Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă

O brutărie mică pregătește două sortimente de cozonac. Pentru un cozonac simplu intră $2$ kg de făină și $1$ kg de unt, iar pentru unul cu nucă $3$ kg de făină și $2$ kg de unt. În depozit sunt exact $23$ kg de făină și $13$ kg de unt, iar patronul vrea să le consume pe amândouă până la ultimul gram. Câți cozonaci de fiecare fel trebuie să facă? Nu poți răspunde alegând întâi un număr și apoi pe celălalt: cele două condiții trebuie să fie adevărate în același timp.

Exact aici începe capitolul de față. Situațiile în care mai multe mărimi sunt legate simultan prin relații de gradul întâi apar peste tot — în economie, în fizică, în chimie — și toate se scriu la fel: ca sisteme de ecuații liniare. În această lecție învățăm limbajul lor: vei vedea că întregul sistem se strânge în câteva tablouri de numere și că, scris astfel, arată ca o ecuație obișnuită, $AX=B$. De la această scriere pornesc toate metodele de rezolvare din lecțiile următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o ecuație liniară și ce este un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute.
• Vei ști ce înseamnă soluție a unui sistem și de ce ea se verifică obligatoriu în toate ecuațiile.
• Vei ști să scrii matricea sistemului $A$, matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea extinsă $\overline{A}$.
• Vei ști să treci de la sistem la forma matriceală $AX=B$ și înapoi, și vei înțelege de ce cele două scrieri spun același lucru.
• Vei ști să numești corect cele trei situații posibile: sistem incompatibil, compatibil determinat, compatibil nedeterminat.
• Vei ști să transformi un enunț practic (resurse, amestecuri, circuite) într-un sistem de ecuații liniare și să-i scrii matricele.

Hai să descoperim împreună

1. O problemă care cere două numere deodată

Notăm cu $x$ numărul de cozonaci simpli și cu $y$ numărul celor cu nucă. Făina consumată este $2x+3y$, untul consumat este $x+2y$, deci condițiile se scriu:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=23\\ x+2y=13\end{array}$$

Din a doua ecuație scoatem $x=13-2y$; înlocuind în prima, $26-4y+3y=23$, deci $y=3$ și $x=7$. Verificarea, obligatorie, în ambele ecuații: $14+9=23$ ✓ și $7+6=13$ ✓. Brutăria face $7$ cozonaci simpli și $3$ cu nucă.

Metoda a mers pentru că sistemul avea două ecuații. Cu patru ecuații și patru necunoscute — limita programei clasei a XI-a — substituțiile de acest fel devin un labirint. Ne trebuie o scriere care să scoată în evidență structura, nu literele.

2. Ecuație liniară, sistem liniar

Definiție. O ecuație liniară cu necunoscutele $x_1,x_2,\dots ,x_n$ este o ecuație de forma

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b,$$

unde $a_1,\dots ,a_n$ se numesc coeficienți, iar $b$ termen liber. „Liniară" înseamnă că fiecare necunoscută apare la puterea întâi, singură: $3x-2y+z=5$ este liniară, dar $xy=1$, $x^2+y=0$ și $\sqrt{x}+y=2$ nu sunt.

Definiție. Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute este o mulțime de $m$ astfel de ecuații, considerate simultan:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

Indicii se citesc ca la matrice: în $a_{ij}$, $i$ arată ecuația, iar $j$ arată necunoscuta; astfel $a_{23}$ este coeficientul lui $x_3$ din ecuația a doua. Când $m=n$, sistemul se numește pătratic. Programa clasei a XI-a cere sisteme cu cel mult $4$ ecuații și cel mult $4$ necunoscute, exact pentru ca fiecare calcul să poată fi dus până la capăt și verificat.

3. Ce înseamnă soluție

Definiție. Un sistem ordonat de numere $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$ este soluție a sistemului dacă, înlocuind $x_1={\alpha }_1$, $x_2={\alpha }_2$, …, $x_n={\alpha }_n$, fiecare dintre cele $m$ ecuații devine o egalitate adevărată. Mulțimea tuturor soluțiilor se notează $S$, iar a rezolva sistemul înseamnă a determina $S$.

