Funcții pare și impare: simetriile graficului

Pune o oglindă verticală exact pe mijlocul unui fluture desenat pe hârtie. Jumătatea stângă se suprapune perfect peste cea dreaptă: fluturele este simetric față de acea axă. Acum ia o carte de joc — o damă de pică, de exemplu — și rotește-o cu $180^{\circ }$ în jurul centrului ei. Cartea arată identic, deși nicio oglindă nu a fost folosită: aici simetria e față de un punct, nu față de o dreaptă. Două feluri diferite de simetrie, două experiențe vizuale diferite.

Exact aceste două simetrii apar și la graficele funcțiilor, iar matematica le prinde în două egalități scurte: $f(-x)=f(x)$ și $f(-x)=-f(x)$. Prima descrie graficele care se oglindesc în axa $Oy$, a doua pe cele care rămân neschimbate la o rotație de $180^{\circ }$ în jurul originii. Funcțiile din prima categorie se numesc pare, cele din a doua impare. Descoperirea nu e doar frumoasă: dacă știi că o funcție e pară, îți ajunge să studiezi jumătate din grafic și cealaltă jumătate vine gratis — un scurtcircuit pe care matematicienii, fizicienii și programatorii îl folosesc zilnic.

Ce vei învăța

• Vei ști să verifici dacă domeniul unei funcții este simetric față de $0$ — condiția fără de care discuția despre paritate nici nu începe.
• Vei ști să demonstrezi algebric că o funcție este pară sau impară, calculând $f(-x)$ și comparându-l cu $f(x)$ și cu $-f(x)$.
• Vei ști să infirmi paritatea printr-un contraexemplu numeric bine ales.
• Vei ști să citești simetria direct de pe grafic: oglindire în $Oy$ pentru funcțiile pare, rotație de $180^{\circ }$ în jurul originii pentru cele impare.
• Vei ști să decizi paritatea funcțiilor afine și a funcțiilor definite pe ramuri cu module.
• Vei ști regulile de calcul cu funcții pare și impare (sumă, produs) și descompunerea oricărei funcții într-o parte pară plus una impară.

Hai să descoperim împreună

1. Condiția prealabilă: domeniu simetric față de zero

Ca să putem compara $f(x)$ cu $f(-x)$, avem nevoie de amândouă valorile. Cu alte cuvinte, dacă $x$ se află în domeniu, și $-x$ trebuie să se afle acolo.

Definiție. O mulțime $D\subseteq \mathbb{R}$ se numește simetrică față de $0$ dacă pentru orice $x\in D$ avem și $-x\in D$.

Sunt simetrice: $\mathbb{R}$, $[-3,3]$, $(-5,5)$, $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, $[-4,-1]\cup [1,4]$, $\{-2,-1,0,1,2\}$. Nu sunt simetrice: $[0,\infty )$ (conține $2$, dar nu $-2$), $(-2,5]$ (conține $5$, dar nu $-5$), $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (conține $-1$, dar nu $1$).

Convenție importantă: dacă domeniul nu este simetric față de $0$, funcția nu este nici pară, nici impară — nu pentru că am verificat și n-a ieșit, ci pentru că întrebarea nu are sens. Prima linie a oricărei rezolvări este, deci: „domeniul este simetric față de $0$".

2. Funcții pare: oglinda din axa $Oy$

Definiție. Fie $D$ o mulțime simetrică față de $0$. Funcția $f:D\to \mathbb{R}$ este pară dacă

$$f(-x)=f(x)\text{pentru orice }x\in D.$$

Ce înseamnă asta pe grafic? Dacă punctul $(a,b)$ aparține graficului, atunci $b=f(a)=f(-a)$, deci și punctul $(-a,b)$ aparține graficului. Cele două puncte au aceeași înălțime și abscise opuse — sunt simetrice față de axa $Oy$. Prin urmare:

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa $Oy$.

Exemplul-model. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$. Calculăm: $f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$ pentru orice $x$ real. Funcția modul este pară, iar graficul ei în formă de V, studiat în lecția despre funcția modul, este vizibil simetric față de $Oy$.

Alte funcții pare: orice funcție constantă $f(x)=c$ (căci $f(-x)=c=f(x)$), funcția $f(x)=x^2$, funcția $f(x)=|x-2|+|x+2|$ (o vom analiza imediat).

