Adunarea și scăderea numerelor complexe

Într-un circuit de curent alternativ, două componente legate în serie au impedanțele $Z_1=30+40i$ ohmi și $Z_2=20-15i$ ohmi. Întrebarea inginerului este simplă: cât este impedanța totală? Răspunsul este la fel de simplu, dar merită privit cu atenție: $Z=50+25i$. Rezistențele s-au adunat între ele ($30+20=50$), reactanțele s-au adunat între ele ($40-15=25$), și nu s-au amestecat între ele. Exact asta cere fizica: rezistența și reactanța sunt mărimi de naturi diferite, care se cumulează separat.

Această regulă — „fiecare parte cu partea ei" — este definiția adunării numerelor complexe. Ea nu este o convenție inventată de matematicieni pentru comoditate, ci consecința directă a faptului că, în $\mathbb{C}$, se aplică regulile obișnuite de calcul algebric: aduni termenii asemenea, exact ca la expresiile cu litere din clasa a IX-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să aduni și să scazi două numere complexe scrise sub formă algebrică, cu rezultatul adus tot la forma $a+bi$.
• Vei ști să demonstrezi proprietățile adunării în $\mathbb{C}$ și să recunoști că $(\mathbb{C},+)$ este grup abelian.
• Vei ști să determini opusul unui număr complex și să folosești scăderea ca adunare cu opusul.
• Vei ști că $\mathrm{Re}$ și $\mathrm{Im}$ sunt aditive și să calculezi sume cu mulți termeni, grupând.
• Vei ști să interpretezi geometric suma și diferența, prin vectori și regula paralelogramului.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția adunării

Fie $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$, cu $a,b,c,d$ numere reale. Adunăm ca la orice expresie algebrică, grupând termenii asemenea:

$$z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$$

Definiție. Suma numerelor complexe $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$ este numărul complex

$$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i.$$

Rezultatul este tot un număr complex scris sub formă algebrică, pentru că $a+c$ și $b+d$ sunt numere reale. Spunem că mulțimea $\mathbb{C}$ este închisă față de adunare.

Un exemplu: $(3+5i)+(2-8i)=(3+2)+(5-8)i=5-3i$.

Și un avertisment: nu aduna partea reală a unuia cu partea imaginară a celuilalt. Cele două „coloane" rămân separate de la început până la sfârșit; $3$ se adună cu $2$, iar $5$ cu $-8$, niciodată încrucișat.

2. Proprietățile adunării

Toate proprietățile de mai jos se demonstrează la fel: descompui în părți reale și imaginare și folosești proprietatea corespunzătoare de pe $\mathbb{R}$. Este o idee care merită reținută — proprietățile lui $\mathbb{C}$ sunt „moștenite" de la $\mathbb{R}$, componentă cu componentă.

Fie $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$, $z_3=e+fi$, cu toate literele numere reale.

(P1) Comutativitatea: $z_1+z_2=z_2+z_1$.

Demonstrație. $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$, iar $z_2+z_1=(c+a)+(d+b)i$. Cum adunarea numerelor reale este comutativă, $a+c=c+a$ și $b+d=d+b$, deci cele două numere au aceleași părți, deci sunt egale (criteriul din lecția Egalitatea a două numere complexe). $■$

(P2) Asociativitatea: $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

Demonstrație. Partea reală a membrului stâng este $(a+c)+e$, a celui drept $a+(c+e)$; ele coincid prin asociativitatea adunării pe $\mathbb{R}$. Analog pentru părțile imaginare: $(b+d)+f=b+(d+f)$. $■$

(P3) Element neutru: numărul $0=0+0i$ verifică $z+0=0+z=z$ pentru orice $z\in \mathbb{C}$.

(P4) Element opus: pentru orice $z=a+bi$ există $-z=-a-bi$ astfel încât $z+(-z)=0$.

