Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex

În mulțimea numerelor reale, întrebarea „care sunt numerele al căror cub este $8$?" are un singur răspuns: $2$. Întrebarea „care sunt numerele al căror pătrat este $-16$?" nu are niciun răspuns. Această asimetrie ciudată — uneori o soluție, alteori niciuna — dispare complet în mulțimea numerelor complexe, unde răspunsul este de fiecare dată același și surprinzător de regulat: exact atâtea soluții cât spune ordinul. Cubul are trei rădăcini, pătratul are două, puterea a zecea are zece.

Cheia este formula lui Moivre, citită în sens invers. Dacă ridicarea la puterea $n$ înmulțește argumentul cu $n$, atunci extragerea rădăcinii îl împarte la $n$ — dar aici apare fenomenul interesant: un număr complex are o infinitate de argumente, care diferă prin multipli de $2\pi$, iar la împărțirea cu $n$ acești multipli produc $n$ direcții diferite. De aici vin cele $n$ rădăcini, iar imaginile lor se așază, fără excepție, în vârfurile unui poligon regulat.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect rădăcina de ordinul $n$ a unui număr complex și de ce nu se folosește notația $\sqrt[n]{z}$.
• Vei ști să deduci și să aplici formula celor $n$ rădăcini, cu argumentele $\frac{\phi +2k\pi }{n}$, $k=\overline{0,n-1}$.
• Vei ști să demonstrezi că rădăcinile sunt exact $n$ la număr și de ce $k=n$ nu aduce nimic nou.
• Vei ști să verifici fiecare rădăcină ridicând-o înapoi la puterea $n$.
• Vei ști să le reprezinți geometric ca vârfuri ale unui poligon regulat înscris într-un cerc.
• Vei ști că suma celor $n$ rădăcini este $0$, pentru orice $n\ge 2$.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția și o precizare de notație

Definiție. Fie $z\in \mathbb{C}$ și $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Numim rădăcină de ordinul $n$ a lui $z$ orice număr complex $w$ pentru care $w^n=z$.

Observă că definiția nu spune „rădăcina", ci „o rădăcină": pot exista mai multe, și chiar așa se întâmplă. Din acest motiv, în mulțimea numerelor complexe nu se folosește notația $\sqrt[n]{z}$: un simbol trebuie să desemneze un singur număr, iar aici avem $n$ candidați, între care niciunul nu este mai „natural" decât ceilalți. Spunem, corect, „rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $z$" și le notăm $w_0,w_1,\dots ,w_{n-1}$.

Cazul $z=0$ este special și fără interes: singura rădăcină este $0$ însuși. De aceea, în tot restul lecției, $z\ne 0$.

2. Deducerea formulei

Fie $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r>0$ și $\phi =\arg z\in [0,2\pi )$. Căutăm numerele $w=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, cu $\rho >0$, pentru care $w^n=z$.

Din formula lui Moivre, $w^n={\rho }^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$. Egalitatea $w^n=z$ înseamnă egalitatea a două numere scrise trigonometric, deci, după criteriul de egalitate din lecția despre forma trigonometrică:

$${\rho }^n=r\text{și}n\theta =\phi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Prima ecuație are, în mulțimea numerelor reale strict pozitive, o singură soluție: $\rho =\sqrt[n]{r}$ (aici radicalul este cel obișnuit, dintr-un număr real pozitiv, deci notația e legitimă). A doua dă

$$\theta =\frac{\phi +2k\pi }{n},k\in \mathbb{Z}.$$

Teoremă. Orice număr complex nenul $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, distincte două câte două, date de

$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right),k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}.$$

Demonstrație. Din calculul de mai sus, orice rădăcină este de această formă, pentru un $k$ întreg, și, reciproc, orice număr de această formă este rădăcină, pentru că ridicat la puterea $n$ dă modulul ${\left(\sqrt[n]{r}\right)}^n=r$ și argumentul $\phi +2k\pi$, adică exact $z$.

Rămâne să arătăm că valorile $k=0,1,\dots ,n-1$ dau numere distincte și că orice alt $k$ întreg repetă unul dintre ele.

Sunt distincte: dacă $0\le k_1<k_2\le n-1$, atunci argumentele corespunzătoare diferă prin

$$\frac{\phi +2k_2\pi }{n}-\frac{\phi +2k_1\pi }{n}=\frac{2\pi (k_2-k_1)}{n},$$

iar $0<k_2-k_1<n$, deci această diferență este strict între $0$ și $2\pi$. Cum două numere de același modul sunt egale doar când argumentele lor diferă printr-un multiplu de $2\pi$, rezultă $w_{k_1}\ne w_{k_2}$.