3. Funcții impare: rotația de $180^{\circ }$ în jurul originii

Definiție. Fie $D$ simetrică față de $0$. Funcția $f:D\to \mathbb{R}$ este impară dacă

$$f(-x)=-f(x)\text{pentru orice }x\in D.$$

Geometric: dacă $(a,b)$ e pe grafic, atunci $f(-a)=-f(a)=-b$, deci și $(-a,-b)$ e pe grafic. Punctele $(a,b)$ și $(-a,-b)$ sunt simetrice față de originea $O(0,0)$ — mijlocul segmentului care le unește este chiar $O$, pentru că are coordonatele $\left(\frac{a+(-a)}{2},\frac{b+(-b)}{2}\right)=(0,0)$. Așadar:

Graficul unei funcții impare este simetric față de originea reperului, adică rămâne neschimbat la o rotație de $180^{\circ }$ în jurul lui $O$.

Exemplul-model. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x$. Avem $f(-x)=3\cdot (-x)=-3x=-f(x)$. Funcția este impară, iar graficul ei este o dreaptă care trece prin origine — evident simetrică față de $O$.

Teoremă (valoarea în zero). Dacă $f:D\to \mathbb{R}$ este impară și $0\in D$, atunci $f(0)=0$.

Demonstrație. Aplicăm definiția în $x=0$: $f(-0)=-f(0)$. Dar $-0=0$, deci $f(0)=-f(0)$. Adunând $f(0)$ în ambii membri, obținem $2f(0)=0$, de unde $f(0)=0$. $■$

Teorema aceasta este un filtru rapid și foarte util: dacă $f(0)\ne 0$, funcția sigur nu e impară și nu mai ai ce calcula. De exemplu, $f(x)=2x+3$ are $f(0)=3\ne 0$, deci nu poate fi impară.

4. Rețeta de verificare, în trei pași

Orice exercițiu de paritate se rezolvă la fel:

1. Verifici domeniul. Este simetric față de $0$? Dacă nu, te oprești: funcția nu e nici pară, nici impară.
2. Calculezi $f(-x)$, înlocuind peste tot $x$ cu $-x$ și simplificând complet.
3. Compari. Dacă $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ — pară. Dacă $f(-x)=-f(x)$ pentru orice $x$ — impară. Dacă niciuna dintre egalități nu ține pentru toți $x$, funcția nu e nici pară, nici impară — și atunci dai un contraexemplu numeric.

Atenție la asimetria dintre „da" și „nu", exact ca la funcții injective, surjective, bijective: pentru „este pară" ai nevoie de un calcul general, valabil pentru orice $x$; pentru „nu este pară" e suficientă o singură valoare $a$ cu $f(-a)\ne f(a)$.

5. Majoritatea funcțiilor nu sunt nici pare, nici impare

Paritatea este o proprietate specială, nu regula. Să luăm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-7$. Calculăm $f(-x)=-4x-7$. Compară cu $f(x)=4x-7$: sunt egale doar dacă $-4x=4x$, adică doar pentru $x=0$ — nu pentru orice $x$. Compară cu $-f(x)=-4x+7$: ar trebui $-7=7$, fals. Concluzie: nici pară, nici impară.

Cel mai elegant e să dai direct contraexemplul: $f(1)=-3$, iar $f(-1)=-11$. Cum $-11\ne -3$, funcția nu e pară; cum $-11\ne 3=-f(1)$, nu e nici impară. Un singur cuplu de valori a rezolvat ambele întrebări.

Caz general — funcția afină. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, studiată pe larg în lecția despre funcția afină. Atunci $f(-x)=-ax+b$.

• $f$ este pară $⟺-ax+b=ax+b$ pentru orice $x$ $⟺2ax=0$ pentru orice $x$ $⟺a=0$. Adică exact funcțiile constante.
• $f$ este impară $⟺-ax+b=-ax-b$ pentru orice $x$ $⟺2b=0⟺b=0$. Adică exact funcțiile de forma $f(x)=ax$, cu graficul trecând prin origine.

Singura funcție afină care e și pară, și impară este funcția nulă $f(x)=0$ (obținută pentru $a=b=0$).

6. Funcții pe ramuri cu module: unde apare paritatea cel mai des

Cele mai bogate exemple din clasa a IX-a vin din combinații de module. Modulul „încurcă" semnul într-un mod care produce simetrii frumoase.

