Adunarea și scăderea polinoamelor

Un atelier are două linii de producție. Costul primei linii, în mii de lei pentru $X$ sute de piese, este descris de polinomul $C_{1} = X^{2} + 12 X + 30$ , iar al celei de-a doua de $C_{2} = 2 X^{2} + 5 X + 45$ . Contabilul vrea o singură formulă pentru costul total. Ce face? Adună cele două polinoame. Iar dacă vrea să știe cu cât e mai scumpă a doua linie decât prima, le scade.

Operațiile cu polinoame se fac exact ca operațiile cu numere scrise în baza zece: aduni „unitățile cu unitățile, zecile cu zecile", adică coeficienții de același rang între ei. Analogia nu e o metaforă, ci chiar ideea din spatele definiției — programa o formulează ca „efectuarea operațiilor cu polinoame, prin analogie cu calculul numeric". Lecția aceasta îți dă regula, proprietățile ei și o surpriză care produce, an de an, cele mai multe greșeli la examen: gradul sumei poate fi mai mic decât gradul fiecăruia dintre termeni.

Ce vei învăța

Vei ști să aduni și să scazi două polinoame, lucrând pe coeficienți, nu pe termeni răzleți.
Vei ști să determini gradul sumei și să explici de ce el poate fi mai mic decât gradele termenilor.
Vei ști să scrii opusul unui polinom și să transformi orice scădere într-o adunare.
Vei ști să enunți proprietățile adunării polinoamelor: comutativitate, asociativitate, element neutru, opus.
Vei ști să aduni polinoame cu coeficienți complecși, fără să te încurci în paranteze.
Vei ști să verifici un rezultat prin evaluare în câteva puncte, metoda de control care prinde aproape orice greșeală de calcul.

Hai să descoperim împreună

1. Regula: coeficienți de același rang

Fie $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ și $g = b_{n} X^{n} + \dots + b_{1} X + b_{0}$ două polinoame din $C [X]$ (dacă unul are grad mai mic, îi completăm lista cu zerouri până la aceeași lungime).

Definiție. Suma polinoamelor $f$ și $g$ este polinomul

$f + g = (a_{n} + b_{n}) X^{n} + \dots + (a_{1} + b_{1}) X + (a_{0} + b_{0}),$

adică polinomul ai cărui coeficienți sunt sumele coeficienților de același rang: $c_{k} = a_{k} + b_{k}$ .

Aceasta este, scrisă riguros, exact reducerea termenilor asemenea pe care o faci din gimnaziu: $3 X^{2}$ și $- 5 X^{2}$ se adună între ele pentru că au același rang, dar $3 X^{2}$ și $- 5 X$ nu au ce căuta împreună.

2. Cum se așază calculul, în practică

Cel mai sigur procedeu este tabelul de coeficienți: scrii cele două polinoame unul sub altul, aliniate pe ranguri, completezi cu zerouri golurile și aduni pe coloane. Să calculăm $f + g$ pentru $f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ și $g = - 3 X^{3} + X^{2} + 4$ :

Rang	$3$	$2$	$1$	$0$
$f$	$3$	$- 2$	$5$	$- 1$
$g$	$- 3$	$1$	$0$	$4$
$f + g$	$0$	$- 1$	$5$	$3$

Rezultatul se citește de pe ultima linie: $f + g = - X^{2} + 5 X + 3$ .

Observă rangul $1$ : polinomul $g$ nu are termen în $X$ , deci coeficientul lui este $0$ , iar suma pe acea coloană este $5 + 0 = 5$ . Golurile completate cu zero sunt tot ce trebuie ca metoda să nu greșească niciodată.

✏️Ilustrație: două șiruri de sertare numerotate 3, 2, 1, 0, așezate unul peste altul, cu coeficienții înăuntru; sub ele, al treilea șir cu sumele; săgeți verticale leagă sertarele de același rang; sertarul de rang 3 al sumei e marcat cu roșu și eticheta „0 — gradul scade!"

3. Surpriza: gradul sumei poate să scadă

Uită-te la exemplul de mai sus. $grad f = 3$ , $grad g = 3$ , dar $grad (f + g) = 2$ . Coeficienții dominanți, $3$ și $- 3$ , s-au anulat unul pe celălalt.

