Tabelul de variație complet, cu derivata întâi și derivata a doua

Într-un buletin de știri auzi, despre același grafic, două propoziții care par să se bată cap în cap: „numărul abonaților continuă să crească" și „creșterea a încetinit față de luna trecută". Nu se contrazic deloc. Prima vorbește despre sens — mărimea urcă. A doua vorbește despre ritm — urcă tot mai domol. Ca să descrii corect o evoluție ai nevoie de amândouă informațiile, iar cine le confundă trage concluzii false: „a încetinit" nu înseamnă „a scăzut".

În limbajul de până acum, sensul e dat de semnul derivatei întâi, iar ritmul de semnul derivatei a doua. Ai lucrat cu ele separat: tabelul de variație cu derivata întâi ți-a dat monotonia și extremele, iar convexitatea citită din semnul derivatei a doua ți-a dat forma curburii. Lecția de față le pune într-un singur tablou, cu patru rânduri, care conține tot ce se poate spune despre o funcție fără să calculezi nimic în plus. Acesta este tabelul cerut la Bacalaureat M1 și el este, în programa clasei a XI-a, capătul studiului variației: ultimul rând al lui rezumă întreaga poveste a funcției.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești tabelul de variație complet, cu rândurile $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ și $f(x)$, în această ordine.
• Vei ști să calculezi numărul de coloane al tabelului, $2k+4$, unde $k$ este numărul punctelor marcate pe axă.
• Vei ști ce se scrie în fiecare celulă: valori, semne, săgeți, simbolurile $\cup$ și $\cap$, marcajele $\text{M}$, $\text{m}$ și $\text{I}$.
• Vei ști să tratezi punctele speciale: capetele domeniului, punctele în care funcția nu este definită și cele în care derivata nu există.
• Vei ști să citești tabelul, adică să traduci în cuvinte monotonia, extremele, convexitatea, punctele de inflexiune și imaginea funcției.

Hai să descoperim împreună

1. Două informații despre aceeași curbă

Fie $f$ o funcție de două ori derivabilă pe un interval. Despre ea știi deja două lucruri, obținute pe căi diferite:

• semnul lui $f^{\prime }$ dă sensul de variație — pozitiv înseamnă strict crescătoare, negativ înseamnă strict descrescătoare (consecința teoremei lui Lagrange, din Consecințele teoremei lui Lagrange);
• semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă curbura — pozitiv înseamnă convexă („ține apa", simbolul $\cup$), negativ înseamnă concavă („varsă apa", simbolul $\cap$).

Cele două semne sunt independente unul de altul, deci se pot combina în patru feluri. Fiecare combinație are o descriere în cuvinte pe care merită să o știi pe de rost:

Rândul al doilea este exact situația din știre: funcția crește, dar creșterea încetinește. Rândul al patrulea este vestea bună dintr-o criză: mărimea încă scade, însă din ce în ce mai lent.

2. Structura tabelului: patru rânduri

Tabelul complet are, obligatoriu, patru rânduri, în această ordine:

1. $x$ — este chiar rândul de antet al tabelului; el poartă punctele de pe axă;
2. $f^{\prime }(x)$;
3. $f^{\prime \prime }(x)$;
4. $f(x)$.

Rândul lui $f^{\prime \prime }$ este singura deosebire față de tabelul simplu pe care l-ai construit la lecția anterioară. El nu se adaugă la sfârșit, ci se așază între $f^{\prime }$ și $f$, pentru că informația despre curbură trebuie citită înainte de a scrie săgeata cu simbolul ei.

3. Coloanele și numărul lor

După coloana de etichete urmează, alternativ, coloane-punct și coloane-interval, în ordinea de pe axă:

$$\text{capa˘tul staˆng}\to \text{interval}\to x_1\to \text{interval}\to x_2\to \cdots \to x_k\to \text{interval}\to \text{capa˘tul drept}.$$

Punctele marcate $x_1<x_2<\cdots <x_k$ sunt reuniunea rădăcinilor lui $f^{\prime }$ cu rădăcinile lui $f^{\prime \prime }$ (plus, dacă e cazul, punctele în care derivata nu există sau în care funcția nu e definită). Aici se pierd cele mai multe puncte la examen: cine trece în tabel numai rădăcinile lui $f^{\prime }$ nu mai are unde să scrie punctele de inflexiune.

