Sisteme compatibile nedeterminate: necunoscute secundare

Un elev vinde $12$ bilete la trei prețuri — $10$, $20$ și $30$ de lei — și încasează $250$ de lei. Câte bilete a vândut din fiecare fel? Sistemul are două ecuații și trei necunoscute, iar teorema lui Rouché spune imediat că e compatibil; numai că răspunsul „are o infinitate de soluții" nu ajută pe nimeni, întrebarea fiind câte bilete, iar variantele posibile în realitate fiind exact șase.

Aceasta e lecția în care „o infinitate de soluții" încetează să fie un verdict și devine o descriere: vei învăța să alegi necunoscutele secundare, să le dai nume de parametri, să rezolvi sistemul principal și să scrii mulțimea soluțiilor într-o formă din care se poate citi orice soluție particulară — inclusiv cele șase de mai sus.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi gradul de nedeterminare $n-r$ și să numești sistemul simplu sau dublu nedeterminat.
• Vei ști cum se aleg necunoscutele secundare și de ce alegerea nu e chiar liberă.
• Vei ști să rezolvi sistemul principal cu regula lui Cramer, tratând parametrii ca pe niște numere.
• Vei ști să scrii mulțimea soluțiilor în forma $S=\{(\dots )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$ și să extragi din ea soluții particulare.
• Vei ști că două alegeri diferite ale necunoscutelor secundare dau scrieri diferite ale aceleiași mulțimi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce mai rămâne de făcut după Rouché

Din lecțiile Teorema Kronecker-Capelli și Teorema lui Rouché știi să decizi dacă un sistem e compatibil și dacă soluția e unică. Cazul $r=\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}<n$ a rămas însă doar numit: compatibil nedeterminat.

Ideea e simplă și merită spusă înaintea oricărei formule: dacă rangul e $r$, doar $r$ ecuații poartă informație independentă, iar ele nu pot fixa decât $r$ necunoscute. Celelalte $n-r$ rămân libere, iar pentru fiecare alegere a valorilor lor primele $r$ se determină în mod unic. Așa se naște infinitatea de soluții — nu haotic, ci ca o familie depinzând de $n-r$ parametri.

2. Gradul de nedeterminare

Definiție. Numărul $n-r$ se numește gradul de nedeterminare al sistemului. Pentru $n-r=1$ sistemul se numește simplu nedeterminat, pentru $n-r=2$, dublu nedeterminat.

Numărul de parametri din soluție e exact $n-r$: dacă la final ai alt număr de parametri decât ți-a dat rangul, undeva e o greșeală.

3. Cum se aleg necunoscutele secundare

Alegerea nu e liberă, deși pare: necunoscutele principale sunt cele ale căror coeficienți intră în minorul principal, iar secundare sunt celelalte. Cum minorul principal trebuie să fie nenul, nu orice grup de $r$ necunoscute poate fi luat drept principal. Privește sistemul

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z+t=1\\ 2x+4y+3z+t=3\\ 3x+6y+4z+2t=4\end{array}$$

Coloana lui $y$ este dublul coloanei lui $x$, deci orice minor care le conține pe amândouă este nul: $x$ și $y$ nu pot fi împreună necunoscute principale. În schimb, minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$ și $z$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $x$ și $z$ sunt o alegere bună, iar $y$ și $t$ rămân secundare.

Regula practică: alege întâi minorul principal (de preferință cu numere mici), apoi citește din el necunoscutele principale. Niciodată invers.

4. Sistemul principal și rezolvarea lui

După ce ai fixat minorul principal, procedura are trei mișcări:

1. păstrezi ecuațiile principale (cele $r$ ale căror linii intră în minorul principal) — restul sunt consecințe ale lor, cum a dovedit teorema lui Rouché;
2. treci necunoscutele secundare în membrul drept, notându-le cu $\alpha$, $\beta$;
3. rezolvi sistemul rămas: el are $r$ ecuații și $r$ necunoscute, iar determinantul lui e chiar minorul principal, deci nenul — sistemul principal e de tip Cramer și se rezolvă cu formulele lui Cramer sau prin reduceri, tratând $\alpha$ și $\beta$ ca pe numere obișnuite.

Rezultatul: fiecare necunoscută principală apare ca o expresie de gradul întâi în parametri.

