Tablouri de date și noțiunea de matrice

Un lanț de librării ține evidența vânzărilor din trei magazine, pentru patru produse. Cineva a scris totul într-un tabel, pentru că așa se scriu datele de când există comerț: pe linii magazinele, pe coloane produsele, iar în căsuța de la întâlnirea lor cantitatea vândută. Tabelul se citește ușor, dar cu el nu se poate calcula: nu poți spune „adună tabelul din ianuarie cu cel din februarie" și nici „înmulțește tabelul cantităților cu tabelul prețurilor", pentru că nimeni nu a definit ce înseamnă adunarea sau înmulțirea a două tabele.

Exact aici începe capitolul de față. În clasa a XI-a, tabloul de numere devine un obiect matematic cu nume, cu notație și, mai ales, cu operații: se numește matrice. Odată ce tabloul are reguli de calcul, probleme întregi — sisteme de ecuații, rotații în plan, rețele, lanțuri de costuri — se rezolvă mecanic, cu creionul. Lecția de astăzi nu conține încă nicio operație: ea construiește obiectul, îi fixează notațiile și te învață să-l citești.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o matrice cu $m$ linii și $n$ coloane și cum se scrie ea corect, cu paranteze rotunde.
• Vei ști să citești și să folosești elementul generic $a_{ij}$, înțelegând că primul indice arată linia, iar al doilea coloana.
• Vei ști să lucrezi cu mulțimile de matrice ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ și să spui cărei mulțimi îi aparține o matrice dată.
• Vei ști să construiești o matrice dintr-o formulă de tipul $a_{ij}=2i-j$ și, invers, să ghicești formula dintr-un tablou de numere.
• Vei ști să recunoști matricea linie și matricea coloană și să extragi liniile și coloanele unei matrice date.
• Vei ști să organizezi datele unei situații reale într-o matrice și să explici ce înseamnă fiecare element în contextul problemei.

Hai să descoperim împreună

1. Tabelul care cerea o notație

Iată datele librăriei, cu cantitățile vândute într-o lună:

Dacă ștergem etichetele, rămâne un tablou dreptunghiular de douăsprezece numere, așezate pe trei linii și patru coloane:

$$V=\left(\begin{array}{cccc}120& 340& 45& 60\\ 200& 410& 72& 95\\ 150& 260& 38& 44\end{array}\right).$$

Etichetele nu s-au pierdut, ci s-au mutat în poziție: numărul de pe linia a doua și coloana a treia este, prin construcție, numărul de ghiozdane vândute la Centru. De aceea ordinea numerelor într-o matrice este esențială: două tablouri cu aceleași numere așezate altfel sunt matrice diferite.

2. Definiția

Definiție. Fie $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Se numește matrice cu $m$ linii și $n$ coloane (sau matrice de tipul $m\times n$) un tablou dreptunghiular de numere complexe, așezate pe $m$ linii orizontale și $n$ coloane verticale, scris între paranteze rotunde:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right).$$

Numerele $a_{ij}$ se numesc elementele matricei, iar perechea $(m,n)$ se numește formatul (sau tipul) matricei. O matrice de tipul $m\times n$ are exact $m\cdot n$ elemente.

Cum se citește indicele. În $a_{ij}$, primul indice, $i$, arată linia; al doilea, $j$, arată coloana. Se citește „a de i j", nu „a de i-j" și nici „a indice i-zeci-și-j" — în $a_{23}$ nu apare numărul $23$, ci perechea de poziții $(2,3)$. Pentru matricea $V$ de mai sus:

$$v_{23}=72,v_{31}=150,v_{14}=60.$$

Ordinea „linie întâi, coloană a doua" se păstrează în tot capitolul: în toate formulele, la determinanți, la sisteme și la Bacalaureat M1. Inversarea celor doi indici este greșeala cea mai frecventă a începutului de capitol și, pentru că nu produce niciun semnal de eroare, se propagă tăcut până la finalul problemei.

3. Scrierea compactă

Când matricea este mare sau când elementele ei ascultă de o regulă, tabloul întreg se scrie prescurtat, prin elementul generic:

$$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}.$$

Se citește: „matricea $A$ de element generic $a_{ij}$, cu $i$ de la $1$ la $m$ și $j$ de la $1$ la $n$". Când formatul se subînțelege, se scrie și mai scurt, $A=(a_{ij})$; pentru matricele pătratice, cele cu $m=n$, forma este $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$.

