Funcția cotangentă; periodicitatea funcțiilor trigonometrice

Un obelisc înalt de $10$ m își aruncă umbra pe o piață. Dimineața devreme, când soarele abia s-a ridicat și razele lui fac cu orizontala un unghi mic, umbra e uriașă; la prânz, când soarele urcă spre zenit, umbra se strânge aproape până la baza obeliscului. Legătura dintre unghiul soarelui și lungimea umbrei nu e nici sinus, nici cosinus, nici tangentă: umbra este $L=h\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, adică înălțimea înmulțită cu un raport pe care încă nu l-am botezat. Acest raport este cotangenta — a patra și ultima funcție trigonometrică din programa clasei a IX-a.

A doua idee a lecției e la fel de importantă și mult mai generală. Umbra obeliscului se scurtează și se lungește la fel în fiecare zi: fenomenul se repetă. Repetiția e peste tot în natură — mareele, fazele lunii, bătăile inimii, curentul alternativ din priză — și matematica are un cuvânt exact pentru ea: periodicitate. Până acum ai folosit-o intuitiv („punctul se întoarce pe cerc după o tură completă"). Acum îi dăm o definiție riguroasă, introducem noțiunea de perioadă principală și demonstrăm, nu doar afirmăm, că sinusul are perioada principală $2\pi$, iar tangenta și cotangenta au perioada principală $\pi$.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești funcția cotangentă, să-i determini domeniul maxim de definiție și să-i citești valorile pe cercul trigonometric.
• Vei ști ce înseamnă, riguros, că o funcție este periodică și ce este perioada principală.
• Vei ști să demonstrezi că perioada principală a sinusului și a cosinusului este $2\pi$, iar a tangentei și a cotangentei este $\pi$.
• Vei ști să descrii graficul cotangentei: asimptote, monotonie, imagine, paritate.
• Vei ști să deduci și să folosești relația $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ și tabloul complet al legăturilor dintre cele patru funcții.
• Vei ști să treci de la tangentă la sinus și cosinus controlând semnul, și să calculezi cardinalul unor mulțimi de valori folosind periodicitatea.

Hai să descoperim împreună

1. De la umbră la cotangentă: definiția și domeniul

În lecția despre funcția tangentă am întâlnit în treacăt și cotangenta. E momentul să-i dăm statutul de funcție cu drepturi depline.

Definiție. Pentru orice număr real $x$ cu $\sin x\ne 0$, numim cotangenta lui $x$ numărul

$$\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Condiția $\sin x\ne 0$ nu e un capriciu: numitorul unei fracții nu poate fi zero. Din lecțiile despre cercul trigonometric știi că $\sin x=0$ exact atunci când punctul $M(x)$ cade pe axa $Ox$, adică pentru $x\in \{\dots ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \}$. Domeniul maxim de definiție al cotangentei este deci

$$D_{\mathrm{ctg}}=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\},\mathrm{ctg}:D_{\mathrm{ctg}}\to \mathbb{R}.$$

Compară cu tangenta, care este definită pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$: cele două funcții își „schimbă între ele" punctele interzise. Tangenta cade acolo unde cosinusul se anulează, cotangenta acolo unde se anulează sinusul.

Într-un triunghi dreptunghic, dacă $\alpha$ este un unghi ascuțit, atunci $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}$ — exact răsturnatul tangentei. De aici formula umbrei din deschidere: în triunghiul dreptunghic format de obelisc, umbra lui și raza de soare, obeliscul este cateta opusă unghiului $\alpha$ al razei, iar umbra este cateta alăturată, deci $L=h\cdot \mathrm{ctg}\alpha$.

2. Cotangenta pe cercul trigonometric: axa cotangentelor

Tangenta se citea pe o dreaptă verticală, tangentă la cerc în $A(1,0)$. Cotangenta se citește pe o dreaptă orizontală, tangentă la cerc în $B(0,1)$ — adică pe dreapta de ecuație $y=1$. O numim axa cotangentelor.

Justificarea e directă. Punctele dreptei $OM(x)$ au forma $t\cdot (\cos x,\sin x)$, cu $t\in \mathbb{R}$. Cerem ca ordonata să fie $1$: din $t\sin x=1$ obținem $t=\frac{1}{\sin x}$ (posibil doar dacă $\sin x\ne 0$, adică exact pe domeniul cotangentei), iar abscisa punctului de intersecție devine

$$t\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}x.$$

Așadar: prelungește raza $OM(x)$ până taie dreapta $y=1$; abscisa punctului obținut este $\mathrm{ctg}x$. Când $\sin x\to 0$, raza devine aproape orizontală și nu mai taie deloc dreapta $y=1$ — geometria confirmă interdicția algebrică.