Cuvântul „fiecare" este cel mai important din definiție. Greșeala care se plătește la Bacalaureat M1 este verificarea într-o singură ecuație — de obicei în cea din care a ieșit valoarea. Pentru sistemul $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$, $x+2y-z=2$, tripletul $(3,1,2)$ verifică prima ecuație, pentru că $3+1+2=6$; dar în a doua obținem $2\cdot 3-1+2=7\ne 3$, deci nu este soluție. În schimb $(1,2,3)$ dă $6$ ✓, $3$ ✓ și $2$ ✓ — acesta este soluție.

Regula de lucru pentru tot capitolul: orice soluție găsită se substituie în toate ecuațiile sistemului inițial, nu doar în cele folosite la calcul.

4. Cele patru matrice ale unui sistem

Coeficienții $a_{ij}$ ai sistemului general formează, în mod natural, un tablou cu $m$ linii și $n$ coloane: matricea sistemului $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, numită în programă și matricea coeficienților. Necunoscutele și termenii liberi se strâng, fiecare, într-o matrice cu o singură coloană: matricea necunoscutelor $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$, cu elementele $x_1,\dots ,x_n$, și matricea termenilor liberi $B\in {\mathcal{M}}_{m,1}(\mathbb{C})$, cu elementele $b_1,\dots ,b_m$.

Matricea extinsă $\overline{A}\in {\mathcal{M}}_{m,n+1}(\mathbb{C})$ se obține din $A$ adăugând la dreapta, ca ultimă coloană, coloana termenilor liberi. Notația, cu bara peste toată litera, este cea folosită peste tot în acest capitol. Matricea extinsă păstrează toată informația din enunț și va fi unealta principală când vom studia compatibilitatea sistemelor.

Pentru sistemul brutăriei avem, așadar,

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}23\\ 13\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 23\\ 1& 2& 13\end{array}\right).$$

Atenție la coeficienții care lipsesc. Dacă o necunoscută nu apare într-o ecuație, coeficientul ei este $0$ și se scrie în matrice. Pentru sistemul $x+y-z=2$, $3x-2z=1$, $2y+z=5$, matricea extinsă este

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 2\\ 3& 0& -2& 1\\ 0& 2& 1& 5\end{array}\right),$$

iar $A$ este ceea ce rămâne din ea după ștergerea ultimei coloane. Numărul de coloane ale lui $A$ trebuie să fie exact numărul necunoscutelor; dacă îți iese mai mic, ai uitat un zero.

5. Scrierea matriceală $AX=B$

Matricea $A$ are $n$ coloane, iar $X$ are $n$ linii, deci produsul $AX$ se poate face și este o matrice cu $m$ linii și o coloană — vezi Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul. Prin definiția înmulțirii, elementul de pe linia $i$ al produsului este $(AX{)}_{i1}=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n$, adică exact membrul stâng al ecuației $i$. Cum egalitatea a două matrice înseamnă egalitate element cu element, relația $AX=B$ spune tocmai că $a_{i1}{x}_1+\cdots +a_{in}{x}_n=b_i$ pentru fiecare $i$. Am demonstrat astfel:

Teoremă (forma matriceală a unui sistem). Sistemul de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute este echivalent cu ecuația matriceală $AX=B$. Un sistem ordonat de numere este soluție a sistemului dacă și numai dacă matricea coloană corespunzătoare verifică $AX=B$.

Pentru brutărie, verificarea directă a scrierii:

$$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14+9\\ 7+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}23\\ 13\end{array}\right)=B.✓$$

Câștigul nu este de scriere, ci de gândire: un sistem întreg a devenit o singură ecuație, de tipul celor studiate la Ecuații matriceale.

