Cum alegi metoda de ridicare la putere: sinteza celor cinci metode

Ai învățat, pe rând, cele patru metode elementare de calcul al lui $A^n$ — inducția matematică, binomul lui Newton, șirurile recurente și structura matricei de rotație — iar la lecția trecută a cincea metodă, ecuația Hamilton-Cayley. Fiecare a fost prezentată pe matricea care i se potrivea cel mai bine, așa că fiecare părea, la momentul ei, cea evidentă. (Calculul direct al lui $A^2$ nu se numără printre metode: este procedeul de bază, cu care încep toate.)

La un subiect de examen nu ți se spune însă ce metodă să folosești. Lecția aceasta nu adaugă nicio metodă nouă; adaugă criteriul de alegere — reflexul de a te uita la matrice și de a ști, în cinci secunde, pe ce drum să pornești. Programa cere explicit „dezvoltarea capacității elevilor de a selecta metoda optimă", iar la Bacalaureat M1 o alegere bună scurtează rezolvarea de la o pagină la trei rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să faci pasul zero — calculul direct al lui $A^2$ — și să citești din el ce fel de matrice ai în față.
• Vei ști să recunoști semnalul fiecăreia dintre cele patru metode elementare și al celei de-a cincea.
• Vei ști condiția fără de care binomul lui Newton nu se aplică la matrice.
• Vei ști să rezolvi aceeași problemă pe trei căi și să compari efortul.
• Vei ști să folosești un arbore de decizie pentru alegerea metodei.
• Vei ști la ce folosește apoi $A^n$: ecuații matriceale, transformări de stare, funcții compuse.

Hai să descoperim împreună

1. Pasul zero: calculează $A^2$ și privește

Înainte de orice metodă, o singură înmulțire. Din Puterea unei matrice pătratice știi că $A^2$ se obține direct; contează ce citești în el. Patru situații se rezolvă pe loc:

• $A^2=O_n$ (matrice nilpotentă): atunci $A^n=O_n$ pentru orice $n\ge 2$;
• $A^2=I_n$: puterile alternează, $A^{2k}=I_n$ și $A^{2k+1}=A$;
• $A^2=\alpha A$: fiecare înmulțire adaugă un factor $\alpha$, deci $A^n={\alpha }^{n-1}A$;
• $A^2=\alpha I_n$: puterile pare sunt multipli de $I_n$, cele impare multipli de $A$.

Un exemplu de periodicitate: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ avem $A^2=-I_2$, deci $A^4=I_2$ și puterile se repetă din patru în patru. Atunci $A^{2027}=A^{4\cdot 506+3}=A^3=-A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Dacă $A^2$ nu spune nimic, mai calculează $A^3$ și abia apoi alege metoda. Calculul direct nu se numără printre metode — este procedeul de bază, reflexul care le precedă pe toate.

2. Prima metodă elementară — inducția matematică

Semnalul: din $A^2$ și $A^3$ se vede un tipar simplu, pe care îl poți scrie ca formulă cu $n$.

Metoda are doi timpi: conjectura (privești primele puteri și ghicești forma) și demonstrația (verifici $n=1$ și treci de la $n$ la $n+1$). Al doilea nu e opțional: o formulă „văzută" nu e demonstrată.

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculăm $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci conjectura este $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Pentru $n=1$ e adevărată. Pasul:

$$A^{n+1}=A^n\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2+2n\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2(n+1)\\ 0& 1\end{array}\right),$$

adică exact formula pentru $n+1$. Deci ea este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Detaliile tehnicii sunt în Ridicarea la putere prin inducție matematică.

Limita metodei: dacă nu reușești să ghicești tiparul, inducția nu are ce demonstra. Atunci treci la una dintre metodele care produc formula.

3. A doua metodă elementară — binomul lui Newton

Semnalul: matricea se scrie $A=\alpha I_n+N$, cu $N$ nilpotentă ($N^k=O_n$ de la un rang încolo). Practic: după ce scazi din $A$ multiplul potrivit al lui $I_n$, rămâne o matrice cu multe zerouri, de obicei strict triunghiulară.