Nu apar altele: pentru un $k$ oarecare din $\mathbb{Z}$, împărțim cu rest la $n$: $k=qn+s$, cu $s\in \{0,1,\dots ,n-1\}$. Atunci

$$\frac{\phi +2k\pi }{n}=\frac{\phi +2s\pi }{n}+2q\pi ,$$

adică argumentul diferă de cel al lui $w_s$ printr-un multiplu de $2\pi$, deci numărul este chiar $w_s$. $■$

Reține consecința practică: iei $k$ de la $0$ la $n-1$ și te oprești. Valoarea $k=n$ te-ar duce înapoi la $w_0$.

3. Algoritmul în patru pași

1. Scrie $z$ trigonometric: $r=|z|$, cadranul, $\phi \in [0,2\pi )$.
2. Calculează modulul comun al rădăcinilor: $\rho =\sqrt[n]{r}$. Toate cele $n$ rădăcini au același modul.
3. Scrie argumentele: pornești de la $\frac{\phi }{n}$ și adaugi, din pas în pas, $\frac{2\pi }{n}$, de $n-1$ ori.
4. Verifică ridicând fiecare rădăcină la puterea $n$; trebuie să obții $z$.

Pasul 3 merită o observație: diferența dintre două argumente consecutive este mereu $\frac{2\pi }{n}$, deci nu recalculezi fracția de fiecare dată, ci doar aduni. Iar pasul 4 nu este o formalitate: este singurul control care prinde simultan o greșeală de modul, una de argument și una de cadran.

4. Interpretarea geometrică: un poligon regulat

Toate cele $n$ rădăcini au același modul $\rho =\sqrt[n]{r}$, deci imaginile lor se află pe cercul cu centrul în origine și raza $\rho$. Argumentele lor cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$, deci punctele sunt așezate la distanțe unghiulare egale pe acest cerc.

Un set de $n$ puncte egal depărtate unghiular pe un cerc formează exact vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în acel cerc. Pentru $n=2$ „poligonul" degenerează într-un diametru: cele două rădăcini pătrate sunt opuse. Pentru $n=3$ obținem un triunghi echilateral, pentru $n=4$ un pătrat, pentru $n=6$ un hexagon regulat.

De aici rezultă și o proprietate frumoasă: suma celor $n$ rădăcini este $0$, pentru orice $n\ge 2$. Geometric, centrul de simetrie al poligonului este chiar originea, iar vârfurile se „echilibrează" reciproc. Când $n$ este par, vârfurile se grupează în perechi de puncte diametral opuse, care se anulează două câte două; când $n$ este impar argumentul este puțin mai subtil, iar demonstrația generală o vom da în lecția despre rădăcinile unității.

5. Primul exemplu complet: rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $8i$

Pasul 1. $z=8i$ are modulul $8$ și imaginea pe semiaxa pozitivă $Oy$, deci $\phi =\frac{\pi }{2}$ și $z=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$.

Pasul 2. $\rho =\sqrt[3]{8}=2$.

Pasul 3. Argumentele pornesc de la $\frac{\pi /2}{3}=\frac{\pi }{6}$ și cresc cu $\frac{2\pi }{3}$:

$${\theta }_0=\frac{\pi }{6},{\theta }_1=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{6},{\theta }_2=\frac{5\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}.$$

Prin urmare

$$w_0=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i,w_1=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}+i,w_2=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2i.$$

Pasul 4 (verificarea). ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^2=3+2i\sqrt{3}-1=2+2i\sqrt{3}$, iar $\left(2+2i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\right)=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i$ ✓. La fel se verifică ${\left(-\sqrt{3}+i\right)}^3=8i$ ✓ și $(-2i{)}^3=-8i^3=8i$ ✓.

Control suplimentar: suma este $\left(\sqrt{3}+i\right)+\left(-\sqrt{3}+i\right)+(-2i)=0$ ✓, iar cele trei puncte, aflate pe cercul de rază $2$ la câte $120^{\circ }$ unul de altul, formează un triunghi echilateral.

6. Al doilea exemplu: toate cele patru cadrane deodată

Rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $-16$ merită privite atent, pentru că ating fiecare cadran câte o dată.