6. Cele trei situații posibile

Un sistem liniar nu are întotdeauna soluție, iar când are, ea nu este întotdeauna unică. Terminologia este fixă și se folosește ca atare în orice barem:

• sistem incompatibil — nu are nicio soluție, adică $S=\varnothing$; de exemplu $x+3y=7$ împreună cu $2x+6y=15$, unde dublând prima ecuație obținem $2x+6y=14$, în contradicție cu $15$;
• sistem compatibil determinat — are exact o soluție; de exemplu $x+3y=7$ împreună cu $2x+5y=12$, cu $S=\{(1,2)\}$;
• sistem compatibil nedeterminat — are o infinitate de soluții; de exemplu $x+3y=7$ împreună cu $2x+6y=14$, unde a doua ecuație este dublul primei și nu aduce nicio informație nouă.

În ultimul caz rămâne o singură condiție, $x+3y=7$. Notând $y=\alpha$, cu $\alpha \in \mathbb{R}$ oarecare, obținem $x=7-3\alpha$, deci $S=\{(7-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare: $(7-3\alpha )+3\alpha =7$ ✓ și $2(7-3\alpha )+6\alpha =14$ ✓; pentru $\alpha =0$, $1$, $-2$ obținem perechile $(7,0)$, $(4,1)$, $(13,-2)$. Parametrul se notează cu litere grecești, $\alpha$ și $\beta$; literele $m$, $t$, $\lambda$ rămân rezervate parametrilor din enunț.

Aceste trei situații au și o interpretare geometrică, dar ea se face abia la lecția 50, Poziția relativă a două drepte în plan, după ecuația unei drepte. Două sisteme cu aceeași mulțime de soluții se numesc echivalente; procedeul sistematic de transformare a unui sistem într-unul echivalent, dar mai simplu, îl vei studia la lecția 39, Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare.

7. Sistemul pătratic și rolul determinantului

Când $m=n$, matricea $A$ este pătratică și are determinant. Pentru brutărie, $\det A=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=4-3=1\ne 0$, și nu este o coincidență că sistemul a avut soluție unică. Legătura dintre $\det A\ne 0$ și unicitatea soluției este teorema centrală a capitolului; o vei demonstra în lecția următoare, Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer, unde vei vedea și o formulă care dă direct fiecare necunoscută, fără substituții.

Reține de pe acum reflexul: la un sistem pătratic, primul lucru pe care îl calculezi este $\det A$. Dacă $\det A\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă, deci $AX=B$ se poate rezolva și înmulțind cu inversa — metodă organizată în lecția 32, Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse. Când $\det A=0$, sau când sistemul nu e pătratic, avem nevoie de uneltele din lecțiile 33–37.

8. De la enunț la sistem: rețeta în patru pași

Programa cere ca sistemele să fie introduse pornind de la situații concrete — din economie, din fizică, din chimie. Traducerea unui enunț se face mereu la fel: (1) numești necunoscutele, scriind explicit ce reprezintă fiecare literă și cu ce unitate de măsură; (2) scrii câte o ecuație pentru fiecare condiție — de regulă, fiecare resursă, fiecare total și fiecare relație din text dau o ecuație; (3) formezi matricele $A$, $X$, $B$ și $\overline{A}$, punând zerouri unde o necunoscută lipsește; (4) rezolvi, verifici în toate ecuațiile și interpretezi rezultatul în context — un număr de dulapuri negativ sau fracționar arată, cel mai des, o eroare de model sau de calcul.

Exemplu (economie). Un atelier de mobilă a livrat într-o zi $12$ piese: rafturi, noptiere și dulapuri. Manopera este de $2$ ore pentru un raft, $3$ ore pentru o noptieră și $1$ oră pentru un dulap, în total $23$ de ore; cantul consumat este de $1$ m, $2$ m, respectiv $3$ m, în total $26$ m. Cu $x$, $y$, $z$ numărul de rafturi, de noptiere și de dulapuri, condițiile dau

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=12\\ 2x+3y+z=23\\ x+2y+3z=26\end{array}\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 12\\ 2& 3& 1& 23\\ 1& 2& 3& 26\end{array}\right).$$

Dezvoltând după prima linie, $\det A=1\cdot (9-2)-1\cdot (6-1)+1\cdot (4-3)=3\ne 0$, deci sistemul are soluție unică. O vom calcula în lecția următoare, cu formulele lui Cramer; verifică acum, prin substituție, că tripletul $(3,4,5)$ o dă: $12$ ✓, $23$ ✓, $26$ ✓. Deci $3$ rafturi, $4$ noptiere și $5$ dulapuri.

