Modelări din fizică: lucrul mecanic al unei forțe variabile

Ca să întinzi un arc cu un centimetru nu e nevoie de mare lucru; ca să-l mai întinzi cu încă un centimetru, deja tragi mai tare. Forța nu rămâne aceeași pe tot parcursul mișcării, iar formula din gimnaziu, „lucrul mecanic este forța înmulțită cu distanța", nu mai are ce înmulți. Această lecție de clasa a 12-a arată că răspunsul corect este o integrală definită și că trecerea de la produs la integrală se face exact ca trecerea de la dreptunghi la subgrafic. Lucrul mecanic al unei forțe variabile $F$ care acționează pe direcția deplasării, între pozițiile $a$ și $b$, este integrala definită $L={\int }_a^{b}F(x)dx$, măsurată în jouli.

Programa cere explicit modelarea matematică a unor probleme de fizică, iar lucrul mecanic al unei forțe variabile este primul exemplu din listă. Partea matematică e ușoară — integralele care apar sunt din cele deja stăpânite. Greu, și interesant, este pasul dinainte: să traduci enunțul în funcții, să alegi variabila și intervalul, să nu uiți unitățile de măsură. Acesta e pasul pe care îl exersăm aici.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce lucrul mecanic al unei forțe variabile se scrie ca integrală definită și cum se deduce formula din cazul constant.
• Vei ști să aplici formula $L={\int }_a^{b}F(x)dx$ și să nu confunzi forța $F$ cu o primitivă.
• Vei ști să calculezi lucrul mecanic la întinderea unui arc elastic, cu legea lui Hooke.
• Vei ști să tratezi problema cablului care se scurtează și pe cea a pompării apei, care se rezolvă altfel.
• Vei ști să lucrezi corect cu unitățile de măsură: newton, metru, joule.
• Vei ști să parcurgi rețeta completă de modelare a unei probleme de fizică rezolvate cu integrala.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu e de ajuns înmulțirea?

Lucrul mecanic este energia transferată unui corp de o forță care îl deplasează, iar pentru o forță constantă $F$, care acționează pe direcția deplasării de lungime $d$, el se calculează ca produsul $L=F\cdot d$. Este definiția din fizica de gimnaziu și rămâne valabilă — dar numai cât timp forța nu se schimbă pe parcurs.

În realitate se schimbă aproape întotdeauna. Forța cu care tragi de un arc crește cu întinderea. Forța cu care ridici o găleată dintr-o fântână scade pe măsură ce cablul se scurtează. Forța de atracție gravitațională scade cu distanța. În toate aceste situații forța este o funcție de poziție, $F(x)$, iar produsul $F\cdot d$ nu mai are sens: care $F$? Cea de la început, cea de la sfârșit, cea mai mare? Fiecare alegere dă alt număr, și niciuna nu e răspunsul.

O încercare naivă ar fi să folosim media aritmetică dintre forța inițială și cea finală. Pentru un arc, unde forța crește liniar, ea chiar nimerește răspunsul corect — dar e o coincidență a funcțiilor de gradul întâi, aceeași coincidență care face ca punctul din teorema de medie să cadă la mijlocul intervalului. La o forță care scade cu pătratul distanței, media celor două capete se depărtează serios de adevăr. Ne trebuie o metodă care să nu depindă de norocul formulei.

Ideea salvatoare e cea de la aria subgraficului. Tăiem drumul $[a,b]$ în bucăți foarte scurte. Pe o bucată de lungime mică $\Delta x$, în jurul poziției $x$, forța aproape că nu apucă să se schimbe, deci lucrul mecanic pe acea bucată este aproximativ $F(x)\Delta x$ — un produs, ca în gimnaziu. Adunând toate bucățile obținem o sumă Riemann, iar când bucățile se subțiază, suma tinde către integrala definită. Aceeași construcție ai văzut-o la problema ariei și subgraficul unei funcții; aici, în loc de arie, se acumulează energie.

2. Care este formula lucrului mecanic cu integrala?

Lucrul mecanic al unei forțe variabile. Dacă forța $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă și acționează de-a lungul deplasării, lucrul mecanic efectuat la deplasarea corpului din poziția $a$ în poziția $b$ este $$L={\int }_a^{b}F(x)dx.$$

⚠️ Atenție la literă. În toată unitatea de primitive, $F$ a însemnat primitiva funcției $f$. Aici $F$ este forța, adică funcția de sub integrală, nu una dintre primitivele ei. Notația e cea a fizicii și a programei, deci o păstrăm; ca să nu apară confuzii, în această lecție litera $F$ desemnează exclusiv forța, iar primitivele ei, când e nevoie să le pomenim, se numesc în cuvinte („o primitivă a forței"), fără literă nouă. Ori de câte ori vezi ${\int }_a^{b}F(x)dx$ într-o problemă de fizică, întreabă-te „ce mărime fizică e $F$?" — răspunsul e newtoni, nu jouli.