Exemplu par. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|+|x+2|$.

$$f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|-(x+2)|+|-(x-2)|=|x+2|+|x-2|=f(x).$$

Am folosit proprietatea $|-t|=|t|$ și apoi comutativitatea adunării. Funcția este pară. Explicitată pe ramuri, ea arată așa:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x,& x<-2\\ 4,& -2\le x\le 2\\ 2x,& x>2\end{array}$$

Verifică: la $x=3$ obținem $|1|+|5|=6=2\cdot 3$ ✓, iar la $x=0$ obținem $2+2=4$ ✓. Graficul are un „platou" orizontal la înălțimea $4$ pe $[-2,2]$ și două ramuri simetrice care urcă — un profil de vale cu fund plat, perfect oglindit în $Oy$.

Exemplu impar. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x+1|-|x-1|$.

$$f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x).$$

Funcția este impară. Pe ramuri:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2,& x<-1\\ 2x,& -1\le x\le 1\\ 2,& x>1\end{array}$$

Verificăm: $f(0)=1-1=0$ ✓ (obligatoriu, fiind impară), $f(2)=3-1=2$ și $f(-2)=1-3=-2$ ✓. Graficul urcă oblic prin origine și apoi se aplatizează la $\pm 2$ — o „scară" simetrică față de $O$.

Exemplu care nu e nici, nici. $f(x)=3x-|x|$ (funcția bijectivă din lecția precedentă). Avem $f(1)=3-1=2$, iar $f(-1)=-3-1=-4$. Cum $-4\ne 2$ și $-4\ne -2$, funcția nu e nici pară, nici impară — deși e construită tot din module. Amestecul dintre partea „impară" $3x$ și partea „pară" $-|x|$ strică ambele simetrii.

7. Reguli de calcul cu funcții pare și impare

Funcțiile pare și impare se comportă la înmulțire exact ca numerele pare și impare la adunare — de acolo vine, de altfel, și numele. Fie $f,g$ definite pe aceeași mulțime simetrică $D$.

Demonstrație pentru produsul par $\times$ impar. Fie $f$ pară și $g$ impară, $h=f\cdot g$. Atunci

$$h(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot (-g(x))=-f(x)g(x)=-h(x),$$

deci $h$ este impară. $■$

Demonstrație pentru suma a două funcții impare. Dacă $f$ și $g$ sunt impare și $s=f+g$, atunci $s(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-s(x)$, deci $s$ e impară. $■$

Aceste operații cu funcții — sumă, produs, raport — sunt studiate sistematic în lecția despre operații cu funcții și compunerea funcțiilor; aici le folosim doar ca unealtă rapidă de decizie. De exemplu, $f(x)=x\cdot |x|$ este produsul dintre funcția impară $x\mapsto x$ și funcția pară $x\mapsto |x|$, deci este impară — fără niciun calcul suplimentar.

8. Orice funcție se descompune: partea pară și partea impară

Iată un rezultat surprinzător, care arată că paritatea nu e o excepție rară, ci un „sistem de coordonate" în lumea funcțiilor.

Teoremă. Orice funcție $f:D\to \mathbb{R}$, cu $D$ simetrică față de $0$, se scrie ca sumă între o funcție pară și una impară.

Demonstrație. Definim

$$p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$

Verificăm paritatea lui $p$: $p(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=p(x)$ ✓ (numărătorul e o sumă, deci comutativă). Verificăm imparitatea lui $i$: $i(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-i(x)$ ✓. În fine,

$$p(x)+i(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x).■$$

Exemplu. Pentru $f(x)=2x+3$ obținem $p(x)=\frac{(2x+3)+(-2x+3)}{2}=3$ și $i(x)=\frac{(2x+3)-(-2x+3)}{2}=2x$. Într-adevăr, $2x+3=3+2x$: partea constantă e cea pară, partea liniară e cea impară. Descompunerea funcționează și se vede cu ochiul liber.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificare directă, funcție pară

Studiați paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5|x|-3$.

Rezolvare. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric față de $0$. Calculăm:

$$f(-x)=5|-x|-3=5|x|-3=f(x).$$

Egalitatea are loc pentru orice $x$ real, deci $f$ este pară. Graficul ei este un V mutat în jos cu $3$ unități, simetric față de $Oy$; vârful este în $(0,-3)$. $■$

Exemplul 2 — Verificare directă, funcție impară

Studiați paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot |x|$.