Semnul cotangentei se citește imediat din semnele lui $\sin$ și $\cos$, studiate în lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice: pozitivă în cadranele I și III (unde sinusul și cosinusul au același semn), negativă în cadranele II și IV. Este exact regula de la tangentă — firesc, de vreme ce cele două sunt inverse una alteia ca numere.

3. Valorile cotangentei și legătura cu tangenta

Din tabelul valorilor de bază, învățat în lecția despre valorile lui sin și cos, obținem prin împărțire:

Observă că valorile scad de la stânga la dreapta — o proprietate pe care o vom demonstra în secțiunea despre grafic. Reține și cele două relații de trecere:

$$\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1\left(x\ne \frac{k\pi }{2}\right),\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\mathrm{tg}x.$$

Prima se verifică imediat: $\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=1$, cu condiția ca ambele funcții să fie definite, adică $\sin x\ne 0$ și $\cos x\ne 0$, ceea ce se scrie compact $x\ne \frac{k\pi }{2}$. A doua urmează din formulele cu $\pi /2$: $\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x$. Cotangenta și tangenta sunt cofuncții, exact ca sinusul și cosinusul.

Atenție la o capcană de vocabular: $\mathrm{ctg}x=\frac{1}{\mathrm{tg}x}$ este adevărat, dar numai acolo unde tangenta este definită și nenulă. În $x=\frac{\pi }{2}$, de pildă, tangenta nici nu există, în timp ce $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=\frac{0}{1}=0$ este perfect definită. Definiția sigură rămâne mereu $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$.

4. Ce înseamnă, riguros, „funcție periodică"

Până acum am spus „valorile se repetă". E timpul pentru definiția exactă.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție. Spunem că $f$ este periodică dacă există un număr real $T\ne 0$ astfel încât, pentru orice $x\in D$, avem $x+T\in D$, $x-T\in D$ și

$$f(x+T)=f(x).$$

Numărul $T$ se numește perioadă a funcției $f$. Dacă mulțimea perioadelor strict pozitive are un cel mai mic element $T_0$, atunci $T_0$ se numește perioadă principală a lui $f$.

Două observații care se cer făcute imediat.

Observația 1. Dacă $T$ este perioadă, atunci și $2T$, $3T$, …, ba chiar și $-T$ sunt perioade. Într-adevăr, $f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)$, și tot așa pentru orice multiplu întreg nenul. De aceea o funcție periodică are întotdeauna o infinitate de perioade, iar întrebarea interesantă nu este „care e o perioadă?", ci „care e cea mai mică perioadă pozitivă?".

Observația 2. Nu orice funcție periodică are perioadă principală. Funcția constantă $f(x)=5$ admite drept perioadă orice număr real nenul; mulțimea perioadelor pozitive este $(0,\infty )$, care nu are cel mai mic element. Funcțiile trigonometrice, în schimb, au perioadă principală — și asta o demonstrăm acum.

5. Perioada principală a celor patru funcții trigonometrice

Teoremă. Perioada principală a funcțiilor sinus și cosinus este $2\pi$. Perioada principală a funcțiilor tangentă și cotangentă este $\pi$.

Sinusul. Că $2\pi$ este perioadă știm deja: punctele $M(x)$ și $M(x+2\pi )$ coincid pe cerc, deci $\sin (x+2\pi )=\sin x$. Rămâne să arătăm că nicio valoare mai mică nu funcționează. Presupunem, prin reducere la absurd, că există $T$ cu $0<T<2\pi$ care este perioadă. Aplicând definiția în $x=0$:

$$\sin (0+T)=\sin 0=0⟹\sin T=0⟹T=k\pi .$$

Singurul multiplu de $\pi$ situat strict între $0$ și $2\pi$ este $T=\pi$. Testăm această valoare în $x=\frac{\pi }{2}$:

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}=-1,\text{dar}\sin \frac{\pi }{2}=1.$$

Cum $-1\ne 1$, numărul $\pi$ nu este perioadă. Am epuizat toate posibilitățile, deci perioada principală a sinusului este $2\pi$. $■$

Cosinusul. Raționament identic: din $\cos T=\cos 0=1$ rezultă $T=2k\pi$, iar singura valoare pozitivă disponibilă este $2\pi$. $■$

