Sisteme compatibile nedeterminate: pe scurt

Când $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=r<n$, sistemul are o infinitate de soluții, dar acestea nu apar haotic: doar $r$ ecuații poartă informație independentă și pot fixa doar $r$ necunoscute, iar celelalte $n-r$ rămân libere. Numărul $n-r$ este gradul de nedeterminare și dă exact numărul parametrilor din soluție: pentru $n-r=1$ sistemul e simplu nedeterminat, pentru $n-r=2$, dublu nedeterminat.

Alegerea nu e liberă. Necunoscutele principale sunt cele ale căror coeficienți intră în minorul principal, iar acesta trebuie să fie nenul: două necunoscute cu coloane proporționale nu pot fi amândouă principale. Regula practică: fixezi întâi minorul principal (de preferință cu numere mici), apoi citești din el necunoscutele — niciodată invers.

Urmează trei mișcări: păstrezi ecuațiile principale, treci necunoscutele secundare în membrul drept notându-le $\alpha$, $\beta$, și rezolvi sistemul principal, care are drept determinant chiar minorul principal, deci e de tip Cramer; parametrii se tratează ca numere obișnuite.

Mulțimea soluțiilor se scrie $S=\{(\dots ,\dots ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, cu componentele în ordinea necunoscutelor din enunț. Alegeri diferite ale minorului principal dau scrieri diferite ale aceleiași mulțimi. Verificarea se face în ecuațiile secundare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un sistem cu $4$ ecuații și $5$ necunoscute are $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3$. Mulțimea soluțiilor se scrie cu:

   • a) doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat
   • b) trei parametri — sistemul este triplu nedeterminat
   • c) un singur parametru
   • d) niciun parametru, soluția fiind unică
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat

   Gradul de nedeterminare este $n-r=5-3=2$, deci apar exact doi parametri, $\alpha$ și $\beta$. Numărul $3$ ar veni din rang, nu din $n-r$, iar soluție unică ar însemna $r=n$. Numărul ecuațiilor, $4$, nu intervine în această numărătoare: el dă numărul determinanților caracteristici, nu al parametrilor.

2. Într-un sistem, coloana necunoscutei $y$ din matricea sistemului este dublul coloanei lui $x$. Atunci:

   • a) sistemul este sigur incompatibil
   • b) $x$ și $y$ pot fi luate amândouă ca necunoscute principale
   • c) $y$ este obligatoriu necunoscută principală
   • d) $x$ și $y$ nu pot fi amândouă necunoscute principale
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x$ și $y$ nu pot fi amândouă necunoscute principale

   Orice minor care conține ambele coloane are două coloane proporționale, deci este nul și nu poate fi minor principal. Necunoscutele principale se citesc din minorul principal, care trebuie să fie nenul, așa că una dintre $x$ și $y$ va fi obligatoriu secundară. Proporționalitatea a două coloane nu spune însă nimic despre compatibilitate: aceea se decide din termenii liberi.

3. Mulțimea soluțiilor sistemului $x+2y=7$, $x+y-z=4$, $2x+3y-z=11$ este:

   • a) $\{(2\alpha +2,3-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$
   • b) $\{(\alpha ,2\alpha +1,3-\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$
   • c) $\{(2\alpha +1,3-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$
   • d) $\{(2\alpha +1,4-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\{(2\alpha +1,3-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$

   A treia ecuație este suma primelor două, și la coeficienți, și la termeni liberi ($7+4=11$), deci sistemul e compatibil, iar minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$. Cu necunoscuta secundară $z=\alpha$, sistemul principal $x+2y=7$, $x+y=4+\alpha$ dă $y=3-\alpha$ și $x=2\alpha +1$. Componentele se scriu în ordinea $x$, $y$, $z$ din enunț, deci varianta cu $\alpha$ pe primul loc descrie altceva. Control pentru $\alpha =2$: tripletul $(5,1,2)$ verifică toate trei ecuațiile.