Notația nu este un capriciu: ea este singura modalitate de a enunța general proprietățile operațiilor. Când vei citi, peste câteva lecții, că „elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al sumei este $a_{ij}+b_{ij}$", vei înțelege dintr-o propoziție o regulă care, scrisă pe tablouri, ar cere o pagină.

4. Mulțimile de matrice

Notație. Mulțimea tuturor matricelor cu $m$ linii și $n$ coloane, cu elemente numere complexe, se notează

$${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C}).$$

Când matricea este pătratică, adică are tot atâtea linii cât coloane, se scrie mai scurt ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ în loc de ${\mathcal{M}}_{n,n}(\mathbb{C})$. Numărul $n$ se numește ordinul matricei pătratice.

Dacă toate elementele sunt reale, scriem ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$; analog se folosesc ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{Q})$ și ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{Z})$. Cum orice număr real este și număr complex, avem lanțul de incluziuni

$${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{Z})\subset {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{Q})\subset {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})\subset {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C}).$$

De ce numere complexe? Pentru că programa cere explicit lucrul peste $\mathbb{C}$: la ecuațiile din finalul capitolului soluțiile ies uneori din $\mathbb{R}$. Forma algebrică $z=a+bi$, cu $i^2=-1$, ai studiat-o în clasa a X-a — vezi Forma algebrică a unui număr complex. În exerciții, cele mai multe matrice au totuși elemente reale, adesea întregi.

Matricea librăriei aparține deci lui ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ și, mai precis, chiar lui ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{Z})$.

5. Liniile și coloanele ca matrice

O matrice din ${\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{C})$ se numește matrice linie; una din ${\mathcal{M}}_{m,1}(\mathbb{C})$ se numește matrice coloană. Ele nu sunt cazuri exotice: așa se scriu, mai târziu, necunoscutele și termenii liberi ai unui sistem.

Din matricea $V$ a librăriei putem extrage, de pildă, linia a doua și coloana a treia:

$$L_2=\left(\begin{array}{cccc}200& 410& 72& 95\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,4}(\mathbb{R}),C_3=\left(\begin{array}{c}45\\ 72\\ 38\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R}).$$

Prima spune tot ce s-a vândut la Centru, a doua câte ghiozdane s-au vândut în fiecare magazin. Suma elementelor lui $L_2$ este $200+410+72+95=777$, adică totalul de produse vândute la Centru; suma primei coloane este $120+200+150=470$, adică totalul de caiete din lanț. Într-o matrice, o linie și o coloană răspund la două întrebări diferite ale aceleiași probleme.

6. Matrice definite printr-o formulă

De multe ori matricea e dată nu prin tablou, ci printr-o regulă care spune ce număr stă la intersecția liniei $i$ cu coloana $j$: „se consideră $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=2i-j$". Tabloul se construiește metodic, linie cu linie.

Pentru $i=1$ obținem $a_{11}=2\cdot 1-1=1$, $a_{12}=2-2=0$, $a_{13}=2-3=-1$, $a_{14}=2-4=-2$. Pentru $i=2$: $a_{21}=4-1=3$, $a_{22}=2$, $a_{23}=1$, $a_{24}=0$. Pentru $i=3$: $a_{31}=5$, $a_{32}=4$, $a_{33}=3$, $a_{34}=2$. Prin urmare

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 3& 2& 1& 0\\ 5& 4& 3& 2\end{array}\right).$$

Sfat de lucru. Scrie întâi tabloul gol, de formatul cerut, și abia apoi completează-l: pe linia $i$, indicele $i$ rămâne fix, iar $j$ parcurge coloanele.

Drumul invers — recunoașterea formulei dintr-un tablou — este la fel de util. Dacă vezi

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\\ 4& 5& 6\end{array}\right),$$

observi că fiecare element este suma indicilor lui: $b_{11}=2=1+1$, $b_{23}=5=2+3$. Deci $b_{ij}=i+j$. Verificarea se face pe cel puțin trei poziții, una în afara diagonalei — de exemplu $b_{13}=4$ și $b_{31}=4$.