Demonstrație. $(a+bi)+(-a-bi)=(a-a)+(b-b)i=0+0i=0$. $■$

Cele patru proprietăți spun, în limbajul algebrei, că $(\mathbb{C},+)$ este grup abelian — aceeași structură pe care o are $(\mathbb{R},+)$. Practic, asta înseamnă că poți schimba ordinea termenilor și poți grupa cum vrei, exact ca la numerele reale.

3. Opusul și scăderea

Definiție. Opusul numărului $z=a+bi$ este $-z=-a-bi$ (se schimbă semnul ambelor părți).

Scăderea se definește, ca peste tot în algebră, prin adunarea cu opusul:

$$z_1-z_2=z_1+(-z_2)=(a-c)+(b-d)i.$$

Deci: la scădere se scad părțile reale între ele și părțile imaginare între ele. Exemplu:

$$(3+5i)-(2-8i)=(3-2)+(5-(-8))i=1+13i.$$

Observă locul unde se greșește cel mai des: minusul din fața parantezei schimbă semnul la ambii termeni din ea, deci $-(2-8i)=-2+8i$. Dacă schimbi doar primul semn, obții $1-3i$, care este greșit.

4. Părțile se comportă aditiv

Din definiții rezultă imediat, pentru orice $z_1,z_2\in \mathbb{C}$:

$$\mathrm{Re}(z_1+z_2)=\mathrm{Re}(z_1)+\mathrm{Re}(z_2),\mathrm{Im}(z_1+z_2)=\mathrm{Im}(z_1)+\mathrm{Im}(z_2),$$

și analog pentru diferență. Este exact motivul pentru care sumele lungi se calculează comod: aduni separat toate părțile reale, apoi toate părțile imaginare. De exemplu,

$$\sum _{k=1}^{10}(k-ki)=\left(\sum _{k=1}^{10}k\right)-\left(\sum _{k=1}^{10}k\right)i=55-55i,$$

unde am folosit suma lui Gauss $1+2+\cdots +10=\frac{10\cdot 11}{2}=55$.

O consecință utilă: suma a două numere nereale poate fi un număr real. De pildă $(2+3i)+(1-3i)=3$. Nu te mira: părțile imaginare s-au anulat reciproc, exact ca în calculul lui Bombelli din lecția De ce avem nevoie de numere noi.

Tot din aditivitate rezultă și regula pentru multiplul natural al unui număr complex: dacă aduni de $n$ ori același număr $z=a+bi$, obții

$$\underset{n\text{ termeni}}{\underbrace{z+z+\cdots +z}}=na+(nb)i,\text{de exemplu }3(2-5i)=6-15i.$$

Ambele părți se înmulțesc cu același factor; este primul caz particular al înmulțirii, pe care o vei studia în întregime în lecția următoare.

5. Ce se întâmplă pe submulțimi

Merită observat cum se comportă adunarea pe cele două categorii speciale de numere din lecția Forma algebrică a unui număr complex.

• Două numere reale dau, evident, tot un număr real: pentru $b=d=0$ regula devine $a+c$, adică adunarea obișnuită. Deci noua operație nu strică nimic din ce știai: pe $\mathbb{R}$ se reduce la adunarea de dinainte.
• Două numere pur imaginare dau $bi+di=(b+d)i$, care este pur imaginar dacă $b+d\ne 0$ și este $0$ altfel. De exemplu, $3i+5i=8i$, dar $3i+(-3i)=0$.
• Un număr real plus unul pur imaginar reface exact forma algebrică: $a+bi$. Cu alte cuvinte, orice număr complex este suma dintre un număr real și unul pur imaginar — chiar asta spune scrierea $z=a+bi$.

6. Interpretarea geometrică: vectori în plan

Am văzut că un număr complex $z=a+bi$ este, în esență, perechea $(a,b)$, deci un punct al planului. Perechile se adună însă exact ca vectorii: componentă cu componentă. Prin urmare, suma a două numere complexe corespunde sumei vectorilor lor, iar construcția este binecunoscuta regulă a paralelogramului: dacă $z_1$ și $z_2$ sunt reprezentate de doi vectori cu originea în punctul $O$, atunci $z_1+z_2$ este reprezentat de diagonala paralelogramului construit pe ei.

