Șiruri: definire și monotonie: pe scurt

Un șir de numere reale este o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, notată $(a_n{)}_{n\ge 1}$, cu $a_n=f(n)$ termenul de rang $n$. Domeniul fiind discret, graficul este format din puncte izolate $(n,a_n)$, care nu se unesc. Un șir se dă prin formula termenului general, prin recurență sau printr-o descriere — niciodată printr-o listă de primi termeni.

Șirul este crescător dacă $a_n\le a_{n+1}$ pentru orice $n$, strict crescător dacă $a_n<a_{n+1}$, și analog pentru descreștere; monoton înseamnă crescător sau descrescător. Un șir poate fi nemonoton sau monoton doar de la un rang încolo, iar concluzia trebuie să spună de la care.

Trei metode de lucru. Semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$ este metoda universală: se aduce la o formă cu semn evident, de obicei o fracție cu numărător constant. Metoda raportului compară $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $1$ și e comodă la puteri și factoriale, dar cere obligatoriu $a_n>0$ pentru orice $n$ — la termeni negativi concluzia se inversează. Funcția atașată: dacă $a_n=f(n)$ cu $f$ monotonă pe $[1,+\infty )$, șirul moștenește monotonia lui $f$. La șirurile date prin recurență, monotonia se demonstrează prin inducție: verifici $a_1<a_2$, apoi treci de la $a_n<a_{n+1}$ la $a_{n+1}<a_{n+2}$ aplicând regula de recurență.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru șirul $a_n=\frac{4n-3}{n+2}$, $n\ge 1$, diferența $a_{n+1}-a_n$ este egală cu:

   • a) $\frac{11}{(n+2{)}^2}$
   • b) $-\frac{11}{(n+2)(n+3)}$
   • c) $\frac{5}{(n+2)(n+3)}$
   • d) $\frac{11}{(n+2)(n+3)}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{11}{(n+2)(n+3)}$

   Cel mai rapid prin rescriere: $a_n=\frac{4(n+2)-11}{n+2}=4-\frac{11}{n+2}$, deci $a_{n+1}-a_n=\frac{11}{n+2}-\frac{11}{n+3}=\frac{11}{(n+2)(n+3)}$. Fiind strict pozitivă, șirul este strict crescător. Verificare: $a_2-a_1=\frac{5}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}$, exact valoarea formulei pentru $n=1$.

2. Metoda raportului $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ poate fi folosită pentru studiul monotoniei numai dacă:

   • a) șirul este mărginit
   • b) $a_n>0$ pentru orice $n$
   • c) șirul este definit prin recurență
   • d) $a_n\ne 0$ pentru orice $n$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a_n>0$ pentru orice $n$

   Împărțirea la un număr negativ schimbă sensul inegalității, deci la termeni negativi concluzia iese pe dos: pentru $a_n=-n$ raportul este $\frac{n+1}{n}>1$, deși șirul scade. Condiția $a_n\ne 0$ face raportul să existe, dar nu ajunge; verificarea pozitivității este pasul care se punctează separat în barem.

3. Șirul $a_n=\frac{4^n}{n!}$, $n\ge 1$, este:

   • a) strict crescător
   • b) strict descrescător
   • c) strict descrescător de la rangul $4$
   • d) constant
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) strict descrescător de la rangul $4$

   Termenii sunt strict pozitivi, iar $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{4^n}=\frac{4}{n+1}$. Raportul este supraunitar pentru $n\in \{1,2\}$, egal cu $1$ pentru $n=3$ (deci $a_3=a_4=\frac{32}{3}$) și subunitar pentru $n\ge 4$. Șirul urcă, staționează, apoi scade strict de la rangul $4$; pe ansamblu nu este monoton.