pas care se punctează la barem.

1. Arată prin calcul direct că $1$ , $- 1$ și $2$ sunt rădăcini ale polinomului $f = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2$ , apoi scrie descompunerea lui în trei factori de gradul întâi.

2. Fie $f = 2 X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 3$ . Calculează $f (0)$ , $f (1)$ și $f (- 1)$ folosind scurtăturile din lecție și spune care dintre numerele $0$ , $1$ , $- 1$ este rădăcină.

3. Determină rădăcinile polinomului $f = X^{2} + 4$ în mulțimea numerelor complexe și scrie descompunerea lui în factori de gradul întâi.

4. Fie $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X - 6$ . Verifică prin calcul care dintre numerele $- 1$ , $2$ , $3$ sunt rădăcini ale lui $f$ și care nu.

5. Determină $m \in R$ astfel încât $3$ să fie rădăcină a polinomului $f = X^{3} - m X^{2} + 2 X + 3$ .

6. Determină toate rădăcinile polinomului $f = X^{4} - 5 X^{2} + 4$ , folosind substituția $X^{2} = t$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $0$ este rădăcină a unui polinom $f$ dacă și numai dacă termenul liber al lui $f$ este $0$ ."

8. Arată că $1$ este rădăcină a lui $f = X^{3} - 1$ , obține descompunerea $f = (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ și determină apoi celelalte două rădăcini complexe.

9. Determină $a, b \in R$ știind că polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + b X + 6$ are rădăcinile $1$ și $- 2$ . Află apoi a treia rădăcină.

10. Fie $f = X^{2} - (3 + i) X + (2 + 2 i)$ . Verifică dacă numerele $2$ și $1 + i$ sunt rădăcini ale lui $f$ și scrie descompunerea corespunzătoare.

11. Fie $f = X^{4} + X^{3} - 7 X^{2} - X + 6$ . Arată, folosind scurtăturile, că atât $1$ cât și $- 1$ sunt rădăcini ale lui $f$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice polinom de gradul al treilea are exact trei rădăcini distincte în $C$ ."

13. (Problemă aplicată.) O minge aruncată vertical în sus are înălțimea, în metri, dată de $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ , unde $t$ este timpul în secunde. Determină rădăcinile polinomului $- 5 X^{2} + 20 X$ și explică ce înseamnă fiecare dintre ele în contextul problemei. Cât de sus ajunge mingea la $t = 2$ secunde?

14. Arată că $- 1$ este rădăcină a lui $f = X^{3} - 3 X^{2} + 4$ și verifică apoi, prin desfacerea parantezelor, egalitatea $f = (X + 1) (X - 2)^{2}$ . Câte rădăcini distincte are $f$ ?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} + a X + b$ , cu $a, b \in R$ . a) Determinați $a$ și $b$ știind că $1$ și $2$ sunt rădăcini ale lui $f$ . b) Determinați a treia rădăcină a lui $f$ .

16. Determină rădăcinile polinomului $f = X^{2} + 2 X + 5$ și verifică-le prin înlocuire directă în $f$ .

17. Fie $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + X + 2$ . Verifică dacă $\frac{1}{2}$ este rădăcină, apoi arată că $1$ , $2$ și $- \frac{1}{2}$ sunt rădăcini și scrie descompunerea lui $f$ cu factorul $2 X + 1$ .

18. (Provocare.) Determină polinomul $f$ de gradul al treilea care are rădăcinile $1$ , $2$ și $3$ și pentru care $f (0) = 12$ . Este acest polinom unic?

Răspunsuri și explicații

1. $f (1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ ; $f (- 1) = - 1 - 2 + 1 + 2 = 0$ ; $f (2) = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$ . Toate trei sunt rădăcini, iar $f = (X - 1) (X + 1) (X - 2)$ — se verifică desfăcând parantezele.

2. $f (0) = - 3$ (termenul liber); $f (1) = 2 - 3 + 4 - 3 = 0$ (suma coeficienților); $f (- 1) = - 2 - 3 - 4 - 3 = - 12$ (suma alternată). Doar $1$ este rădăcină.