Diferența are o interpretare la fel de utilă: dacă punctele $A$ și $B$ corespund numerelor $z_A$ și $z_B$, atunci vectorul de la $A$ la $B$ corespunde numărului $z_B-z_A$. De exemplu, pentru $A(2,1)$ și $B(5,5)$, adică $z_A=2+i$ și $z_B=5+5i$, obținem

$$z_B-z_A=(5-2)+(5-1)i=3+4i,$$

adică o deplasare de $3$ unități spre dreapta și $4$ în sus — exact ce arată desenul.

Aceste imagini vor fi reluate și extinse în lecțiile Planul complex. Imaginea geometrică și afixul și Interpretarea geometrică a operațiilor. Deocamdată reține doar atât: adunarea numerelor complexe este adunarea vectorilor.

7. Ecuații simple cu adunare și scădere

Pentru că $(\mathbb{C},+)$ este grup, ecuațiile de tipul $z+z_1=z_2$ se rezolvă exact ca pe $\mathbb{R}$: aduni în ambii membri opusul lui $z_1$ și obții

$$z=z_2-z_1.$$

De exemplu, din $z+(3-2i)=5+i$ rezultă $z=(5+i)-(3-2i)=2+3i$; verificarea este imediată: $(2+3i)+(3-2i)=5+i$ ✓.

Dacă se dau suma și diferența a două numere complexe, procedezi ca la sistemele din clasa a IX-a. Din $z_1+z_2=7-2i$ și $z_1-z_2=1+4i$, adunând relațiile obții $2z_1=8+2i$, deci $z_1=4+i$, iar apoi $z_2=(7-2i)-(4+i)=3-3i$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe

Calculați: a) $(3+5i)+(2-8i)$; b) $(3+5i)-(2-8i)$; c) $(-4+7i)+(4-7i)$.

Rezolvare. a) $(3+2)+(5-8)i=5-3i$. b) $(3-2)+(5-(-8))i=1+13i$. c) $(-4+4)+(7-7)i=0$. Cele două numere sunt opuse.

Exemplul 2 — Trei termeni, cu paranteze

Calculați $(2+3i)+(-5+i)-(1-4i)$.

Rezolvare. Desfacem parantezele cu atenție la semnul minus:

$$2+3i-5+i-1+4i=(2-5-1)+(3+1+4)i=-4+8i.$$

Recomandare de redactare: grupează întâi toate părțile reale, apoi toate părțile imaginare, și abia apoi calculează. Așa nu pierzi niciun semn.

Exemplul 3 — Ecuație cu necunoscută complexă

Determinați numărul complex $z$ pentru care $z-(4+i)=-2+6i$.

Rezolvare. Adunăm $4+i$ în ambii membri:

$$z=(-2+6i)+(4+i)=2+7i.$$

Verificare: $(2+7i)-(4+i)=-2+6i$ ✓.

Exemplul 4 — Sumă cu mulți termeni

Calculați $S=\sum _{k=1}^{20}((2k-1)+3i)$.

Rezolvare. Adunăm separat cele două părți. Partea reală este suma primelor $20$ de numere impare, adică $20^2=400$ (formula demonstrată prin inducție în clasa a IX-a). Partea imaginară este $20\cdot 3=60$, pentru că termenul $3i$ apare de $20$ de ori. Deci

$$S=400+60i.$$

Exemplul 5 — Determinarea unor numere reale

Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ astfel încât $(x+2)+(y-3)i+(1-i)=4+2i$.

Rezolvare. Adunăm în membrul stâng: $(x+3)+(y-4)i=4+2i$. Identificăm părțile:

$$x+3=4\Rightarrow x=1,y-4=2\Rightarrow y=6.$$

Verificare: $(1+2)+(6-3)i+(1-i)=3+3i+1-i=4+2i$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numerele complexe $z_1=2-5i$ și $z_2=-3+8i$. a) Calculați $z_1+z_2$. b) Determinați numărul complex $z$ pentru care $z+z_1=z_2$.

