Asimptota verticală

Asimptota verticală a graficului unei funcții este dreapta de ecuație $x=a$, cu $a$ număr finit, pentru care cel puțin una dintre limitele laterale ale funcției în $a$ este infinită; graficul se lipește de ea urcând sau coborând nemărginit. La clasa a 12-a, ea este singura dintre cele trei asimptote care se caută înăuntrul domeniului, nu la marginea lui, la infinit. Dacă asimptota orizontală și asimptota oblică descriau ce se întâmplă când $x$ pleacă spre $\pm \infty$, aici întrebarea se schimbă complet: ce se întâmplă când $x$ se apropie de o valoare finită în care funcția nu are voie să existe?

Situația apare peste tot în modelele reale. Formula lentelor subțiri leagă distanța $d$ de la obiect la lentilă de distanța $D$ până la imagine prin $D=\frac{dF}{d-F}$, unde $F$ este distanța focală; când obiectul se apropie de focar, adică $d\to F$, distanța până la imagine crește peste orice margine, iar prin acel punct nu există nicio trecere lină. Rezistența echivalentă a două rezistoare în paralel, timpul de umplere al unui bazin cu un debit care scade spre zero, viteza aparentă a unui punct de intersecție a două drepte aproape paralele — toate au aceeași formă matematică, un raport al cărui numitor se anulează. Lecția aceasta dă numele consacrat al fenomenului și, mai important, procedura prin care îl găsești fără să-l cauți acolo unde el nu poate fi.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești asimptota verticală prin limitele laterale ale funcției într-un punct finit.
• Vei ști să deosebești o asimptotă verticală la stânga, una la dreapta și una bilaterală, și să spui de fiecare dată care dintre ele este.
• Vei ști exact în ce puncte se caută o asimptotă verticală — și de ce punctele interioare în care funcția este continuă nu intră niciodată pe listă.
• Vei ști să deosebești o valoare interzisă care produce o asimptotă de una care produce doar o gaură în grafic.
• Vei ști să determini asimptotele verticale ale funcțiilor raționale, logaritmice, exponențiale și ale funcțiilor definite pe ramuri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o asimptotă verticală?

Asimptota verticală la graficul unei funcții $f$ este o dreaptă verticală $x=a$, cu $a$ număr real, pentru care cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în punctul $a$ este infinită; altfel spus, valorile funcției cresc sau scad nemărginit atunci când $x$ se apropie de $a$ cel puțin dintr-o parte. Punctul $a$ nu aparține, de regulă, domeniului.

Scrisă cu notațiile fixate la clasa a XI-a pentru limitele laterale, condiția arată așa: dreapta $x=a$ este asimptotă verticală la graficul lui $f$ dacă

$$\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }f(x)=\pm \infty \text{sau}\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f(x)=\pm \infty .$$

Trei observații care se rețin de la prima citire. Întâi, e de ajuns una dintre cele două limite: nu se cere ca amândouă să fie infinite, și nici măcar ca amândouă să existe. Al doilea, semnul infinitului nu contează pentru existența asimptotei, ci pentru desenul ei: el spune dacă ramura urcă sau coboară. Al treilea, dreapta este $x=a$, o dreaptă cu ecuație completă, iar răspunsul se redactează după modelul fixat în lecția despre asimptota orizontală — limita scrisă, valoarea ei, apoi ecuația dreptei și partea — nu ca simplu „funcția are asimptotă verticală".

Fenomenul nu îți este cu totul nou: comportamentul acesta l-ai citit deja pe grafic și în tabele de valori la clasa a IX-a, în lecția despre comportamentul asimptotic citit pe grafic. Ce se adaugă acum este definiția cu limite laterale, adică instrumentul care decide chestiunea prin calcul, nu prin privit.

2. Cele trei feluri: la stânga, la dreapta, bilaterală

Pentru că definiția cere „cel puțin una" dintre limitele laterale, apar trei situații, iar denumirile lor sunt cele care se folosesc în redactare:

• asimptotă verticală la stânga: numai limita la stânga este infinită;
• asimptotă verticală la dreapta: numai limita la dreapta este infinită;
• asimptotă verticală bilaterală: amândouă limitele laterale sunt infinite (cu același semn sau cu semne contrare — ambele cazuri sunt bilaterale).

Cel mai simplu exemplu de asimptotă bilaterală cu semne contrare este $f(x)=\frac{1}{x}$, unde limita la stânga lui $0$ este $-\infty$, iar cea la dreapta este $+\infty$. Un exemplu de asimptotă bilaterală cu același semn este $f(x)=\frac{1}{x^2}$, unde amândouă limitele sunt $+\infty$ — graficul are două ramuri care urcă, ca doi pereți lipiți de aceeași verticală.