Tangenta. Din lecția despre formulele pentru tangentă știm că $\mathrm{tg}(x+\pi )=\mathrm{tg}x$, deci $\pi$ este perioadă. Presupunem că ar exista $T$ cu $0<T<\pi$ perioadă. În $x=0$ obținem $\mathrm{tg}T=\mathrm{tg}0=0$, adică $\sin T=0$, deci $T=k\pi$ — imposibil pentru $T$ strict între $0$ și $\pi$. Perioada principală este așadar $\pi$. $■$

Cotangenta. Din $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\frac{\cos (x+\pi )}{\sin (x+\pi )}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\mathrm{ctg}x$ (folosind formulele cu $\pi +x$), rezultă că $\pi$ este perioadă. Dacă $0<T<\pi$ ar fi perioadă, luând $x=\frac{\pi }{2}$ am avea $\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}+T\right)=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=0$, deci $\cos \left(\frac{\pi }{2}+T\right)=0$, adică $\frac{\pi }{2}+T=\frac{\pi }{2}+k\pi$ și $T=k\pi$ — din nou imposibil. $■$

Consecință practică. Pentru a cunoaște complet sinusul și cosinusul e suficient să le studiezi pe un interval de lungime $2\pi$ (de obicei $[0,2\pi )$), iar pentru tangentă și cotangentă pe un interval de lungime $\pi$. Tot restul graficului se obține prin translații — motiv pentru care în lecția despre graficele sinusului și cosinusului ne-am limitat la $[0,2\pi ]$ fără nicio pierdere de informație.

Regula de calcul a perioadei pentru argument modificat. Dacă $f$ are perioada principală $T_0$ și $a\ne 0$, atunci funcția $g(x)=f(ax+b)$ are perioada principală $\frac{T_0}{|a|}$. Astfel, $\sin (3x)$ are perioada $\frac{2\pi }{3}$, $\cos \left(\frac{x}{2}\right)$ are perioada $4\pi$, iar $\mathrm{ctg}(2x)$ are perioada $\frac{\pi }{2}$. Intuiția: coeficientul $a$ „comprimă" axa de $|a|$ ori, deci și tiparul se repetă de $|a|$ ori mai des.

6. Graficul cotangentei

Pe intervalul $(0,\pi )$, sinusul este strict pozitiv, iar cosinusul scade de la $1$ la $-1$. Fracția $\frac{\cos x}{\sin x}$ are numărătorul descrescător și… numitorul care întâi crește, apoi scade — deci monotonia nu se citește direct. O citim însă din construcția geometrică: pe măsură ce $M(x)$ parcurge semicercul superior de la dreapta spre stânga, punctul de intersecție al razei cu dreapta $y=1$ se deplasează continuu spre stânga. Prin urmare cotangenta este strict descrescătoare pe fiecare interval $(k\pi ,(k+1)\pi )$.

Elementele graficului:

• Domeniu: $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$; imagine: $\mathbb{R}$ (cotangenta ia orice valoare reală).
• Asimptote verticale: dreptele $x=k\pi$. Când $x\searrow 0$, $\mathrm{ctg}x\to +\infty$; când $x\nearrow \pi$, $\mathrm{ctg}x\to -\infty$.
• Zerouri: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ — acolo unde cosinusul se anulează.
• Paritate: funcția este impară, $\mathrm{ctg}(-x)=\frac{\cos (-x)}{\sin (-x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\mathrm{ctg}x$, deci graficul e simetric față de originea axelor.
• Periodicitate: perioada principală $\pi$; graficul e format din ramuri identice, translatate din $\pi$ în $\pi$.

Compară cu tangenta: aceleași ramuri infinite, dar crescătoare, cu asimptote deplasate cu $\frac{\pi }{2}$. Cele două grafice se obțin unul din celălalt printr-o simetrie combinată cu o translație — reflectarea relației $\mathrm{ctg}x=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

7. Tabloul complet al relațiilor dintre cele patru funcții

Adunăm într-un singur loc tot ce leagă $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x},\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1.$$

Din lecția despre calculul unei funcții când se cunoaște alta reții deja relația $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Ea are o soră geamănă, pe care o deducem acum și care completează tabloul. Pornim de la formula fundamentală și împărțim, de data asta, la ${\sin }^{2}x$ (posibil pentru $\sin x\ne 0$):

$$\frac{{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}⟹1+{\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^{2}x},$$

adică

$$\boxed{1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x},x\ne k\pi .}$$

Simetria e perfectă: împărțind formula fundamentală la ${\cos }^{2}x$ obții relația tangentei, împărțind-o la ${\sin }^{2}x$ obții relația cotangentei. O singură identitate, două citiri.