Rezolvare. a) $z_1+z_2=(2-3)+(-5+8)i=-1+3i$.

b) Din $z+z_1=z_2$ obținem $z=z_2-z_1=(-3-2)+(8-(-5))i=-5+13i$.

Verificare: $(-5+13i)+(2-5i)=-3+8i=z_2$ ✓.

Să exersăm

Lucrează pe caiet și adu de fiecare dată rezultatul la forma algebrică $a+bi$. La scăderi, desfă parantezele cu semnul schimbat la ambii termeni.

1. Calculează: a) $(3+5i)+(2-8i)$; b) $(3+5i)-(2-8i)$; c) $(-4+7i)+(4-7i)$; d) $(6-2i)-(6-2i)$.

2. Calculează $(2+3i)+(-5+i)-(1-4i)$.

3. Determină numărul complex $z$ pentru care $z+(3-2i)=5+i$.

4. Determină numărul complex $z$ pentru care $z-(4+i)=-2+6i$.

5. Scrie opusul numerelor: $-7+3i$; $5$; $-2i$; $0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma a două numere complexe nereale poate fi un număr real."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice numere complexe, $\mathrm{Im}(z_1+z_2)=\mathrm{Im}(z_1)+\mathrm{Im}(z_2)$."

8. Verifică pe numerele $z_1=2-3i$ și $z_2=5+7i$ că adunarea este comutativă.

9. Verifică pe $z_1=1+2i$, $z_2=3-4i$, $z_3=-5+6i$ că adunarea este asociativă.

10. Calculează $\sum _{k=1}^{10}(k-ki)$.

11. Calculează $\sum _{k=1}^{20}((2k-1)+3i)$.

12. (Problemă aplicată.) Trei componente legate în serie au impedanțele $Z_1=30+40i$, $Z_2=20-15i$ și $Z_3=10-25i$ ohmi. a) Calculează impedanța totală $Z_1+Z_2$. b) Calculează $Z_1+Z_2+Z_3$ și arată că rezultatul este un număr real. Ce înseamnă fizic acest lucru?

13. Determină $x,y\in \mathbb{R}$ astfel încât $(x+2)+(y-3)i+(1-i)=4+2i$.

14. Determină numerele complexe $z_1$ și $z_2$ știind că $z_1+z_2=7-2i$ și $z_1-z_2=1+4i$.

15. Punctele $A$ și $B$ au coordonatele $A(2,1)$ și $B(5,5)$. Scrie numerele complexe asociate lor, calculează $z_B-z_A$ și verifică, prin teorema lui Pitagora, că lungimea segmentului $AB$ este $5$.

16. Calculează $\sum _{k=1}^{100}(1+ki)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z_1=2-5i$ și $z_2=-3+8i$. a) Calculați $z_1+z_2$. b) Determinați numărul complex $z$ pentru care $z+z_1=z_2$.

18. (Provocare.) Fie $z_1$ și $z_2$ numere complexe astfel încât atât $z_1+z_2$, cât și $z_1-z_2$ sunt numere reale. Demonstrează că $z_1$ și $z_2$ sunt, obligatoriu, numere reale.

Răspunsuri și explicații

1. a) $5-3i$. b) $1+13i$ (atenție: $5-(-8)=13$). c) $0$. d) $0$.

2. Desfacem parantezele: $2+3i-5+i-1+4i$, apoi grupăm: $(2-5-1)+(3+1+4)i=-4+8i$.

3. $z=(5+i)-(3-2i)=2+3i$. Verificare: $(2+3i)+(3-2i)=5+i$ ✓.

4. $z=(-2+6i)+(4+i)=2+7i$.

5. $7-3i$; $-5$; $2i$; $0$. (Opusul se obține schimbând semnul ambelor părți; opusul lui $0$ este tot $0$, singurul număr complex egal cu opusul său.)