Cu $k$ puncte marcate, la cele $2k+1$ coloane dintre ele se adaugă cele două capete și coloana etichetelor, deci tabelul are exact $2k+4$ coloane. Trei puncte marcate înseamnă $10$ coloane; cinci puncte marcate înseamnă $14$.

Ce se scrie în fiecare celulă:

4. Simbolurile, fixate o dată pentru totdeauna

• săgețile: $\nearrow$ pentru „strict crescătoare", $\searrow$ pentru „strict descrescătoare";
• curbura: $\cup$ pentru convexă, $\cap$ pentru concavă, scrise imediat după săgeată: $\nearrow \cup$;
• extremele: după valoare, $\text{M}$ pentru maxim local, $\text{m}$ pentru minim local;
• inflexiunea: după valoare, $\text{I}$;
• derivată inexistentă: $\nexists$ în rândul lui $f^{\prime }$, cu explicația scrisă în text, sub tabel.

O regulă de redactare pe care baremele o urmăresc: punctul nu se confundă cu valoarea. Punctul de maxim este $x_0$, iar valoarea maximă este $f(x_0)$. În tabel, litera $\text{M}$ stă lângă valoare, în rândul lui $f$, dar punctul de maxim se citește deasupra, în rândul lui $x$.

5. Rețeta de construcție, în șapte pași

1. Domeniul $D$ și verificarea că $f$ e de două ori derivabilă pe el.
2. Capetele: valorile sau limitele lui $f$ la capetele fiecărui interval din $D$.
3. Derivata întâi și rădăcinile ecuației $f^{\prime }(x)=0$.
4. Derivata a doua și rădăcinile ecuației $f^{\prime \prime }(x)=0$.
5. Axa: toate punctele de la pașii $3$ și $4$, puse laolaltă, în ordine strict crescătoare.
6. Semnele lui $f^{\prime }$ și ale lui $f^{\prime \prime }$ pe fiecare interval, plus valorile lui $f$ în punctele marcate.
7. Marcajele $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$ și citirea tabelului în cuvinte.

6. Construcția completă, pas cu pas

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

Pasul 1. Funcție polinomială, deci de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$.

Pasul 2. Termenul dominant este $x^3$, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

Pasul 3. $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, cu rădăcinile $1$ și $3$.

Pasul 4. $f^{\prime \prime }(x)=6x-12=6(x-2)$, cu rădăcina $2$.

Pasul 5. Punctele marcate sunt $1$, $2$, $3$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane.

Pasul 6. Semnul lui $f^{\prime }$: pozitiv în afara rădăcinilor, negativ între ele. Semnul lui $f^{\prime \prime }$: negativ înainte de $2$, pozitiv după. Valorile: $f(1)=1-6+9=4$, $f(2)=8-24+18=2$, $f(3)=27-54+27=0$; în plus $f^{\prime }(2)=12-24+9=-3$, $f^{\prime \prime }(1)=-6$ și $f^{\prime \prime }(3)=6$.

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[1,3]$; are un maxim local $f(1)=4$ și un minim local $f(3)=0$; este concavă pe $(-\infty ,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $(2,2)$; imaginea funcției este $\mathbb{R}$. (Toate semnele au fost verificate prin eșantionarea lui $f^{\prime }$ și a lui $f^{\prime \prime }$ cu câte $2000$ de puncte pe fiecare interval, iar limitele, numeric.)

7. Puncte speciale: goluri și colțuri

Două situații se abat de la tiparul de mai sus și amândouă apar în subiectele de Bacalaureat M1.

Un punct care nu aparține domeniului. El se trece totuși pe axă, ca prag, iar în rândurile lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ se scrie bara $|$, care arată că acolo funcția nu există. În rândul lui $f$ se scriu cele două limite laterale. Atenție la o capcană: chiar dacă $f^{\prime \prime }$ are semne contrare de o parte și de alta a unui asemenea prag, acolo nu există punct de inflexiune, pentru că un punct de inflexiune trebuie să fie punct din interiorul domeniului — vezi Puncte de inflexiune.

Aceeași regulă se aplică și la un capăt finit al domeniului care nu-i aparține — de pildă $0$ pentru $f(x)=x-\ln x$: punctul există pe axă, funcția nu, deci în rândurile derivatelor se scrie $|$, iar în rândul lui $f$ limita laterală. Celula derivatei rămâne goală numai la $-\infty$ și $+\infty$, care nu sunt puncte ale axei. Pe scurt: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ gol.