Exemplul-etalon de asimptotă doar la dreapta este funcția logaritmică: pentru $f(x)=\ln x$, definită pe $(0,+\infty )$, avem $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln x=-\infty$, iar la stânga lui $0$ funcția nici măcar nu există. Dreapta $x=0$, adică axa $Oy$, este asimptotă verticală la dreapta. Exemplul de asimptotă doar la stânga se obține simetric, de pildă cu $f(x)=\ln (-x)$ pe $(-\infty ,0)$.

Precizarea „la stânga / la dreapta / bilaterală" nu este cosmetică: ea este exact informația de care ai nevoie la pasul de trasare a graficului, pentru că îți spune câte ramuri se lipesc de dreaptă și în ce sens merg fiecare.

3. Unde se caută asimptotele verticale?

Lista candidaților a fost fixată în lecția despre ce este o asimptotă, unde s-a arătat că asimptotele sunt un fenomen de margine; o reluăm compact, pentru că ea e punctul de plecare al oricărei rezolvări. Candidații la asimptotă verticală sunt exclusiv:

1. capetele finite și deschise ale domeniului — adică numerele reale $a$ care mărginesc un interval al domeniului fără să-i aparțină (numitorul care se anulează, argumentul logaritmului care ajunge la $0$, capătul unui interval de definiție dat prin enunț);
2. punctele de discontinuitate ale funcției — punctele din domeniu în care $f$ nu este continuă, studiate la clasa a XI-a în lecția despre punctele de discontinuitate.

Și, la fel de important, ce nu este candidat: niciodată un punct interior al domeniului în care $f$ este continuă. Motivul e o singură propoziție. Dacă $f$ este continuă în $x_0$, atunci, prin însăși definiția continuității, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, adică amândouă limitele laterale sunt finite și egale cu valoarea funcției. O limită finită nu poate fi infinită, deci în $x_0$ nu are ce asimptotă să apară. Cu alte cuvinte: căutarea unei asimptote verticale începe prin scrierea domeniului și a listei punctelor „problematice", și se oprește acolo.

Consecința practică, de reținut ca reflex: o funcție continuă pe tot $\mathbb{R}$ nu are nicio asimptotă verticală. Funcțiile polinomiale, $\sin$, $\cos$, $e^x$, $\sqrt[3]{x}$ nu au asimptote verticale, oricât de repede ar crește ele. Creșterea rapidă la infinit este treaba asimptotei orizontale sau oblice, nu a celei verticale.

4. Când NU dă o valoare interzisă asimptotă verticală?

Capcana a fost anunțată la lecția 51, pe exemplul $\frac{x^2-9}{x-3}$, unde valoarea interzisă $3$ dădea o limită finită. Aici o transformăm în procedură: o valoare interzisă este doar un candidat și devine asimptotă numai dacă limita laterală iese efectiv infinită. Compară cele două funcții:

$$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-3x+2},g(x)=\frac{1}{(x+2{)}^2}.$$

La prima, domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$, deci sunt doi candidați. Factorizăm: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, deci pe domeniul ei $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$. În $x=2$ această formă este perfect cuminte și dă limita $\frac{4}{1}=4$: graficul are acolo o gaură în punctul $(2,4)$, nu o asimptotă. În $x=1$, în schimb, numărătorul tinde la $3\ne 0$, iar numitorul la $0$, deci limitele laterale sunt infinite: dreapta $x=1$ este asimptotă verticală.

(Verificat numeric: limita în $2$ se stabilizează la $4$, iar în $1$ valorile depășesc $10^6$ păstrând semnul, negativ la stânga și pozitiv la dreapta.)

Regula, deci: la o funcție rațională se simplifică întâi fracția, iar candidații rămași sunt rădăcinile numitorului de după simplificare. Cele care dispar prin simplificare dau găuri, adică puncte în care graficul lipsește, nu drepte de care el se lipește.

5. Cum se determină asimptotele verticale ale unei funcții raționale?

Pentru $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, cu $P$ și $Q$ polinoame, procedura are patru mișcări:

1. scrii domeniul: $D=\{x\in \mathbb{R}\mid Q(x)\ne 0\}$, adică $\mathbb{R}$ fără rădăcinile reale ale lui $Q$;
2. simplifici fracția, dacă $P$ și $Q$ au factori comuni; rădăcinile care dispar sunt găuri, nu asimptote;
3. pentru fiecare rădăcină $a$ rămasă la numitor, calculezi cele două limite laterale; numărătorul tinde la $P(a)\ne 0$, iar numitorul la $0$, deci limita este infinită, cu semnul dat de semnul numărătorului și de semnul numitorului pe fiecare parte;
4. scrii răspunsul ca listă de drepte: „dreptele $x=a_1$, …, $x=a_k$ sunt asimptote verticale ale graficului".