Rezolvare. Domeniul e simetric. Calculăm:

$$f(-x)=(-x)\cdot |-x|=-x\cdot |x|=-f(x),$$

deci $f$ este impară. Verificare rapidă cu numere: $f(3)=3\cdot 3=9$ și $f(-3)=-3\cdot 3=-9$ ✓; $f(0)=0$ ✓, cum cere teorema de la punctul 3. Explicit, $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 0$ și $f(x)=-x^2$ pentru $x<0$ — două jumătăți de parabolă lipite, care se rotesc una în cealaltă. $■$

Exemplul 3 — Nici pară, nici impară (cu contraexemplu)

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|+4x$ nu este nici pară, nici impară.

Rezolvare. Domeniul e simetric, deci întrebarea are sens. Alegem valoarea de test $x=1$:

$$f(1)=1+4=5,f(-1)=1-4=-3.$$

Dacă $f$ ar fi pară, ar trebui $f(-1)=f(1)$, adică $-3=5$ — fals. Dacă $f$ ar fi impară, ar trebui $f(-1)=-f(1)$, adică $-3=-5$ — tot fals. Prin urmare $f$ nu este nici pară, nici impară. $■$

Observație de tehnică: un singur cuplu $(f(a),f(-a))$ cu $a$ bine ales rezolvă amândouă întrebările. Evită $a=0$ — acolo ambele condiții sunt adesea satisfăcute din întâmplare.

Exemplul 4 — Domeniu nesimetric

Studiați paritatea funcției $f:[-2,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$.

Rezolvare. Deși legea de calcul este a funcției modul — pară pe $\mathbb{R}$ —, domeniul $[-2,5]$ nu este simetric față de $0$: el conține $5$, dar nu conține $-5$. Pentru $x=5$ nici nu putem scrie $f(-5)$, fiindcă $-5$ nu aparține domeniului. Prin urmare funcția nu este nici pară, nici impară. $■$

Reține lecția: paritatea este o proprietate a funcției (lege + domeniu + codomeniu), nu doar a formulei. Aceeași formulă, alt domeniu, alt verdict — exact ca la surjectivitate, unde codomeniul decidea.

Exemplul 5 — Funcție pe ramuri, cu module

Studiați paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|+|x+3|$, apoi explicitați-o pe ramuri.

Rezolvare. Paritatea:

$$f(-x)=|-x-3|+|-x+3|=|x+3|+|x-3|=f(x),$$

deci $f$ este pară.

Pe ramuri: punctele critice ale modulelor sunt $-3$ și $3$.

• Pentru $x<-3$: ambele expresii sunt negative, deci $f(x)=(3-x)+(-x-3)=-2x$.
• Pentru $-3\le x\le 3$: $x-3\le 0$ și $x+3\ge 0$, deci $f(x)=(3-x)+(x+3)=6$.
• Pentru $x>3$: ambele sunt pozitive, deci $f(x)=(x-3)+(x+3)=2x$.

Verificări numerice: $f(0)=3+3=6$ ✓, $f(4)=1+7=8=2\cdot 4$ ✓, $f(-4)=7+1=8=-2\cdot (-4)$ ✓. Se vede și paritatea în forma pe ramuri: ramurile extreme, $-2x$ și $2x$, sunt oglindite una în alta, iar mijlocul e o constantă. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|2x+1|+|2x-1|$. a) Arătați că $f$ este pară. b) Arătați că $f(x)=2$ pentru orice $x\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$. c) Calculați $f(1)+f(-1)$.

Rezolvare. a) Domeniul $\mathbb{R}$ e simetric. Calculăm:

$$f(-x)=|-2x+1|+|-2x-1|=|2x-1|+|2x+1|=f(x),$$

folosind $|-t|=|t|$ pentru $t=2x-1$ și pentru $t=2x+1$. Deci $f$ este pară.

b) Pentru $x\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ avem $2x+1\ge 0$ și $2x-1\le 0$, deci $|2x+1|=2x+1$ și $|2x-1|=1-2x$. Însumând:

$$f(x)=(2x+1)+(1-2x)=2.$$

c) $f(1)=|3|+|1|=4$ și $f(-1)=|-1|+|-3|=1+3=4$ — egale, cum era de așteptat de la o funcție pară. Suma este $4+4=8$. $■$

Comentariu de examen: punctul c) se poate rezolva în două secunde folosind a). Odată demonstrată paritatea, $f(1)+f(-1)=2f(1)=8$. Așa se transformă o proprietate structurală în economie de timp la lucrare.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare completă. Începe fiecare exercițiu cu verificarea domeniului. Pentru „da" — calcul general; pentru „nu" — contraexemplu numeric.