Exemplu (fizică). Într-un circuit cu două bucle, intensitățile $I_1$ și $I_2$, în amperi, verifică $3I_1+2I_2=12$ și $I_1+4I_2=14$; aici $\det A=12-2=10\ne 0$, iar soluția este $I_1=2$ A, $I_2=3$ A, pentru că $6+6=12$ ✓ și $2+12=14$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scrierea matriceală a unui sistem $2\times 2$

Scrieți sub formă matriceală sistemul $3x-2y=4$, $5x+y=11$ și verificați că perechea $(2,1)$ este soluție.

Rezolvare. Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 1\end{array}\right)$, matricea necunoscutelor are elementele $x$ și $y$, iar matricea termenilor liberi are elementele $4$ și $11$; forma matriceală este $AX=B$, iar matricea extinsă este $\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 4\\ 5& 1& 11\end{array}\right)$. Verificarea se face prin înmulțire:

$$\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-2\\ 10+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 11\end{array}\right)=B.✓$$

În plus, $\det A=3\cdot 1-(-2)\cdot 5=3+10=13\ne 0$, deci soluția este unică.

Exemplul 2 — Un sistem cu mai multe necunoscute decât ecuații

Scrieți matricea sistemului și matricea extinsă pentru sistemul $x_1+2x_2-x_3+x_4=5$, $2x_1-x_2+3x_3=4$, $x_2+x_3-2x_4=-1$.

Rezolvare. Sistemul are $m=3$ ecuații și $n=4$ necunoscute. În ecuația a doua lipsește $x_4$, iar în a treia lipsește $x_1$: pe locurile lor se scriu zerouri. Matricea extinsă este

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 5\\ 2& -1& 3& 0& 4\\ 0& 1& 1& -2& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C}),$$

iar $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$ este ce rămâne după ștergerea ultimei coloane. Matricea $A$ nu este pătratică, deci nu are determinant; pentru astfel de sisteme vom avea nevoie de rangul unei matrice, din lecția 33, Rangul unei matrice: definiția cu minori.

Exemplul 3 — Verificarea unei soluții propuse

Se dă sistemul $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$, $x+2y-z=2$. Stabiliți care dintre tripletele $(3,1,2)$ și $(1,2,3)$ este soluție.

Rezolvare. Înlocuim pe rând, în toate ecuațiile. Pentru $(3,1,2)$: prima ecuație dă $3+1+2=6$ ✓, dar a doua dă $6-1+2=7\ne 3$ ✗ — ne oprim, tripletul nu este soluție. Pentru $(1,2,3)$: $6$ ✓, $2-2+3=3$ ✓, $1+4-3=2$ ✓, deci este soluție. Matriceal, aceeași verificare se scrie într-un singur produs, $AX=B$, cu $X$ matricea coloană a numerelor $1$, $2$, $3$.

Exemplul 4 — Cele trei situații, pe același „schelet"

Precizați natura fiecăruia dintre sistemele: (a) $x+3y=7$, $2x+5y=12$; (b) $x+3y=7$, $2x+6y=15$; (c) $x+3y=7$, $2x+6y=14$.

Rezolvare. (a) $\det A=5-6=-1\ne 0$; rezolvând, $x=1$, $y=2$, cu verificarea $1+6=7$ ✓, $2+10=12$ ✓. Sistem compatibil determinat, $S=\{(1,2)\}$.

(b) $\det A=6-6=0$; dublând prima ecuație obținem $2x+6y=14$, în contradicție cu $15$. Sistem incompatibil, $S=\varnothing$.

(c) $\det A=0$ ca la (b), dar acum a doua ecuație este exact dublul primei; rămâne $x+3y=7$, deci $S=\{(7-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Sistem compatibil nedeterminat.