Semnul se citește cel mai comod pe forma factorizată a numitorului. La $f(x)=\frac{x^2}{x^2-x-6}=\frac{x^2}{(x-3)(x+2)}$, de pildă, numărătorul este pozitiv lângă amândouă rădăcinile, iar semnul numitorului îl dă factorul care se anulează. Lângă $3$: factorul $x+2$ este pozitiv, iar $x-3$ este negativ la stânga și pozitiv la dreapta, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$. Lângă $-2$: factorul $x-3$ este negativ, iar $x+2$ trece de la negativ la pozitiv, deci limita la stânga este $+\infty$ și cea la dreapta $-\infty$. Ambele drepte, $x=3$ și $x=-2$, sunt asimptote verticale bilaterale.

Un caz care merită reținut separat: când rădăcina numitorului are ordin de multiplicitate par, cele două limite laterale au același semn, ca la $\frac{1}{(x+2{)}^2}$; când are ordin impar, semnele sunt contrare, ca la $\frac{1}{(x-1{)}^3}$. Este exact regula de semn a puterilor, citită lângă rădăcină.

6. Logaritmi, exponențiale și funcții definite pe ramuri

Logaritmii produc asimptote verticale la fiecare capăt finit al domeniului, pentru că $\ln u\to -\infty$ atunci când $u\to 0$, $u>0$. Pentru $f(x)=\ln (x^2-1)$ domeniul este $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$; în $-1$ funcția există doar la stânga, iar $x^2-1\to 0$ prin valori pozitive, deci limita este $-\infty$: dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală la stânga. Simetric, $x=1$ este asimptotă verticală la dreapta. Este un exemplu în care aceeași funcție are două asimptote verticale, fiecare de câte un singur fel.

Exponențialele singure nu dau asimptote verticale, pentru că $e^x$ este continuă pe $\mathbb{R}$; ele le produc doar când exponentul explodează. Cazul de manual este $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$, cu domeniul ${\mathbb{R}}^{\ast }$. La dreapta lui $0$, exponentul $\frac{1}{x}\to +\infty$, deci $f(x)\to +\infty$; la stânga, exponentul tinde la $-\infty$, deci $f(x)\to 0$, limită finită. Prin urmare $x=0$ este asimptotă verticală numai la dreapta — un exemplu curat pentru care precizarea părții este obligatorie. (Verificat numeric: la dreapta valorile depășesc orice prag; la stânga se stabilizează la $0$.)

Funcțiile pe ramuri se tratează exact ca la clasa a XI-a, în punctul de racord: se calculează cele două limite laterale, fiecare cu formula ei. Dacă amândouă sunt finite, indiferent dacă sunt egale sau nu, nu există asimptotă verticală acolo. Aceasta este legătura cu clasificarea discontinuităților: o discontinuitate de speța I are, prin definiție, ambele limite laterale finite, deci nu produce niciodată asimptotă. Numai discontinuitățile de speța a II-a o pot produce — și nici ele întotdeauna, pentru că o limită laterală poate să nu existe fără să fie infinită.

7. Câte asimptote verticale poate avea o funcție?

Câte vrea. O funcție rațională are cel mult atâtea câte rădăcini reale distincte are numitorul după simplificare, deci un număr finit. Dar funcția $\mathrm{tg}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, are o infinitate de asimptote verticale, dreptele $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ cu $k\in \mathbb{Z}$, pentru că lângă fiecare astfel de punct limita la stânga este $+\infty$ și cea la dreapta este $-\infty$. Analog, $\mathrm{ctg}$ are asimptotele $x=k\pi$.

Deosebirea față de celelalte două tipuri de asimptote se vede acum limpede și merită scrisă ca atare: o funcție are cel mult două asimptote orizontale sau oblice — una spre $-\infty$ și una spre $+\infty$ — dar poate avea oricâte asimptote verticale. Motivul este că primele două se citesc la cele două capete ale axei, pe când verticalele se citesc în fiecare punct-problemă al domeniului.

8. Rezumatul procedurii, în patru rânduri

Pentru orice funcție $f$, căutarea asimptotelor verticale se face astfel: scrii domeniul $D$ ca reuniune de intervale; faci lista candidaților (capetele finite deschise ale intervalelor lui $D$ și punctele de discontinuitate); pentru fiecare candidat calculezi limitele laterale care au sens; reții candidații cu cel puțin o limită laterală infinită și scrii, pentru fiecare, ecuația dreptei și felul asimptotei. Procedura aceasta va deveni pasul al doilea al schemei asimptotelor, fixată în lecția următoare, asimptotele funcțiilor uzuale, unde o vei aplica alături de căutarea orizontalelor și a oblicelor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcție rațională cu o singură asimptotă verticală

Determinați asimptotele verticale ale graficului funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$.