1. Care dintre mulțimile următoare sunt simetrice față de $0$: $[-3,3]$, $(-2,5]$, $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, $[-1,0)\cup (0,1]$, $[0,7]$, $\mathbb{R}\setminus \{2\}$? Justifică fiecare răspuns.

2. Demonstrează că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5|x|$ este pară.

3. Demonstrează că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x$ este impară.

4. Arată printr-un contraexemplu numeric că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-7$ nu este nici pară, nici impară.

5. Studiază paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|+|x+3|$ și scrie forma ei pe ramuri.

6. Studiază paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x+4|-|x-4|$ și scrie forma ei pe ramuri.

7. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este pară și $f(3)=-2$. Cât este $f(-3)$? Dacă $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este impară și $g(3)=-2$, cât este $g(-3)$?

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ care este și pară, și impară."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este impară, atunci graficul ei trece prin origine."

10. Determină toate valorile reale ale lui $a$ și $b$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$ este: a) pară; b) impară.

11. Studiază paritatea funcției definite pe ramuri $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x>0\\ 0,& x=0\\ 2x-1,& x<0\end{array}$$ și calculează $f(3)+f(-3)$.

12. (Problemă aplicată.) O firmă proiectează logoul unui club de matematică folosind graficul unei funcții pe intervalul $[-5,5]$. Designerul desenează doar bucata de pe $[0,5]$ și spune: „restul îl obțin cu o singură comandă din program". Ce comandă folosește dacă funcția trebuie să fie pară? Dar dacă trebuie să fie impară? Ce condiție suplimentară trebuie respectată în punctul $x=0$ în al doilea caz?

13. Fie $f$ pară și $g$ impară, definite pe $\mathbb{R}$. Demonstrează că produsul $f\cdot g$ este o funcție impară și dă un exemplu concret.

14. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|+5x$ nu este nici pară, nici impară, deși este suma unei funcții pare cu una impară. Explică de ce nu e nicio contradicție.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|3x+2|+|3x-2|$. a) Arătați că $f$ este pară. b) Arătați că $f(x)=4$ pentru orice $x\in \left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]$. c) Calculați $f(1)+f(-1)$.

16. Scrie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$ ca sumă între o funcție pară și una impară, folosind formulele din teoremă.

17. Se dă graficul unei funcții doar pe intervalul $[0,4]$: un segment de la $(0,1)$ la $(2,3)$ și un segment orizontal de la $(2,3)$ la $(4,3)$. Descrie, punct cu punct, cum arată completarea graficului pe $[-4,0]$ dacă funcția este pară. Poate fi această funcție impară? Justifică.

18. (Provocare.) Demonstrează că descompunerea din teoremă este unică: dacă $f=p_1+i_1=p_2+i_2$, cu $p_1,p_2$ pare și $i_1,i_2$ impare, atunci $p_1=p_2$ și $i_1=i_2$. (Indicație: arată că funcția $p_1-p_2$ este și pară, și impară.)

Răspunsuri și explicații

1. Simetrice: $[-3,3]$ (opusul oricărui element rămâne în interval), $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (dacă $x\ne 0$, atunci $-x\ne 0$), $[-1,0)\cup (0,1]$ (cele două bucăți sunt oglindite una în alta). Nesimetrice: $(-2,5]$ (conține $5$, nu și $-5$), $[0,7]$ (conține $7$, nu și $-7$), $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ (conține $-2$, dar nu conține $2$).

2. $f(-x)=5|-x|=5|x|=f(x)$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, iar domeniul e simetric. Deci $f$ e pară. ✓

3. $f(-x)=-3\cdot (-x)=3x=-(-3x)=-f(x)$ pentru orice $x$. Deci $f$ e impară. ✓ (Graficul e o dreaptă prin origine.)

4. $f(1)=-3$ și $f(-1)=-11$. Cum $-11\ne -3$, nu e pară; cum $-11\ne 3=-f(1)$, nu e impară. Un singur cuplu de valori a decis ambele.

5. Pară: $f(-x)=|-x-3|+|-x+3|=|x+3|+|x-3|=f(x)$. Pe ramuri: $f(x)=-2x$ pentru $x<-3$; $f(x)=6$ pentru $-3\le x\le 3$; $f(x)=2x$ pentru $x>3$. Verificare: $f(5)=2+8=10=2\cdot 5$ ✓.