5. Scrierea mulțimii soluțiilor

Mulțimea soluțiilor se scrie ca mulțime de $n$-uple, cu parametrii precizați:

$$S=\{(\dots ,\dots ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\},S=\{(\dots ,\dots ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}.$$

Componentele se scriu în ordinea necunoscutelor din enunț ($x$, $y$, $z$, $t$), nu în ordinea în care le-ai calculat. O soluție particulară se obține dând valori concrete parametrilor — cel mai rapid mod de a verifica dacă ai lucrat corect, pentru că ea trebuie să verifice toate ecuațiile, inclusiv cele secundare.

6. Aceeași mulțime, două scrieri

Minorul principal nefiind unic, nici împărțirea în necunoscute principale și secundare nu este. Pentru sistemul $x+2y-z=3$, $2x+3y+z=4$, $3x+5y=7$, alegând $z$ drept necunoscută secundară se obține

$$S=\{(-5\alpha -1,3\alpha +2,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\},$$

iar alegându-l pe $x$ (ceea ce e permis, minorul din coloanele lui $y$ și $z$ fiind $5\ne 0$) se obține

$$S=\left\{\left(\alpha ,\frac{7-3\alpha }{5},\frac{-\alpha -1}{5}\right)\mid \alpha \in \mathbb{R}\right\}.$$

Calculele sunt făcute în exemplele 1 și 2. Cele două scrieri arată foarte diferit, dar descriu aceeași mulțime: înlocuind în a doua $\alpha$ cu $-5\alpha -1$, se obține prima; de pildă, $\alpha =1$ în prima dă $(-6,5,1)$, iar $\alpha =-6$ în a doua dă tot $(-6,5,1)$.

Concluzia de reținut: forma soluției depinde de alegerea făcută, mulțimea soluțiilor nu. Când răspunsul tău arată altfel decât cel din culegere, verifică întâi dacă nu e aceeași mulțime, scrisă cu alt parametru.

7. Când parametrul nu poate lua orice valoare

În problemele practice, parametrul e adesea îngrădit de context. Revenim la biletele din deschidere: $x+y+z=12$ și $10x+20y+30z=250$, adică $x+2y+3z=25$. Rangul este $2$, deci gradul de nedeterminare e $1$; cu $z=\alpha$ se obține $y=13-2\alpha$ și $x=\alpha -1$, deci

$$S=\{(\alpha -1,13-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Matematic, soluțiile sunt o infinitate; practic, numărul biletelor trebuie să fie număr natural, deci $\alpha -1\ge 0$, $13-2\alpha \ge 0$ și $\alpha \in \mathbb{N}$, adică $1\le \alpha \le 6$: exact șase variante, de la $(0,11,1)$ la $(5,1,6)$. Așa se închide cercul dintre modelul matematic și întrebarea reală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem simplu nedeterminat

Rezolvați sistemul $x+2y-z=3$, $2x+3y+z=4$, $3x+5y=7$.

Rezolvare. A treia ecuație e suma primelor două, deci $\det A=0$, iar minorul din primele două linii și coloane, egal cu $-1\ne 0$, dă $r=2$. Coloana termenilor liberi respectă aceeași relație ($3+4=7$), deci determinantul caracteristic e nul: sistemul e compatibil, cu gradul de nedeterminare $1$. Necunoscute principale $x$, $y$; secundară $z=\alpha$; sistemul principal:

$$\{\begin{array}{l}x+2y=3+\alpha \\ 2x+3y=4-\alpha \end{array}$$

Înmulțind prima ecuație cu $2$ și scăzând-o din a doua: $-y=-2-3\alpha$, deci $y=3\alpha +2$, iar $x=3+\alpha -2(3\alpha +2)=-5\alpha -1$. Prin urmare

$$S=\{(-5\alpha -1,3\alpha +2,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația secundară: $3(-5\alpha -1)+5(3\alpha +2)=-15\alpha -3+15\alpha +10=7$ ✓. Soluții particulare: pentru $\alpha =0$, $(-1,2,0)$; pentru $\alpha =1$, $(-6,5,1)$.

Exemplul 2 — Același sistem, altă necunoscută secundară

Rezolvați sistemul de mai sus luând $x$ drept necunoscută secundară.