Rezolvare. Domeniul este $(-\infty ,3)\cup (3,+\infty )$, deci singurul candidat este $x=3$, capăt finit deschis al ambelor intervale. Fracția nu se simplifică (numărătorul nu se anulează în $3$: $2\cdot 3+1=7$).

Calculăm limitele laterale. Numărătorul tinde la $7>0$. Numitorul tinde la $0$, prin valori negative când $x<3$ și prin valori pozitive când $x>3$. Prin urmare

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=+\infty .$$

Amândouă sunt infinite, deci dreapta $x=3$ este asimptotă verticală bilaterală a graficului lui $f$.

Exemplul 2 — Valoare interzisă care dă gaură, nu asimptotă

Studiați asimptotele verticale ale funcției $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$.

Rezolvare. Numitorul se anulează în $1$ și $2$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$ și avem doi candidați. Factorizăm și simplificăm: $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+2}{x-1}$ pentru orice $x\in D$.

În $x=2$ forma simplificată este continuă și dă $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{4}{1}=4$, limită finită. Deci $x=2$ nu este asimptotă verticală; graficul are o gaură în punctul $(2,4)$.

În $x=1$ numărătorul tinde la $3\ne 0$ și numitorul la $0$, negativ la stânga și pozitiv la dreapta, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$.

Răspuns: singura asimptotă verticală este dreapta $x=1$, bilaterală.

Exemplul 3 — Asimptotă bilaterală cu același semn

Arătați că dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală a graficului funcției $f(x)=\frac{1}{(x+2{)}^2}$ și precizați felul ei.

Rezolvare. $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, singurul candidat fiind $x=-2$. Numitorul $(x+2{)}^2$ este strict pozitiv pe tot domeniul și tinde la $0$ când $x\to -2$, indiferent din ce parte. Deci

$$\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x<-2\end{array}}{\lim }\frac{1}{(x+2{)}^2}=+\infty \text{și}\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }\frac{1}{(x+2{)}^2}=+\infty .$$

Dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală, iar ambele ramuri ale graficului urcă spre $+\infty$. Exponentul par al numitorului este cel care produce semnele identice; la $\frac{1}{(x+2{)}^3}$ semnele ar fi fost contrare.

Exemplul 4 — Funcție logaritmică, cu două asimptote de câte un singur fel

Determinați asimptotele verticale ale funcției $f(x)=\ln \left(x^2-1\right)$.

Rezolvare. Condiția de existență este $x^2-1>0$, adică $D=(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$. Capetele finite și deschise ale domeniului sunt $-1$ și $1$; ele sunt singurii candidați, iar funcția este continuă pe tot domeniul.

În $-1$ funcția există numai la stânga. Când $x\to -1$, $x<-1$, avem $x^2-1\to 0$ prin valori pozitive, deci $\ln (x^2-1)\to -\infty$. Dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală la stânga.

În $1$ funcția există numai la dreapta, și, analog, $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\ln (x^2-1)=-\infty$. Dreapta $x=1$ este asimptotă verticală la dreapta.

Răspuns: două asimptote verticale, $x=-1$ (la stânga) și $x=1$ (la dreapta). Observă că, deși ecuațiile sunt simetrice, fiecare dreaptă este atinsă de o singură ramură.

Exemplul 5 — Exponențială: asimptotă doar la dreapta

Studiați comportarea funcției $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = e^{\frac{1}{x}}$, în vecinătatea originii.*

Rezolvare. Punctul $0$ este capăt finit deschis pentru amândouă intervalele domeniului, deci este candidat. Folosim limitele funcțiilor exponențială și logaritmică.

La dreapta: $x\to 0$, $x>0$, deci $\frac{1}{x}\to +\infty$ și $e^{\frac{1}{x}}\to +\infty$.

La stânga: $x\to 0$, $x<0$, deci $\frac{1}{x}\to -\infty$ și $e^{\frac{1}{x}}\to 0$, limită finită.

Răspuns: dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta a graficului. La stânga graficul se apropie liniștit de origine, fără nicio explozie — un exemplu în care omiterea preciziei „la dreapta" ar face răspunsul greșit pe jumătate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2,1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-2}$. (Subiectul al III-lea.) a) Determinați domeniul maxim de definiție și punctele în care graficul lui $f$ poate avea asimptote verticale. b) Arătați că dreapta $x=-2$ nu este asimptotă verticală și calculați $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)$. c) Determinați ecuațiile asimptotelor verticale ale graficului lui $f$, precizând felul fiecăreia.