8. Din tangentă (sau cotangentă) în sinus și cosinus, cu semnul sub control

Iată acum pasul fin, cel care face diferența la Bacalaureat. Din $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ obținem ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$, deci

$$|\cos x|=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}.$$

Radicalul dă modulul, niciodată direct cosinusul. Semnul îl decide cadranul. Dacă $\cos x>0$ — adică $x$ se află în cadranul I sau în cadranul IV — modulul dispare și, folosind $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$, obținem perechea de formule:

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}},\sin x=\frac{\mathrm{tg}x}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}(\cos x>0).$$

În cadranele II și III, unde $\cos x<0$, ambele formule primesc semnul minus în față. Analog, plecând de la $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ și de la $\cos x=\mathrm{ctg}x\cdot \sin x$:

$$\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{ctg}}^{2}x}},\cos x=\frac{\mathrm{ctg}x}{\sqrt{1+{\mathrm{ctg}}^{2}x}}(\sin x>0,\text{adica˘ ıˆn cadranele I și II}).$$

Exemplu de lucru. Fie $\mathrm{tg}x=\frac{3}{4}$, cu $x$ în cadranul I. Atunci $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$, deci $\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{5}{4}$ și obținem $\cos x=\frac{4}{5}$, $\sin x=\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$, $\mathrm{ctg}x=\frac{4}{3}$. Verificare: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9+16}{25}=1$ ✓

9. Periodicitatea la lucru: câte valori distincte?

O aplicație elegantă, care apare frecvent în subiectele de tip mate-info: câte elemente are mulțimea $A=\left\{\sin \frac{n\pi }{3}|n\in \mathbb{Z}\right\}$?

Ideea: sinusul are perioada $2\pi$, iar argumentul crește cu $\frac{\pi }{3}$ la fiecare pas, deci valorile se repetă după $\frac{2\pi }{\pi /3}=6$ pași. E suficient să enumerăm $n\in \{0,1,2,3,4,5\}$:

$$0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Valorile distincte sunt $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$, deci $A$ are exact $3$ elemente. Rețeta generală: identifici după câți pași se închide ciclul, enumerezi o singură perioadă și elimini repetările — periodicitatea transformă o mulțime infinită de indici într-o listă finită de valori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori tabelate

Calculați $E=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}+\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}$.

Rezolvare. Din tabel: $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$, $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1$. Atunci

$$E=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+(-1)=\frac{3}{3}-1=1-1=0.$$

Produsul $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}$ era previzibil: cele două unghiuri sunt complementare, deci $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$, iar produsul $\mathrm{ctg}\cdot \mathrm{tg}$ al aceluiași număr este $1$. $■$

Exemplul 2 — Reducerea unui argument mare

Calculați $\mathrm{ctg}\frac{19\pi }{6}$ și $\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{3}\right)$.

Rezolvare. Folosim perioada $\pi$: scriem $\frac{19\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\frac{18\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+3\pi$, deci

$$\mathrm{ctg}\frac{19\pi }{6}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}.$$

Pentru al doilea, folosim imparitatea: $\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Observă economia: la cotangentă reduci modulo $\pi$, nu modulo $2\pi$ ca la sinus. $■$

Exemplul 3 — Din sinus în cotangentă, cu cadran

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și că $x$ este în cadranul II. Calculați $\mathrm{ctg}x$.

Rezolvare. Metoda 1, prin cosinus: din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $|\cos x|=\frac{4}{5}$; în cadranul II cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{4}{5}$ și $\mathrm{ctg}x=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac{4}{3}$.

Metoda 2, direct din relația nouă: $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{25}{9}$, deci ${\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{16}{9}$ și $|\mathrm{ctg}x|=\frac{4}{3}$. În cadranul II cotangenta este negativă, deci $\mathrm{ctg}x=-\frac{4}{3}$. Aceeași concluzie, două drumuri. $■$

Exemplul 4 — Din tangentă în sinus și cosinus

Se știe că $\mathrm{tg}x=2\sqrt{2}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin x$ și $\cos x$.

Rezolvare. $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=1+8=9$, deci $\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=3$. Cum $x$ e în cadranul I, cosinusul e pozitiv:

$$\cos x=\frac{1}{3},\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Verificare: $\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1$ ✓ Dacă în locul cadranului I ni s-ar fi dat $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ — unde tangenta este tot pozitivă — răspunsul ar fi fost $\cos x=-\frac{1}{3}$, $\sin x=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Datele numerice singure nu decid semnul; cadranul îl decide. $■$

Exemplul 5 — Perioada principală a unei funcții compuse

Determinați perioada principală a funcției $f(x)=\sin (2x)$.