3. $X^{2} + 4 = 0 \Rightarrow X^{2} = - 4 \Rightarrow X = \pm 2 i$ . Verificare: $(2 i)^{2} + 4 = - 4 + 4 = 0$ ✓. Descompunerea: $X^{2} + 4 = (X - 2 i) (X + 2 i)$ .

4. $f (- 1) = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0$ ✓ rădăcină; $f (2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0$ ✓ rădăcină; $f (3) = 27 + 18 - 15 - 6 = 24 \neq = 0$ , deci $3$ nu este rădăcină. (Descompunerea completă: $f = (X + 1) (X - 2) (X + 3)$ .)

5. Condiția $f (3) = 0$ dă $27 - 9 m + 6 + 3 = 36 - 9 m = 0$ , deci $m = 4$ . Verificare cu $m = 4$ : $27 - 36 + 6 + 3 = 0$ ✓.

6. Cu $X^{2} = t$ obținem $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , cu soluțiile $t = 1$ și $t = 4$ . Din $X^{2} = 1$ rezultă $X = \pm 1$ , din $X^{2} = 4$ rezultă $X = \pm 2$ . Rădăcinile sunt $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ , iar $f = (X - 1) (X + 1) (X - 2) (X + 2)$ .

7. Adevărat. $f (0) = a_{0}$ , adică valoarea în $0$ este chiar termenul liber, pentru că toți ceilalți termeni conțin măcar un factor $0$ . Deci $f (0) = 0$ este același lucru cu $a_{0} = 0$ .

8. Suma coeficienților lui $X^{3} - 1$ este $1 - 1 = 0$ , deci $f (1) = 0$ . Prin desfacere, $(X - 1) (X^{2} + X + 1) = X^{3} - 1$ ✓. Din $Δ = 1 - 4 = - 3$ : $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm i 3}{2}$ .

9. $f (1) = 1 + a + b + 6 = 0 \Rightarrow a + b = - 7$ ; $f (- 2) = - 8 + 4 a - 2 b + 6 = 0 \Rightarrow 2 a - b = 1$ . Adunând: $3 a = - 6$ , deci $a = - 2$ , $b = - 5$ și $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ . A treia rădăcină: din $f = (X - 1) (X + 2) (X - c)$ , termenul liber dă $2 c = 6$ , adică $c = 3$ ; verificare $f (3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$ ✓.

10. $f (2) = 4 - 2 (3 + i) + 2 + 2 i = 0$ ✓; $f (1 + i) = 2 i - (2 + 4 i) + 2 + 2 i = 0$ ✓. Ambele sunt rădăcini, deci $f = (X - 2) (X - (1 + i))$ .

11. $f (1) = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$ (suma coeficienților) și $f (- 1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$ (suma alternată). Ambele sunt rădăcini. (Descompunerea completă, obținută mai târziu cu împărțirea: $f = (X - 1) (X + 1) (X - 2) (X + 3)$ .)

12. Fals. Corect este „cel mult trei". Contraexemplu: $f = (X + 1) (X - 2)^{2} = X^{3} - 3 X^{2} + 4$ are doar două rădăcini distincte, $- 1$ și $2$ . Cu rădăcinile numărate cu multiplicitatea lor, afirmația devine adevărată — dar asta e altă frază.

13. $- 5 X^{2} + 20 X = - 5 X (X - 4)$ , deci rădăcinile sunt $0$ și $4$ : momentul aruncării și momentul revenirii la sol. La $t = 2$ : $h (2) = - 20 + 40 = 20$ metri — înălțimea maximă, atinsă la mijlocul intervalului.

14. $f (- 1) = - 1 - 3 + 4 = 0$ ✓. Desfacem: $(X + 1) (X - 2)^{2} = (X + 1) (X^{2} - 4 X + 4) = X^{3} - 4 X^{2} + 4 X + X^{2} - 4 X + 4 = X^{3} - 3 X^{2} + 4$ ✓. Rădăcinile distincte sunt doar două: $- 1$ și $2$ (factorul $X - 2$ apare de două ori — vezi lecția despre rădăcini multiple).