Rezolvare. a) Numitorul se anulează pentru $x^2+x-2=0$, adică $x=-2$ sau $x=1$. Domeniul maxim este $(-\infty ,-2)\cup (-2,1)\cup (1,+\infty )$, iar candidații sunt exact capetele finite deschise: $x=-2$ și $x=1$. Funcția, fiind rațională, este continuă pe tot domeniul, deci nu există alți candidați.

b) Factorizăm: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, deci, pentru orice $x$ din domeniu,

$$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)}=\frac{x-2}{x-1}.$$

Forma simplificată este continuă în $-2$, deci $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$, limită finită. Prin urmare $x=-2$ nu este asimptotă verticală: graficul are doar o gaură în punctul $\left(-2,\frac{4}{3}\right)$.

c) Rămâne candidatul $x=1$. Pe forma simplificată, numărătorul tinde la $-1<0$, iar numitorul la $0$: negativ pentru $x<1$, pozitiv pentru $x>1$. Deci

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty .$$

Răspuns: singura asimptotă verticală a graficului este dreapta $x=1$, bilaterală, cu ramura din stânga urcând spre $+\infty$ și cea din dreapta coborând spre $-\infty$. (Toate cele trei limite au fost verificate numeric.)

Să exersăm

1. Determinați domeniul și asimptotele verticale ale funcției $f(x)=\frac{5}{x+4}$, precizând felul lor.

2. Determinați asimptotele verticale ale graficului funcției $f(x)=\frac{x}{x^2-9}$.

3. Arătați că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, nu are nicio asimptotă verticală.

4. Determinați asimptotele verticale ale funcției $f(x)=\frac{1}{(x-1{)}^3}$ și comparați semnele limitelor laterale cu cele de la $\frac{1}{(x-1{)}^2}$.

5. Studiați dacă dreapta $x=1$ este asimptotă verticală pentru $f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a$ nu aparține domeniului lui $f$, atunci dreapta $x=a$ este asimptotă verticală a graficului lui $f$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție continuă pe $\mathbb{R}$ nu are asimptote verticale."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ are în $x_0$ o discontinuitate de speța I, atunci $x=x_0$ este asimptotă verticală."

9. Determinați asimptotele verticale ale funcției $f(x)=\ln (x-2)$.

10. Determinați asimptotele verticale ale funcției $f(x)=\frac{1}{\ln x}$, precizând domeniul.

11. (Problemă aplicată.) Rezistența echivalentă a două rezistoare legate în paralel, unul de $6\Omega$ și celălalt variabil, este $R(x)=\frac{6x}{6+x}$, unde $x>0$ este rezistența celui de-al doilea. Arătați că funcția $R$, privită pe întregul ei domeniu de definiție matematic, are o asimptotă verticală, și explicați de ce ea nu are sens fizic.

12. Determinați numărul asimptotelor verticale ale graficului funcției $f(x)=\frac{x^2-1}{x^3-x}$.

13. Fie $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-x-6}$. Determinați asimptotele verticale și semnul fiecărei limite laterale.

14. Determinați valorile parametrului real $m$ pentru care graficul funcției $f(x)=\frac{x+1}{x^2-m}$ are exact două asimptote verticale.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}$. Determinați domeniul, arătați că $x=3$ nu este asimptotă verticală și scrieți ecuația singurei asimptote verticale.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați asimptotele verticale ale funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, și precizați felul fiecăreia.

17. Explicați, în două-trei propoziții, de ce un punct interior al domeniului în care funcția este continuă nu poate fi niciodată candidat la asimptotă verticală.

18. (Provocare.) Fie $a,b,c$ numere reale cu $a\ne 0$. Arătați că graficul funcției $f(x)=\frac{1}{a{x}^2+bx+c}$ are două asimptote verticale dacă $b^2-4ac>0$, exact una dacă $b^2-4ac=0$ și niciuna dacă $b^2-4ac<0$; precizați, în cazul $b^2-4ac=0$, semnele celor două limite laterale.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$. Numărătorul este constant $5\ne 0$, iar numitorul trece de la negativ la pozitiv, deci limita la stânga este $-\infty$ și cea la dreapta $+\infty$: dreapta $x=-4$ este asimptotă verticală bilaterală.

2. $x^2-9=(x-3)(x+3)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$. În niciunul dintre puncte numărătorul nu se anulează ($f$ are numărătorul $x$, cu valorile $-3$ și $3$), deci ambele candidate rămân: dreptele $x=-3$ și $x=3$ sunt asimptote verticale bilaterale.

3. Numitorul $x^2+1$ este strict pozitiv pentru orice $x$ real, deci $D=\mathbb{R}$ și funcția, fiind rațională cu numitorul nenul peste tot, este continuă pe $\mathbb{R}$. Nu există niciun candidat, deci nicio asimptotă verticală.