Observă că $\det A=0$ apare și la sistemul incompatibil, și la cel nedeterminat: determinantul nul nu decide singur natura sistemului. Exact aceasta este problema pe care o vor rezolva lecțiile 35 și 36.

Exemplul 5 — De la enunț la matrice

La un spectacol s-au vândut $40$ de bilete, unele de adult, la $25$ de lei, altele de elev, la $10$ lei. Încasarea a fost de $700$ de lei. Scrieți sistemul, matricele lui și rezolvați.

Rezolvare. Fie $x$ numărul biletelor de adult și $y$ numărul biletelor de elev. Condițiile („câte bilete" și „câți lei") dau sistemul $x+y=40$, $25x+10y=700$, cu

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 40\\ 25& 10& 700\end{array}\right),\det A=10-25=-15\ne 0.$$

Din prima ecuație $y=40-x$; înlocuind, $25x+10(40-x)=700$, deci $15x=300$ și $x=20$, apoi $y=20$. Verificare: $20+20=40$ ✓ și $500+200=700$ ✓. S-au vândut $20$ de bilete de adult și $20$ de elev.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+y+z=3$, $x+2y+3z=6$, $x+4y+9z=14$. a) Scrieți matricea $A$ a sistemului și matricea extinsă $\overline{A}$. b) Calculați $\det A$. c) Verificați că tripletul $(1,1,1)$ este soluție a sistemului.

Rezolvare. a) Coeficienții se citesc direct din ecuații:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& 2& 3& 6\\ 1& 4& 9& 14\end{array}\right).$$

b) Dezvoltarea după prima linie dă:

$$\det A=1\cdot (2\cdot 9-3\cdot 4)-1\cdot (1\cdot 9-3\cdot 1)+1\cdot (1\cdot 4-2\cdot 1)=6-6+2=2.$$

Cum $\det A=2\ne 0$, sistemul este pătratic cu determinant nenul, deci va avea soluție unică.

c) Înlocuim $x=y=z=1$ în fiecare ecuație: $1+1+1=3$ ✓; $1+2+3=6$ ✓; $1+4+9=14$ ✓. Toate trei sunt verificate, deci $(1,1,1)$ este soluție; fiind și unică, $S=\{(1,1,1)\}$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi câte ecuații și câte necunoscute are sistemul; abia apoi formează matricele. Nu uita zerourile de pe locurile necunoscutelor care lipsesc și verifică fiecare soluție în toate ecuațiile.

1. Scrie sub forma $AX=B$ sistemul $2x-3y=7$, $x+5y=4$ și precizează $A$, $X$ și $B$.

2. Scrie matricea sistemului și matricea extinsă pentru sistemul $x+y-z=2$, $3x-2z=1$, $2y+z=5$.

3. Un sistem are $3$ ecuații și $4$ necunoscute. Câte linii și câte coloane au $A$ și $\overline{A}$? Are $A$ determinant?

4. Verifică dacă perechea $(2,-1)$ este soluție a sistemului $3x+2y=4$, $x-y=3$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Matricea extinsă a unui sistem cu $3$ ecuații și $3$ necunoscute este o matrice pătratică."

6. Scrie sistemul de ecuații care corespunde ecuației matriceale $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$.

7. Rezolvă sistemul $x+y=9$, $x-y=3$ și verifică soluția în ambele ecuații.

8. Arată că sistemul $2x+4y=6$, $3x+6y=10$ este incompatibil.

9. Arată că sistemul $2x+4y=6$, $3x+6y=9$ este compatibil nedeterminat și scrie mulțimea $S$ a soluțiilor, folosind un parametru $\alpha$.

10. Pentru sistemul $x+2y+3z=6$, $2x-y+z=2$, $3x+y-z=3$, scrie $A$, $X$, $B$, $\overline{A}$ și verifică dacă $(1,1,1)$ este soluție.

11. (Problemă aplicată.) Într-un laborator se prepară $30$ de litri de soluție amestecând două soluții, una de $12$ g/l și una de $20$ g/l, astfel încât amestecul să conțină $440$ g de substanță. Scrie sistemul și matricele lui.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un sistem are mai multe necunoscute decât ecuații, atunci el este sigur incompatibil."

13. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât perechea $(1,2)$ să fie soluție a sistemului $mx+y=5$, $2x-y=0$.

14. Scrie matricea sistemului și matricea extinsă pentru sistemul cu patru necunoscute $x_1+x_2=3$, $x_2+x_3=5$, $x_3+x_4=7$, $x_4=4$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x+y+z=3$, $2x+3y+z=6$, $x+2y+4z=7$. a) Scrie matricea $A$ a sistemului și calculează $\det A$. b) Verifică dacă $(1,1,1)$ este soluție a sistemului.

16. Arată că sistemele $x+y=5$, $x-y=1$ și $2x=6$, $x-y=1$ sunt echivalente, adică au aceeași mulțime de soluții.

17. (Problemă aplicată.) Într-un circuit, intensitățile $I_1$ și $I_2$ verifică $3I_1+2I_2=12$ și $I_1+4I_2=14$. Scrie forma matriceală și arată că perechea $(2,3)$ este soluție.

18. (Provocare.) Arată că, dacă un sistem liniar $AX=B$ are două soluții distincte $X_1$ și $X_2$, atunci are o infinitate de soluții. Indicație: verifică faptul că $X_1+t(X_2-X_1)$ este soluție pentru orice $t\in \mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 5\end{array}\right)$, $X$ are elementele $x$ și $y$, $B$ are elementele $7$ și $4$, iar forma matriceală este $AX=B$. Control: $A$ are două coloane, cât numărul necunoscutelor.

2. Coeficienții care lipsesc se scriu $0$: $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 2\\ 3& 0& -2& 1\\ 0& 2& 1& 5\end{array}\right)$, iar $A$ este ce rămâne după ștergerea ultimei coloane.

3. $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$, iar $\overline{A}\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$. Matricea $A$ nu este pătratică, deci nu are determinant.

4. $3\cdot 2+2\cdot (-1)=4$ ✓ și $2-(-1)=3$ ✓, deci $(2,-1)$ este soluție. Cum $\det A=-3-2=-5\ne 0$, este singura.

5. Fals. Matricea extinsă are $3$ linii și $4$ coloane, deci este dreptunghiulară; pătratică este doar matricea sistemului.

6. Fiecare linie a produsului dă câte o ecuație: $2x-y=5$ și $3x+4y=2$.

7. Adunând ecuațiile, $2x=12$, deci $x=6$ și $y=3$. Verificare: $9$ ✓ și $3$ ✓, deci $S=\{(6,3)\}$.

8. Înmulțind prima ecuație cu $\frac{3}{2}$ obținem $3x+6y=9$, iar a doua cere ca aceeași expresie să fie $10$. Cum $9\ne 10$, sistemul este incompatibil, $S=\varnothing$.

9. A doua ecuație este prima înmulțită cu $\frac{3}{2}$, deci nu adaugă nimic; rămâne $x+2y=3$. Cu $y=\alpha$ obținem $S=\{(3-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Control pentru $\alpha =0$, $1$, $-3$: perechile $(3,0)$, $(1,1)$, $(9,-3)$ verifică ambele ecuații.

10. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& -1\end{array}\right)$, $X$ are elementele $x$, $y$, $z$, $B$ are elementele $6$, $2$, $3$, iar $\overline{A}$ se obține alipind coloana lui $B$ la dreapta lui $A$. Verificare: $1+2+3=6$ ✓, $2-1+1=2$ ✓, $3+1-1=3$ ✓, deci $(1,1,1)$ este soluție.

11. Cu $x$ și $y$ numărul de litri din fiecare soluție, sistemul este $x+y=30$, $12x+20y=440$, deci $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 12& 20\end{array}\right)$ și $\det A=8\ne 0$. Soluția: $x=20$, $y=10$, pentru că $30$ ✓ și $240+200=440$ ✓.

12. Fals. Sistemul format doar din $x+y=2$ are o infinitate de soluții: $S=\{(2-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Un astfel de sistem poate fi incompatibil (de exemplu $x+y=1$, $x+y=2$), dar nu este sigur incompatibil.