Rezolvare. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $y$, $z$ este $2\cdot 1-(-1)\cdot 3=5\ne 0$, deci alegerea e permisă. Cu $x=\alpha$, sistemul principal $2y-z=3-\alpha$, $3y+z=4-2\alpha$ dă, prin adunare, $5y=7-3\alpha$, deci

$$y=\frac{7-3\alpha }{5},z=2y-3+\alpha =\frac{-\alpha -1}{5}.$$

Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{\left(\alpha ,\frac{7-3\alpha }{5},\frac{-\alpha -1}{5}\right)\mid \alpha \in \mathbb{R}\right\}$ — aceeași ca la exemplul 1, scrisă altfel. Pentru $\alpha =-1$ se obține $(-1,2,0)$, adică exact soluția particulară găsită acolo pentru $\alpha =0$.

Observație practică: prima alegere a dat numere întregi, a doua, fracții. Când ai de ales, ia ca minor principal pe cel care duce la calcule mai simple.

Exemplul 3 — Un sistem dublu nedeterminat

Rezolvați sistemul $x+y+z+t=4$, $x+2y+3z+4t=10$, $2x+3y+4z+5t=14$.

Rezolvare. A treia ecuație e suma primelor două, și la coeficienți, și la termeni liberi ($4+10=14$), deci sistemul e compatibil, iar minorul din coloanele lui $x$, $y$, egal cu $1\ne 0$, dă $r=2$. Gradul de nedeterminare e $4-2=2$: sistem dublu nedeterminat, cu doi parametri. Necunoscute secundare $z=\alpha$, $t=\beta$; sistemul principal:

$$\{\begin{array}{l}x+y=4-\alpha -\beta \\ x+2y=10-3\alpha -4\beta \end{array}$$

Scăzând, $y=6-2\alpha -3\beta$, apoi $x=4-\alpha -\beta -(6-2\alpha -3\beta )=\alpha +2\beta -2$. Așadar

$$S=\{(\alpha +2\beta -2,6-2\alpha -3\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația a treia: $2(\alpha +2\beta -2)+3(6-2\alpha -3\beta )+4\alpha +5\beta =14$ ✓. O soluție particulară, pentru $\alpha =\beta =0$: $(-2,6,0,0)$.

Exemplul 4 — Când alegerea este forțată

Rezolvați sistemul $x+2y+z+t=1$, $2x+4y+3z+t=3$, $3x+6y+4z+2t=4$.

Rezolvare. A treia ecuație e suma primelor două ($1+3=4$ la termenii liberi), deci sistemul e compatibil. Coloana lui $y$ fiind dublul coloanei lui $x$, orice minor care le conține pe amândouă e nul; luăm minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele lui $x$, $z$, egal cu $1\ne 0$, deci $r=2$ și gradul de nedeterminare e $2$. Necunoscute principale $x$ și $z$; secundare $y=\alpha$, $t=\beta$; sistemul principal:

$$\{\begin{array}{l}x+z=1-2\alpha -\beta \\ 2x+3z=3-4\alpha -\beta \end{array}$$

Scăzând dublul primei ecuații din a doua: $z=1+\beta$, apoi $x=1-2\alpha -\beta -(1+\beta )=-2\alpha -2\beta$. Deci

$$S=\{(-2\alpha -2\beta ,\alpha ,1+\beta ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația a treia: $3(-2\alpha -2\beta )+6\alpha +4(1+\beta )+2\beta =-6\alpha -6\beta +6\alpha +4+4\beta +2\beta =4$ ✓.

Exemplul 5 — Patru ecuații, patru necunoscute

Rezolvați sistemul $x+y+z+t=4$, $x+2y+3z+4t=10$, $x+y+2z+2t=6$, $2x+3y+4z+5t=14$.