Rezolvare. Cu regula $\frac{T_0}{|a|}$ obținem $\frac{2\pi }{2}=\pi$. Verificăm direct: $\sin (2(x+\pi ))=\sin (2x+2\pi )=\sin (2x)$ ✓ Și că nimic mai mic nu merge: dacă $0<T<\pi$ ar fi perioadă, atunci $\sin (2x+2T)=\sin (2x)$ pentru orice $x$; notând $y=2x$, ar rezulta că $2T\in (0,2\pi )$ este perioadă pentru sinus — imposibil, conform teoremei demonstrate. Perioada principală este $\pi$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați numărul de elemente ale mulțimii $B=\left\{\cos \frac{n\pi }{4}|n\in \mathbb{Z}\right\}$.

Rezolvare. Argumentul crește cu $\frac{\pi }{4}$, iar cosinusul are perioada $2\pi$, deci ciclul se închide după $\frac{2\pi }{\pi /4}=8$ pași. Enumerăm $n=0,1,\dots ,7$:

$$1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-1,-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Valorile distincte sunt $\left\{-1,-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2},1\right\}$, deci $B$ are $5$ elemente. (Simetria listei nu e întâmplătoare: $\cos$ este funcție pară, deci valorile se oglindesc în jurul lui $n=4$.) $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu în care apare un radical, scrie întâi modulul și abia apoi decide semnul din cadran — este disciplina care salvează cele mai multe puncte la examen.

1. Calculează $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}$, $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}$, $\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}$ și $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}$.

2. Scrie domeniul maxim de definiție al funcției cotangentă și explică de ce punctele excluse sunt exact multiplii lui $\pi$.

3. Calculează $\mathrm{ctg}\frac{13\pi }{4}$, folosind periodicitatea.

4. Demonstrează relația $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, precizând pentru ce valori ale lui $x$ este valabilă.

5. Pentru ce numere reale $x$ este adevărată egalitatea $\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1$? Justifică.

6. Se știe că $\sin x=\frac{4}{5}$ și $x$ este în cadranul I. Calculează $\mathrm{ctg}x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția cotangentă are perioada principală $2\pi$."

8. Determină $x\in (0,\pi )$ pentru care $\mathrm{ctg}x=\sqrt{3}$.

9. Calculează $\mathrm{ctg}\left(-\frac{5\pi }{6}\right)$, folosind imparitatea funcției.

10. Se știe că $\mathrm{ctg}x=2$ și $x$ este în cadranul III. Calculează $\sin x$ și $\cos x$.

11. (Problemă aplicată.) Un stâlp vertical are înălțimea de $6$ m. Calculează lungimea umbrei sale în momentul în care razele soarelui fac cu solul un unghi de $30^{\circ }$, apoi în momentul în care fac $60^{\circ }$. Care umbră e mai lungă și de ce?

12. Determină perioada principală a funcțiilor $f(x)=\mathrm{ctg}(3x)$ și $g(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.

13. Demonstrează că $\mathrm{ctg}(\pi -x)=-\mathrm{ctg}x$ pentru orice $x$ din domeniu.

14. Pe care cadrane este valabilă, cu semnul plus, formula $\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{ctg}}^{2}x}}$? Argumentează.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\mathrm{tg}x=3$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. a) Calculează $\sin x$ și $\cos x$. b) Calculează $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$ și arată că rezultatul este egal cu $\frac{1}{\sin x\cos x}$.

16. Demonstrează că perioada principală a funcției cosinus este $2\pi$.

17. (Raționament.) Demonstrează că funcția cotangentă este impară și explică ce înseamnă acest lucru pentru graficul ei.

18. (Provocare.) Determină numărul de elemente ale mulțimii $C=\left\{\sin \frac{n\pi }{2}|n\in \mathbb{Z}\right\}$ și, folosind aceeași metodă, al mulțimii $D=\left\{\mathrm{ctg}\frac{n\pi }{3}|n\in \mathbb{Z},n\text{nu e multiplu de }3\right\}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1$; $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}=-\sqrt{3}$.

2. $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Cotangenta este o fracție cu numitorul $\sin x$; ea nu există acolo unde $\sin x=0$, adică exact în punctele în care $M(x)$ cade pe axa $Ox$, adică $x=k\pi$.