7. Matricea ca funcție de doi indici

Cea mai curată descriere a matricei este aceasta: o matrice de tipul $m\times n$ este o funcție definită pe mulțimea perechilor de indici,

$$A:\{1,2,\dots ,m\}\times \{1,2,\dots ,n\}\to \mathbb{C},A(i,j)=a_{ij},$$

adică fiecărei poziții $(i,j)$ i se asociază un singur număr. Noțiunea de funcție, cu domeniu și codomeniu, o ai din clasa a IX-a — vezi Noțiunea de funcție: domeniu, codomeniu.

Această privire explică două lucruri: de ce ordinea contează (o funcție e determinată de valorile ei în fiecare punct, deci mutarea unui număr în altă căsuță schimbă funcția) și de ce scrierea prin formulă e atât de firească ($a_{ij}=2i-j$ este chiar expresia funcției).

Merită și comparația cu șirurile, pe care le știi din clasa a IX-a (vezi Șiruri: termen, rang, formula termenului general): un șir este o listă indexată de un indice, o matrice este una indexată de doi. Formula termenului general $a_n=3n-1$ are exact același rol ca formula $a_{ij}=2i-j$.

8. La ce folosesc, mai departe, matricele

Trei drumuri pornesc de aici, toate în programa clasei a XI-a. Calculul cu tablouri: începând cu lecția următoare, tablourilor li se dau operații — se compară, se adună, se scad, vezi Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor — apoi se înmulțesc, după o regulă mai surprinzătoare, în Înmulțirea a două matrice. Rezolvarea sistemelor: un sistem de ecuații liniare este un tablou de coeficienți plus o coloană de termeni liberi, iar scris matriceal devine o singură ecuație $AX=B$; vezi Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală. Modelarea: rețelele, fluxurile și costurile se scriu natural ca matrice, vezi Matrice care modelează situații practice.

Deocamdată nu ai voie să faci niciunul dintre aceste calcule, pentru că regulile nu au fost încă date. Ce ai de câștigat acum este precizia scrierii: format corect, indici în ordinea corectă, apartenență la mulțimea corectă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la tabel la matrice

Un laborator măsoară temperatura, în grade Celsius, în trei încăperi, la două momente ale zilei. Dimineața: $19$, $21$, $18$. Seara: $23$, $22$, $20$. Scrieți matricea asociată, precizați formatul ei și spuneți ce reprezintă elementul de pe linia a doua, coloana a treia.

Rezolvare. Punem pe linii momentele zilei și pe coloane încăperile:

$$T=\left(\begin{array}{ccc}19& 21& 18\\ 23& 22& 20\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R}).$$

Formatul este $2\times 3$, deci matricea are $6$ elemente, iar $t_{23}=20$ este temperatura din a treia încăpere, seara. Observație de metodă: alegerea „liniile = momente, coloanele = încăperi" este o convenție a rezolvitorului, dar trebuie declarată în scris — cu convenția inversă am fi obținut o matrice din ${\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$, la fel de corectă, dar cu alți indici.

Exemplul 2 — Construcția dintr-o formulă

Scrieți matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=2i-j$.

Rezolvare. Completăm linie cu linie, ținând $i$ fix și lăsând $j$ să parcurgă valorile $1,2,3,4$:

$$\text{linia 1: }1,0,-1,-2;\text{linia 2: }3,2,1,0;\text{linia 3: }5,4,3,2.$$

Deci

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 3& 2& 1& 0\\ 5& 4& 3& 2\end{array}\right).$$

Control rapid: pe fiecare linie numerele scad cu $1$ (fiindcă $j$ crește cu $1$), iar de la o linie la alta cresc cu $2$ (coeficientul lui $i$ este $2$).

Exemplul 3 — Recunoașterea formulei

Determinați o formulă pentru elementul generic al matricei $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 9\\ 1& 4& 9\end{array}\right)$.

Rezolvare. Cele două linii sunt identice, deci valoarea nu depinde de $i$. Pe fiecare linie apar $1,4,9$, adică $1^2,2^2,3^2$, deci valoarea este pătratul indicelui de coloană:

$$c_{ij}=j^2,1\le i\le 2,1\le j\le 3.$$

Verificăm pe trei poziții: $c_{11}=1^2=1$ ✓, $c_{23}=3^2=9$ ✓, $c_{12}=2^2=4$ ✓.