$z=-16=16(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $\rho =\sqrt[4]{16}=2$, iar argumentele pornesc de la $\frac{\pi }{4}$ și cresc cu $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$:

Verificare pentru $w_0$: ${\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\right)}^2=2+2\cdot 2i+2i^2=4i$, iar $(4i{)}^2=-16$ ✓. Verificarea pentru celelalte trei este identică, pentru că ele se obțin din $w_0$ prin înmulțire cu $i$, iar $i^4=1$.

Suma celor patru este $0$ (se anulează pe perechi opuse), iar imaginile lor sunt vârfurile unui pătrat înscris în cercul de rază $2$.

7. Rădăcinile pătrate: două metode care trebuie să dea același lucru

Pentru $n=2$ ai acum două căi. Prima, algebrică, din lecția despre ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși: pui $w=x+yi$, ridici la pătrat și rezolvi sistemul. A doua, trigonometrică, este formula din această lecție cu $n=2$:

$$w_0=\sqrt{r}\left(\cos \frac{\phi }{2}+i\sin \frac{\phi }{2}\right),w_1=\sqrt{r}\left(\cos \left(\frac{\phi }{2}+\pi \right)+i\sin \left(\frac{\phi }{2}+\pi \right)\right)=-w_0.$$

Observă concluzia elegantă: cele două rădăcini pătrate ale unui număr complex nenul sunt opuse, exact ca în cazul real. Metoda algebrică e mai comodă când argumentul nu este remarcabil; cea trigonometrică e mai rapidă când este.

Exemplu. Rădăcinile pătrate ale lui $-2+2i\sqrt{3}$: modulul este $\sqrt{4+12}=4$, cadranul II, $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{2\pi }{3}$. Atunci $\rho =2$ și argumentele sunt $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$:

$$w_0=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=1+i\sqrt{3},w_1=-1-i\sqrt{3}.$$

Verificare: ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^2=1+2i\sqrt{3}-3=-2+2i\sqrt{3}$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rădăcinile pătrate ale lui $i$

Determinați rădăcinile de ordinul $2$ ale numărului $i$.

Rezolvare. $i=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$, deci $r=1$ și $\phi =\frac{\pi }{2}$. Modulul rădăcinilor: $\rho =\sqrt{1}=1$. Argumentele: $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$. Prin urmare

$$w_0=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,w_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i.$$

Verificare: ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}^2=\frac{1}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i-\frac{1}{2}=i$ ✓.

Exemplul 2 — Rădăcinile de ordinul $6$ ale lui $64$

Determinați rădăcinile de ordinul $6$ ale numărului $64$ și precizați ce figură formează imaginile lor.

Rezolvare. $64=64(\cos 0+i\sin 0)$, deci $\phi =0$ și $\rho =\sqrt[6]{64}=2$. Argumentele pornesc de la $0$ și cresc cu $\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$:

$$0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}.$$

Rădăcinile sunt deci

$$2,1+i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3},-2,-1-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}.$$

Verificare pentru $1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$: ridicat la puterea a șasea dă $2^6\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)=64$ ✓.

Imaginile sunt șase puncte egal depărtate pe cercul de rază $2$, adică vârfurile unui hexagon regulat. Observă că printre ele se află exact două numere reale, $2$ și $-2$; celelalte patru sunt două perechi de numere conjugate.

Exemplul 3 — Rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $-8$

Determinați rădăcinile de ordinul $3$ ale numărului $-8$.

Rezolvare. $-8=8(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $\rho =\sqrt[3]{8}=2$, iar argumentele pornesc de la $\frac{\pi }{3}$ și cresc cu $\frac{2\pi }{3}$: $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$. Rezultă

$$w_0=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=1+i\sqrt{3},w_1=2(\cos \pi +i\sin \pi )=-2,w_2=1-i\sqrt{3}.$$

Verificare: ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^3=2^3\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=-8$ ✓ și $(-2{)}^3=-8$ ✓.

Merită reținut contrastul cu mulțimea numerelor reale: acolo, $-8$ avea o singură rădăcină cubică, anume $-2$. Aici are trei, dintre care una singură este reală, iar celelalte două sunt conjugate.

Exemplul 4 — Rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $-81$

Determinați rădăcinile de ordinul $4$ ale numărului $-81$.