13. A doua ecuație se verifică oricum: $2-2=0$ ✓. Din prima, $m+2=5$, deci $m=3$; control: $3\cdot 1+2=5$ ✓.

14. $\overline{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 3\\ 0& 1& 1& 0& 5\\ 0& 0& 1& 1& 7\\ 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right)$, iar $A$ este ce rămâne după ștergerea ultimei coloane. Matricea $A$ este pătratică și triunghiulară, cu $\det A=1$.

15. a) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$, iar dezvoltarea după prima linie dă $\det A=(12-2)-(8-1)+(4-3)=4$. b) $3$ ✓, $6$ ✓, $7$ ✓, deci $(1,1,1)$ este soluție, iar cum $\det A\ne 0$, este singura.

16. Primul sistem: adunând ecuațiile, $2x=6$, deci $x=3$, $y=2$. Al doilea: din $2x=6$ avem $x=3$, apoi $y=2$. Cum $S_1=S_2=\{(3,2)\}$, sistemele sunt echivalente — a doua ecuație a fost păstrată, iar prima înlocuită cu suma celor două.

17. Forma matriceală este $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$, $X$ având elementele $I_1$, $I_2$, iar $B$ elementele $12$, $14$. Verificare: $3\cdot 2+2\cdot 3=12$ ✓ și $2+4\cdot 3=14$ ✓, deci $I_1=2$ A și $I_2=3$ A.

18. Fie $X_t=X_1+t(X_2-X_1)$, cu $t\in \mathbb{R}$. Din proprietățile înmulțirii matricelor, $A{X}_t=A{X}_1+t(A{X}_2-A{X}_1)=B+t(B-B)=B$, deci $X_t$ este soluție pentru orice $t$; cum $X_1\ne X_2$, valori diferite ale lui $t$ dau soluții diferite. Control pe $x+y=3$, $2x+2y=6$, cu $X_1=(3,0)$, $X_2=(0,3)$: pentru $t=1$, $t=-2$, $t=\frac{1}{2}$ obținem $(0,3)$, $(9,-6)$, $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$, toate soluții. Concluzie: un sistem liniar are $0$, $1$ sau o infinitate de soluții — niciodată exact două.

De reținut

• Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute se scrie matriceal $AX=B$, unde $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ este matricea sistemului, $X$ matricea coloană a necunoscutelor și $B$ matricea coloană a termenilor liberi.
• Matricea extinsă $\overline{A}$ are $m$ linii și $n+1$ coloane: este $A$ cu coloana termenilor liberi adăugată la dreapta. Ea conține toată informația din enunț.
• Coeficienții care lipsesc se scriu $0$. Numărul de coloane ale lui $A$ este exact numărul necunoscutelor.
• Soluția se verifică în toate ecuațiile, nu doar în cea din care a ieșit.
• Trei situații, trei nume: incompatibil (nicio soluție), compatibil determinat (soluție unică), compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții).

Greșeli frecvente

• Omiterea zerourilor din matricea sistemului. Dacă în ecuația a doua lipsește $y$, pe poziția $a_{22}$ se scrie $0$, nu se sare peste coloană. Altfel matricea descrie alt sistem.
• Confuzia dintre $A$ și $\overline{A}$. Matricea sistemului conține numai coeficienții; matricea extinsă are în plus coloana termenilor liberi. Un determinant se calculează numai pentru $A$, când aceasta e pătratică.
• Inversarea indicilor. În $a_{ij}$, $i$ este numărul ecuației, $j$ numărul necunoscutei. Scrierea transpusă schimbă complet sistemul.
• Verificarea într-o singură ecuație. Este greșeala cea mai costisitoare la Bacalaureat M1: o valoare poate verifica prima ecuație și să cadă la a treia.
• „Sistem imposibil" în loc de „incompatibil". Termenii ceruți în barem sunt incompatibil, compatibil determinat și compatibil nedeterminat; „consistent/inconsistent" nu se folosesc în școala românească.