3. $\frac{13\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+\frac{12\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+3\pi$, iar perioada este $\pi$, deci $\mathrm{ctg}\frac{13\pi }{4}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1$.

4. Pornim de la ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și împărțim la ${\sin }^{2}x$ (permis pentru $\sin x\ne 0$): $1+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, adică $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$. Valabilă pentru $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

5. Pentru $x\ne \frac{k\pi }{2}$. Produsul se scrie $\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=1$, dar are sens doar dacă ambele funcții sunt definite: $\cos x\ne 0$ (adică $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$) și $\sin x\ne 0$ (adică $x\ne k\pi$); reunind cele două condiții obținem $x\ne \frac{k\pi }{2}$.

6. ${\cos }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, iar în cadranul I cosinusul e pozitiv, deci $\cos x=\frac{3}{5}$ și $\mathrm{ctg}x=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$.

7. Fals. Perioada principală a cotangentei este $\pi$, nu $2\pi$: am demonstrat că $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}x$ și că niciun număr din $(0,\pi )$ nu este perioadă. Numărul $2\pi$ este perioadă (ca orice multiplu al lui $\pi$), dar nu este cea mai mică perioadă pozitivă, deci nu e perioada principală.

8. $x=\frac{\pi }{6}$. Pe intervalul $(0,\pi )$ cotangenta este strict descrescătoare, deci ia fiecare valoare reală exact o dată; valoarea $\sqrt{3}$ se atinge în $\frac{\pi }{6}$.

9. $\mathrm{ctg}\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=-(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$.

10. $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=1+4=5=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, deci ${\sin }^{2}x=\frac{1}{5}$ și $|\sin x|=\frac{\sqrt{5}}{5}$. În cadranul III sinusul este negativ: $\sin x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. Apoi $\cos x=\mathrm{ctg}x\cdot \sin x=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Verificare: $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$ ✓

11. $L=h\cdot \mathrm{ctg}\alpha$. Pentru $\alpha =30^{\circ }$: $L=6\sqrt{3}\approx 10,39$ m. Pentru $\alpha =60^{\circ }$: $L=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46$ m. Umbra de dimineață (unghi mic) e mai lungă, pentru că pe intervalul $(0,\pi )$ cotangenta este strict descrescătoare: cu cât unghiul crește, cu atât umbra se scurtează.

12. $f$ are perioada $\frac{\pi }{3}$ (perioada cotangentei, $\pi$, împărțită la $|a|=3$), iar $g$ are perioada $\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$.

13. $\mathrm{ctg}(\pi -x)=\frac{\cos (\pi -x)}{\sin (\pi -x)}=\frac{-\cos x}{\sin x}=-\mathrm{ctg}x$, folosind formulele de reducere la primul cadran. Valabilă pentru $x\ne k\pi$.

14. Pe cadranele I și II, adică acolo unde $\sin x>0$. Radicalul $\sqrt{1+{\mathrm{ctg}}^{2}x}$ este mereu pozitiv, deci membrul drept este pozitiv; egalitatea cu $\sin x$ poate avea loc doar când și sinusul e pozitiv. În cadranele III și IV formula corectă are semnul minus în față.

15. a) $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=1+9=10$, deci $\sqrt{10}$ la numitor; cadranul I dă semnul plus: $\cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ și $\sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. b) $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$. Pe de altă parte, $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$, iar $\sin x\cos x=\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$, deci $\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{10}{3}$ ✓

16. Știm că $\cos (x+2\pi )=\cos x$, deci $2\pi$ este perioadă. Presupunem că există $T\in (0,2\pi )$ perioadă. Luând $x=0$ obținem $\cos T=\cos 0=1$; singurele numere reale cu cosinusul egal cu $1$ sunt $T=2k\pi$, iar în intervalul $(0,2\pi )$ nu există niciunul. Contradicție, deci perioada principală este $2\pi$.

17. $\mathrm{ctg}(-x)=\frac{\cos (-x)}{\sin (-x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\mathrm{ctg}x$, folosind paritatea cosinusului și imparitatea sinusului. Domeniul este simetric față de origine ($x\ne k\pi \iff -x\ne k\pi$), deci condiția de paritate are sens. Grafic, înseamnă că graficul cotangentei este simetric față de originea axelor: rotindu-l cu $180^{\circ }$ în jurul lui $O$, se suprapune peste el însuși.