Rezolvare. Ultima ecuație e suma primelor două, deci $\det A=0$. Minorul din primele trei linii și coloane este

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=1(4-3)-1(2-3)+1(1-2)=1\ne 0,$$

deci $r=3$ și gradul de nedeterminare e $1$. Necunoscute principale $x$, $y$, $z$; secundară $t=\beta$; sistemul principal, de tip Cramer:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=4-\beta \\ x+2y+3z=10-4\beta \\ x+y+2z=6-2\beta \end{array}$$

Scăzând prima ecuație din a treia, $z=2-\beta$; scăzând prima din a doua, $y+2z=6-3\beta$, deci $y=2-\beta$; în fine, $x=4-\beta -(2-\beta )-(2-\beta )=\beta$. Prin urmare

$$S=\{(\beta ,2-\beta ,2-\beta ,\beta )\mid \beta \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația a patra: $2\beta +3(2-\beta )+4(2-\beta )+5\beta =2\beta +6-3\beta +8-4\beta +5\beta =14$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+y+2z=3$, $2x+3y+z=5$, $3x+4y+mz=8$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați $m$ pentru care sistemul nu este de tip Cramer. b) Pentru acea valoare, arătați că sistemul este compatibil nedeterminat și rezolvați-l.

Rezolvare. a) Determinantul sistemului:

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 1\\ 3& 4& m\end{array}\right|=1(3m-4)-1(2m-3)+2(8-9)=m-3,$$

deci sistemul nu e de tip Cramer exact pentru $m=3$.

b) Pentru $m=3$, minorul din primele două linii și coloane, egal cu $1\ne 0$, dă $r=2$, iar determinantul caracteristic al ecuației a treia e nul (a treia linie e suma primelor două, și la coeficienți, și la termenii liberi: $3+5=8$): sistemul e compatibil simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$, sistemul principal $x+y=3-2\alpha$, $2x+3y=5-\alpha$ dă $y=3\alpha -1$ și $x=4-5\alpha$, adică

$$S=\{(4-5\alpha ,3\alpha -1,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ecuația a treia: $3(4-5\alpha )+4(3\alpha -1)+3\alpha =12-15\alpha +12\alpha -4+3\alpha =8$ ✓.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată câți parametri va avea soluția, înainte de a o calcula: numărul lor e $n-r$. La final, verifică soluția în ecuațiile secundare, pentru două valori ale parametrilor.

1. Un sistem are $n=5$ necunoscute și $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3$. Câte necunoscute secundare are și cum se numește sistemul?

2. Rezolvă sistemul $x+y+2z=3$, $2x+3y+z=4$, $3x+4y+3z=7$ și scrie mulțimea soluțiilor.

3. Pentru sistemul de la exercițiul anterior, scrie soluțiile particulare corespunzătoare valorilor $\alpha =0$, $\alpha =1$ și $\alpha =-1$, apoi verifică-le în toate ecuațiile.

4. Rezolvă sistemul $x+y+z+t=2$, $x+2y+2z+3t=3$, $2x+3y+3z+4t=5$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Necunoscutele secundare pot fi alese oricum, atât timp cât sunt $n-r$ la număr."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem dublu nedeterminat are exact două soluții."

7. Rezolvă sistemul $x-2y+3z=4$, $2x-4y+6z=8$, $-x+2y-3z=-4$ și precizează gradul de nedeterminare.

8. (Problemă aplicată.) La un concurs se dau $12$ premii, de $10$, $20$ și $30$ de lei, iar suma cheltuită e $250$ de lei. Scrie sistemul și găsește toate variantele cu număr natural de premii din fiecare fel.

9. Rezolvă sistemul $x+y+z+t=6$, $x+2y+3z+4t=14$ și scrie mulțimea soluțiilor cu doi parametri.

10. Rezolvă sistemul de la exercițiul 2 luând ca necunoscută secundară pe $x$, apoi arată că mulțimea soluțiilor este aceeași.

11. Rezolvă sistemul $x+y+z+t=4$, $x+2y+z-t=3$, $2x+y+3z+4t=9$, $x+2z+3t=5$, știind că rangul matricei sale e $3$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x+y+z=1$, $x+2y+3z=3$, $2x+3y+mz=4$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A$. b) Pentru valoarea care anulează determinantul, arătați că sistemul e compatibil nedeterminat și rezolvați-l.

13. Rezolvă sistemul $x+2y+z+t=1$, $2x+4y+3z+t=3$, luând ca necunoscute principale $z$ și $t$. Ce condiție trebuie verificată înainte de această alegere?

14. Scrie trei soluții particulare ale sistemului $x+y+z=5$, $x+2y+3z=11$ și verifică-le.

15. Explică, în două-trei fraze, de ce numărul parametrilor din soluție este $n-r$ și nu poate fi altul.

16. Rezolvă sistemul $x+y+z=4$, $x+2y+3z=9$, $2x+3y+4z=13$, $2x+y=3$.

17. Un sistem simplu nedeterminat are $S=\{(2\alpha -1,3-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Are soluții cu toate componentele numere naturale? Dar una cu prima componentă egală cu a treia?