Condiția fără de care metoda e falsă: formula binomului, cunoscută din Binomul lui Newton, se aplică la matrice numai dacă cele două comută, adică $XY=YX$. Aici comută întotdeauna, pentru că $I_n$ comută cu orice matrice. Pentru două matrice oarecare, $(X+Y{)}^2=X^2+XY+YX+Y^2$, iar cei doi termeni din mijloc nu se pot aduna în $2XY$.

Avantajul e că suma se oprește: dacă $N^k=O_n$, dezvoltarea are cel mult $k$ termeni, oricât de mare ar fi $n$.

Exemplu. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Scriem $A=I_3+N$, cu

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=O_3.$$

Dezvoltarea are deci numai trei termeni: $A^n=I_3+C_n^{1}N+C_n^2{N}^2$, adică

$$A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Control pentru $n=2$: formula dă $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, exact cât iese prin înmulțire directă ✓. Tehnica pe larg: Ridicarea la putere cu binomul lui Newton.

4. A treia metodă elementară — șirurile recurente

Semnalul: puterile păstrează o formă (același tipar de zerouri, aceleași elemente egale), dar numerele se schimbă. Notezi cu litere elementele care variază și scrii cum trec de la $A^n$ la $A^{n+1}$.

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$. Puterile rămân triunghiulare, cu $1$ și $2^n$ pe diagonală, deci scriem $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& a_n\\ 0& 2^n\end{array}\right)$ și înmulțim cu $A$:

$$A^{n+1}=\left(\begin{array}{cc}1& a_n\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1+2a_n\\ 0& 2^{n+1}\end{array}\right).$$

Deci $a_{n+1}=2a_n+1$, cu $a_1=1$. Adunând $1$: $a_{n+1}+1=2\left(a_n+1\right)$, deci $\left(a_n+1\right)$ e progresie geometrică de rație $2$ cu primul termen $2$, adică $a_n=2^n-1$. Prin urmare

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2^n-1\\ 0& 2^n\end{array}\right).$$

Control: pentru $n=2$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$, cât iese și direct ✓. Vezi Ridicarea la putere cu ajutorul șirurilor recurente.

5. A patra metodă elementară — matricea de rotație

Semnalul: matricea are $a$ pe ambele poziții ale diagonalei principale și $-b$, respectiv $b$, în afara ei — deci e o rotație amplificată.

Matricea de rotație de unghi $\theta$ este $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, iar proprietatea ei, demonstrată în Matricea de rotație și puterile ei, este

$$R(\theta {)}^n=R(n\theta ).$$

O matrice $A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, cu $a$ și $b$ nu simultan nule, se scrie $A=rR(\theta )$, unde $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \theta =\frac{a}{r}$ și $\sin \theta =\frac{b}{r}$; atunci $A^n=r^{n}R(n\theta )$.

Exemplu. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ avem $r=\sqrt{2}$ și $\theta =45^{\circ }$, deci $A^n={\left(\sqrt{2}\right)}^{n}R\left(45n^{\circ }\right)$. Cum $R\left(360^{\circ }\right)=I_2$, obținem imediat $A^8={\left(\sqrt{2}\right)}^{8}R\left(360^{\circ }\right)=16I_2$ și, la fel, $A^{2024}=2^{1012}{I}_2$, pentru că $2024=8\cdot 253$. Verificare pe drumul scurt: $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$, deci $A^4=-4I_2$ și $A^8=16I_2$ ✓.

Avantajul decisiv: periodicitatea se citește din unghi, fără niciun calcul cu $n$. Limita: forma trebuie să fie exact aceasta — o matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$, cu același semn, nu e o rotație.

6. A cincea metodă — ecuația Hamilton-Cayley

Semnalul: matricea e de ordin 2 și nu se încadrează în tiparele de mai sus. Este metoda universală a ordinului $2$: nu cere să ghicești nimic.

Din Ecuația Hamilton-Cayley știi că $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$, deci $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$, cu

$$x_{n+1}=\mathrm{tr}(A)x_n-\det A\cdot x_{n-1},x_1=1,x_2=\mathrm{tr}(A),y_n=-\det A\cdot x_{n-1}.$$

Limita ei: funcționează numai la ordinul $2$. Pentru matrice de ordin $3$ sau mai mare rămân celelalte patru metode — și de aceea exemplul cu binomul din secțiunea 3 a fost ales de ordin $3$.