Teoremă (gradul sumei). Fie $f, g \in C [X]$ polinoame nenule, cu $f + g \neq = 0$ . Atunci

$grad (f + g) \leq max (grad f, grad g) .$

Mai mult:

dacă $grad f \neq = grad g$ , atunci are loc egalitatea;
dacă $grad f = grad g = n$ , atunci gradul sumei este $n$ dacă $a_{n} + b_{n} \neq = 0$ și este strict mai mic dacă $a_{n} + b_{n} = 0$ .

Demonstrație. Notăm $n = max (grad f, grad g)$ . Peste rangul $n$ , ambele polinoame au coeficienți nuli, deci și suma lor are coeficienți nuli; prin urmare gradul sumei nu poate depăși $n$ , ceea ce dă inegalitatea.

Dacă gradele sunt diferite, să zicem $grad f = n > m = grad g$ , atunci coeficientul de rang $n$ al sumei este $a_{n} + 0 = a_{n} \neq = 0$ , deci gradul sumei este exact $n$ .

Dacă gradele sunt egale cu $n$ , coeficientul de rang $n$ al sumei este $a_{n} + b_{n}$ ; el poate fi nul, caz în care rangul maxim nenul coboară. $■$

Cerința „ $f + g \neq = 0$ " din enunț nu e un moft: dacă $g = - f$ , suma este polinomul nul, iar acesta nu are grad, deci inegalitatea nici nu s-ar putea scrie. Este exact motivul pentru care, în lecția Ce este un polinom. Forma algebrică și gradul, am insistat asupra excepției polinomului nul.

Cât de mult poate scădea gradul? Oricât. Pentru $f = X^{3} + X^{2} + 1$ și $g = - X^{3} - X^{2} + X$ , suma este $f + g = X + 1$ : gradul a coborât de la $3$ la $1$ .

4. Opusul și scăderea

Definiție. Opusul polinomului $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ este polinomul $- f = - a_{n} X^{n} - \dots - a_{0}$ , adică polinomul cu toți coeficienții schimbați de semn.

Scăderea se definește atunci ca în orice calcul numeric:

$f - g = f + (- g),$

adică se scad coeficienții de același rang: $c_{k} = a_{k} - b_{k}$ .

Pentru $f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ și $g = - 3 X^{3} + X^{2} + 4$ :

$f - g = (3 - (- 3)) X^{3} + (- 2 - 1) X^{2} + (5 - 0) X + (- 1 - 4) = 6 X^{3} - 3 X^{2} + 5 X - 5.$

Capcana numărul unu la scădere: semnul se schimbă la toți termenii scăzătorului, inclusiv la cei care lipsesc din scriere (dar au coeficientul $0$ , deci nu deranjează) și mai ales la termenul liber. Cel mai sigur este să scrii mai întâi $- g$ complet, apoi să aduni.

5. Proprietățile adunării

Pentru orice $f, g, h \in C [X]$ sunt adevărate:

Comutativitatea: $f + g = g + f$ .
Asociativitatea: $(f + g) + h = f + (g + h)$ .
Element neutru: $f + 0 = 0 + f = f$ , unde $0$ este polinomul nul.
Element opus: $f + (- f) = 0$ .

Toate patru se demonstrează la fel, într-o singură linie: coeficientul de rang $k$ al membrului stâng și cel al membrului drept sunt egale, pentru că adunarea numerelor complexe are aceleași proprietăți. De exemplu, pentru comutativitate: coeficientul de rang $k$ al lui $f + g$ este $a_{k} + b_{k}$ , iar cel al lui $g + f$ este $b_{k} + a_{k}$ ; cum adunarea în $C$ este comutativă, cele două coincid pentru orice $k$ , deci polinoamele sunt egale prin criteriul de egalitate. $■$

Cele patru proprietăți spun, în limbajul pe care îl vei învăța riguros în clasa a XII-a, că mulțimea $C [X]$ formează un grup abelian față de adunare. Practic, ele îți garantează că poți aduna polinoamele în orice ordine și le poți grupa cum îți convine — exact ca la numere.