Exemplul 4 — Format, apartenență, poziții

Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_{4,5}(\mathbb{C})$. a) Câte elemente are $A$? b) Care sunt elementele liniei a treia? c) Are sens elementul $a_{53}$?

Rezolvare. a) Matricea are $4\cdot 5=20$ de elemente. b) Linia a treia se obține fixând $i=3$: $a_{31},a_{32},a_{33},a_{34},a_{35}$ — cinci elemente, câte una pe fiecare coloană. c) Nu: primul indice trebuie să respecte $1\le i\le 4$, iar $5>4$. Matricea are doar patru linii, deci scrierea $a_{53}$ este o eroare, nu un număr.

Exemplul 5 — O rețea scrisă ca matrice

Patru orașe sunt legate prin curse directe astfel: $1$–$2$, $1$–$3$, $2$–$4$, $3$–$4$. Scrieți matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ în care $a_{ij}=1$ dacă există cursă directă între orașele $i$ și $j$, și $a_{ij}=0$ în caz contrar.

Rezolvare. Nu există curse de la un oraș la el însuși, deci toate elementele cu $i=j$ sunt nule. Legăturile fiind în ambele sensuri, dacă $a_{ij}=1$ atunci și $a_{ji}=1$. Obținem

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right).$$

Suma tuturor elementelor este $8$, dublul numărului de curse — fiecare cursă apare de două ori. Suma primei linii este $2$: din orașul $1$ pleacă exact două curse directe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le 3}$, unde $a_{ij}=i+2j$. a) Scrieți matricea $A$. b) Calculați suma elementelor de pe linia a doua a matricei $A$. c) Arătați că suma tuturor elementelor matricei $A$ este $54$.

Rezolvare. a) Matricea este pătratică de ordin $3$. Pentru $i=1$: $3,5,7$; pentru $i=2$: $4,6,8$; pentru $i=3$: $5,7,9$. Deci

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& 7\\ 4& 6& 8\\ 5& 7& 9\end{array}\right).$$

b) Suma cerută este $4+6+8=18$.

c) Sumele pe linii sunt $3+5+7=15$, apoi $18$, apoi $5+7+9=21$. Totalul este $15+18+21=54$, ceea ce trebuia arătat. Verificare independentă, utilă la examen: suma tuturor valorilor $i+2j$ este $3(1+2+3)+2\cdot 3(1+2+3)=18+36=54$ ✓.

Să exersăm

Scrie întâi formatul matricei și abia apoi completează tabloul. Când apare $a_{ij}$, spune „linia $i$, coloana $j$" înainte de a-l căuta.

1. Rezultatele a patru elevi la trei teze sunt: primul $8,9,7$; al doilea $10,6,9$; al treilea $7,8,10$; al patrulea $9,10,8$. Scrie matricea notelor, cu elevii pe linii, și precizează formatul ei, elementul $n_{32}$ și elementul $n_{23}$.

2. Scrie matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=i-j$.

3. Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 7\\ 0& 5& -1\\ 3& 6& -8\end{array}\right)$. Precizează $a_{13}$, $a_{31}$, $a_{22}$ și $a_{23}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o matrice cu $3$ linii și $5$ coloane are sens să vorbim despre elementul $a_{41}$."

5. Câte elemente are o matrice din ${\mathcal{M}}_{5,7}(\mathbb{C})$? Dar una din ${\mathcal{M}}_6(\mathbb{C})$?

6. Determină o formulă pentru elementul generic al matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 9\\ 1& 4& 9\end{array}\right)$.

7. Scrie matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=(-1{)}^{i+j}$, și spune câte dintre elementele ei sunt egale cu $1$.

8. (Problemă aplicată.) Distanțele rutiere dintre trei orașe sunt: între $1$ și $2$ — $145$ km; între $2$ și $3$ — $220$ km; între $1$ și $3$ — $310$ km. Scrie matricea distanțelor $D=(d_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, cu convenția $d_{ii}=0$, și explică de ce $d_{ij}=d_{ji}$ pentru orice $i$ și $j$.