Aplică acasă

1. Bonul de cumpărături. Ia un bon cu două produse cumpărate în cantități diferite, acoperă prețurile unitare și reconstituie-le scriind un sistem de două ecuații liniare. Formează $A$, $B$, $\overline{A}$ și verifică rezultatul pe bon.

2. Rețeta. Alege o rețetă cu trei ingrediente și notează cât din fiecare intră într-o porție. Scrie sistemul care spune câte porții din trei feluri diferite poți face cu ce ai în bucătărie și calculează $\det A$.

3. Tabelul care devine matrice. Notează consumul săptămânal de date mobile al trei membri ai familiei, pe trei categorii. Citește tabelul ca pe o matrice $A$ și formulează o întrebare care să ducă la un sistem liniar cu trei necunoscute.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de sisteme liniare și are un singur scop: limbajul. Elevul trebuie să treacă fluent, în ambele sensuri, între trei reprezentări ale aceleiași informații — sistemul scris cu litere, ecuația matriceală $AX=B$ și tabloul extins $\overline{A}$. Nu se predau încă metode noi de rezolvare; substituția și reducerea, folosite și la Sisteme cu ecuații de gradul al doilea, ajung pentru exemplele de aici.

De verificat în caiet: (1) $A$ are exact atâtea coloane câte necunoscute; (2) zerourile sunt scrise acolo unde o necunoscută lipsește; (3) $\overline{A}$ are o coloană în plus față de $A$; (4) fiecare soluție e substituită în toate ecuațiile; (5) se folosesc termenii incompatibil, compatibil determinat, compatibil nedeterminat. Întrebări de control: „Câte coloane are $\overline{A}$ la un sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute?"; „De ce produsul $AX$ se poate face?"; „Poate un sistem liniar să aibă exact două soluții?".

La BAC M1, subiectul al doilea conține aproape mereu un sistem liniar, iar primul punct cere de regulă matricea sistemului sau determinantul ei. Semn că elevul a înțeles: citește un enunț practic și scrie matricele fără să mai transcrie sistemul cu litere.

Întrebări frecvente

Ce este matricea unui sistem de ecuații liniare? Este tabloul coeficienților necunoscutelor: pe linia $i$ stau coeficienții din ecuația $i$, iar pe coloana $j$ coeficienții necunoscutei $x_j$. Se notează $A$ și are $m$ linii și $n$ coloane, unde $m$ este numărul ecuațiilor, iar $n$ numărul necunoscutelor.

Ce este matricea extinsă și cum se notează? Se obține adăugând la dreapta matricei sistemului coloana termenilor liberi; se notează $\overline{A}$ și are $n+1$ coloane. Ea reține toată informația din enunț și este unealta cu care se studiază compatibilitatea sistemului.

Cum scriu un sistem sub formă matriceală? Formezi $A$, $X$ și $B$, apoi scrii $AX=B$. Egalitatea este corectă pentru că elementul de pe linia $i$ al produsului $AX$ este exact membrul stâng al ecuației $i$.

Ce fac dacă o necunoscută lipsește dintr-o ecuație? Scrii coeficientul $0$ pe locul ei. Matricea sistemului are exact atâtea coloane câte necunoscute; dacă îți iese o coloană în minus, ai sărit un zero.

Care este diferența dintre un sistem compatibil determinat și unul nedeterminat? Cel determinat are exact o soluție, cel nedeterminat are o infinitate, scrisă cu unul sau mai mulți parametri, de exemplu $S=\{(7-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

Poate un sistem de ecuații liniare să aibă exact două soluții? Nu. Dacă are două soluții distincte $X_1$ și $X_2$, atunci toate matricele $X_1+t(X_2-X_1)$, cu $t$ real, sunt soluții. Un sistem liniar are $0$, $1$ sau o infinitate de soluții.

Unde apare această scriere în subiectele de Bacalaureat M1? La aproape orice problemă cu sisteme: se cere matricea sistemului, determinantul ei sau scrierea $AX=B$, înainte de rezolvarea prin regula lui Cramer ori prin metoda lui Gauss.