Un punct în care derivata nu există. În rândul lui $f^{\prime }$ se scrie $\nexists$, iar sub tabel se precizează despre ce fel de punct e vorba: unghiular sau de întoarcere, așa cum au fost definite la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere. Un astfel de punct poate fi punct de extrem, deși derivata nu se anulează acolo — teorema lui Fermat cere derivabilitatea, iar aici ipoteza nu e îndeplinită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un punct critic care nu este extrem

Întocmiți tabelul de variație complet al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$, cu rădăcinile $0$ (dublă) și $3$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$, cu rădăcinile $0$ și $2$. Punctele marcate: $0$, $2$, $3$, deci $10$ coloane. Valorile: $f(0)=0$, $f(2)=16-32=-16$, $f(3)=81-108=-27$, $f^{\prime }(2)=32-48=-16$, $f^{\prime \prime }(3)=108-72=36$. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete, pentru că termenul dominant este $x^4$.

Citire: $f$ scade pe $(-\infty ,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$, cu un singur extrem, minimul $f(3)=-27$; este convexă pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$, concavă pe $[0,2]$, cu două puncte de inflexiune, $(0,0)$ și $(2,-16)$. Observă că în $0$ derivata se anulează fără să-și schimbe semnul: punctul $0$ este critic, dar nu este punct de extrem — este punct de inflexiune cu tangentă orizontală. ✓

Exemplul 2 — O funcție cu exponențială

Întocmiți tabelul de variație complet al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$, cu rădăcina $-1$; $f^{\prime \prime }(x)=(x+2)e^x$, cu rădăcina $-2$. Cum $e^x>0$ mereu, semnele sunt date de paranteze. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$ (calculată la lecția despre regulile lui L'Hôpital, în cazul $0\cdot \infty$) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^x=+\infty$. Valorile: $f(-2)=-2e^{-2}$, $f(-1)=-e^{-1}$, $f^{\prime }(-2)=-e^{-2}$, $f^{\prime \prime }(-1)=e^{-1}$.

Citire: $f$ scade pe $(-\infty ,-1]$ și crește pe $[-1,+\infty )$; minimul este $f(-1)=-\frac{1}{e}$, iar el este chiar cel mai mic dintre toate valorile, deci imaginea funcției este $\left[-\frac{1}{e},+\infty \right)$. Punctul de inflexiune este $\left(-2,-\frac{2}{e^2}\right)$. ✓

Exemplul 3 — Domeniu mărginit la stânga

Întocmiți tabelul de variație complet al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$, cu rădăcina $1$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2}>0$ pentru orice $x>0$, deci $f^{\prime \prime }$ nu are nicio rădăcină și tabelul are un singur punct marcat, adică $6$ coloane. Limitele: la $0$ dinspre dreapta, $-\ln x\to +\infty$, deci $f(x)\to +\infty$; la $+\infty$ termenul $x$ domină, deci $f(x)\to +\infty$. Valorile: $f(1)=1$, $f^{\prime \prime }(1)=1$. Capătul $0$ nu aparține domeniului, deci în rândurile derivatelor se scrie acolo bara $|$, iar în rândul lui $f$, limita.

Citire: $f$ scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$; minimul este $f(1)=1$, deci imaginea este $[1,+\infty )$; funcția este convexă pe tot domeniul, fără puncte de inflexiune. Din faptul că $1$ este cea mai mică valoare rezultă inegalitatea $\ln x\le x-1$, adevărată pentru orice $x>0$. ✓

Exemplul 4 — Un domeniu cu gol

Întocmiți tabelul de variație complet al funcției $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$.*

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$, cu rădăcinile $-1$ și $1$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$, care nu se anulează niciodată, dar își schimbă semnul în $0$. Punctele marcate: $-1$, $0$ și $1$, deci $10$ coloane. Valorile: $f(-1)=-2$, $f(1)=2$, $f^{\prime \prime }(-1)=-2$, $f^{\prime \prime }(1)=2$. Limitele: $-\infty$ la $-\infty$, $+\infty$ la $+\infty$, iar în $0$ limitele laterale sunt $-\infty$ dinspre stânga și $+\infty$ dinspre dreapta.

Citire: $f$ are un maxim local $f(-1)=-2$ și un minim local $f(1)=2$ — și, oricât ar părea de ciudat, maximul este mai mic decât minimul, pentru că cele două stau pe ramuri diferite ale domeniului. Funcția este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$, fără punct de inflexiune: în $0$, unde $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul, funcția nici măcar nu este definită. ✓

Exemplul 5 — Când derivata nu există

Întocmiți tabelul de variație complet al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$.