6. Coeficienți complecși: același calcul, doar cu paranteze

Nimic nu se schimbă când coeficienții sunt complecși; singura disciplină suplimentară este să pui coeficienții în paranteze ca să nu amesteci semnele. Fie

$f = (2 + i) X^{2} + 3 X - i, g = (1 - i) X^{2} - 3 i X + (2 + i) .$

Pe ranguri:

rang $2$ : $(2 + i) + (1 - i) = 3$ ;
rang $1$ : $3 + (- 3 i) = 3 - 3 i$ ;
rang $0$ : $- i + (2 + i) = 2$ .

Deci $f + g = 3 X^{2} + (3 - 3 i) X + 2$ . Interesant: doi coeficienți nereali au dat, prin adunare, coeficienți… doi dintre ei reali. Nu e nimic special — este aceeași aritmetică studiată la adunarea și scăderea numerelor complexe, aplicată de trei ori.

Pentru diferență:

rang $2$ : $(2 + i) - (1 - i) = 1 + 2 i$ ;
rang $1$ : $3 - (- 3 i) = 3 + 3 i$ ;
rang $0$ : $- i - (2 + i) = - 2 - 2 i$ .

Deci $f - g = (1 + 2 i) X^{2} + (3 + 3 i) X - 2 - 2 i$ .

7. Cum îți verifici rezultatul: evaluarea în câteva puncte

Există o metodă de control care prinde aproape orice greșeală de calcul și durează mai puțin decât recitirea. Ea se bazează pe o proprietate pe care o vei demonstra în lecția Valoarea unui polinom. Funcția polinomială:

$(f + g) (x) = f (x) + g (x) pentru orice x \in C .$

Cu alte cuvinte: dacă înlocuiești nedeterminata cu un număr, suma polinoamelor trebuie să dea suma valorilor. Alegi două-trei numere comode — de obicei $x = 1$ , $x = - 1$ și $x = 2$ — și verifici.

Pentru exemplul din secțiunea 2, cu $f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ , $g = - 3 X^{3} + X^{2} + 4$ și $f + g = - X^{2} + 5 X + 3$ :

în $x = 1$ : $f (1) = 5$ , $g (1) = 2$ , suma $7$ ; iar $(f + g) (1) = - 1 + 5 + 3 = 7$ ✓;
în $x = 2$ : $f (2) = 24 - 8 + 10 - 1 = 25$ , $g (2) = - 24 + 4 + 4 = - 16$ , suma $9$ ; iar $(f + g) (2) = - 4 + 10 + 3 = 9$ ✓;
în $x = - 1$ : $f (- 1) = - 3 - 2 - 5 - 1 = - 11$ , $g (- 1) = 3 + 1 + 4 = 8$ , suma $- 3$ ; iar $(f + g) (- 1) = - 1 - 5 + 3 = - 3$ ✓.

Atenție la ce garantează metoda: potrivirea în câteva puncte nu demonstrează egalitatea polinoamelor (două polinoame diferite pot coincide în câteva puncte), dar o nepotrivire demonstrează sigur că undeva e o greșeală. Este un detector de erori excelent, nu o demonstrație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sumă cu scădere de grad

Calculați $f + g$ pentru $f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ și $g = - 3 X^{3} + X^{2} + 4$ , apoi precizați gradul rezultatului.

Rezolvare. Pe ranguri: $3 + (- 3) = 0$ ; $- 2 + 1 = - 1$ ; $5 + 0 = 5$ ; $- 1 + 4 = 3$ . Deci

$f + g = - X^{2} + 5 X + 3, grad (f + g) = 2.$

Deși ambele polinoame au gradul $3$ , suma are gradul $2$ , pentru că termenii de rang $3$ s-au redus. Control în $x = 1$ : $5 + 2 = 7$ și $- 1 + 5 + 3 = 7$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Diferență

Pentru aceleași polinoame, calculați $f - g$ .

Rezolvare. Scriem opusul: $- g = 3 X^{3} - X^{2} - 4$ . Adunăm:

$f - g = (3 + 3) X^{3} + (- 2 - 1) X^{2} + 5 X + (- 1 - 4) = 6 X^{3} - 3 X^{2} + 5 X - 5.$

Control în $x = 2$ : $f (2) - g (2) = 25 - (- 16) = 41$ , iar $48 - 12 + 10 - 5 = 41$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Coeficienți complecși

Calculați $f + g$ și $f - g$ pentru $f = (2 + i) X^{2} + 3 X - i$ și $g = (1 - i) X^{2} - 3 i X + (2 + i)$ .