9. Din matricea $\left(\begin{array}{cccc}2& -5& 1& 0\\ 7& 3& -4& 6\end{array}\right)$ extrage a doua linie ca matrice linie și a treia coloană ca matrice coloană, precizând cărei mulțimi de matrice îi aparține fiecare.

10. Scrie matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,4}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=3i-2j$, și găsește singurul ei element nul.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două matrice care conțin exact aceleași numere, dar așezate în ordine diferită, sunt egale."

12. Într-o matrice $A\in {\mathcal{M}}_{4,6}(\mathbb{C})$, pe ce poziție se află elementul aflat la intersecția liniei a patra cu coloana a doua? Câte elemente are coloana respectivă?

13. O matrice are $12$ elemente și $3$ linii. Câte coloane are? Câte formate diferite poate avea, în general, o matrice cu exact $12$ elemente?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le 3}$, unde $a_{ij}=i\cdot j$. a) Scrieți matricea $A$. b) Calculați suma elementelor de pe linia a treia. c) Arătați că suma tuturor elementelor matricei $A$ este $36$.

15. Într-un turneu cu patru echipe, echipa $i$ a marcat împotriva echipei $j$ un număr de goluri notat $g_{ij}$, iar $g_{ii}=0$. Explică de ce, spre deosebire de exercițiul 8, aici nu este obligatoriu ca $g_{ij}=g_{ji}$, și dă un exemplu de matrice $G\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ în care cele două valori diferă.

16. Scrie matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=i^2-j$, și precizează câte elemente nule are.

17. Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$, cu $a_{ij}=i+j$. Câte elemente ale lui $A$ sunt egale cu $5$ și pe ce poziții se află ele?

18. (Provocare.) Câte matrice din ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ au toate elementele din mulțimea $\{0,1\}$? Generalizează pentru ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$ și calculează rezultatul pentru $m=n=3$.

Răspunsuri și explicații

1. $N=\left(\begin{array}{ccc}8& 9& 7\\ 10& 6& 9\\ 7& 8& 10\\ 9& 10& 8\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{4,3}(\mathbb{R})$, format $4\times 3$, $12$ elemente. Avem $n_{32}=8$ (al treilea elev, a doua teză) și $n_{23}=9$ (al doilea elev, a treia teză) — valori diferite, tocmai fiindcă ordinea indicilor contează.

2. Pentru $i=1$: $0,-1,-2$; pentru $i=2$: $1,0,-1$. Deci $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$.

3. $a_{13}=7$ (linia $1$, coloana $3$), $a_{31}=3$ (linia $3$, coloana $1$), $a_{22}=5$, $a_{23}=-1$. Compară primele două: aceleași cifre în indici, poziții complet diferite.

4. Fals. Indicele de linie trebuie să respecte $1\le i\le 3$, iar aici $i=4$. Matricea nu are linia a patra, deci simbolul $a_{41}$ nu desemnează niciun număr.

5. $5\cdot 7=35$, respectiv $6\cdot 6=36$ de elemente (${\mathcal{M}}_6(\mathbb{C})$ prescurtează ${\mathcal{M}}_{6,6}(\mathbb{C})$).

6. $c_{ij}=j^2$, pentru $1\le i\le 2$ și $1\le j\le 3$. Valoarea nu depinde de $i$ — de aceea cele două linii sunt identice.

7. Elementul este $1$ când $i+j$ este par și $-1$ când $i+j$ este impar, deci $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$. Sunt $5$ elemente egale cu $1$ și $4$ egale cu $-1$ — tabloul arată ca o tablă de șah.

8. $D=\left(\begin{array}{ccc}0& 145& 310\\ 145& 0& 220\\ 310& 220& 0\end{array}\right)$. Egalitatea $d_{ij}=d_{ji}$ vine din faptul că distanța de la $i$ la $j$ este aceeași cu cea de la $j$ la $i$: tabloul e simetric față de diagonala care coboară din colțul din stânga sus.

9. A doua linie este $\left(\begin{array}{cccc}7& 3& -4& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,4}(\mathbb{R})$, iar a treia coloană este $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$.

10. Pentru $i=1$: $1,-1,-3,-5$; pentru $i=2$: $4,2,0,-2$. Deci $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -3& -5\\ 4& 2& 0& -2\end{array}\right)$, iar singurul element nul este $a_{23}=3\cdot 2-2\cdot 3=0$.