18. (Provocare.) Un sistem are $3$ ecuații și $5$ necunoscute și este compatibil. Ce valori poate lua gradul lui de nedeterminare și de ce nu poate fi mai mic decât $2$?

Răspunsuri și explicații

1. Gradul de nedeterminare este $n-r=5-3=2$, deci sistemul are două necunoscute secundare și se numește dublu nedeterminat.

2. A treia ecuație e suma primelor două ($3+4=7$), deci $r=2$ (minorul din primele două linii și coloane este $1\ne 0$) și sistemul e compatibil simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$: $x+y=3-2\alpha$, $2x+3y=4-\alpha$, de unde $y=3\alpha -2$ și $x=5-5\alpha$. Deci $S=\{(5-5\alpha ,3\alpha -2,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

3. Pentru $\alpha =0$, $\alpha =1$ și $\alpha =-1$ se obțin $(5,-2,0)$, $(0,1,1)$ și $(10,-5,-1)$. Toate verifică cele trei ecuații — de pildă $(0,1,1)$: $0+1+2=3$ ✓, $0+3+1=4$ ✓, $0+4+3=7$ ✓.

4. A treia ecuație e suma primelor două ($2+3=5$), deci $r=2$ și gradul de nedeterminare e $4-2=2$. Cu $z=\alpha$, $t=\beta$: $x+y=2-\alpha -\beta$, $x+2y=3-2\alpha -3\beta$, de unde $y=1-\alpha -2\beta$ și $x=1+\beta$. Deci $S=\{(1+\beta ,1-\alpha -2\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

5. Fals. Necunoscutele principale sunt cele ale căror coeficienți intră în minorul principal, iar acesta trebuie să fie nenul: dacă alegi ca principale două necunoscute cu coloane proporționale, minorul iese nul — exemplul 4 din lecție e exact acest caz.

6. Fals. „Dublu nedeterminat" nu se referă la numărul soluțiilor, ci la numărul necunoscutelor secundare: soluțiile sunt o infinitate, descrise cu doi parametri.

7. Toate ecuațiile sunt proporționale cu prima, deci $r=1$; termenii liberi respectă aceleași proporții, deci sistemul e compatibil, cu gradul de nedeterminare $2$. Cu $y=\alpha$, $z=\beta$: $S=\{(4+2\alpha -3\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

8. Sistemul este $x+y+z=12$, $10x+20y+30z=250$, adică a doua ecuație se simplifică la $x+2y+3z=25$. Rangul e $2$, deci soluția are un parametru: cu $z=\alpha$, $y=13-2\alpha$ și $x=\alpha -1$. Condițiile $x,y,z\in \mathbb{N}$ dau $1\le \alpha \le 6$, deci șase variante: $(0,11,1)$, $(1,9,2)$, $(2,7,3)$, $(3,5,4)$, $(4,3,5)$, $(5,1,6)$.

9. $r=2=m$, deci sistemul e compatibil fără calcul suplimentar, cu $2$ necunoscute secundare. Cu $z=\alpha$, $t=\beta$ se obține $y=8-2\alpha -3\beta$ și $x=\alpha +2\beta -2$, deci $S=\{(\alpha +2\beta -2,8-2\alpha -3\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

10. Minorul din coloanele lui $y$ și $z$ (liniile $1$, $2$) este $-5\ne 0$, deci alegerea e permisă. Cu $x=\alpha$: $y+2z=3-\alpha$, $3y+z=4-2\alpha$, de unde $z=\frac{5-\alpha }{5}$ și $y=\frac{5-3\alpha }{5}$. E aceeași mulțime: punând $\alpha =5-5t$ se obțin $z=t$ și $y=3t-2$, adică scrierea de la exercițiul 2.

11. Minorul din primele trei linii și coloane este $1\ne 0$, deci necunoscutele principale sunt $x$, $y$, $z$, iar secundară e $t=\alpha$. Sistemul principal dă $x=5-3\alpha$, $y=2\alpha -1$, $z=0$, deci $S=\{(5-3\alpha ,2\alpha -1,0,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; verificare în ecuația a patra: $(5-3\alpha )+2\cdot 0+3\alpha =5$ ✓. Observă că o necunoscută principală poate ieși constantă — nu e o greșeală.