Rezolvare. Sumă: rang $2$ : $(2 + i) + (1 - i) = 3$ ; rang $1$ : $3 - 3 i$ ; rang $0$ : $- i + 2 + i = 2$ . Deci

$f + g = 3 X^{2} + (3 - 3 i) X + 2.$

Diferență: rang $2$ : $(2 + i) - (1 - i) = 1 + 2 i$ ; rang $1$ : $3 + 3 i$ ; rang $0$ : $- i - 2 - i = - 2 - 2 i$ . Deci

$f - g = (1 + 2 i) X^{2} + (3 + 3 i) X - 2 - 2 i .$

Control în $x = 1$ : $f (1) = (2 + i) + 3 - i = 5$ ; $g (1) = (1 - i) - 3 i + (2 + i) = 3 - 3 i$ . Atunci $f (1) + g (1) = 8 - 3 i$ , iar $(f + g) (1) = 3 + (3 - 3 i) + 2 = 8 - 3 i$ ✓. $■$

Exemplul 4 — O sumă care dă polinomul nul

Calculați $f + g + h$ pentru $f = X^{2} - 2 X + 3$ , $g = - 2 X^{2} + X - 1$ , $h = X^{2} + X - 2$ .

Rezolvare. Pe ranguri: $1 - 2 + 1 = 0$ ; $- 2 + 1 + 1 = 0$ ; $3 - 1 - 2 = 0$ . Toți coeficienții sumei sunt nuli, deci

$f + g + h = 0 (polinomul nul) .$

Rezultatul nu are grad — este singurul polinom despre care nu putem vorbi în termeni de grad. Control în $x = 1$ : $2 + (- 2) + 0 = 0$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Aflarea unui termen necunoscut

Determinați polinomul $g$ știind că $f = X^{3} - 2 X + 5$ și $f + g = 2 X^{3} + X^{2} - 7$ .

Rezolvare. Din $f + g = h$ rezultă $g = h - f$ :

$g = (2 - 1) X^{3} + (1 - 0) X^{2} + (0 - (- 2)) X + (- 7 - 5) = X^{3} + X^{2} + 2 X - 12.$

Verificare prin adunare: $f + g = (1 + 1) X^{3} + (0 + 1) X^{2} + (- 2 + 2) X + (5 - 12) = 2 X^{3} + X^{2} - 7$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinoamele $f = X^{3} + m X^{2} - 2 X + 1$ și $g = - X^{3} + 3 X^{2} + (m - 1) X - 4$ , cu $m \in R$ . a) Calculați $f + g$ . b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $grad (f + g) = 2$ . c) Determinați gradul lui $f + g$ pentru valoarea lui $m$ care nu convine la punctul b).

Rezolvare. a) Pe ranguri: rang $3$ : $1 + (- 1) = 0$ ; rang $2$ : $m + 3$ ; rang $1$ : $- 2 + (m - 1) = m - 3$ ; rang $0$ : $1 - 4 = - 3$ . Deci

$f + g = (m + 3) X^{2} + (m - 3) X - 3.$

b) Gradul este $2$ exact când coeficientul de rang $2$ este nenul: $m + 3 \neq = 0$ , adică $m \neq = - 3$ .

c) Pentru $m = - 3$ : $f + g = 0 \cdot X^{2} + (- 6) X - 3 = - 6 X - 3$ , polinom de gradul $1$ (coeficientul lui $X$ este $- 6 \neq = 0$ ).

Observă că termenii de rang $3$ se reduc indiferent de $m$ : gradul sumei este de la bun început cel mult $2$ , deși ambele polinoame au gradul $3$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, folosind tabelul de coeficienți. La fiecare rezultat, fă un control rapid prin evaluare în $x = 1$ — te costă cinci secunde și îți salvează exercițiul.