11. Fals. O matrice e determinată de valorile ei pe fiecare poziție, adică de funcția $(i,j)\mapsto a_{ij}$: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$ au aceleași patru numere, dar sunt matrice diferite.

12. Elementul este $a_{42}$: primul indice, $4$, dă linia; al doilea, $2$, dă coloana. Coloana a doua are atâtea elemente câte linii are matricea, adică $4$.

13. Din $3\cdot n=12$ rezultă $n=4$ coloane. Formatele posibile cu $12$ elemente sunt perechile $(m,n)$ cu $m\cdot n=12$: $(1,12)$, $(2,6)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(6,2)$, $(12,1)$ — șase formate.

14. a) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$. b) Suma de pe linia a treia este $3+6+9=18$. c) Sumele pe linii sunt $6$, $12$ și $18$, deci totalul este $6+12+18=36$. (Alternativ: suma tuturor produselor $i\cdot j$ este $(1+2+3)(1+2+3)=36$.)

15. Aici $g_{ij}$ înseamnă „golurile marcate de echipa $i$ în poarta echipei $j$", număr diferit de cel marcat de $j$ împotriva lui $i$; simetria nu are motiv să apară. Un exemplu: $G=\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 1& 0\\ 1& 0& 2& 4\\ 2& 0& 0& 1\\ 3& 1& 2& 0\end{array}\right)$, cu $g_{12}=3$ și $g_{21}=1$.

16. Pentru $i=1$: $0,-1,-2$; pentru $i=2$: $3,2,1$; pentru $i=3$: $8,7,6$. Deci $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 3& 2& 1\\ 8& 7& 6\end{array}\right)$, cu un singur element nul, $a_{11}$.

17. Condiția $i+j=5$, cu $1\le i,j\le 4$, dă perechile $(1,4)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(4,1)$ — deci $4$ elemente, așezate pe diagonala care urcă din colțul din stânga jos spre colțul din dreapta sus.

18. Matricea are $2\cdot 3=6$ poziții, iar fiecare poate fi completată în două feluri, independent de celelalte. Rezultă $2^6=64$ de matrice. În general sunt $2^{mn}$, iar pentru $m=n=3$ obținem $2^9=512$.

De reținut

• O matrice de tipul $m\times n$ este un tablou de numere complexe, scris între paranteze rotunde, cu $m$ linii, $n$ coloane și $m\cdot n$ elemente.
• În $a_{ij}$, primul indice este linia, al doilea coloana; ordinea nu se schimbă niciodată.
• Mulțimile se notează ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și, pentru matricele pătratice, ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$; lucrăm implicit peste $\mathbb{C}$.
• Scrierea compactă $A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ permite definirea printr-o formulă în $i$ și $j$; tabloul se completează linie cu linie.
• O matrice e determinată de numărul din fiecare poziție: aceleași valori așezate altfel dau altă matrice.

Greșeli frecvente

• Inversarea indicilor. Se scrie $a_{32}$ gândind „coloana $3$, linia $2$". Corect: $a_{32}$ este pe linia $3$, coloana $2$. Citește indicii cu voce tare, „linia întâi, coloana a doua".
• Confuzia dintre format și număr de elemente. O matrice $3\times 4$ nu are „$34$" elemente, ci $3\cdot 4=12$. Formatul este o pereche, nu un număr.
• Indice în afara domeniului. Într-o matrice cu $3$ linii, $a_{41}$ nu există. Verifică întotdeauna $1\le i\le m$ și $1\le j\le n$.
• Paranteze greșite. Matricea se scrie cu paranteze rotunde; barele verticale desemnează altceva (determinantul, noțiune de mai târziu), iar parantezele drepte nu se folosesc în această convenție.
• Completarea dezordonată a unei matrice date prin formulă. Sărind de la o poziție la alta se pierd elemente. Completează linie cu linie, cu $i$ fix.

Aplică acasă

1. Orarul ca matrice. Scrie orarul tău săptămânal ca matrice: pe linii zilele, pe coloane orele, iar în căsuțe un cod scurt de disciplină. Precizează formatul și spune ce reprezintă, în cazul tău, elementul $a_{34}$.