6. Impară: $f(-x)=|-x+4|-|-x-4|=|x-4|-|x+4|=-f(x)$. Pe ramuri: $f(x)=-8$ pentru $x<-4$; $f(x)=2x$ pentru $-4\le x\le 4$; $f(x)=8$ pentru $x>4$. Verificare: $f(0)=4-4=0$ ✓ (obligatoriu la o funcție impară), $f(6)=10-2=8$ ✓ și $f(-6)=2-10=-8$ ✓.

7. $f$ pară $\Rightarrow f(-3)=f(3)=-2$. $g$ impară $\Rightarrow g(-3)=-g(3)=-(-2)=2$. Semnul valorii nu are legătură cu paritatea — nu confunda „funcție pară" cu „valori pozitive".

8. Adevărat, dar există exact una: funcția nulă $f(x)=0$. Dacă $f$ e și pară, și impară, atunci pentru orice $x$: $f(x)=f(-x)=-f(x)$, deci $2f(x)=0$, adică $f(x)=0$. Reciproc, funcția nulă verifică evident ambele definiții.

9. Adevărat. Din imparitate, $f(0)=-f(0)$, deci $2f(0)=0$ și $f(0)=0$: punctul $(0,0)$ aparține graficului. (Aici $0$ face parte din domeniu; dacă domeniul ar fi $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, graficul nici n-ar avea punct de abscisă $0$.)

10. $f(-x)=-ax+b$. a) Pară $⟺-ax+b=ax+b$ pentru orice $x⟺2ax=0$ pentru orice $x⟺a=0$; $b$ e arbitrar (funcțiile constante). b) Impară $⟺-ax+b=-ax-b$ pentru orice $x⟺2b=0⟺b=0$; $a$ e arbitrar (funcțiile $f(x)=ax$). Ambele simultan: $a=b=0$.

11. Fie $x>0$; atunci $-x<0$, deci $f(-x)=2(-x)-1=-2x-1=-(2x+1)=-f(x)$ ✓. Simetric, pentru $x<0$ se verifică la fel, iar în $0$ avem $f(0)=0=-f(0)$ ✓. Funcția este impară. Prin urmare $f(3)+f(-3)=f(3)-f(3)=0$; explicit, $f(3)=7$ și $f(-3)=-7$.

12. Pentru o funcție pară: oglindire (simetrie axială) față de axa $Oy$ — bucata de pe $[0,5]$ se copiază în oglindă. Pentru o funcție impară: simetrie centrală față de origine, adică rotație de $180^{\circ }$ în jurul lui $O$ (echivalent, oglindire față de $Oy$ urmată de oglindire față de $Ox$). Condiția suplimentară în cazul impar: desenul trebuie să pornească din punctul $(0,0)$, altfel în $x=0$ ar apărea două valori diferite și rezultatul nu ar mai fi grafic de funcție.

13. Fie $h=f\cdot g$. Atunci $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot (-g(x))=-h(x)$, deci $h$ e impară. Exemplu: $f(x)=|x|$ (pară) și $g(x)=x$ (impară) dau $h(x)=x|x|$, impară — exact Exemplul 2 din lecție.

14. Contraexemplu: $f(1)=1+5=6$, $f(-1)=1-5=-4$; cum $-4\ne 6$ și $-4\ne -6$, funcția nu e nici pară, nici impară. Nu e nicio contradicție: tabelul de la punctul 7 spune că suma dintre o funcție pară și una impară nu e, de regulă, niciuna dintre ele. Dimpotrivă, exemplul ilustrează teorema descompunerii: partea pară a lui $f$ este $|x|$, iar partea impară este $5x$.

15. a) $f(-x)=|-3x+2|+|-3x-2|=|3x-2|+|3x+2|=f(x)$, deci $f$ e pară. b) Pentru $x\in \left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]$ avem $3x+2\ge 0$ și $3x-2\le 0$, deci $f(x)=(3x+2)+(2-3x)=4$. c) $f(1)=5+1=6$, iar din paritate $f(-1)=f(1)=6$; suma este $12$.

16. $p(x)=\frac{(3x-5)+(-3x-5)}{2}=\frac{-10}{2}=-5$ și $i(x)=\frac{(3x-5)-(-3x-5)}{2}=\frac{6x}{2}=3x$. Într-adevăr $-5+3x=3x-5=f(x)$ ✓. Partea pară e termenul liber, partea impară e termenul cu $x$.