4. La $\frac{1}{(x-1{)}^3}$: exponent impar, deci $(x-1{)}^3$ este negativ la stânga lui $1$ și pozitiv la dreapta, iar limitele sunt $-\infty$, respectiv $+\infty$ — semne contrare. La $\frac{1}{(x-1{)}^2}$: exponent par, numitor pozitiv de ambele părți, deci ambele limite sunt $+\infty$ — același semn. În ambele cazuri $x=1$ este asimptotă bilaterală.

5. $f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}$ pe $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. În $1$ limita este $\frac{1}{2}$, finită: nu este asimptotă, ci gaură în $\left(1,\frac{1}{2}\right)$. Asimptota verticală este dreapta $x=-1$.

6. Fals. Faptul că $a$ nu aparține domeniului îl face doar candidat. Contraexemplul standard este $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$, care nu e definită în $2$, dar are acolo limita $4$; graficul are o gaură, nu o asimptotă.

7. Adevărat. Continuitatea în orice punct $x_0\in \mathbb{R}$ înseamnă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, limită finită. Cum domeniul este tot $\mathbb{R}$, nu există nici capete finite deschise, nici puncte de discontinuitate, deci nu există candidați.

8. Fals. Discontinuitatea de speța I înseamnă, prin definiție, că amândouă limitele laterale există și sunt finite. O limită finită nu poate fi infinită, deci asimptota verticală este exclusă. Exemplu: $f(x)=\frac{|x|}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu limitele $-1$ și $1$ în origine.

9. Condiția $x-2>0$ dă $D=(2,+\infty )$. Singurul capăt finit deschis este $2$, iar $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\ln (x-2)=-\infty$. Dreapta $x=2$ este asimptotă verticală la dreapta.

10. Condițiile sunt $x>0$ și $\ln x\ne 0$, adică $x\ne 1$: $D=(0,1)\cup (1,+\infty )$. Candidații sunt $0$ și $1$. În $0$, la dreapta, $\ln x\to -\infty$, deci $\frac{1}{\ln x}\to 0$: limită finită, deci fără asimptotă. În $1$: $\ln x\to 0$, negativ la stânga și pozitiv la dreapta, deci limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Singura asimptotă verticală este $x=1$, bilaterală.

11. Ca formulă matematică, $R(x)=\frac{6x}{6+x}$ are domeniul maxim $\mathbb{R}\setminus \{-6\}$, iar în $-6$ numărătorul valorează $-36\ne 0$, deci dreapta $x=-6$ este asimptotă verticală bilaterală. Fizic, însă, rezistența este pozitivă, deci domeniul cu sens este $(0,+\infty )$, pe care $6+x>6>0$: pe intervalul cu sens fizic funcția este continuă și nu are nicio asimptotă verticală. Este un exemplu bun despre de ce se scrie întâi domeniul.

12. $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ și $x^2-1=(x-1)(x+1)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,0,1\}$ și, după simplificare, $f(x)=\frac{1}{x}$. În $-1$ și în $1$ limitele sunt finite ($-1$, respectiv $1$): găuri. Singura asimptotă verticală este $x=0$, deci numărul cerut este 1.

13. $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$; numărătorul $x^2+1$ este mereu pozitiv, deci nu se simplifică nimic. Lângă $3$: factorul $x+2$ este pozitiv, deci semnul îl dă $x-3$, iar limitele sunt $-\infty$ (la stânga) și $+\infty$ (la dreapta). Lângă $-2$: factorul $x-3$ este negativ, deci limitele sunt $+\infty$ (la stânga) și $-\infty$ (la dreapta). Ambele drepte, $x=-2$ și $x=3$, sunt asimptote verticale bilaterale.

14. Numitorul $x^2-m$ trebuie să aibă două rădăcini reale distincte, iar numărătorul $x+1$ să nu se anuleze în ele (altfel fracția s-ar simplifica și rădăcina respectivă ar da o gaură). Prima condiție cere $m>0$, cu rădăcinile $\pm \sqrt{m}$. A doua exclude cazul în care una dintre ele este $-1$, adică $m=1$. Răspuns: $m\in (0,+\infty )\setminus \{1\}$.

15. $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ și $x^2-9=(x-3)(x+3)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,3\}$ și $f(x)=\frac{x+3}{x+1}$. În $3$ limita este $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$, finită: gaură, nu asimptotă. În $-1$ numărătorul tinde la $2\ne 0$, deci limitele sunt infinite: $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta. Singura asimptotă verticală este $x=-1$.

16. Domeniul este dat: $(0,+\infty )$, iar funcția este continuă pe el. Singurul capăt finit deschis este $0$. La dreapta lui $0$, numărătorul $\ln x\to -\infty$, iar numitorul $x\to 0$ prin valori pozitive, deci raportul tinde la $-\infty$. Dreapta $x=0$, adică axa $Oy$, este asimptotă verticală la dreapta; alta nu există.