7. Arborele de decizie

Pune întrebările în ordinea de mai jos și oprește-te la primul „da".

8. Aceeași matrice, trei metode

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$. Trei drumuri duc la același rezultat, iar comparația arată de ce alegerea contează.

Pe drumul binomului. $A=2I_2+N$, cu $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $N^2=O_2$. Dezvoltarea are doi termeni:

$$A^n={\left(2I_2\right)}^n+C_n^1{\left(2I_2\right)}^{n-1}N=2^n{I}_2+n{2}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right).$$

Pe drumul Hamilton-Cayley. $\mathrm{tr}(A)=4$ și $\det A=4$, deci $x_{n+1}=4x_n-4x_{n-1}$, cu $x_1=1$, $x_2=4$. Ecuația caracteristică $r^2-4r+4=0$ are rădăcina dublă $2$, deci $x_n=(\alpha +\beta n)2^n$; din $x_1=1$ și $x_2=4$ obținem $x_n=n{2}^{n-1}$ și $y_n=-4x_{n-1}=-(n-1)2^n$. Atunci $A^n=n{2}^{n-1}A-(n-1)2^n{I}_2$, care dă aceeași matrice.

Pe drumul inducției. Din $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 12\\ 0& 8\end{array}\right)$ conjecturezi $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$ și demonstrezi pasul.

Verdictul: binomul cere trei rânduri, Hamilton-Cayley opt, inducția cinci plus riscul de a ghici greșit tiparul. Când matricea are forma $\alpha I_n+N$, binomul câștigă detașat.

La ce folosește apoi $A^n$. Programa dă trei direcții. Ecuațiile matriceale: una de tipul $A^{5}X=B$ se rezolvă calculând întâi $A^5$, apoi ca în Ecuații matriceale. Transformările de stare: dacă un proces trece de la o etapă la următoarea prin înmulțirea cu $A$, starea după $n$ etape se obține cu $A^n$. Funcțiile omografice: lui $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ i se asociază $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, iar compunerii îi corespunde înmulțirea matricelor, deci lui $f$ compusă de $n$ ori îi corespunde $A^n$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pasul zero rezolvă totul

Calculați $A^{2026}$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$.

Rezolvare. Calculăm $A^2=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 10& 20\end{array}\right)=5A$. Suntem în cazul $A^2=\alpha A$, deci, prin inducție imediată, $A^n=5^{n-1}A$ și

$$A^{2026}=5^{2025}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right).$$

O singură înmulțire a decis tot.

Exemplul 2 — Binomul lui Newton

Determinați $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 4\end{array}\right)$, $n \in \mathbb{N}^{}$.*

Rezolvare. Scriem $A=4I_2+N$, cu $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, $N^2=O_2$. Cele două comută, deci se aplică binomul, iar dezvoltarea se oprește după al doilea termen:

$$A^n=4^n{I}_2+C_n^1\cdot 4^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{4}^n& n{4}^{n-1}\\ 0& 4^n\end{array}\right).$$

Control pentru $n=2$: $\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 0& 16\end{array}\right)$, exact cât dă înmulțirea directă ✓.

Exemplul 3 — Șiruri recurente pe o matrice simetrică

Determinați $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Puterile păstrează forma simetrică, deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\\ y_n& x_n\end{array}\right)$, cu $x_1=1$, $y_1=2$. Din $A^{n+1}=A^n\cdot A$ obținem $x_{n+1}=x_n+2y_n$ și $y_{n+1}=2x_n+y_n$.

Trucul e să lucrezi cu suma și cu diferența: $x_{n+1}+y_{n+1}=3\left(x_n+y_n\right)$ și $x_{n+1}-y_{n+1}=-\left(x_n-y_n\right)$, deci $x_n+y_n=3^n$ și $x_n-y_n=(-1{)}^n$, de unde

$$x_n=\frac{3^n+(-1{)}^n}{2},y_n=\frac{3^n-(-1{)}^n}{2}.$$

Control pentru $n=2$: $x_2=5$, $y_2=4$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$ ✓.

Exemplul 4 — Rotația și periodicitatea

Se consideră $A=R\left(60^{\circ }\right)$. Calculați $A^6$ și $A^{2026}$.