12. a) $\det A=1(2m-9)-1(m-6)+1(3-4)=m-4$. b) Pentru $m=4$, minorul din primele două linii și coloane, egal cu $1\ne 0$, dă $r=2$; a treia ecuație e suma primelor două ($1+3=4$), deci determinantul caracteristic e nul și sistemul e compatibil simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$: $y=2-2\alpha$ și $x=\alpha -1$, deci $S=\{(\alpha -1,2-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

13. Condiția: minorul format din coloanele lui $z$ și $t$ trebuie să fie nenul, ceea ce se verifică — el este $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$. Cu $x=\alpha$ și $y=\beta$ secundare: $z+t=1-\alpha -2\beta$, $3z+t=3-2\alpha -4\beta$, de unde $z=1-\frac{\alpha }{2}-\beta$ și $t=-\frac{\alpha }{2}-\beta$. Deci $S=\left\{\left(\alpha ,\beta ,1-\frac{\alpha }{2}-\beta ,-\frac{\alpha }{2}-\beta \right)\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\right\}$.

14. Rangul e $2$, deci soluția are un parametru: cu $z=\alpha$, $y=6-2\alpha$ și $x=\alpha -1$. Pentru $\alpha =1,2,3$ se obțin $(0,4,1)$, $(1,2,2)$, $(2,0,3)$; fiecare verifică ambele ecuații (de pildă $(1,2,2)$: $1+2+2=5$ ✓, $1+4+6=11$ ✓).

15. Rangul $r$ arată că doar $r$ ecuații poartă informație independentă, iar ele fixează exact $r$ necunoscute: minorul principal fiind nenul, sistemul principal e de tip Cramer și are soluție unică odată aleși parametrii. Rămân libere $n-r$ necunoscute; cu mai puțini parametri s-ar pierde soluții, cu mai mulți ar apărea „soluții" care nu verifică sistemul.

16. A treia ecuație e suma primelor două, iar a patra e $3L_1-L_2$; sistemul e compatibil (verificat cu determinanții caracteristici) și $r=2$. Cu $z=\alpha$: $x+y=4-\alpha$, $x+2y=9-3\alpha$, de unde $y=5-2\alpha$ și $x=\alpha -1$, deci $S=\{(\alpha -1,5-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

17. Pentru ca toate componentele să fie numere naturale trebuie $2\alpha -1\ge 0$, $3-\alpha \ge 0$ și $\alpha \in \mathbb{N}$, deci $\alpha \in \{1,2,3\}$: soluțiile $(1,2,1)$, $(3,1,2)$, $(5,0,3)$. Prima componentă e egală cu a treia când $2\alpha -1=\alpha$, adică $\alpha =1$, ceea ce dă soluția $(1,2,1)$.

18. Rangul unei matrice cu $3$ linii este cel mult $3$, deci $r\in \{1,2,3\}$ (nu poate fi $0$ decât dacă toți coeficienții sunt nuli). Gradul de nedeterminare $5-r$ ia deci valorile $4$, $3$ sau $2$; el nu poate coborî sub $2$ pentru că $r\le 3<5$, adică cele trei ecuații nu au cum să fixeze cinci necunoscute.

De reținut

• Gradul de nedeterminare e $n-r$ și dă exact numărul parametrilor din soluție.
• Necunoscutele secundare sunt cele rămase pe dinafara minorului principal, care trebuie să fie nenul — de aici condiția asupra alegerii.
• Sistemul principal e de tip Cramer: determinantul lui e chiar minorul principal, iar parametrii se tratează ca numere obișnuite.
• Mulțimea soluțiilor se scrie $S=\{(\dots )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, cu componentele în ordinea necunoscutelor din enunț.
• Alegeri diferite dau scrieri diferite ale aceleiași mulțimi.