Rezolvare. $-81=81(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $\rho =\sqrt[4]{81}=3$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$, obținute adunând succesiv $\frac{\pi }{2}$. Cum $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, prima rădăcină este

$$w_0=3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i,$$

iar celelalte trei se obțin din ea schimbând semnele potrivit cadranelor:

$$w_1=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i,w_2=-\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i,w_3=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i.$$

Verificare pentru $w_0$: modulul este $3$, argumentul $\frac{\pi }{4}$, deci $w_0^4=3^4(\cos \pi +i\sin \pi )=-81$ ✓.

Exemplul 5 — O rădăcină dată, celelalte deduse

Se știe că $4i$ este o rădăcină de ordinul $3$ a numărului $-64i$. Determinați celelalte două rădăcini, fără a relua tot calculul.

Rezolvare. Rădăcinile de același ordin au toate același modul și argumentele lor diferă din $\frac{2\pi }{3}$ în $\frac{2\pi }{3}$. Cum $4i=4\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$, celelalte două au modulul $4$ și argumentele

$$\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}=\frac{3\pi +4\pi }{6}=\frac{7\pi }{6},\frac{7\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi +4\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}.$$

Prin urmare

$$w_1=4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)=-2\sqrt{3}-2i,w_2=4\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=2\sqrt{3}-2i.$$

Verificare: $(4i{)}^3=64i^3=-64i$ ✓, iar $w_1^3=4^3\left(\cos \frac{7\pi }{2}+i\sin \frac{7\pi }{2}\right)=64\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-64i$ ✓. Suma celor trei este $4i-2\sqrt{3}-2i+2\sqrt{3}-2i=0$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=-27i$. a) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. b) Determinați rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $z$. c) Calculați suma acestor rădăcini și precizați ce figură geometrică formează imaginile lor.

Rezolvare. a) $|z|=27$, iar imaginea lui $z$ este pe semiaxa negativă $Oy$, deci $\arg z=\frac{3\pi }{2}$ și

$$z=27\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right).$$

b) Modulul rădăcinilor: $\rho =\sqrt[3]{27}=3$. Argumentele pornesc de la $\frac{3\pi /2}{3}=\frac{\pi }{2}$ și cresc cu $\frac{2\pi }{3}$:

$$\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{6},\frac{7\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}.$$

Așadar

$$w_0=3\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=3i,w_1=3\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i,$$

$$w_2=3\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Verificare: $(3i{)}^3=27i^3=-27i$ ✓; pentru $w_1$, modulul $3$ ridicat la cub dă $27$, iar argumentul $3\cdot \frac{7\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$ se reduce, scăzând $2\pi$, la $\frac{3\pi }{2}$ ✓.

c) Suma: $3i+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\right)+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\right)=3i-3i=0$. Cele trei puncte se află pe cercul de rază $3$, la câte $120^{\circ }$ unul de celălalt, deci formează un triunghi echilateral cu centrul în origine.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu scrie explicit modulul comun al rădăcinilor și pasul $\frac{2\pi }{n}$ dintre argumente, apoi verifică cel puțin o rădăcină ridicând-o la puterea $n$.

1. Determină rădăcinile de ordinul $2$ ale numărului $-1$.

2. Determină rădăcinile de ordinul $2$ ale numărului $4i$.

3. Determină rădăcinile de ordinul $2$ ale numărului $-9$.

4. Determină rădăcinile de ordinul $3$ ale numărului $27$.

5. Determină rădăcinile de ordinul $3$ ale numărului $-8$.

6. Determină rădăcinile de ordinul $4$ ale numărului $16$.

7. Determină rădăcinile de ordinul $4$ ale numărului $-81$.

8. Determină rădăcinile de ordinul $3$ ale numărului $-64i$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, distincte două câte două."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex nenul au module diferite."

11. Câte rădăcini de ordinul $5$ are numărul $32$? Câte dintre ele sunt numere reale?

12. Reprezintă în planul complex rădăcinile de ordinul $6$ ale lui $64$. Ce poligon obții și care este raza cercului circumscris?

13. Verifică, prin ridicare la puterea a treia, că $1+i\sqrt{3}$ este o rădăcină de ordinul $3$ a lui $-8$.

14. Determină rădăcinile de ordinul $2$ ale numărului $-2i$.

15. (Problemă aplicată.) Șase turbine eoliene se montează pe un cerc de rază $2$ kilometri în jurul unei stații de transformare, la distanțe egale, prima dintre ele fiind exact la est de stație. Luând stația drept origine și estul drept semiaxa pozitivă $Ox$, scrie afixele celor șase turbine. Ce legătură au ele cu numărul $64$?