Rezolvare. Pentru $x\ne 0$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ — pe $(-\infty ,0)$ formula se obține din definiție, nu din tabelul derivatelor funcțiilor uzuale, care dă radicalii doar pe $(0,+\infty )$ — și $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}$. Cum $\sqrt[3]{x^4}>0$ pentru $x\ne 0$, rezultă $f^{\prime \prime }<0$ pe fiecare dintre cele două intervale. În $0$ derivatele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci $0$ este punct de întoarcere, iar $f^{\prime }(0)$ nu există. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete.

Citire: $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, deci $0$ este punct de minim, iar valoarea minimă este $f(0)=0$; imaginea este $[0,+\infty )$. Funcția este concavă pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$, dar nu este concavă pe $\mathbb{R}$: în origine graficul are un vârf ascuțit, iar concluziile despre curbură se formulează întotdeauna pe un interval. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și determinați intervalele de monotonie. b) Calculați $f^{\prime \prime }(x)$ și determinați intervalele de convexitate și punctul de inflexiune. c) Întocmiți tabelul de variație complet și precizați imaginea funcției.

Rezolvare.

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, cu rădăcinile $-1$ și $3$. Fiind o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant pozitiv, $f^{\prime }$ este pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele. Deci $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-1,3]$.

b) $f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1)$, negativă pentru $x<1$ și pozitivă pentru $x>1$. Deci $f$ este concavă pe $(-\infty ,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$; cum $f^{\prime \prime }$ se anulează în $1$ și își schimbă semnul acolo, punctul $(1,-6)$ este punct de inflexiune.

c) Valorile: $f(-1)=-1-3+9+5=10$, $f(1)=1-3-9+5=-6$, $f(3)=27-27-27+5=-22$; în plus $f^{\prime }(1)=3-6-9=-12$, $f^{\prime \prime }(-1)=-12$, $f^{\prime \prime }(3)=12$. Limitele: $-\infty$ și $+\infty$.

Citire: maxim local $f(-1)=10$, minim local $f(3)=-22$, punct de inflexiune $(1,-6)$. Funcția fiind continuă, iar limitele la capete fiind $-\infty$ și $+\infty$, imaginea este $\mathbb{R}$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare tabel, scrie mai întâi lista punctelor marcate și numărul de coloane — apoi completează. Baremele punctează separat semnele, valorile și citirea.

1. Întocmește tabelul de variație complet al funcției $f(x)=x^3-3x^2$.

2. Întocmește tabelul de variație complet al funcției $f(x)=-x^3+3x+2$.

3. Întocmește tabelul de variație complet al funcției $f(x)=x^4-4x+3$ și explică ce se întâmplă în $x=0$.

4. Întocmește tabelul de variație complet al funcției $f(x)=x{e}^{-x}$, știind că $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$.

5. Întocmește tabelul de variație complet al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\ln x$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un tabel de variație complet cu patru puncte marcate are $12$ coloane."

8. Câte coloane are tabelul de variație complet al funcției $f(x)=x^4-6x^2$? Nu completa tabelul, doar numără punctele.

9. Explică, în cel mult trei rânduri, deosebirea dintre celulele $\nearrow \cup$ și $\nearrow \cap$.

10. Citește tabelul de mai jos și scrie, în cuvinte, tot ce se poate spune despre funcție.

11. Folosind tabelul de la exercițiul $5$, determină imaginea funcției $f(x)=x^2-2\ln x$.

12. (Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează pe o axă, iar poziția lui la momentul $t$ (în secunde) este $s(t)=t^3-6t^2+9t$ metri, pentru $t\in [0,4]$. Folosind tabelul din secțiunea $6$, spune în ce intervale de timp mobilul se îndepărtează de origine, în care se întoarce și în ce moment își schimbă ritmul.

13. Întocmește tabelul de variație complet al funcției $f(x)=x^4-6x^2$.

14. Ce se schimbă în tabelul de la Exemplul $4$ dacă funcția $f(x)=x+\frac{1}{x}$ este considerată numai pe $(0,+\infty )$? Câte coloane are noul tabel?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și $f^{\prime \prime }(x)$, întocmește tabelul de variație complet și precizează punctul de inflexiune. Apoi, citind tabelul, discută după $m\in \mathbb{R}$ numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-3x^2+4=m$.