17. Dacă $f$ este continuă în $x_0$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, deci amândouă limitele laterale există și sunt finite, egale cu valoarea funcției. Definiția asimptotei verticale cere cel puțin o limită laterală infinită, iar o limită nu poate fi în același timp finită și infinită. Prin urmare punctul nici măcar nu ajunge pe lista candidaților.

18. Numitorul este un trinom de gradul al doilea cu discriminantul $\Delta =b^2-4ac$. Dacă $\Delta >0$, el are două rădăcini reale distincte $x_1\ne x_2$; numărătorul fiind constant $1\ne 0$, nu se poate simplifica nimic, deci ambele dau limite laterale infinite: două asimptote verticale. Dacă $\Delta =0$, trinomul este $a(x-x_0{)}^2$ cu $x_0=-\frac{b}{2a}$; numitorul păstrează semnul lui $a$ de ambele părți, deci ambele limite laterale sunt $+\infty$ când $a>0$ și $-\infty$ când $a<0$: o singură asimptotă verticală, bilaterală, cu limite de același semn. Dacă $\Delta <0$, trinomul nu se anulează niciodată, domeniul este $\mathbb{R}$, funcția este continuă și nu există niciun candidat.

De reținut

• Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală a graficului lui $f$ dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită; nu se cere ca amândouă să fie infinite, și nici măcar ca amândouă să existe.
• Asimptota verticală se precizează întotdeauna ca fiind la stânga, la dreapta sau bilaterală, pentru că această informație spune câte ramuri ale graficului se lipesc de dreaptă și în ce sens merg ele.
• Candidații la asimptotă verticală sunt numai capetele finite și deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate; un punct interior în care funcția este continuă nu poate fi niciodată candidat, pentru că acolo limitele laterale sunt finite.
• O valoare interzisă produce asimptotă verticală numai dacă limita laterală iese efectiv infinită; la funcțiile raționale se simplifică întâi fracția, iar rădăcinile care dispar prin simplificare dau găuri în grafic, nu asimptote.
• O funcție are cel mult două asimptote orizontale sau oblice, câte una spre fiecare capăt al axei, dar poate avea oricâte asimptote verticale — funcția tangentă are o infinitate.

Greșeli frecvente

• Declari asimptotă verticală în orice punct care lipsește din domeniu. Punctul lipsă este doar candidat; asimptota există numai dacă o limită laterală este infinită. La $\frac{x^2-4}{x-2}$ punctul $2$ lipsește din domeniu, dar limita acolo este $4$ — graficul are o gaură.
• Cauți asimptote verticale în punctele critice sau de inflexiune. Acolo funcția este continuă, deci limitele laterale sunt finite. Punctele critice se caută la pasul derivatei, nu la pasul asimptotelor; sunt două întrebări diferite.
• Uiți să spui din ce parte. La $e^{\frac{1}{x}}$, dreapta $x=0$ este asimptotă verticală numai la dreapta; scris fără această precizare, răspunsul sugerează două ramuri acolo unde există una singură.
• Nu simplifici fracția înainte de a decide. Rădăcinile comune ale numărătorului și numitorului dau găuri; dacă nu simplifici, numeri asimptote care nu există, iar la funcțiile raționale aceasta este cea mai frecventă greșeală de la Bacalaureat M1.
• Confunzi „limita nu există" cu „limita este infinită". O discontinuitate de speța a II-a poate avea o limită laterală care pur și simplu nu există, fără să fie infinită — de exemplu funcția $\sin \frac{1}{x}$ în origine, care oscilează fără să se apropie de nimic. Definiția cere infinit, nu doar „nu există".

Aplică acasă

1. Zece funcții, un tabel. Alege zece funcții raționale din culegerea ta și completează, pentru fiecare, un tabel cu patru coloane: domeniul, candidații, limitele laterale în fiecare candidat, ecuațiile asimptotelor verticale cu felul lor. Vei observa că, după a treia funcție, cea mai lungă coloană devine prima — semn că partea grea a exercițiului este scrierea domeniului, nu calculul limitei.

2. Vânătoarea de găuri. Construiește trei funcții raționale care au un punct lipsă din domeniu fără asimptotă verticală acolo. Rețeta: pornește de la o funcție simplă și amplifică fracția cu $(x-a)$. Apoi dă-i funcțiile unui coleg și cere-i să spună, doar privind formula neamplificată, unde sunt găurile.