6. Adevărat. Exemplu: $(2+3i)+(1-3i)=3$. Părțile imaginare se pot anula reciproc, deci suma devine reală.

7. Adevărat. Din definiția adunării, partea imaginară a sumei este $b+d$, adică suma părților imaginare.

8. $z_1+z_2=7+4i$ și $z_2+z_1=7+4i$: aceleași părți, deci numere egale.

9. $(z_1+z_2)+z_3=(4-2i)+(-5+6i)=-1+4i$; $z_1+(z_2+z_3)=(1+2i)+(-2+2i)=-1+4i$. Egale ✓.

10. Partea reală: $1+2+\cdots +10=55$; partea imaginară: $-(1+2+\cdots +10)=-55$. Deci $S=55-55i$.

11. Partea reală: suma primelor $20$ de numere impare $=20^2=400$; partea imaginară: $20\cdot 3=60$. Deci $S=400+60i$.

12. a) $Z_1+Z_2=50+25i$ ohmi. b) $Z_1+Z_2+Z_3=(50+10)+(25-25)i=60$, număr real. Fizic: reactanțele inductive și cele capacitive s-au compensat exact, iar circuitul se comportă ca o rezistență pură de $60$ de ohmi (situația numită rezonanță).

13. $(x+3)+(y-4)i=4+2i$, deci $x=1$ și $y=6$.

14. Adunând relațiile: $2z_1=8+2i$, deci $z_1=4+i$; apoi $z_2=(7-2i)-(4+i)=3-3i$. Verificare: suma $7-2i$ ✓, diferența $1+4i$ ✓.

15. $z_A=2+i$, $z_B=5+5i$, iar $z_B-z_A=3+4i$. Deplasarea este $3$ pe orizontală și $4$ pe verticală, deci $AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

16. Partea reală: $1$ adunat de $100$ de ori, adică $100$. Partea imaginară: $1+2+\cdots +100=\frac{100\cdot 101}{2}=5050$. Deci $S=100+5050i$.

17. a) $z_1+z_2=-1+3i$. b) $z=z_2-z_1=-5+13i$; verificare: $(-5+13i)+(2-5i)=-3+8i$ ✓.

18. Scriem $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$, cu $a,b,c,d$ reale. Din faptul că $z_1+z_2$ este real rezultă $b+d=0$; din faptul că $z_1-z_2$ este real rezultă $b-d=0$. Adunând cele două relații obținem $2b=0$, deci $b=0$, iar apoi $d=0$. Prin urmare $z_1=a$ și $z_2=c$ sunt numere reale. $■$

De reținut

• Adunarea: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ — fiecare parte cu partea ei, niciodată încrucișat.
• Scăderea: $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$; opusul lui $z=a+bi$ este $-z=-a-bi$.
• $(\mathbb{C},+)$ este grup abelian: adunarea e comutativă, asociativă, are elementul neutru $0$ și fiecare număr are opus.
• $\mathrm{Re}$ și $\mathrm{Im}$ sunt aditive, deci sumele lungi se calculează pe componente, separat.
• Geometric, adunarea numerelor complexe este adunarea vectorilor (regula paralelogramului), iar $z_B-z_A$ reprezintă vectorul de la $A$ la $B$.

Greșeli frecvente

• Amestecarea părților. Nu aduna partea reală a unui număr cu partea imaginară a celuilalt: $3+5i$ plus $2-8i$ nu are nicio legătură cu $3+(-8)$.
• Semnul la scădere. $-(2-8i)=-2+8i$: minusul din fața parantezei schimbă semnul ambilor termeni.
• Opusul făcut pe jumătate. Opusul lui $-7+3i$ este $7-3i$, nu $7+3i$ și nici $-7-3i$.
• Rezultatul lăsat neordonat. Scrie mereu răspunsul sub forma $a+bi$, cu partea reală prima; altfel nu poți identifica părțile la pasul următor.
• Confuzia dintre $0$ și „nu are rezultat". Dacă suma a două numere complexe dă $0$, ele sunt opuse — este un rezultat perfect valid, nu o eroare de calcul.