2. Bugetul lunar. Scrie cheltuielile tale din ultimele trei săptămâni, pe patru categorii, ca matrice din ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$. Calculează suma fiecărei linii și a fiecărei coloane și explică, în cuvinte, ce înseamnă fiecare dintre cele două seturi de sume.

3. Rețeaua din clasă. Alege cinci colegi și construiește $A\in {\mathcal{M}}_5(\mathbb{R})$ cu $a_{ij}=1$ dacă persoanele $i$ și $j$ stau în bănci vecine și $a_{ij}=0$ altfel. Verifică dacă tabloul este simetric și explică de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce obiectul central al algebrei de clasa a XI-a. Ea nu conține încă niciun calcul cu matrice — și e important să rămână așa: dacă elevul începe să adune tablouri înainte de a fi sigur pe indici, greșelile de poziție contaminează tot restul capitolului, inclusiv determinanții și sistemele.

De verificat în caiet: (1) matricele sunt scrise cu paranteze rotunde, nu drepte și nu bare; (2) la fiecare matrice apare formatul și mulțimea de apartenență, de exemplu $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$; (3) matricele definite prin formulă sunt completate linie cu linie, cu calculele vizibile; (4) elevul spune, fără să numere, câte elemente are o matrice de format dat.

Întrebări de control: „Ce înseamnă primul indice?"; „Câte elemente are o matrice $4\times 5$?"; „Ce este ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$?"; „Ce format are o matrice coloană cu șase elemente?". Semnul că a înțeles: la un tabel de date oarecare, elevul declară singur convenția (ce pune pe linii, ce pune pe coloane) înainte de a scrie matricea.

La BAC M1 noțiunile de aici apar ca prim pas al unei probleme mai mari: „se consideră matricea $A=(a_{ij})$, cu $a_{ij}=\dots$; scrieți matricea $A$". Restul problemei — determinant, inversă, sistem — se sprijină integral pe acest prim tablou, iar o greșeală la punctul a) anulează în practică toate punctele următoare.

Întrebări frecvente

Ce este o matrice, pe scurt? Un tablou dreptunghiular de numere, scris între paranteze rotunde, cu un număr fix de linii și de coloane. Fiecare număr are o poziție bine determinată, iar poziția este parte din informație: aceleași numere așezate altfel dau altă matrice.

Ce înseamnă indicii din $a_{ij}$? Primul indice, $i$, arată linia, al doilea, $j$, arată coloana. Deci $a_{23}$ este elementul de pe linia a doua și coloana a treia; nu are nicio legătură cu numărul $23$.

Ce înseamnă notația ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$? Mulțimea tuturor matricelor cu $3$ linii și $4$ coloane cu elemente reale. Când liniile sunt tot atâtea cât coloanele se scrie prescurtat, de exemplu ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ în loc de ${\mathcal{M}}_{3,3}(\mathbb{R})$.

Câte elemente are o matrice? Exact $m\cdot n$. O matrice $4\times 5$ are $20$ de elemente, iar una pătratică de ordin $6$ are $36$.

Cum scriu o matrice dacă mi se dă doar formula $a_{ij}=2i-j$? Desenezi întâi tabloul gol, de formatul cerut, apoi îl completezi linie cu linie: fixezi $i$ și înlocuiești pe rând $j$ cu $1,2,\dots ,n$. Așa nu sari nicio poziție și nu inversezi indicii.

Ce este o matrice linie și ce este o matrice coloană? Una cu o singură linie, din ${\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{C})$, respectiv una cu o singură coloană, din ${\mathcal{M}}_{m,1}(\mathbb{C})$. Ele apar la scrierea matriceală a sistemelor de ecuații liniare.

De ce lucrăm cu numere complexe și nu doar cu numere reale? Pentru că programa de mate-info cere lucrul peste $\mathbb{C}$: vor apărea ecuații ale căror soluții pot fi complexe. În exerciții, cele mai multe matrice au totuși elemente reale.

Unde apar matricele la Bacalaureat M1? În aproape toate subiectele de algebră ale clasei: scrierea unei matrice dintr-o formulă, operațiile, determinanții, inversa, sistemele. Scrierea corectă a tabloului condiționează toate celelalte puncte.