Rezolvare. Din $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$ avem $A^6=R\left(360^{\circ }\right)=I_2$: matricea are perioada $6$. Împărțim $2026$ la $6$: $2026=6\cdot 337+4$, deci

$$A^{2026}={\left(A^6\right)}^{337}{A}^4=A^4=R\left(240^{\circ }\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$

Toată rezolvarea a cerut o împărțire cu rest, nu calcule cu matrice.

Exemplul 5 — Nilpotență ascunsă

Determinați $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Nimic nu sare în ochi, deci mergem pe Hamilton-Cayley: $\mathrm{tr}(A)=8$ și $\det A=15+1=16$, deci $A^2-8A+16I_2=O_2$, adică ${\left(A-4I_2\right)}^2=O_2$.

Am ajuns, prin ecuație, la o nilpotență pe care nu o vedeam: cu $N=A-4I_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $N^2=O_2$, binomul dă imediat

$$A^n={\left(4I_2+N\right)}^n=4^n{I}_2+n{4}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{4}^n+n{4}^{n-1}& -n{4}^{n-1}\\ n{4}^{n-1}& 4^n-n{4}^{n-1}\end{array}\right).$$

Control pentru $n=2$: $\left(\begin{array}{cc}24& -8\\ 8& 8\end{array}\right)$, iar înmulțirea directă dă $\left(\begin{array}{cc}25-1& -5-3\\ 5+3& -1+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}24& -8\\ 8& 8\end{array}\right)$ ✓. Concluzia de reținut: Hamilton-Cayley e adesea poarta către metoda scurtă, nu doar o metodă în sine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ și șirul lui Fibonacci $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$. a) Scrieți ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$. b) Demonstrați prin inducție că $A^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$.* c) Deduceți că $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

Rezolvare. a) $\mathrm{tr}(A)=1$ și $\det A=-1$, deci $A^2-A-I_2=O_2$, adică $A^2=A+I_2$.

b) Pentru $n=1$: $\left(\begin{array}{cc}{F}_2& F_1\\ F_1& F_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=A$ ✓. Pasul:

$$A^{n+1}=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}+F_n& F_{n+1}\\ F_n+F_{n-1}& F_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+2}& F_{n+1}\\ F_{n+1}& F_n\end{array}\right),$$

adică exact formula pentru $n+1$.

c) Luăm determinantul în egalitatea de la b). În stânga, $\det \left(A^n\right)={\left(\det A\right)}^n=(-1{)}^n$; în dreapta, $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2$. Egalitatea celor două dă concluzia. Control pentru $n=5$: $F_6{F}_4-F_5^2=8\cdot 3-25=-1=(-1{)}^5$ ✓.

Să exersăm

Scrie întâi ce metodă alegi și de ce, apoi calculează. Alegerea contează la fel de mult ca rezultatul.

1. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ și precizează metoda folosită.

2. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

3. Calculează $A^{2027}$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula binomului lui Newton se aplică oricăror două matrice pătratice de același ordin."

5. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

6. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 4\end{array}\right)$, folosind binomul lui Newton, apoi verifică rezultatul pentru $n=3$ prin înmulțire directă.

7. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Arată că $A^8=16I_2$ și calculează $A^{2024}$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\mathrm{tr}(A)=0$ și $\det A=0$, atunci $A^n=O_2$ pentru orice $n\ge 2$."

9. Fie $A=R\left(60^{\circ }\right)$ matricea de rotație. Determină cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care $A^n=I_2$ și calculează $A^{2026}$.

10. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

11. (Problemă aplicată.) O cultură de bacterii are, la fiecare oră, o coloană de stare $\left(\begin{array}{c}{u}_k\\ v_k\end{array}\right)$ care se transformă prin înmulțirea cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$. Știind că $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2^n-1\\ 0& 2^n\end{array}\right)$, determină starea după $10$ ore, pornind de la $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

12. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x+1}$, și $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ matricea asociată. Calculează $A^n$ și deduce formula funcției obținute compunând $f$ cu ea însăși de $n$ ori.

13. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$.

14. Pentru fiecare dintre matricele $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$, precizează ce metodă ai alege și de ce. Nu calcula puterile.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $\mathrm{tr}(A)$, $\det A$ și scrieți ecuația Hamilton-Cayley. b) Determinați $A^n$. c) Calculați suma elementelor matricei $A^5$.

16. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ și explică de ce metoda folosită nu merge la o matrice care nu este diagonală.

17. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculează $(A+B{)}^2$ și $A^2+2AB+B^2$ și explică de ce cele două rezultate diferă.

18. (Provocare.) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Folosind $A^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)$ și egalitatea $A^{m+n}=A^m{A}^n$, demonstrează identitatea $F_{m+n}=F_m{F}_{n+1}+F_{m-1}{F}_n$ și verific-o pentru $m=4$, $n=3$.

Răspunsuri și explicații

1. Inducție (tiparul se vede din $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$). Conjectura $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 3n\\ 0& 1\end{array}\right)$ se verifică pentru $n=1$, iar pasul dă $A^n\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3n+3\\ 0& 1\end{array}\right)$ ✓.

2. $A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)=2A$, deci suntem în cazul $A^2=\alpha A$ al pasului zero și $A^n=2^{n-1}A$. Verificare pentru $n=3$: $4A=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$ ✓.

3. $A^2=-I_2$, deci $A^4=I_2$: perioada este $4$. Cum $2027=4\cdot 506+3$, avem $A^{2027}=A^3=A^2\cdot A=-A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

4. Fals. Formula cere ca cele două matrice să comute. Pentru $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $Y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ avem $XY\ne YX$, iar $(X+Y{)}^2\ne X^2+2XY+Y^2$ (vezi exercițiul 17). Corect este $(X+Y{)}^2=X^2+XY+YX+Y^2$.

5. Inducție sau binom, cu $A=I_2+N$ și $N=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$, $N^2=O_2$: $A^n=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n& 1\end{array}\right)$.

6. $A=4I_2+N$ cu $N^2=O_2$, deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}{4}^n& n{4}^{n-1}\\ 0& 4^n\end{array}\right)$. Pentru $n=3$: $\left(\begin{array}{cc}64& 48\\ 0& 64\end{array}\right)$; înmulțirea directă $A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 0& 16\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}64& 48\\ 0& 64\end{array}\right)$ ✓.

7. $A=\sqrt{2}R\left(45^{\circ }\right)$, deci $A^8={\left(\sqrt{2}\right)}^{8}R\left(360^{\circ }\right)=16I_2$. Cum $2024=8\cdot 253$, avem $A^{2024}={\left(A^8\right)}^{253}=16^{253}{I}_2=2^{1012}{I}_2$.

8. Adevărat. Ecuația Hamilton-Cayley devine $A^2=O_2$, iar atunci $A^n=A^2{A}^{n-2}=O_2$ pentru orice $n\ge 2$. Atenție: $A$ însăși poate fi nenulă, de exemplu $\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$.

9. $A^n=R\left(60n^{\circ }\right)$, egal cu $I_2$ prima dată când $60n$ este multiplu de $360$, adică pentru $n=6$. Apoi $2026=6\cdot 337+4$, deci $A^{2026}=A^4=R\left(240^{\circ }\right)$.

10. $A=I_3+N$, cu $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ și $N^3=O_3$. Binomul dă $A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2$, adică $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& n+\frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Control pentru $n=2$: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ ✓.

11. Starea după $10$ ore este $A^{10}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1023\\ 0& 1024\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1026\\ 1024\end{array}\right)$.

12. $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n& 1\end{array}\right)$, deci funcția compusă de $n$ ori este $\frac{1\cdot x+0}{n\cdot x+1}=\frac{x}{nx+1}$. Control direct pentru $n=2$: $f(f(x))=\frac{x/(x+1)}{x/(x+1)+1}=\frac{x}{2x+1}$ ✓.

13. $\mathrm{tr}(A)=8$, $\det A=16$, deci ${\left(A-4I_2\right)}^2=O_2$. Cu $N=A-4I_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$, binomul dă $A^n=\left(\begin{array}{cc}{4}^n+n{4}^{n-1}& -n{4}^{n-1}\\ n{4}^{n-1}& 4^n-n{4}^{n-1}\end{array}\right)$.