Aplică acasă

1. Circuitul din caiet. Alege trei impedanțe de forma $R+Xi$, cu valori inventate de tine, și calculează impedanța totală a legării lor în serie. Încearcă apoi să alegi valorile astfel încât rezultatul să fie un număr real — ai simulat, matematic, fenomenul de rezonanță.

2. Traseul pe hârtie milimetrică. Marchează un punct de plecare și execută trei deplasări succesive, scrise ca numere complexe (de exemplu $3+2i$, $-1+4i$, $2-5i$). Calculează suma și verifică pe desen că ajungi exact în punctul indicat de ea.

3. Duel de semne. Scrie zece scăderi de numere complexe și rezolvă-le. Roagă un coleg să le rezolve și el, apoi comparați: la scăderi, aproape toate diferențele de rezultat vin dintr-un singur semn pierdut.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce primele două operații cu numere complexe, cerute de programa de matematică-informatică prin activitatea „efectuarea operațiilor de adunare, scădere, înmulțire și/sau împărțire cu numere complexe". Dificultatea matematică este mică — regula este cea a termenilor asemenea —, dar lecția are un rol structural: aici se formează reflexul de a lucra pe componente, care va fi folosit la toate operațiile ulterioare și la interpretarea geometrică.

Ce verifică lecția: calculul corect al sumei și diferenței, cu aducerea rezultatului la forma algebrică; determinarea opusului; demonstrațiile proprietăților (comutativitate, asociativitate, element neutru, opus) prin reducere la proprietățile corespunzătoare de pe $\mathbb{R}$; rezolvarea ecuațiilor de tipul $z+z_1=z_2$; interpretarea vectorială.

Întrebări bune de control: „Cât este $-(2-8i)$?"; „Care este opusul lui $-7+3i$?"; „Poate suma a două numere nereale să fie reală?"; „Ce reprezintă geometric $z_B-z_A$?". Semn că elevul a înțeles: la o sumă lungă grupează spontan părțile reale și cele imaginare, în loc să calculeze termen cu termen.

La Bacalaureat M1, adunarea și scăderea apar rareori singure, dar intră în aproape orice exercițiu cu numere complexe, de obicei ca ultim pas de calcul. Un semn pierdut aici anulează o rezolvare corectă în rest, deci merită exersat până la automatism.

Întrebări frecvente

Cum se adună două numere complexe? Se adună separat părțile reale și separat părțile imaginare: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$. Rezultatul se scrie tot sub formă algebrică, cu partea reală prima.

Cum se scad două numere complexe? După aceeași regulă, cu scădere pe componente: $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$. Practic, desfaci paranteza a doua schimbând semnul ambilor termeni din ea.

Care este opusul unui număr complex? Opusul lui $z=a+bi$ este $-z=-a-bi$: se schimbă semnul ambelor părți. Suma unui număr cu opusul său este $0$.

Poate suma a două numere complexe să fie un număr real? Da, atunci când părțile lor imaginare se anulează reciproc. De exemplu, $(2+3i)+(1-3i)=3$. La fel se poate obține și un număr pur imaginar, dacă se anulează părțile reale.

Ce înseamnă că $(\mathbb{C},+)$ este grup abelian? Că adunarea numerelor complexe este comutativă și asociativă, are element neutru ($0$) și fiecare număr are un opus. Practic, poți schimba ordinea termenilor și îi poți grupa cum vrei, exact ca la numerele reale.

Care este interpretarea geometrică a adunării? Numerele complexe se adună ca vectorii: suma $z_1+z_2$ este diagonala paralelogramului construit pe vectorii care le reprezintă. Diferența $z_B-z_A$ reprezintă vectorul care duce de la punctul $A$ la punctul $B$.

Cum calculez o sumă cu mulți termeni? Grupezi separat toate părțile reale și toate părțile imaginare, apoi calculezi cele două sume reale, eventual cu formule cunoscute (suma lui Gauss, suma numerelor impare). Este mult mai sigur decât adunarea termen cu termen.