16. Calculează suma rădăcinilor de ordinul $4$ ale numărului $-16$ și explică rezultatul geometric.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=-27$. a) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. b) Determinați rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $z$. c) Precizați câte dintre ele sunt numere reale și calculați suma tuturor.

18. (Provocare.) a) Verifică, prin calcul direct, că suma rădăcinilor de ordinul $3$ ale lui $8i$ și suma rădăcinilor de ordinul $4$ ale lui $-16$ sunt amândouă $0$. b) Explică geometric de ce, pentru $n$ par, suma este întotdeauna $0$, grupând vârfurile poligonului în perechi.

Răspunsuri și explicații

1. $-1=\cos \pi +i\sin \pi$, deci $\rho =1$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{3\pi }{2}$. Rădăcinile sunt $i$ și $-i$. Verificare: $i^2=-1$ ✓.

2. $4i=4\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$, deci $\rho =2$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{4}$. Rădăcinile: $\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ și $-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$. Verificare: ${\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\right)}^2=2+4i-2=4i$ ✓.

3. $-9=9(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $\rho =3$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$. Rădăcinile: $3i$ și $-3i$. Verificare: $(3i{)}^2=-9$ ✓.

4. $27=27(\cos 0+i\sin 0)$, deci $\rho =3$, iar argumentele sunt $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$. Rădăcinile: $3$, $-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$ și $-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$.

5. $-8=8(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $\rho =2$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$. Rădăcinile: $1+i\sqrt{3}$, $-2$, $1-i\sqrt{3}$.

6. $16=16(\cos 0+i\sin 0)$, deci $\rho =2$, iar argumentele sunt $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$. Rădăcinile: $2$, $2i$, $-2$, $-2i$ — vârfurile unui pătrat.

7. $\rho =\sqrt[4]{81}=3$, argumentele $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$. Rădăcinile: $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}i$, cu toate cele patru combinații de semne. Verificare: modulul $3$ la puterea a patra dă $81$, iar $4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi$ ✓.

8. $-64i=64\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$, deci $\rho =4$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{6}$. Rădăcinile: $4i$, $-2\sqrt{3}-2i$, $2\sqrt{3}-2i$. Verificare: $(4i{)}^3=-64i$ ✓.

9. Adevărat. Valorile $k=0,1,\dots ,n-1$ dau argumente care diferă între ele prin mai puțin de $2\pi$, deci numere distincte, iar orice alt $k$ întreg repetă una dintre ele, pentru că argumentul se schimbă cu un multiplu de $2\pi$.

10. Fals. Toate au același modul, anume $\sqrt[n]{r}$, unde $r=|z|$: ecuația ${\rho }^n=r$ are o singură soluție reală strict pozitivă. Diferă doar argumentele, din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$; de aceea imaginile lor sunt pe același cerc.

11. Are exact $5$ rădăcini de ordinul $5$, toate de modul $\sqrt[5]{32}=2$. Una singură este reală, anume $2$ (argumentul $0$); celelalte patru au argumentele $\frac{2\pi }{5}$, $\frac{4\pi }{5}$, $\frac{6\pi }{5}$, $\frac{8\pi }{5}$, niciunul dintre ele multiplu de $\pi$, deci nu sunt reale.

12. Cele șase rădăcini sunt $2$, $1+i\sqrt{3}$, $-1+i\sqrt{3}$, $-2$, $-1-i\sqrt{3}$, $1-i\sqrt{3}$. Imaginile lor sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris în cercul cu centrul în origine și raza $2$; latura hexagonului este tot $2$, pentru că la hexagonul regulat latura este egală cu raza.

13. ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^2=1+2i\sqrt{3}+3i^2=-2+2i\sqrt{3}$, iar $\left(-2+2i\sqrt{3}\right)\left(1+i\sqrt{3}\right)=-2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}+6i^2=-8$ ✓.

14. $-2i=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$, deci $\rho =\sqrt{2}$, iar argumentele sunt $\frac{3\pi }{4}$ și $\frac{7\pi }{4}$. Rădăcinile: $\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-1+i$ și $1-i$. Verificare: $(1-i{)}^2=1-2i-1=-2i$ ✓.