1. Calculează $f + g$ și $f - g$ pentru $f = 2 X^{2} + 3 X - 1$ și $g = X^{2} - 5 X + 4$ .

2. Calculează $f + g$ pentru $f = X^{3} - X$ și $g = - X^{3} + 2 X^{2} + X - 6$ , apoi precizează gradul rezultatului.

3. Calculează $f + g$ pentru $f = i X^{2} + (1 - i) X + 3$ și $g = (2 - i) X^{2} - X + 2 i$ .

4. Pentru polinoamele de la exercițiul 3, calculează $f - g$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Gradul sumei a două polinoame nenule este întotdeauna egal cu cel mai mare dintre gradele lor."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $grad f = 3$ și $grad g = 5$ , atunci $grad (f + g) = 5$ ."

7. Determină polinomul $g$ astfel încât $f + g = h$ , unde $f = 3 X^{2} - X + 2$ și $h = X^{3} + 3 X^{2} + 4$ .

8. Determină $m \in C$ pentru care suma polinoamelor $f = X^{3} + m X^{2} + X$ și $g = - X^{3} + 2 X^{2} - 1$ are gradul $1$ .

9. Calculează $f + g + h$ pentru $f = X^{2} - 2 X + 3$ , $g = - 2 X^{2} + X - 1$ , $h = X^{2} + X - 2$ . Ce fel de polinom ai obținut?

10. Verifică prin evaluare în $x = 1$ și în $x = - 1$ rezultatul obținut la exercițiul 1 pentru $f + g$ .

11. (Problemă aplicată.) Costurile lunare ale două ateliere, în mii de lei pentru $X$ sute de piese produse, sunt $C_{1} = X^{2} + 12 X + 30$ și $C_{2} = 2 X^{2} + 5 X + 45$ . a) Scrie polinomul costului total. b) Calculează costul total pentru $X = 4$ , în două moduri. c) Scrie polinomul $C_{2} - C_{1}$ și explică ce reprezintă.

12. Determină $a, b \in C$ astfel încât suma polinoamelor $f = a X^{2} - 3 X + b$ și $g = 4 X^{2} + 3 X - 7$ să fie polinomul nul.

13. Dă un exemplu de două polinoame de gradul al treilea a căror diferență are gradul $1$ .

14. Arată, pe polinoamele de la exercițiul 1, că $(f + g) - (f - g) = 2 g$ .

15. Determină polinomul $g$ astfel încât $f + g = (1 + i) X^{3}$ , unde $f = (1 + i) X^{3} - 2 i X + 5$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f = X^{3} + (a - 1) X^{2} + 2 X - 3$ și $g = - X^{3} + 4 X^{2} + (2 - a) X + 1$ , cu $a \in R$ . a) Calculează $f + g$ . b) Determină $a$ pentru care $grad (f + g) = 1$ și scrie polinomul obținut.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma a două polinoame cu coeficienți reali poate avea un coeficient nereal."

18. (Provocare.) Fie $f$ și $g$ două polinoame de gradul $4$ pentru care $f + g$ are gradul $2$ . Ce poți spune despre coeficienții lor de rang $4$ și de rang $3$ ? Dar despre cei de rang $2$ ?

Răspunsuri și explicații

1. $f + g = 3 X^{2} - 2 X + 3$ (din $2 + 1$ , $3 - 5$ , $- 1 + 4$ ); $f - g = X^{2} + 8 X - 5$ (din $2 - 1$ , $3 + 5$ , $- 1 - 4$ ).

2. Pe ranguri: $1 + (- 1) = 0$ ; $0 + 2 = 2$ ; $- 1 + 1 = 0$ ; $0 - 6 = - 6$ . Deci $f + g = 2 X^{2} - 6$ , de gradul $2$ (gradul a scăzut, pentru că termenii de rang $3$ s-au redus).

3. Rang $2$ : $i + (2 - i) = 2$ ; rang $1$ : $(1 - i) + (- 1) = - i$ ; rang $0$ : $3 + 2 i$ . Deci $f + g = 2 X^{2} - i X + (3 + 2 i)$ .

4. Rang $2$ : $i - (2 - i) = - 2 + 2 i$ ; rang $1$ : $(1 - i) - (- 1) = 2 - i$ ; rang $0$ : $3 - 2 i$ . Deci $f - g = (- 2 + 2 i) X^{2} + (2 - i) X + (3 - 2 i)$ .