14. Prima este $3I_2$, deci $A^n=3^n{I}_2$ — pasul zero. A doua are forma $I_2+N$ cu $N^2=O_2$ — binomul lui Newton. A treia are $a=2$ pe diagonală, $-3$ sus și $3$ jos — matricea de rotație, cu $r=\sqrt{13}$. A patra nu are nicio structură specială și e de ordin $2$ — ecuația Hamilton-Cayley.

15. a) $\mathrm{tr}(A)=2$, $\det A=1-4=-3$, deci $A^2-2A-3I_2=O_2$. b) Cu $A^n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\\ y_n& x_n\end{array}\right)$ și trucul sumei și diferenței (exemplul 3) obținem $x_n=\frac{3^n+(-1{)}^n}{2}$, $y_n=\frac{3^n-(-1{)}^n}{2}$. c) Suma elementelor lui $A^n$ este $2\left(x_n+y_n\right)=2\cdot 3^n$, deci pentru $n=5$ avem $2\cdot 243=486$. Control: $A^5=\left(\begin{array}{cc}121& 122\\ 122& 121\end{array}\right)$, cu suma $486$ ✓.

16. $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)$: la o matrice diagonală, produsul se face element cu element pe diagonală, deci puterile se ridică separat. La o matrice care nu e diagonală, elementele se amestecă la înmulțire, iar regula „ridici fiecare element la putere" este falsă — de pildă ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, nu $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

17. $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$. Pe de altă parte, $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$, $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$. Diferența apare pentru că $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ nu sunt egale, deci $AB+BA\ne 2AB$.

18. Înmulțim cele două puteri: $A^m{A}^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{m+1}& F_m\\ F_m& F_{m-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)$. Elementul de pe poziția $(2,1)$ al produsului este $F_m{F}_{n+1}+F_{m-1}{F}_n$, iar același element în $A^{m+n}$ este $F_{m+n}$. Egalându-le, obținem identitatea cerută. Verificare pentru $m=4$, $n=3$: $F_7=13$, iar $F_4{F}_4+F_3{F}_3=3\cdot 3+2\cdot 2=13$ ✓.

De reținut

• Pasul zero este obligatoriu: calculează $A^2$. Dacă iese $O_n$, $I_n$, $\alpha A$ sau $\alpha I_n$, problema e deja rezolvată.
• Cele cinci metode și semnalele lor: inducția (tiparul se vede), binomul lui Newton ($A=\alpha I_n+N$ cu $N$ nilpotentă), șirurile recurente (forma se păstrează, numerele se schimbă), matricea de rotație (forma cu $a$, $-b$, $b$, $a$), ecuația Hamilton-Cayley (orice matrice de ordin $2$).
• Binomul cere comutarea. $(X+Y{)}^n$ se dezvoltă cu $C_n^k$ numai dacă $XY=YX$; cu $\alpha I_n$ condiția e automat îndeplinită.
• Hamilton-Cayley funcționează numai la ordinul 2. Pentru ordinul $3$ sau mai mare rămân celelalte patru metode.
• Rezultatul se controlează întotdeauna pe $n=1$ și $n=2$, comparând cu înmulțirea directă.

Greșeli frecvente

• Ridicarea la putere element cu element. $A^n$ nu înseamnă „fiecare element la puterea $n$" — excepția e matricea diagonală, și numai ea.
• Binomul aplicat la matrice care nu comută. Dacă $AB\ne BA$, dezvoltarea cu combinări e falsă. Înainte de a scrie $C_n^k$, verifică explicit comutarea.
• Conjectura nedemonstrată. A vedea tiparul din $A^2$ și $A^3$ nu înseamnă a-l demonstra. Fără pasul de inducție, rezolvarea se depunctează la Bacalaureat M1.
• Hamilton-Cayley la ordinul 3. Relația $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_3=O_3$ este falsă. La ordinul $3$, alege altă metodă.
• Oprirea la prima metodă care „merge". La forma $\alpha I_n+N$, binomul dă răspunsul în trei rânduri, iar Hamilton-Cayley în opt: metoda nepotrivită nu dă rezultat fals, dar te costă timp.

Aplică acasă

1. Fișa de decizie. Scrie pe o foaie cele cinci metode, fiecare cu semnalul ei și cu un exemplu. Ține foaia la vedere: după douăzeci de exerciții, alegerea devine automată.