17. Prin paritate, fiecare punct $(a,b)$ cu $a\in [0,4]$ se dublează în $(-a,b)$: graficul pe $[-4,0]$ este segmentul orizontal de la $(-4,3)$ la $(-2,3)$, urmat de segmentul de la $(-2,3)$ la $(0,1)$. Impară nu poate fi: o funcție impară cu $0$ în domeniu are obligatoriu $f(0)=0$, dar aici $f(0)=1\ne 0$.

18. Din $p_1+i_1=p_2+i_2$ obținem $p_1-p_2=i_2-i_1$. Notăm $d=p_1-p_2$. Membrul stâng e diferență de funcții pare, deci pară: $d(-x)=p_1(-x)-p_2(-x)=p_1(x)-p_2(x)=d(x)$. Membrul drept e diferență de funcții impare, deci impară: $d(-x)=i_2(-x)-i_1(-x)=-i_2(x)+i_1(x)=-d(x)$. Fiind și pară, și impară, $d$ este funcția nulă (exercițiul 8), deci $p_1=p_2$ și, revenind în egalitatea inițială, $i_1=i_2$. $■$

De reținut

• Discuția despre paritate începe întotdeauna cu domeniul: dacă $D$ nu e simetric față de $0$, funcția nu e nici pară, nici impară.
• $f$ pară $⟺f(-x)=f(x)$ pentru orice $x\in D$ $⟺$ graficul e simetric față de axa $Oy$.
• $f$ impară $⟺f(-x)=-f(x)$ pentru orice $x\in D$ $⟺$ graficul e simetric față de origine; dacă $0\in D$, atunci obligatoriu $f(0)=0$.
• Pentru funcția afină $f(x)=ax+b$: pară doar dacă $a=0$ (constantă), impară doar dacă $b=0$ (dreaptă prin origine). Singura funcție și pară, și impară este cea nulă.
• Reguli rapide: par $\cdot$ par = par, impar $\cdot$ impar = par, par $\cdot$ impar = impar; suma a două pare e pară, suma a două impare e impară.

Greșeli frecvente

• „Funcție pară înseamnă că ia valori pare." Nu are nicio legătură cu paritatea numerelor: $f(x)=|x|$ este pară, dar $f(3)=3$, valoare impară. Numele vine de la comportamentul puterilor lui $x$, nu de la valorile funcției.
• Uiți să verifici domeniul. Pe $[-2,5]$, funcția modul nu e pară, deși formula e aceeași ca pe $\mathbb{R}$. Fără domeniu simetric, egalitatea $f(-x)=f(x)$ nici nu poate fi scrisă pentru toți $x$.
• Verifici doar într-un punct și decizi „da". Din $f(-1)=f(1)$ nu rezultă paritatea; trebuie calcul general pentru orice $x$. O singură valoare ajunge doar pentru a infirma.
• Crezi că orice funcție e ori pară, ori impară. Majoritatea nu sunt niciuna: $f(x)=4x-7$, $f(x)=3x-|x|$, $f(x)=|x|+5x$. „Nici pară, nici impară" e un răspuns corect și complet, dacă e susținut cu un contraexemplu.
• La funcțiile pe ramuri, verifici o singură ramură. Trebuie să pornești de la un $x$ dintr-o ramură și să vezi în ce ramură cade $-x$ — de obicei în cealaltă. Verifică separat și cazul $x=0$, dacă el aparține domeniului.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de simetrii. Fotografiază cinci obiecte din casă și clasifică-le: care au simetrie de oglindă (ca funcțiile pare), care au simetrie de rotație cu $180^{\circ }$ (ca funcțiile impare), care n-au niciuna. Fața unui ceas, o furculiță, litera „S", litera „A", o carte de joc — începe cu acestea și explică fiecare alegere într-o propoziție.

2. Laboratorul grafic. În GeoGebra sau Desmos, trasează pe același desen $y=|x-2|+|x+2|$, $y=|x+1|-|x-1|$ și $y=3x-|x|$. Adaugă axa $Oy$ și originea ca repere. Decide din imagine care e pară, care e impară și care nu e niciuna, apoi confruntă cu verificările algebrice din lecție.