5. Fals. Egalitatea are loc sigur doar când gradele sunt diferite. Dacă gradele sunt egale, coeficienții dominanți se pot anula: $f = X^{4}$ și $g = - X^{4} + X$ au ambele gradul $4$ , dar $f + g = X$ , de gradul $1$ .

6. Adevărat. Gradele fiind diferite, coeficientul de rang $5$ al sumei este $b_{5} + 0 = b_{5} \neq = 0$ , deci gradul sumei este exact $5$ .

7. $g = h - f = X^{3} + (3 - 3) X^{2} + (0 + 1) X + (4 - 2) = X^{3} + X + 2$ . Verificare: $f + g = X^{3} + 3 X^{2} + (- 1 + 1) X + 4 = X^{3} + 3 X^{2} + 4$ ✓.

8. $f + g = (m + 2) X^{2} + X - 1$ . Gradul este $1$ exact când coeficientul de rang $2$ se anulează: $m + 2 = 0$ , deci $m = - 2$ . (Coeficientul lui $X$ este $1 \neq = 0$ , deci gradul chiar este $1$ , nu mai mic.)

9. Toți coeficienții sumei sunt nuli: $1 - 2 + 1 = 0$ , $- 2 + 1 + 1 = 0$ , $3 - 1 - 2 = 0$ . Rezultatul este polinomul nul, singurul care nu are grad.

10. În $x = 1$ : $f (1) = 4$ , $g (1) = 0$ , suma $4$ ; $(f + g) (1) = 3 - 2 + 3 = 4$ ✓. În $x = - 1$ : $f (- 1) = 2 - 3 - 1 = - 2$ , $g (- 1) = 1 + 5 + 4 = 10$ , suma $8$ ; $(f + g) (- 1) = 3 + 2 + 3 = 8$ ✓.

11. a) $C_{1} + C_{2} = 3 X^{2} + 17 X + 75$ . b) Direct: $3 \cdot 16 + 17 \cdot 4 + 75 = 48 + 68 + 75 = 191$ mii de lei. Pe ateliere: $C_{1} (4) = 16 + 48 + 30 = 94$ și $C_{2} (4) = 32 + 20 + 45 = 97$ , cu suma $191$ ✓. c) $C_{2} - C_{1} = X^{2} - 7 X + 15$ reprezintă cu cât este mai scump al doilea atelier decât primul, pentru aceeași producție. (Pentru $X = 4$ : $16 - 28 + 15 = 3$ mii de lei, adică $97 - 94$ ✓.)

12. Suma este $(a + 4) X^{2} + 0 \cdot X + (b - 7)$ . Pentru a fi polinomul nul: $a + 4 = 0$ și $b - 7 = 0$ , deci $a = - 4$ , $b = 7$ .

13. De exemplu $f = X^{3} + X^{2} + 1$ și $g = X^{3} + X^{2} - X$ : diferența este $f - g = X + 1$ , de gradul $1$ . (Se reduc atât termenii de rang $3$ , cât și cei de rang $2$ — de aceea gradul coboară cu două trepte.)

14. $(f + g) - (f - g) = (3 X^{2} - 2 X + 3) - (X^{2} + 8 X - 5) = 2 X^{2} - 10 X + 8$ , iar $2 g = 2 (X^{2} - 5 X + 4) = 2 X^{2} - 10 X + 8$ ✓. Egalitatea are loc, de altfel, pentru orice $f$ și $g$ : termenii cu $f$ se reduc, iar cei cu $g$ se adună.

15. $g = (1 + i) X^{3} - f = 0 \cdot X^{3} + 2 i X - 5$ , adică $g = 2 i X - 5$ . Verificare: $f + g = (1 + i) X^{3} + (- 2 i + 2 i) X + (5 - 5) = (1 + i) X^{3}$ ✓.