2. Aceeași matrice, trei drumuri. Ia $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ și calculează $A^n$ prin binom, prin inducție și prin Hamilton-Cayley. Cronometrează și notează care drum a fost cel mai scurt.

3. Funcția compusă. Alege $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ cu numere mici, asociază-i matricea, ridic-o la puterea $3$ și compară cu $f$ compusă de trei ori, calculată direct.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu introduce conținut nou: recapitulează cele cinci metode de ridicare la putere și le pune într-un criteriu de alegere. Programa cere exact acest lucru, în sugestiile metodologice: puterile se abordează „prin metode diverse (inducția matematică, binomul lui Newton, cu șiruri recurente, matrice de rotație, ecuația Hamilton-Cayley), accentul punându-se pe dezvoltarea capacității elevilor de a selecta metoda optimă".

Calculul direct al lui $A^2$ nu e o metodă separată, ci pasul de orientare care le precedă pe toate. Elevii care sar peste el pornesc pe drumuri lungi la probleme care se rezolvă într-o linie.

De verificat în caiet: (1) fiecare rezolvare începe cu numele metodei alese și cu motivul; (2) la binom, comutarea este verificată explicit; (3) la inducție, apar ambii pași; (4) rezultatul e controlat pe $n=1$ și $n=2$. Întrebări de control: „Ce calculezi primul lucru?"; „Când poți folosi binomul?"; „Ce metodă merge întotdeauna la ordinul $2$?"; „De ce nu merge Hamilton-Cayley la ordinul $3$?".

La BAC M1, cerința tipică este „determinați $A^n$" sau „calculați $A^{2026}$", fără indicații de metodă; punctele se pierd cel mai des la conjectura nedemonstrată și la binomul aplicat unor matrice care nu comută. Semn că elevul a înțeles: se uită la matrice și spune metoda înainte de a scrie primul calcul.

Întrebări frecvente

Care sunt metodele de ridicare la putere a unei matrice? Cinci: inducția matematică, binomul lui Newton, șirurile recurente, structura matricei de rotație și ecuația Hamilton-Cayley. Toate sunt precedate de un pas de orientare — calculul lui $A^2$ — care de multe ori rezolvă singur problema.

Cum aleg metoda potrivită pentru $A^n$? Calculezi $A^2$ și te uiți la ce iese. Dacă e $O_n$, $I_n$ sau un multiplu al lui $A$, ai terminat. Dacă $A-\alpha I_n$ are pătratul nul, folosești binomul; dacă matricea are forma unei rotații, folosești unghiul; dacă forma puterilor se păstrează, folosești șiruri recurente; dacă nimic nu se potrivește și matricea e de ordin $2$, ecuația Hamilton-Cayley.

De ce nu pot ridica fiecare element la puterea $n$? Pentru că înmulțirea amestecă liniile cu coloanele: elementul de pe poziția $(i,j)$ al produsului e o sumă de produse, nu produsul elementelor de pe aceleași poziții. Singura excepție e matricea diagonală.

Când se poate folosi binomul lui Newton la matrice? Numai când cele două matrice comută. În practică se folosește scrierea $A=\alpha I_n+N$, pentru că $I_n$ comută cu orice matrice; dacă încerci cu două matrice oarecare, formula este falsă, fiindcă $AB+BA$ nu este $2AB$.

Ce fac dacă matricea este de ordin 3? Ecuația Hamilton-Cayley învățată la clasa a XI-a nu se aplică. Verifici dacă $A-\alpha I_3$ este nilpotentă (atunci folosești binomul) sau dacă puterile păstrează o formă (atunci folosești șiruri recurente); în ultimă instanță, calculezi $A^2$ și $A^3$ și demonstrezi conjectura prin inducție.

La ce folosesc puterile unei matrice? La rezolvarea ecuațiilor matriceale în care apare $A^k$, la descrierea unui proces care trece de la o etapă la alta prin înmulțirea cu aceeași matrice și la compunerea repetată a funcțiilor omografice, unde compunerii îi corespunde înmulțirea matricelor asociate.

Cum apare tema la Bacalaureat M1? Cel mai des ca „determinați $A^n$" sau „calculați o putere mare concretă", urmată de o aplicație: o ecuație matriceală, o sumă de elemente sau o identitate obținută prin trecerea la determinanți.