15. a) $f (1) = 1 - 3 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = 2$ ; $f (2) = 8 - 12 + 2 a + b = 0 \Rightarrow 2 a + b = 4$ . Scăzând: $a = 2$ , deci $b = 0$ și $f = X^{3} - 3 X^{2} + 2 X$ . b) $f = X (X^{2} - 3 X + 2) = X (X - 1) (X - 2)$ , deci a treia rădăcină este $0$ . (Se vedea și direct: termenul liber fiind $0$ , numărul $0$ este rădăcină.)

16. $Δ = 4 - 20 = - 16$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 4 i}{2} = - 1 \pm 2 i$ . Verificare pentru $- 1 + 2 i$ : $(- 1 + 2 i)^{2} + 2 (- 1 + 2 i) + 5 = (1 - 4 i - 4) - 2 + 4 i + 5 = 0$ ✓.

17. $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} \neq = 0$ , deci $\frac{1}{2}$ nu este rădăcină. În schimb $f (1) = 0$ , $f (2) = 16 - 20 + 2 + 2 = 0$ și $f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{1}{2} + 2 = 0$ . Descompunerea: $f = (2 X + 1) (X - 1) (X - 2)$ .

18. Orice polinom de gradul al treilea cu aceste rădăcini se scrie $f = c (X - 1) (X - 2) (X - 3)$ , cu $c \neq = 0$ . Condiția $f (0) = 12$ dă $- 6 c = 12$ , deci $c = - 2$ și $f = - 2 X^{3} + 12 X^{2} - 22 X + 12$ . Polinomul este unic: rădăcinile fixează forma până la constanta $c$ , iar condiția suplimentară fixează și constanta.

De reținut

Definiția: $a \in C$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ . Verificarea este mereu un calcul direct, iar rezultatul trebuie să fie exact $0$ .
Trei valori gratuite: $f (0)$ = termenul liber, $f (1)$ = suma coeficienților, $f (- 1)$ = suma alternată. Sunt cele mai rapide teste de rădăcină de la examen.
Din factori citești rădăcini: dacă $f = (X - a) \cdot g$ , atunci $a$ este rădăcină. Reciproca — orice rădăcină dă un factor — se demonstrează cu teorema lui Bézout.
Un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $C$ ; polinomul nul are o infinitate (orice număr complex îl anulează).
Condiția „ $a$ este rădăcină" se scrie $f (a) = 0$ și devine o ecuație în parametru; cu doi parametri necunoscuți ai nevoie de două condiții, deci de un sistem.

Greșeli frecvente

Semnele la puteri negative. $(- 2)^{3} = - 8$ , dar $(- 2)^{2} = + 4$ . Scrie parantezele înainte de a ridica la putere; jumătate dintre erorile de la „verificați dacă $a$ e rădăcină" vin de aici.
Confuzia rădăcină ↔ valoare. Rădăcina este numărul pus în locul lui $X$ , nu rezultatul calculului. Corect: „ $2$ este rădăcină, pentru că $f (2) = 0$ ".
„Un polinom de grad $n$ are exact $n$ rădăcini." Formularea corectă cere „cel mult $n$ rădăcini distincte". Cu rădăcinile numărate cu multiplicitatea, egalitatea revine — dar asta e o altă afirmație, studiată mai târziu.
Uitarea rădăcinilor nereale. „ $X^{2} + 1$ nu are rădăcini" era adevărat în $R$ ; în $C$ are două, $i$ și $- i$ . Când enunțul cere „rădăcinile complexe", le dai pe toate.
Determinarea parametrului fără verificare. După ce ai găsit $m$ , înlocuiește-l în polinom și verifică efectiv că $f (a) = 0$ . Ai prins astfel orice eroare de semn, iar baremul punctează pasul.