16. a) Rang $3$ : $1 - 1 = 0$ ; rang $2$ : $(a - 1) + 4 = a + 3$ ; rang $1$ : $2 + (2 - a) = 4 - a$ ; rang $0$ : $- 3 + 1 = - 2$ . Deci $f + g = (a + 3) X^{2} + (4 - a) X - 2$ . b) Gradul $1$ cere $a + 3 = 0$ și $4 - a \neq = 0$ . Din prima, $a = - 3$ ; verificăm a doua: $4 - (- 3) = 7 \neq = 0$ ✓. Polinomul obținut este $f + g = 7 X - 2$ .

17. Fals. Coeficienții sumei sunt sume de numere reale, iar suma a două numere reale este tot un număr real. (Un coeficient nereal poate apărea doar dacă unul dintre polinoame avea deja coeficienți nereali.)

18. Notăm $f = a_{4} X^{4} + a_{3} X^{3} + \dots$ și $g = b_{4} X^{4} + b_{3} X^{3} + \dots$ , cu $a_{4} \neq = 0$ și $b_{4} \neq = 0$ . Faptul că $grad (f + g) = 2$ înseamnă că se anulează coeficienții de rang $4$ și de rang $3$ ai sumei, iar cel de rang $2$ rămâne nenul:

$a_{4} + b_{4} = 0, a_{3} + b_{3} = 0, a_{2} + b_{2} \neq = 0.$

Deci $b_{4} = - a_{4}$ (coeficienții dominanți sunt opuși) și $b_{3} = - a_{3}$ (și cei de rang $3$ sunt opuși), în timp ce coeficienții de rang $2$ nu sunt opuși. Un exemplu concret: $f = X^{4} + X^{3} + X^{2}$ și $g = - X^{4} - X^{3} + X^{2}$ , cu $f + g = 2 X^{2}$ .

De reținut

Adunarea se face pe coeficienți de același rang: $c_{k} = a_{k} + b_{k}$ . Este exact reducerea termenilor asemenea, scrisă riguros; golurile se completează cu $0$ .
Scăderea este adunarea cu opusul: $f - g = f + (- g)$ , unde $- g$ are toți coeficienții schimbați de semn. Semnul se schimbă la toți termenii scăzătorului.
Gradul sumei: pentru $f$ , $g$ și $f + g$ nenule, $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ , cu egalitate sigură dacă gradele sunt diferite; la grade egale, gradul poate scădea oricât de mult.
Proprietăți: adunarea polinoamelor este comutativă și asociativă, are element neutru (polinomul nul) și element opus — deci se comportă exact ca adunarea numerelor.
Controlul rezultatului: înlocuiește nedeterminata cu $1$ , $- 1$ sau $2$ și verifică dacă $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ . O nepotrivire înseamnă sigur o greșeală.

Greșeli frecvente

Adunarea unor termeni de rang diferit. $3 X^{2} + 5 X$ nu se reduce la $8 X^{3}$ sau la $8 X^{2}$ — se adună doar coeficienții monoamelor de același rang.
Uitarea rangurilor lipsă. Când un polinom nu are termen în $X$ , coeficientul lui este $0$ , iar coloana respectivă trebuie totuși completată. Aici se pierd cele mai multe puncte la calculul în coloană.
Semnul la scădere. $f - g$ cere schimbarea semnului la fiecare coeficient al lui $g$ , nu doar la primul. Scrie întâi $- g$ complet, apoi adună.
„Gradul sumei este maximul gradelor." Este adevărat doar când gradele sunt diferite. La grade egale, coeficienții dominanți se pot anula și gradul scade — de aici provin cele mai multe răspunsuri greșite la exercițiile cu parametru.
Aplicarea regulii gradului la polinomul nul. Dacă suma iese polinomul nul, nu spune „gradul este $0$ ": polinomul nul nu are grad, iar teorema despre gradul sumei nici nu se aplică.

Aplică acasă

Bugetul lunii. Scrie două polinoame de gradul al doilea care descriu cheltuielile a două luni consecutive dintr-un buget de familie (de exemplu, coeficienții pot fi sumele pe trei categorii). Calculează suma și diferența lor, apoi verifică rezultatul înlocuind nedeterminata cu $1$ .
Cursa cu tabelul. Scrie două polinoame de gradul al patrulea, cu coeficienți întregi între $- 5$ și $5$ , câteva ranguri fiind lipsă. Calculează suma o dată „din cap", pe rânduri, și o dată cu tabel de coeficienți, cronometrându-te. Compară rezultatele — dacă diferă, cauza este aproape sigur un rang uitat.
Detectorul de erori. Cere-i cuiva din familie să „strice" intenționat un coeficient dintr-un rezultat corect al tău. Găsește greșeala doar prin evaluare în $x = 1$ și $x = - 1$ , fără să refaci calculul, și explică de ce metoda funcționează.