15. Turbinele sunt pe cercul de rază $2$, la câte $\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$ una de alta, prima având argumentul $0$. Afixele sunt deci $2$, $1+i\sqrt{3}$, $-1+i\sqrt{3}$, $-2$, $-1-i\sqrt{3}$, $1-i\sqrt{3}$ (în kilometri). Sunt exact rădăcinile de ordinul $6$ ale numărului $64$, pentru că modulul comun este $2$ și $2^6=64$, iar argumentele înmulțite cu $6$ dau multipli de $2\pi$.

16. Rădăcinile sunt $\pm \sqrt{2}\pm i\sqrt{2}$, cu toate combinațiile de semne; adunându-le, părțile reale se anulează două câte două, la fel și cele imaginare, deci suma este $0$. Geometric: vârfurile pătratului se grupează în două perechi diametral opuse, iar punctele diametral opuse au afixe opuse.

17. a) $|z|=27$, imaginea este pe semiaxa negativă $Ox$, deci $\arg z=\pi$ și $z=27(\cos \pi +i\sin \pi )$. b) $\rho =\sqrt[3]{27}=3$, argumentele $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$, deci rădăcinile sunt $\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$, $-3$ și $\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$. c) Una singură este reală, anume $-3$; suma tuturor este $\frac{3}{2}-3+\frac{3}{2}=0$, iar părțile imaginare se anulează între ele ✓.

18. a) Pentru $8i$: $\left(\sqrt{3}+i\right)+\left(-\sqrt{3}+i\right)+(-2i)=0$ ✓. Pentru $-16$: $\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\right)+\left(-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\right)+\left(-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}-i\sqrt{2}\right)=0$ ✓. b) Când $n$ este par, argumentele lui $w_k$ și $w_{k+n/2}$ diferă prin $\frac{n}{2}\cdot \frac{2\pi }{n}=\pi$, iar modulele sunt egale; două numere cu același modul și argumente care diferă prin $\pi$ sunt opuse. Vârfurile se grupează astfel în $\frac{n}{2}$ perechi de puncte diametral opuse, fiecare pereche având suma $0$, deci suma totală este $0$.

De reținut

• Definiția: $w$ este rădăcină de ordinul $n$ a lui $z$ dacă $w^n=z$. Notația $\sqrt[n]{z}$ nu se folosește pentru numere complexe, pentru că rădăcinile sunt mai multe.
• Formula: pentru $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )\ne 0$, rădăcinile sunt $w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right)$, cu $k=0,1,\dots ,n-1$.
• Sunt exact $n$, distincte, și toate au același modul $\sqrt[n]{r}$; argumentele lor cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$.
• Geometric: imaginile sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $\sqrt[n]{r}$; suma celor $n$ rădăcini este $0$ pentru $n\ge 2$.
• Verificarea obligatorie: ridici fiecare rădăcină la puterea $n$ (cu formula lui Moivre) și trebuie să obții exact numărul de la care ai plecat.

Greșeli frecvente

• Se ia $k$ de la $1$ la $n$ sau de la $0$ la $n$. Corect este $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$: valoarea $k=n$ dă din nou $w_0$, deci ai scrie de două ori aceeași rădăcină și ai obține $n+1$ „soluții".
• Se uită împărțirea lui $2k\pi$ la $n$. Argumentele sunt $\frac{\phi +2k\pi }{n}$, nu $\frac{\phi }{n}+2k\pi$. Pasul dintre două argumente consecutive este $\frac{2\pi }{n}$, nu $2\pi$.
• Se extrage radicalul greșit din modul. Modulul comun este $\sqrt[n]{r}$, unde $r=|z|$; la rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $-16$, modulul este $\sqrt[4]{16}=2$, nu $16$ sau $4$.
• Se scrie $\sqrt[n]{z}$ pentru un număr complex. Simbolul sugerează un rezultat unic, care aici nu există; scrie „rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $z$" și enumeră-le.
• Se sare verificarea. Ridicarea înapoi la puterea $n$ durează câteva secunde cu formula lui Moivre și prinde orice greșeală de modul, de argument sau de cadran.

Aplică acasă

1. Poligoanele din caiet. Desenează, pe același sistem de axe, rădăcinile de ordinul $3$, $4$ și $6$ ale numărului $64$. Vei obține un triunghi, un pătrat și un hexagon, toate cu centrul în origine, dar pe cercuri de raze diferite. Măsoară razele și compară-le cu $\sqrt[3]{64}$, $\sqrt[4]{64}$ și $\sqrt[6]{64}$.