18. Pentru $C$: argumentul crește cu $\frac{\pi }{2}$, deci ciclul se închide după $\frac{2\pi }{\pi /2}=4$ pași; valorile pentru $n=0,1,2,3$ sunt $0,1,0,-1$, deci $C=\{-1,0,1\}$ are $3$ elemente. Pentru $D$: cotangenta are perioada $\pi$, iar argumentul crește cu $\frac{\pi }{3}$, deci ciclul se închide după $3$ pași; excluzând multiplii de $3$ (unde $\sin \frac{n\pi }{3}=0$ și cotangenta nu e definită), rămân resturile $1$ și $2$, cu valorile $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Deci $D$ are $2$ elemente. Observă cum perioada mai scurtă a cotangentei ($\pi$ față de $2\pi$) produce o mulțime mai mică.

De reținut

• Definiția: $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, cu domeniul $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Se citește pe axa cotangentelor, dreapta $y=1$; e pozitivă în cadranele I și III, negativă în II și IV.
• Periodică înseamnă: există $T\ne 0$ cu $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu. Perioada principală este cea mai mică perioadă strict pozitivă — la sinus și cosinus $2\pi$, la tangentă și cotangentă $\pi$.
• Funcția $f(ax+b)$ are perioada principală $\frac{T_0}{|a|}$, unde $T_0$ este perioada funcției inițiale.
• Relația nouă: $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ — sora identității $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$; se obțin împărțind formula fundamentală la ${\sin }^{2}x$, respectiv la ${\cos }^{2}x$.
• Din $\mathrm{tg}x$ afli $\cos x$ și $\sin x$ doar până la semn: $|\cos x|=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}$. Semnul îl decide cadranul; formulele fără modul sunt valabile acolo unde $\cos x>0$ (cadranele I și IV).

Greșeli frecvente

• Domeniul confundat cu al tangentei. Se scrie că cotangenta nu e definită în $\frac{\pi }{2}+k\pi$. Corect: cotangenta cade unde se anulează sinusul, adică în $k\pi$; în $\frac{\pi }{2}$ ea există și valorează $0$.
• „Perioada cotangentei este $2\pi$." Este perioadă, dar nu cea principală. Reducerea argumentelor mari la cotangentă și tangentă se face modulo $\pi$ — jumătate din efortul de la sinus.
• Radicalul care „uită" modulul. Din ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$ se scrie direct $\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}$, fără să se verifice cadranul. Corect: radicalul dă $|\cos x|$, iar semnul vine din enunț.
• $\mathrm{ctg}x$ scris mereu ca $\frac{1}{\mathrm{tg}x}$. Egalitatea e adevărată doar pentru $x\ne \frac{k\pi }{2}$. În $x=\frac{\pi }{2}$, tangenta nu există, dar cotangenta da. Definiția sigură este raportul $\frac{\cos x}{\sin x}$.
• Perioada funcției $\sin (ax)$ calculată prin înmulțire. Se scrie „perioada lui $\sin (3x)$ este $6\pi$". Corect: se împarte la $|a|$, deci $\frac{2\pi }{3}$ — argumentul crește de $3$ ori mai repede, deci tiparul se repetă de $3$ ori mai des.

Aplică acasă

1. Umbra din curte. Alege un obiect vertical din curte sau de pe balcon (un stâlp, un băț înfipt în pământ) și măsoară-i înălțimea. La trei momente diferite ale zilei — dimineața, la prânz și spre seară — măsoară lungimea umbrei. Pentru fiecare moment calculează raportul $\frac{\text{umbra˘}}{\text{ıˆna˘lțime}}$: ai obținut chiar $\mathrm{ctg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul soarelui. Estimează apoi unghiul, comparând cu tabelul din lecție.

2. Graficul desenat cu mâna. Pe hârtie milimetrică, marchează axele și asimptotele verticale $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$. Calculează $\mathrm{ctg}x$ pentru $x\in \left\{\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}\right\}$, pune punctele și unește-le. Apoi copiază ramura obținută, translatată cu $\pi$ la dreapta — ai desenat periodicitatea cu propria mână.

3. Vânătoarea de periodicități. Notează într-o zi cinci fenomene periodice din jurul tău (semaforul din intersecție, ștergătoarele mașinii, sunetul unei alarme, orarul autobuzului, respirația ta în repaus) și estimează pentru fiecare perioada principală, în secunde. Care are cea mai scurtă perioadă? Poți găsi un fenomen periodic cu perioadă mai mare de un an?