Pentru părinți și profesori

Lecția pare ușoară și este, la nivel de calcul — dificultatea reală stă în teorema despre gradul sumei, care e prima afirmație din capitol cu o inegalitate acolo unde elevii se așteaptă la o egalitate. Verifică trei lucruri: (1) elevul completează cu zerouri rangurile lipsă; (2) schimbă semnul la toți coeficienții la scădere; (3) știe să dea un contraexemplu în care gradul sumei scade.

Întrebări bune de control: „Poate suma a două polinoame de gradul $5$ să aibă gradul $2$ ?" (da, dacă se reduc rangurile $5$ , $4$ și $3$ ); „Ce grad are suma dacă gradele sunt $3$ și $7$ ?" (exact $7$ ); „Cum verifici rapid că nu ai greșit?" (evaluare în $x = 1$ ). Semne că elevul a înțeles: la un exercițiu cu parametru scrie și condiția de nenulitate a noului coeficient dominant, nu doar egalitatea care anulează rangul superior.

La Bacalaureat M1, adunarea și scăderea apar rareori ca cerință de sine stătătoare, dar sunt pasul intermediar în aproape orice problemă de polinoame — în special în algoritmul împărțirii, unde la fiecare pas se scade un produs. O greșeală de semn la scădere strică tot restul rezolvării, deci exersarea merită timpul acordat.

Întrebări frecvente

Cum se adună două polinoame? Se adună coeficienții de același rang: coeficientul lui $X^{k}$ din sumă este suma coeficienților lui $X^{k}$ din cele două polinoame. Practic, este reducerea termenilor asemenea; rangurile care lipsesc dintr-un polinom se consideră cu coeficientul $0$ .

Cum se scad două polinoame? Se scad coeficienții de același rang, adică $f - g = f + (- g)$ , unde $- g$ este polinomul cu toți coeficienții schimbați de semn. Cel mai sigur procedeu este să scrii mai întâi opusul complet al scăzătorului și abia apoi să aduni.

Ce grad are suma a două polinoame? Cel mult maximul gradelor: $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ , pentru polinoame nenule cu sumă nenulă. Dacă gradele sunt diferite, are loc egalitatea. Dacă gradele sunt egale, gradul sumei poate scădea, atunci când coeficienții dominanți se anulează.

Poate suma a două polinoame de gradul $3$ să aibă gradul $1$ ? Da. De exemplu $X^{3} + X^{2} + 1$ și $- X^{3} - X^{2} + X$ dau suma $X + 1$ . Se reduc atât termenii de rang $3$ , cât și cei de rang $2$ , deci gradul coboară cu două trepte. Poate să dispară chiar și gradul: dacă $g = - f$ , suma este polinomul nul.

Ce este opusul unui polinom? Este polinomul obținut prin schimbarea semnului tuturor coeficienților, notat $- f$ . El are proprietatea $f + (- f) = 0$ , adică suma dă polinomul nul, și are același grad ca $f$ .

Ce proprietăți are adunarea polinoamelor? Este comutativă, este asociativă, are element neutru (polinomul nul) și fiecare polinom are un opus. Toate se demonstrează comparând coeficient cu coeficient, folosind proprietățile adunării numerelor complexe.

Cum verific rapid că am adunat corect? Înlocuiește nedeterminata cu un număr comod ( $1$ , $- 1$ sau $2$ ) în ambele polinoame și în rezultat: trebuie să obții aceeași valoare. O nepotrivire arată sigur o eroare; o potrivire este un indiciu puternic, dar nu o demonstrație.

Se schimbă ceva dacă polinoamele au coeficienți complecși? Nu, regula este identică — se adună coeficienții de același rang, folosind aritmetica numerelor complexe. Singura recomandare practică este să scrii coeficienții complecși în paranteze, ca să nu confunzi semnele la scădere.