2. Ceasul cu rădăcini. Ia numărul $z=1$ și determină rădăcinile lui de ordinul $12$. Marchează-le pe cercul unitate: vei obține exact pozițiile orelor de pe un ceas. Scrie argumentele în grade și verifică pasul de $30^{\circ }$.

3. Dus și întors. Alege singur un număr complex cu modul și argument remarcabile, determină-i rădăcinile de ordinul $3$ și apoi ridică fiecare rădăcină la cub, refăcând calculul până obții numărul inițial. Repetă până când verificarea îți iese din prima.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce singurul rezultat din capitol care schimbă felul în care elevul înțelege noțiunea de rădăcină: trecerea de la „rădăcina" (una singură) la „rădăcinile" (exact $n$, așezate simetric). Este momentul potrivit pentru a discuta de ce mulțimea numerelor complexe este mai „bine făcută" decât cea a numerelor reale, și pentru a lega algebra de geometrie: formula produce, de fiecare dată, un poligon regulat.

Puncte de verificat în lucrare: (1) numărul este scris trigonometric, cu argument redus, înainte de aplicarea formulei; (2) modulul comun este $\sqrt[n]{r}$, iar elevul îl calculează o singură dată; (3) indicele $k$ parcurge exact $0,1,\dots ,n-1$; (4) argumentele cresc cu pasul $\frac{2\pi }{n}$; (5) există o verificare prin ridicare la puterea $n$. Întrebări bune de control: „De ce sunt exact $n$ și nu mai multe?"; „Ce se întâmplă dacă iei $k=n$?"; „De ce toate rădăcinile au același modul?"; „Ce figură formează imaginile lor?".

La Bacalaureat M1, subiectul apare aproape întotdeauna într-un exercițiu cu mai multe subpuncte: forma trigonometrică, apoi rădăcinile, apoi o întrebare geometrică (ce poligon, care este suma, care rădăcini sunt reale). Ordinea aceasta este chiar ordinea din lecție, iar elevul care o respectă adună punctele pas cu pas, chiar dacă nu ajunge la ultimul subpunct.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă rădăcină de ordinul $n$ a unui număr complex? Un număr complex $w$ pentru care $w^n=z$. Spre deosebire de numerele reale, aici există exact $n$ astfel de numere, toate cu același modul, iar din acest motiv nu se folosește notația $\sqrt[n]{z}$.

Care este formula rădăcinilor de ordinul $n$? Dacă $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ este nenul, atunci $w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right)$, pentru $k=0,1,\dots ,n-1$. Modulul se extrage o singură dată, iar argumentele se obțin adunând succesiv $\frac{2\pi }{n}$.

De ce sunt exact $n$ rădăcini și nu mai multe? Pentru că valorile $k=0,1,\dots ,n-1$ dau argumente care diferă între ele prin mai puțin de $2\pi$, deci numere diferite; iar pentru orice alt $k$ întreg, împărțirea cu rest la $n$ arată că argumentul diferă de unul dintre acestea printr-un multiplu de $2\pi$, deci numărul se repetă.

Ce figură geometrică formează rădăcinile de ordinul $n$? Vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul cu centrul în origine și raza $\sqrt[n]{r}$. Pentru $n=2$ figura degenerează într-un diametru, adică două puncte opuse.

Cât este suma rădăcinilor de ordinul $n$ ale unui număr complex? Este $0$, pentru orice $n\ge 2$. Geometric, vârfurile poligonului regulat sunt așezate simetric în jurul originii; pentru $n$ par ele se grupează în perechi de puncte diametral opuse, care se anulează două câte două.

Cum verific dacă am găsit corect rădăcinile? Ridici fiecare rădăcină la puterea $n$, folosind formula lui Moivre: modulul devine ${\left(\sqrt[n]{r}\right)}^n=r$, iar argumentul devine $\phi +2k\pi$, care se reduce la $\phi$. Dacă obții exact numărul de la care ai plecat, rădăcina este corectă.

De ce un număr real negativ are rădăcini cubice complexe? Pentru că formula se aplică oricărui număr nenul, indiferent de argument. Numărul $-8$ are argumentul $\pi$, deci rădăcinile de ordinul $3$ au argumentele $\frac{\pi }{3}$, $\pi$ și $\frac{5\pi }{3}$: una singură cade pe axa reală (adică $-2$), celelalte două sunt numere complexe conjugate.