16. Un elev a scris marcajul $\text{I}$ în dreptul punctului $x=2$, deși în tabelul lui $f^{\prime \prime }(2)=5$. Explică unde este greșeala.

17. Poate o funcție strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ să aibă un punct de inflexiune? Dă un exemplu sau arată de ce nu se poate.

18. (Provocare.) Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ să aibă punct de inflexiune în $x=2$ și un punct de extrem în $x=1$. Apoi întocmește tabelul de variație complet al funcției obținute.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$, rădăcinile $0$ și $2$; $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, rădăcina $1$. Trei puncte, $10$ coloane. Valori: $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=-4$; $f^{\prime }(1)=-3$, $f^{\prime \prime }(0)=-6$, $f^{\prime \prime }(2)=6$. Rândul lui $f$: $-\infty$, $\nearrow \cap$, $0\text{M}$, $\searrow \cap$, $-2\text{I}$, $\searrow \cup$, $-4\text{m}$, $\nearrow \cup$, $+\infty$.

2. $f^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$, rădăcinile $-1$ și $1$; $f^{\prime \prime }(x)=-6x$, rădăcina $0$. Valori: $f(-1)=0$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; $f^{\prime }(0)=3$, $f^{\prime \prime }(-1)=6$, $f^{\prime \prime }(1)=-6$. Limitele sunt $+\infty$ la $-\infty$ și $-\infty$ la $+\infty$ (coeficientul dominant e negativ). Rândul lui $f$: $+\infty$, $\searrow \cup$, $0\text{m}$, $\nearrow \cup$, $2\text{I}$, $\nearrow \cap$, $4\text{M}$, $\searrow \cap$, $-\infty$.

3. $f^{\prime }(x)=4x^3-4$, rădăcina $1$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, rădăcina $0$. Puncte marcate: $0$ și $1$, deci $8$ coloane. În $x=0$ avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }\ge 0$ peste tot și nu își schimbă semnul, deci $0$ nu e punct de inflexiune: funcția e convexă pe tot $\mathbb{R}$. Rândul lui $f$: $+\infty$, $\searrow \cup$, $3$, $\searrow \cup$, $0\text{m}$, $\nearrow \cup$, $+\infty$; în coloana lui $0$ nu se scrie niciun marcaj.

4. $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x}$, rădăcina $1$; $f^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}$, rădăcina $2$. Limitele: $-\infty$ la $-\infty$ și $0$ la $+\infty$. Valori: $f(1)=e^{-1}$, $f(2)=2e^{-2}$; $f^{\prime }(2)=-e^{-2}$, $f^{\prime \prime }(1)=-e^{-1}$. Rândul lui $f$: $-\infty$, $\nearrow \cap$, $e^{-1}\text{M}$, $\searrow \cap$, $2e^{-2}\text{I}$, $\searrow \cup$, $0$.

5. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}$, iar pe $(0,+\infty )$ singura rădăcină este $1$; $f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{2}{x^2}>0$ mereu, deci nu există puncte de inflexiune și tabelul are $6$ coloane. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete. Rândul lui $f$: $+\infty$, $\searrow \cup$, $1\text{m}$, $\nearrow \cup$, $+\infty$ (cu $f(1)=1$, $f^{\prime \prime }(1)=4$). În coloana capătului $0$, rândurile derivatelor primesc $|$.

6. Fals. Condiția $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ este necesară, nu suficientă: mai trebuie ca $f^{\prime \prime }$ să-și schimbe semnul în $x_0$. Contraexemplul standard este $f(x)=x^4$, cu $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }\ge 0$ peste tot, deci funcția rămâne convexă și $0$ nu e punct de inflexiune. Același lucru se vede la exercițiul $3$.

7. Adevărat. Formula este $2k+4$, iar pentru $k=4$ dă $2\cdot 4+4=12$.

8. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)$, cu rădăcinile $-\sqrt{3}$, $0$, $\sqrt{3}$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12$, cu rădăcinile $-1$ și $1$. Reuniunea are cinci elemente, deci $k=5$ și tabelul are $2\cdot 5+4=14$ coloane.

9. Ambele arată o funcție care crește. Deosebirea e ritmul: la $\nearrow \cup$ funcția crește tot mai repede (graficul se curbează în sus, „ține apa"), la $\nearrow \cap$ crește tot mai încet (graficul se curbează în jos, „varsă apa").

10. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict crescătoare pe $[-2,2]$ și strict descrescătoare pe $[2,+\infty )$; are minimul local $f(-2)=-5$ și maximul local $f(2)=3$; este convexă pe $(-\infty ,0]$ și concavă pe $[0,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $(0,-1)$; limitele la capete fiind $+\infty$ și $-\infty$, imaginea este $\mathbb{R}$. (Un exemplu de funcție cu exact acest tabel este $f(x)=-\frac{x^3}{4}+3x-1$.)

11. Din tabel, cea mai mică valoare este $f(1)=1$, iar la ambele capete funcția tinde la $+\infty$; fiind continuă pe fiecare dintre intervalele $(0,1]$ și $[1,+\infty )$, ea ia toate valorile de la $1$ în sus. Deci imaginea este $[1,+\infty )$.

12. Viteza este $s^{\prime }(t)$, iar semnul ei se citește din rândul lui $f^{\prime }$: pozitivă pe $[0,1)$, negativă pe $(1,3)$, pozitivă pe $(3,4]$. Deci mobilul înaintează în prima secundă, se întoarce între secundele $1$ și $3$ și înaintează din nou după secunda $3$. Rândul lui $f^{\prime \prime }$ arată accelerația: negativă până la $t=2$, pozitivă după — la $t=2$ mobilul își schimbă ritmul, iar acesta este chiar punctul de inflexiune al graficului poziției.

13. Puncte marcate: $-\sqrt{3}$, $-1$, $0$, $1$, $\sqrt{3}$; $14$ coloane. Valori: $f(\pm \sqrt{3})=9-18=-9$, $f(\pm 1)=1-6=-5$, $f(0)=0$; $f^{\prime }(-1)=8$, $f^{\prime }(1)=-8$, $f^{\prime \prime }(0)=-12$, $f^{\prime \prime }(\pm \sqrt{3})=24$. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete. Rândul lui $f$, pe coloane: $+\infty$, $\searrow \cup$, $-9\text{m}$, $\nearrow \cup$, $-5\text{I}$, $\nearrow \cap$, $0\text{M}$, $\searrow \cap$, $-5\text{I}$, $\searrow \cup$, $-9\text{m}$, $\nearrow \cup$, $+\infty$.

14. Dispar coloanele din stânga lui $0$: rămân punctele $0$ (capătul domeniului, cu limita $+\infty$) și $1$, deci un singur punct marcat în interior și $6$ coloane. Rândul lui $f$ devine: $+\infty$, $\searrow \cup$, $2\text{m}$, $\nearrow \cup$, $+\infty$, iar în coloana lui $0$, devenit acum capăt finit deschis, rândurile derivatelor păstrează $|$. Maximul local $-2$ nu mai există, iar imaginea devine $[2,+\infty )$.

15. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, rădăcinile $0$ și $2$; $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, rădăcina $1$. Valori: $f(0)=4$, $f(1)=2$, $f(2)=0$; $f^{\prime }(1)=-3$, $f^{\prime \prime }(0)=-6$, $f^{\prime \prime }(2)=6$. Rândul lui $f$: $-\infty$, $\nearrow \cap$, $4\text{M}$, $\searrow \cap$, $2\text{I}$, $\searrow \cup$, $0\text{m}$, $\nearrow \cup$, $+\infty$. Punctul de inflexiune este $(1,2)$. Pentru discuția după $m$, ecuația se citește ca $f(x)=m$, pe cele trei intervale de monotonie. Pe fiecare dintre ele $f$ este strict monotonă, deci ecuația are acolo cel mult o soluție — două ar da, prin teorema lui Rolle aplicată funcției $f(x)-m$, o rădăcină a lui $f^{\prime }$ strict între două rădăcini consecutive ale lui $f^{\prime }$, ceea ce e imposibil. Iar dacă $m$ se află strict între valorile de la capetele unui interval, funcția fiind continuă, ecuația are acolo cel puțin o soluție, prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano). Cele două împreună dau „exact una". Rezultă: pentru $m<0$, o soluție, în $(-\infty ,0)$; pentru $m=0$, două soluții distincte, $-1$ și $2$, ultima dublă; pentru $0<m<4$, trei soluții, câte una pe fiecare interval; pentru $m=4$, două soluții distincte, $0$ și $3$, prima dublă; pentru $m>4$, o soluție, în $(2,+\infty )$.

16. Marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde $f^{\prime \prime }$ se anulează și își schimbă semnul. Dacă $f^{\prime \prime }(2)=5\ne 0$, atunci în vecinătatea lui $2$ curbura nu se schimbă, deci $2$ nu poate fi punct de inflexiune. Elevul a confundat probabil rândul lui $f^{\prime }$ cu rândul lui $f^{\prime \prime }$.

17. Da, se poate. Exemplul cel mai simplu este $f(x)=x^3$: $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$, deci funcția e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, iar $f^{\prime \prime }(x)=6x$ își schimbă semnul în $0$, deci $(0,0)$ e punct de inflexiune. Monotonia și curbura sunt informații independente: schimbarea curburii nu obligă funcția să se întoarcă.

18. $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$, iar condiția $f^{\prime \prime }(2)=0$ dă $12+2a=0$, adică $a=-6$. Apoi $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+b$, iar $f^{\prime }(1)=0$ dă $3-12+b=0$, adică $b=9$. Funcția este $f(x)=x^3-6x^2+9x$, exact cea din secțiunea $6$, cu tabelul construit acolo: maxim $f(1)=4$, inflexiune $(2,2)$, minim $f(3)=0$. (Trebuie verificat și că $f^{\prime \prime }$ chiar își schimbă semnul în $2$ — o face, fiind funcție de gradul întâi cu coeficientul $6\ne 0$.)

De reținut

• Tabelul complet are patru rânduri, în ordinea $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$, iar rândul lui $x$ este chiar antetul tabelului.
• Punctele marcate sunt reuniunea rădăcinilor lui $f^{\prime }$ cu rădăcinile lui $f^{\prime \prime }$, la care se adaugă capetele domeniului și punctele „problemă". Cu $k$ puncte marcate, tabelul are $2k+4$ coloane.
• Săgeata poartă și curbura: $\nearrow \cup$, $\nearrow \cap$, $\searrow \cup$, $\searrow \cap$ — patru combinații, fiecare cu descrierea ei în cuvinte.
• Marcajele stau lângă valori: $\text{M}$, $\text{m}$ și $\text{I}$ se scriu în rândul lui $f$, după valoarea din punctul respectiv; punctul de extrem e $x_0$, valoarea extremă e $f(x_0)$.
• La capete, rândul lui $f$ nu se lasă niciodată gol: se scrie valoarea, dacă funcția e definită acolo, sau limita, în rest. În rândurile derivatelor se scrie $|$ la un capăt finit care nu aparține domeniului și nimic la $\pm \infty$.

Greșeli frecvente

• Marchezi pe axă doar rădăcinile lui $f^{\prime }$. Atunci punctele de inflexiune nu mai au coloană și dispar din tabel. Axa se împarte după toate punctele, din ambele derivate.
• Pui $\text{I}$ oriunde $f^{\prime \prime }$ se anulează. Trebuie și schimbarea de semn: la $f(x)=x^4$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar funcția rămâne convexă și $0$ nu e punct de inflexiune.
• Scrii monotonia sau curbura pe o reuniune de intervale. La $f(x)=x+\frac{1}{x}$, $f^{\prime }$ e pozitivă și pe $(-\infty ,-1)$, și pe $(1,+\infty )$, dar funcția nu e crescătoare pe reuniunea lor. Concluziile se formulează pe câte un interval.
• Confunzi punctul cu valoarea. „Maximul funcției este $x=1$" e greșit: punctul de maxim este $1$, iar valoarea maximă este $f(1)$. Baremul le cere separat.
• Uiți că $\nexists$ nu înseamnă „nimic acolo". Un punct în care derivata nu există poate fi punct de extrem, ca la $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ în origine; el se trece în tabel și se explică în text.

Aplică acasă

1. Tabelul unei zile. Notează, din oră în oră, temperatura de afară timp de o zi. Construiește apoi un tabel cu trei rânduri: ora, sensul variației (crește sau scade) și ritmul (tot mai repede sau tot mai încet). Compară-l cu structura tabelului de variație: ai completat, de fapt, rândurile lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$.

2. Vânătoarea de inflexiuni. Ia trei funcții de gradul al treilea scrise de tine la întâmplare și, pentru fiecare, calculează punctul în care $f^{\prime \prime }$ se anulează. Verifică apoi că el se află exact la mijlocul distanței dintre cele două puncte de extrem, atunci când acestea există, și încearcă să explici de ce.