Greșeli frecvente

• Alegerea necunoscutelor secundare fără minor principal. Dacă iei ca principale două necunoscute cu coloane proporționale, minorul e nul și sistemul principal nu se poate rezolva. Fixează întâi minorul, apoi citește necunoscutele.
• Număr greșit de parametri. Trebuie să fie exact $n-r$. Doi parametri într-un sistem cu $n-r=1$ înseamnă, aproape sigur, că nu ai folosit toate ecuațiile principale.
• Notarea parametrilor cu litere de necunoscute. Se scrie $z=\alpha$: în mulțimea soluțiilor, componenta a treia e $\alpha$, un parametru care parcurge $\mathbb{R}$.
• Verificarea doar în ecuațiile principale. Ele sunt satisfăcute prin construcție; adevărata verificare se face în ecuațiile secundare, pentru două-trei valori ale parametrilor.
• Uitarea condițiilor din context. Într-o problemă practică, parametrul poate fi obligat să fie natural sau pozitiv, iar atunci din infinitatea de soluții matematice rămân câteva — sau niciuna.

Aplică acasă

1. Cele șase variante. Reia problema premiilor din lecție cu suma totală de $260$ de lei în loc de $250$: câte variante cu numere naturale mai rămân? O schimbare mică poate modifica mult numărul soluțiilor practice.

2. Două parametrizări. Ia un sistem simplu nedeterminat din culegere și rezolvă-l de două ori, cu alegeri diferite ale necunoscutei secundare. Compară cele două mulțimi dând trei valori parametrului în fiecare: trebuie să obții aceleași triplete.

3. Rețete de amestec. Scrie un sistem cu trei ingrediente și două condiții (masă totală și preț total), descrie toate rețetele posibile, apoi adaugă condiția ca fiecare cantitate să fie cel puțin $1$ kg și vezi cum se restrânge intervalul parametrului.

Pentru părinți și profesori

Lecția e locul în care sistemele nedeterminate încetează să fie un caz „ciudat" și devin o rutină de rezolvare. Traseul e fix: rang, minor principal, necunoscute secundare notate cu $\alpha$ și $\beta$, sistem principal rezolvat cu Cramer, mulțimea soluțiilor scrisă complet, verificare.

De verificat în caiet: (1) numărul parametrilor e exact $n-r$; (2) minorul principal e precizat, iar necunoscutele secundare sunt cele rămase din el; (3) componentele soluției sunt scrise în ordinea necunoscutelor din enunț; (4) verificarea se face în ecuațiile secundare. Întrebări de control: „Câți parametri va avea soluția?"; „De ce nu poți lua ca principale orice două necunoscute?".

La BAC M1, cerința tipică este „determinați $m$ pentru care sistemul are o infinitate de soluții și rezolvați-l pentru acea valoare" — deci exact drumul din lecție, precedat de calculul unui determinant cu parametru. Semn că elevul a înțeles: știe dinainte câți parametri va avea răspunsul și verifică soluția în ecuația pe care nu a folosit-o.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un sistem este compatibil nedeterminat? Că are o infinitate de soluții. Ele se descriu cu $n-r$ parametri, unde $n$ e numărul necunoscutelor și $r$ rangul comun al celor două matrice.

Cum aleg necunoscutele secundare? Fixezi întâi un minor principal, adică un minor nenul de ordin $r$ în matricea sistemului. Necunoscutele ale căror coeficienți intră în el sunt principale, iar celelalte, în număr de $n-r$, sunt secundare.

Pot alege orice necunoscute drept secundare? Nu. Cele rămase principale trebuie să dea un minor nenul; dacă două coloane sunt proporționale, necunoscutele lor nu pot fi amândouă principale.

Ce înseamnă simplu nedeterminat și dublu nedeterminat? Simplu nedeterminat înseamnă $n-r=1$, adică un parametru; dublu nedeterminat, $n-r=2$, adică doi. Numele se referă la numărul parametrilor, nu al soluțiilor.

Cum scriu mulțimea soluțiilor? Ca mulțime de $n$-uple, cu parametrii precizați la final: $S=\{(\dots ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Componentele se trec în ordinea necunoscutelor din enunț.

De ce soluția mea arată altfel decât cea din culegere? Probabil ai ales altă necunoscută secundară. Cele două scrieri descriu aceeași mulțime; verifică dând câteva valori parametrului în fiecare și comparând soluțiile obținute.

Cum apar sistemele nedeterminate la Bacalaureat M1? De obicei ca sisteme cu parametru: se cere valoarea pentru care sistemul are o infinitate de soluții, apoi rezolvarea completă, cu punctaj pe scrierea corectă a mulțimii soluțiilor.