Pentru părinți și profesori

Lecția are două misiuni distincte. Prima este completarea „familiei" funcțiilor trigonometrice cu cotangenta: definiție, domeniu, citire pe cerc, tabel de valori, grafic. A doua, mai profundă, este introducerea formală a noțiunilor de funcție periodică și de perioadă principală — noțiuni pe care programa de matematică-informatică le cere explicit la acest capitol și pe care elevul le va folosi tot restul liceului, până la limite și integrale. Este primul moment în care periodicitatea încetează să fie o observație vizuală („graficul se repetă") și devine o proprietate cu definiție și demonstrație.

Întrebări bune de control: „De ce cotangenta nu e definită în $0$, dar e definită în $\frac{\pi }{2}$?" (fiindcă acolo se anulează sinusul, nu cosinusul); „Este $4\pi$ o perioadă a sinusului? Este perioada principală?" (da, respectiv nu); „Cum obții $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$?" (împărțind formula fundamentală la ${\sin }^{2}x$); „Dacă $\mathrm{tg}x=3$, cât e $\cos x$?" — răspunsul corect trebuie să conțină întrebarea „în ce cadran?". Semne că a înțeles: reduce argumentele mari modulo $\pi$ la tangentă și cotangentă (nu modulo $2\pi$), scrie modulul înainte de a scoate radicalul și justifică semnul prin cadran, nu prin intuiție.

La Bacalaureat M1, conținutul apare sub trei forme recurente: calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta și cadranul (subiectul II sau III), determinarea perioadei unei funcții de tip $a\sin (bx+c)$, și numărarea elementelor unei mulțimi de valori de tipul $\left\{\sin \frac{n\pi }{k}\mid n\in \mathbb{Z}\right\}$ — un exercițiu care pare exotic, dar care se rezolvă în trei rânduri odată ce elevul stăpânește periodicitatea. Lecția pregătește direct formulele pentru sumă și diferență, unde tangenta și cotangenta reapar cu formule proprii.

Întrebări frecvente

Ce este cotangenta unui unghi? Cotangenta lui $x$ este raportul $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, definit pentru orice $x$ care nu este multiplu de $\pi$. Într-un triunghi dreptunghic, cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta alăturată și cateta opusă — răsturnatul tangentei.

Care este domeniul de definiție al funcției cotangentă? $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, adică toate numerele reale cu excepția multiplilor întregi ai lui $\pi$ (unde sinusul, aflat la numitor, se anulează). Atenție, e diferit de domeniul tangentei, care exclude punctele $\frac{\pi }{2}+k\pi$.

Ce înseamnă că o funcție este periodică? Înseamnă că există un număr $T\ne 0$ astfel încât $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu, domeniul fiind stabil la translația cu $T$. Cu alte cuvinte, graficul se repetă identic din $T$ în $T$. Cea mai mică valoare pozitivă a lui $T$ se numește perioadă principală.

Care este perioada principală a funcțiilor trigonometrice? Sinusul și cosinusul au perioada principală $2\pi$; tangenta și cotangenta au perioada principală $\pi$. Toate au și alte perioade — orice multiplu întreg nenul al perioadei principale — dar acestea sunt cele mai mici valori pozitive.

Cum calculez perioada funcției sin(3x)? Împarți perioada funcției de bază la modulul coeficientului lui $x$: $\frac{2\pi }{3}$. Regula generală: dacă $f$ are perioada $T_0$, atunci $f(ax+b)$ are perioada $\frac{T_0}{|a|}$. Un coeficient mai mare comprimă graficul, deci scurtează perioada.

Cum aflu sinusul și cosinusul dacă știu doar tangenta? Folosești $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, de unde $|\cos x|=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}$, apoi $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$. Semnul cosinusului se stabilește din cadranul precizat în enunț — fără el, problema are două soluții.

De ce cotangenta este descrescătoare, iar tangenta crescătoare? Pe intervalul $(0,\pi )$, când $x$ crește, raza $OM(x)$ se rotește spre stânga, iar punctul ei de intersecție cu axa cotangentelor (dreapta $y=1$) se deplasează continuu spre stânga, deci abscisa lui scade. La tangentă, punctul de intersecție cu axa verticală urcă, deci ordonata crește. Alt argument: $\mathrm{ctg}x=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, iar semnul minus din argument inversează monotonia.

La ce folosește cotangenta în practică? Oriunde se calculează o distanță orizontală pornind de la o înălțime și un unghi de înălțare: lungimea umbrelor, distanța de la care se vede vârful unui bloc sub un unghi dat, panta unei rampe exprimată ca „înaintare pe orizontală per unitate de urcare", calculul deschiderii unui obiectiv în fotografie. Este funcția „cât înaintezi orizontal pentru fiecare metru urcat".