3. Asimptote în lumea reală. Caută trei formule din fizică sau din economie în care o mărime crește nemărginit când o alta se apropie de o valoare critică: rezistența în paralel, timpul de umplere la debit tot mai mic, costul mediu pe unitate când producția tinde la zero. Scrie pentru fiecare ecuația asimptotei verticale și explică într-o propoziție ce înseamnă ea fizic.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a treia și ultima dintre asimptote, singura care se caută în puncte finite. Ea este cerută explicit de programa de matematică-informatică prin competența XII.CS.2.4, care menționează două activități distincte: „determinarea numerelor reale pentru care este posibil ca o funcție să admită asimptote verticale" și „stabilirea ecuațiilor asimptotelor verticale prin studiul limitelor în capetele reale ale domeniului sau în punctele de discontinuitate". Cele două activități corespund celor două jumătăți ale lecției: lista candidaților și verdictul prin limite laterale.

Ce verifică lecția: (1) scrierea domeniului ca reuniune de intervale, înaintea oricărui calcul de limită; (2) alcătuirea corectă a listei de candidați, fără puncte de continuitate pe ea; (3) calculul separat al celor două limite laterale, cu semnul numitorului discutat pe fiecare parte; (4) deosebirea dintre asimptotă și gaură, la funcțiile raționale care se simplifică; (5) redactarea răspunsului ca ecuație de dreaptă, cu precizarea „la stânga / la dreapta / bilaterală".

Întrebări bune de control: „Care sunt candidații și de ce doar aceștia?", „Ce se întâmplă cu numitorul la stânga punctului, dar la dreapta lui?", „Fracția se simplifică? Ce înseamnă asta pentru grafic?", „Câte ramuri se lipesc de dreapta găsită?". Un semn sigur că elevul a înțeles este că, pus în fața unei funcții polinomiale, spune imediat „nu are asimptote verticale, e continuă pe $\mathbb{R}$", fără să calculeze nimic.

La BAC M1, asimptotele apar aproape întotdeauna în Subiectul al III-lea, ca prim subpunct al problemei de analiză — de regulă o funcție rațională sau una cu logaritm, la care se cer toate asimptotele deodată. Punctajul se pierde cel mai des la simplificarea nefăcută și la precizarea lipsă a părții din care se apropie graficul.

Întrebări frecvente

Ce este o asimptotă verticală? Este o dreaptă verticală $x=a$, cu $a$ număr real, de care graficul funcției se apropie oricât de mult, urcând sau coborând nemărginit. Condiția matematică este ca cel puțin una dintre limitele laterale ale funcției în punctul $a$ să fie $+\infty$ sau $-\infty$. Punctul $a$ nu aparține, de obicei, domeniului de definiție al funcției.

Cum se determină asimptotele verticale ale unei funcții? În patru pași: scrii domeniul ca reuniune de intervale; faci lista candidaților, adică a capetelor finite și deschise ale intervalelor și a punctelor de discontinuitate; calculezi limitele laterale în fiecare candidat; reții candidații cu cel puțin o limită laterală infinită. Răspunsul se scrie ca listă de ecuații de drepte, cu felul fiecărei asimptote precizat.

În ce puncte se caută asimptotele verticale? Numai în capetele finite și deschise ale domeniului și în punctele de discontinuitate ale funcției. Un punct interior în care funcția este continuă nu poate fi niciodată asimptotă verticală, pentru că acolo limita este egală cu valoarea funcției, deci finită. De aceea o funcție continuă pe tot $\mathbb{R}$ nu are nicio asimptotă verticală.

De ce nu orice valoare interzisă dă o asimptotă verticală? Pentru că valoarea interzisă este doar un candidat, iar verdictul îl dă limita. La funcțiile raționale, dacă numărătorul și numitorul au un factor comun, fracția se simplifică și limita în acel punct iese finită: graficul are acolo o gaură, nu o dreaptă de care să se lipească. Simplificarea se face întotdeauna înaintea calculului.

Când este o asimptotă verticală bilaterală? Când amândouă limitele laterale ale funcției în punctul respectiv sunt infinite. Semnele lor pot fi contrare, ca la $\frac{1}{x}$ în origine, sau identice, ca la $\frac{1}{x^2}$. Dacă doar una dintre limite este infinită, asimptota se numește la stânga sau la dreapta, după partea din care graficul se apropie de dreaptă.

Câte asimptote verticale poate avea o funcție? Oricâte, inclusiv o infinitate. O funcție rațională are cel mult atâtea câte rădăcini reale distincte are numitorul după simplificare, deci un număr finit, dar funcția tangentă are asimptotele $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ pentru orice $k$ întreg. Prin contrast, asimptotele orizontale sau oblice sunt cel mult două, câte una spre fiecare capăt al axei.

Are funcția logaritmică asimptotă verticală? Da. Funcția $\ln x$, definită pe $(0,+\infty )$, are limita $-\infty$ la dreapta originii, deci axa $Oy$, de ecuație $x=0$, este asimptotă verticală la dreapta. Regula generală este că fiecare capăt finit al domeniului unei funcții logaritmice produce o asimptotă verticală, pentru că argumentul logaritmului tinde acolo la zero.