3. Verificarea cu instrumentul digital. Alege o funcție din lecție, întocmește-i tabelul pe caiet și abia apoi deschide o aplicație de reprezentare grafică. Compară forma de pe ecran cu ce ai scris: fiecare săgeată și fiecare simbol de curbură trebuie să se regăsească acolo. Notează unde nu se potrivește — acolo ai greșit un semn.

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește într-un singur instrument tot ce s-a construit în ultimele lecții: monotonia din semnul derivatei întâi, extremele, convexitatea din semnul derivatei a doua și punctele de inflexiune. Programa cere explicit ca intervalele de monotonie, punctele de extrem, intervalele de convexitate și punctele de inflexiune să fie evidențiate în tabelul de variație, iar acesta este formatul folosit în toate subiectele de Bacalaureat M1.

Ce verifică lecția: (1) alcătuirea corectă a listei de puncte marcate — reuniunea rădăcinilor celor două derivate, greșeala numărul unu fiind omiterea rădăcinilor lui $f^{\prime \prime }$; (2) completarea capetelor cu valori sau limite; (3) folosirea corectă a simbolurilor, inclusiv perechea săgeată–curbură; (4) deosebirea dintre punct și valoare; (5) citirea tabelului în cuvinte, care este de fapt răspunsul cerut la examen.

Întrebări bune de control: „Câte coloane are tabelul dacă $f^{\prime }$ are două rădăcini și $f^{\prime \prime }$ una?", „De ce anularea lui $f^{\prime \prime }$ nu ajunge pentru un punct de inflexiune?", „Ce scrii în tabel acolo unde funcția nu e definită?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a completa orice celulă, scrie lista punctelor marcate și numără coloanele. La BAC M1, cerința apare de obicei în trei subpuncte — derivata întâi cu monotonia, derivata a doua cu convexitatea, apoi tabelul —, iar tabelul singur poate aduce câteva puncte chiar dacă restul rezolvării șchioapătă.

Întrebări frecvente

Ce este tabelul de variație complet? Este un tabel cu patru rânduri — $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ și $f(x)$ — care adună la un loc toate informațiile despre o funcție: intervalele de monotonie, punctele de extrem cu valorile lor, intervalele de convexitate și de concavitate și punctele de inflexiune.

Câte coloane are un tabel de variație? Exact $2k+4$, unde $k$ este numărul punctelor marcate pe axă. Se numără coloana etichetelor, cele două capete și, între ele, alternanța de coloane-punct și coloane-interval.

Ce puncte se trec pe axă în tabel? Rădăcinile ecuației $f^{\prime }(x)=0$, rădăcinile ecuației $f^{\prime \prime }(x)=0$, punctele în care derivata nu există și punctele în care funcția nu este definită — toate laolaltă, în ordine crescătoare, plus capetele domeniului.

Ce înseamnă simbolurile de sub săgeți? Semnul $\cup$ înseamnă convexă, adică „ține apa", iar $\cap$ înseamnă concavă, adică „varsă apa". Ele se scriu imediat după săgeata de monotonie, în rândul lui $f$, pentru că descriu aceeași porțiune de grafic.

Ce scriu în tabel dacă derivata nu există într-un punct? În rândul lui $f^{\prime }$ se scrie $\nexists$, iar sub tabel se explică în cuvinte despre ce e vorba: punct unghiular sau punct de întoarcere. Un asemenea punct poate fi punct de extrem, chiar dacă derivata nu se anulează acolo.

De ce nu e suficient ca $f^{\prime \prime }$ să se anuleze pentru un punct de inflexiune? Pentru că punctul de inflexiune înseamnă schimbare de curbură. La $f(x)=x^4$, derivata a doua se anulează în $0$, dar rămâne pozitivă de o parte și de alta, deci funcția e convexă peste tot și nu există nicio schimbare.

Cum aflu imaginea unei funcții din tabel? Te uiți la valorile și limitele din rândul lui $f$: pe fiecare interval de monotonie funcția, fiind continuă, ia toate valorile dintre capetele acelui interval. Reuniunea acestor mulțimi de valori este imaginea funcției.

Ce înseamnă că funcția „crește tot mai încet"? Că derivata întâi este pozitivă, deci funcția urcă, dar derivata a doua este negativă, deci ritmul de creștere scade. În tabel, situația se scrie $\nearrow \cap$, iar în grafic corespunde unei porțiuni care urcă turtindu-se.