Aplică acasă

Fabrica de polinoame. Alege trei numere întregi — de exemplu ziua, luna și ultima cifră a anului tău de naștere — și construiește $f = (X - a) (X - b) (X - c)$ desfăcând parantezele. Dă forma desfășurată unui coleg și cere-i rădăcinile; verificați împreună cu scurtăturile $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 1)$ .
Rădăcini în tabelul de calcul. Într-o foaie de calcul, pune în coloana A valorile de la $- 5$ la $5$ și în coloana B valorile polinomului $X^{3} - 4 X^{2} + X + 6$ . Vei vedea limpede cele trei zerouri; trage un grafic de tip „linie netedă" și observă că taie axa exact în dreptul lor.
Vânătoarea de subiecte. Caută trei variante de Bacalaureat M1 și identifică, în subiectul de algebră, exercițiile care încep cu „determinați $a$ astfel încât…". Vei constata că majoritatea sunt, în fond, exact scrierea condiției $f (a) = 0$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează noțiunea centrală a capitolului și pregătește împărțirea, schema lui Horner și teorema lui Bézout. Verifică trei lucruri în caietul elevului: (1) scrie condiția de rădăcină sub forma $f (a) = 0$ , nu „ $a = 0$ "; (2) calculează corect puterile numerelor negative, cu paranteze; (3) încheie problemele cu parametru printr-o verificare explicită.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că $- 2$ este rădăcină a lui $f$ ?"; „Cum afli în trei secunde dacă $1$ este rădăcină?"; „Câte rădăcini distincte poate avea un polinom de gradul al patrulea?"; „De ce polinomul nul face excepție?". Semne că elevul a înțeles: trece fără ezitare între descompunerea în factori și lista rădăcinilor și nu mai spune „ $X^{2} + 1$ nu are rădăcini" acum că lucrăm în $C$ .

La Bacalaureat M1, subiectul de algebră conține aproape întotdeauna un polinom de gradul al treilea cu unul sau doi parametri, iar primul punct este de regulă exact scrierea condiției de rădăcină. Punctele se iau ușor dacă redactarea e completă: condiția, calculul, valoarea parametrului, verificarea.

Întrebări frecvente

Ce este rădăcina unui polinom? Rădăcina unui polinom $f$ este un număr complex $a$ pentru care valoarea polinomului este zero, adică $f (a) = 0$ . Aceleași numere sunt zerourile funcției polinomiale asociate și soluțiile ecuației $f (x) = 0$ .

Cum verific dacă un număr este rădăcină a unui polinom? Înlocuiești variabila $X$ cu numărul respectiv, efectuezi calculele și compari rezultatul cu $0$ . Dacă obții exact $0$ , numărul este rădăcină; orice altă valoare înseamnă că nu este. Atenție la parantezele de la puterile numerelor negative.

Cum aflu repede dacă $1$ este rădăcină? Aduni coeficienții polinomului, cu semnele lor. Suma este chiar $f (1)$ , deci $1$ este rădăcină exact atunci când suma coeficienților este $0$ . Analog, $f (- 1)$ este suma alternată, iar $f (0)$ este termenul liber.

Câte rădăcini are un polinom de gradul $n$ ? Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în mulțimea numerelor complexe. Dacă rădăcinile se numără cu ordinul lor de multiplicitate, sunt exact $n$ — acesta este conținutul teoremei fundamentale a algebrei, studiată mai târziu în capitol.

Ce legătură este între rădăcini și descompunerea în factori? Fiecare factor de forma $X - a$ dintr-o descompunere semnalează o rădăcină $a$ , iar reciproc, fiecare rădăcină $a$ produce un factor $X - a$ . Al doilea sens este teorema lui Bézout și se demonstrează cu teorema împărțirii cu rest.

Rădăcinile unui polinom cu coeficienți reali pot fi complexe nereale? Da. De exemplu $X^{2} + 1$ are coeficienți reali, dar rădăcinile $i$ și $- i$ . La polinoamele cu coeficienți reali, rădăcinile nereale apar întotdeauna în perechi de numere conjugate.

Unde apar rădăcinile polinoamelor la Bacalaureat M1? În subiectul de algebră, cel mai des sub forma „determinați parametrul astfel încât un număr dat să fie rădăcină", „arătați că $a$ este rădăcină și descompuneți polinomul" sau „rezolvați ecuația algebrică asociată". Toate se reduc la scrierea și folosirea condiției $f (a) = 0$ .