3. Jumătatea care lipsește. Desenează pe hârtie milimetrică o linie frântă oarecare pe intervalul $[0,5]$, pornind din punctul $(0,0)$. Completează-o de două ori pe $[-5,0]$: o dată ca să obții o funcție pară, o dată ca să obții una impară. Compară cele două desene și scrie ce s-a schimbat.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce paritatea și imparitatea ca proprietăți ale funcțiilor numerice — parte din conținutul „Proprietăți ale funcțiilor numerice: monotonie, mărginire, paritate/imparitate, convexitate/concavitate; lecturi grafice" din programa de matematică-informatică. Registrul de funcții e cel cerut de programă: funcții afine, restricții ale acestora și funcții definite pe ramuri cu module. Accentul cade pe trei lucruri: verificarea prealabilă a domeniului, calculul lui $f(-x)$ până la formă simplificată și traducerea rezultatului în limbaj geometric (simetrie față de $Oy$, respectiv față de origine).

Întrebări bune de control: „Ce trebuie verificat înainte de orice calcul de paritate?" (domeniul simetric față de $0$); „De ce o funcție impară definită în $0$ are neapărat $f(0)=0$?"; „Când este funcția $f(x)=ax+b$ impară?" ($b=0$); „Ajunge o singură valoare ca să demonstrezi că o funcție e pară?" (nu — doar ca să demonstrezi că nu e). Semne că a înțeles: nu confundă paritatea funcției cu paritatea numerelor, dă contraexemple corecte în loc să încerce calcule generale imposibile și poate completa prin simetrie un grafic dat pe jumătate.

La Bacalaureatul M1, paritatea apare mai ales ca instrument: demonstrarea unei egalități de tipul $f(-a)=f(a)$, calcularea rapidă a unor sume $f(a)+f(-a)$, justificarea unei simetrii de grafic sau reducerea studiului unei funcții la jumătate de domeniu. Se combină natural cu funcția modul, cu funcția de gradul al doilea și, în clasele următoare, cu funcțiile trigonometrice — unde $\cos$ este pară, iar $\sin$ este impară.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție pară, pe înțelesul tuturor? O funcție la care valorile în puncte opuse coincid: $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu. Pe grafic asta înseamnă simetrie perfectă față de axa $Oy$ — jumătatea din stânga e oglinda jumătății din dreapta.

Ce este o funcție impară? O funcție la care valorile în puncte opuse sunt opuse: $f(-x)=-f(x)$. Graficul rămâne neschimbat dacă îl rotești cu $180^{\circ }$ în jurul originii, deci originea este centru de simetrie.

Cum verific rapid dacă o funcție este pară sau impară? În trei pași: verifici că domeniul e simetric față de $0$, calculezi $f(-x)$ și simplifici, apoi compari rezultatul cu $f(x)$ și cu $-f(x)$. Dacă nu obții niciuna dintre egalități pentru orice $x$, dai un contraexemplu numeric.

Poate o funcție să fie și pară, și impară? Da, dar există una singură: funcția nulă $f(x)=0$. Din $f(x)=f(-x)=-f(x)$ rezultă $2f(x)=0$, deci $f(x)=0$ pentru orice $x$.

De ce funcția impară trebuie să treacă prin origine? Pentru că definiția aplicată în $x=0$ dă $f(0)=-f(0)$, adică $2f(0)=0$ și $f(0)=0$. Condiția e valabilă doar dacă $0$ aparține domeniului; e și un test rapid: dacă $f(0)\ne 0$, funcția sigur nu e impară.

Funcția $f(x)=2x+3$ este pară sau impară? Niciuna. Are $f(1)=5$ și $f(-1)=1$: cum $1\ne 5$, nu e pară, iar cum $1\ne -5$, nu e impară. În general, $ax+b$ e impară doar când $b=0$ și pară doar când $a=0$.

La ce folosește paritatea în practică? Îți înjumătățește munca: dacă știi că funcția e pară sau impară, studiezi doar jumătate de domeniu și obții restul prin simetrie. În programare și în fizică, simetriile de acest tip reduc calculele, iar în grafică ele stau la baza oglindirilor și a rotațiilor de $180^{\circ }$.

De ce se numesc „pare" și „impare"? De la puterile lui $x$: funcțiile $x^2$, $x^4$, $x^6$ (exponenți pari) sunt pare, iar $x$, $x^3$, $x^5$ (exponenți impari) sunt impare. Numele s-a extins apoi la orice funcție cu același comportament, chiar dacă nu conține puteri — de exemplu $|x|$, care este pară.