Elementul neutru: pe scurt

Elementul neutru al legii $\ast$ pe mulțimea $M$ este elementul $e\in M$ pentru care $x\ast e=e\ast x=x$, oricare ar fi $x\in M$; el joacă rolul lui $0$ la adunare și al lui $1$ la înmulțire. În toată unitatea, litera $e$ înseamnă elementul neutru, nu numărul lui Euler.

Definiția are două jumătăți. Elementele neutre la stânga sau la dreapta pot fi mai multe: legea $x\ast y=x$ pe o mulțime cu trei elemente are trei elemente neutre la dreapta și niciunul la stânga. Dar un neutru la stânga și unul la dreapta sunt obligatoriu egale, iar elementul neutru, când există, este unic — se demonstrează calculând $e_1\ast e_2$ în două feluri.

Rețeta: rezolvi ecuația $x\ast e=x$ în necunoscuta $e$, verifici că soluția nu depinde de $x$ și că aparține mulțimii $M$, apoi verifici și $e\ast x=x$ (automat, dacă legea e comutativă). Pentru $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ scurtătura este $e=a+1$.

În tablă, $e$ este elementul a cărui linie reproduce prima linie și a cărui coloană reproduce prima coloană. Nu au element neutru scăderea, împărțirea, media aritmetică și $\max$ pe $\mathbb{R}$; aceeași formulă poate avea neutru pe o mulțime și niciunul pe alta.

Exerciții din această mini-lecție

1. Elementul neutru al legii $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$, definită pe $\mathbb{R}$, este:

   • a) $14$
   • b) $13$
   • c) $1$
   • d) $15$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $15$

   Pentru legile de forma $(x-a)(y-a)+a$ elementul neutru este $e=a+1$, aici $15$; verificare: $x\ast 15=(x-14)\cdot 1+14=x$. Varianta $14$ confundă neutrul cu elementul absorbant, fiindcă $14\ast y=14$ pentru orice $y$ — exact pe dos decât cere definiția. Variantele $13$ și $1$ nu verifică ecuația $x\ast e=x$.

2. O lege de compoziție definită pe o mulțime $M$ poate avea:

   • a) oricâte elemente neutre
   • b) cel mult două elemente neutre
   • c) cel mult un element neutru
   • d) exact un element neutru, întotdeauna
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) cel mult un element neutru

   Dacă $e_1$ și $e_2$ sunt amândouă neutre, atunci $e_1\ast e_2=e_1$ (fiindcă $e_2$ e neutru) și $e_1\ast e_2=e_2$ (fiindcă $e_1$ e neutru), deci $e_1=e_2$. Varianta d greșește în cealaltă direcție: existența nu e garantată — scăderea pe $\mathbb{Z}$ nu are element neutru. Mai multe pot fi doar elementele neutre pe o singură parte.

3. Legea $x\ast y=5xy$ are element neutru pe:

   • a) $\mathbb{Q}$, cu $e=\frac{1}{5}$
   • b) $\mathbb{Z}$, cu $e=5$
   • c) $\mathbb{Q}$, cu $e=5$
   • d) niciuna dintre mulțimile $\mathbb{Z}$ și $\mathbb{Q}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\mathbb{Q}$, cu $e=\frac{1}{5}$

   Ecuația $5xe=x$ dă $x(5e-1)=0$ pentru orice $x$, deci $e=\frac{1}{5}$. Acest număr este rațional, dar nu întreg, așa că pe $\mathbb{Q}$ legea are element neutru, iar pe $\mathbb{Z}$ nu. Este capcana „candidatul nu e în mulțime”: verificarea apartenenței lui $e$ la $M$ nu e o formalitate.