Verificarea că formula generalizează cazul cunoscut e imediată: pentru $F$ constantă, $F(x)=F_0$, avem ${\int }_a^b{F}_{0}dx=F_0(b-a)$, adică forța înmulțită cu distanța. Formula veche e cazul particular al celei noi, ca întotdeauna într-o generalizare bine făcută.

Când forța este pozitivă, $L$ este aria subgraficului lui $F$ pe $[a,b]$ — desenul e același, se schimbă doar ce scrie pe axe.

3. Cum se scriu corect unitățile de măsură?

O problemă de fizică nu e rezolvată până nu are unitate la rezultat. Regula e simplă și se citește direct din formulă: integrala înmulțește valorile lui $F$ cu lungimi, deci unitatea rezultatului este unitatea forței înmulțită cu unitatea deplasării.

Două consecințe practice. Prima: dacă enunțul dă lungimi în centimetri, le transformi în metri înainte de a integra — altfel rezultatul nu e în jouli, ci într-o unitate hibridă care nu înseamnă nimic. A doua: limitele de integrare se măsoară de la poziția de referință precizată în enunț (capătul liber al arcului nedeformat, fundul fântânii, centrul planetei), nu de oriunde.

4. Cum se calculează lucrul mecanic la întinderea unui arc?

Modelul canonic al unei forțe variabile este arcul. Legea lui Hooke spune că forța necesară pentru a menține un arc întins (sau comprimat) cu $x$ față de lungimea lui naturală este proporțională cu deformarea: $$F(x)=kx,$$ unde $k>0$ este constanta elastică a arcului, măsurată în newtoni pe metru. Este un model, valabil pentru deformări mici; la deformări mari arcul se comportă altfel sau se rupe.

Lucrul mecanic necesar pentru a întinde arcul de la lungimea naturală până la o deformare $d$ este $$L={\int }_0^{d}kxdx=\frac{k{x}^2}{2}{|}_0^d=\frac{k{d}^2}{2}.$$

Exemplu. Un arc cu $k=200$ N/m se întinde cu $10$ centimetri, adică $d=0,1$ m. Atunci $L=\frac{200\cdot 0,01}{2}=1$ joule.

Rezultatul se citește și pe desen. Graficul funcției $F(x)=kx$ este o dreaptă prin origine, iar subgraficul ei pe $[0,d]$ este un triunghi dreptunghic cu catetele $d$ și $kd$; aria lui este $\frac{d\cdot kd}{2}=\frac{k{d}^2}{2}$, exact valoarea integralei. Este cel mai simplu control posibil al unui rezultat de lucru mecanic: la o forță liniară, integrala se verifică cu formula ariei triunghiului, învățată în gimnaziu.

Observă dependența de pătratul deformării: ca să întinzi arcul de două ori mai mult, ai nevoie de patru ori mai multă energie. De aici vine și capcana cea mai frecventă a capitolului. Dacă arcul e întins deja cu $x_1$ și vrei să ajungi la $x_2$, lucrul mecanic nu este $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}$, ci $$L={\int }_{x_1}^{x_2}kxdx=\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}.$$ Pentru $k=200$ N/m, de la $0,1$ m la $0,3$ m: valoarea corectă este $\frac{200(0,09-0,01)}{2}=8$ jouli, în timp ce formula greșită ar da $4$ jouli — jumătate. Motivul e limpede: a doua bucată de întindere se face contra unei forțe deja mari, nu pornind de la zero.

5. Cum se schimbă forța când cablul se scurtează?

O găleată se ridică dintr-o fântână adâncă de $20$ de metri, cu un cablu care are și el greutate. Cât timp găleata urcă, o parte tot mai mare din cablu ajunge deasupra, deci greutatea care mai trebuie susținută scade.

Să notăm cu $x$ înălțimea la care a ajuns găleata, măsurată de la fundul fântânii, deci $x\in [0,20]$. Găleata plină cântărește $100$ de newtoni. Cablul are masa de $0,5$ kilograme pe metru; luând $g\approx 10$ m/s${}^2$ ca aproximare declarată, fiecare metru de cablu cântărește $5$ newtoni. Când găleata e la înălțimea $x$, mai atârnă $20-x$ metri de cablu, deci forța necesară este $$F(x)=100+5(20-x)=200-5x\text{(newtoni)}.$$ Un control rapid: $F(0)=200$ N la început, $F(20)=100$ N la sfârșit, când tot cablul e sus și rămâne doar găleata. Lucrul mecanic: $$L={\int }_0^{20}(200-5x)dx=\left(200x-\frac{5x^2}{2}\right){|}_0^{20}=4000-1000=3000\text{J}.$$ Aici forța chiar este o funcție de poziția corpului care se mișcă, deci formula din secțiunea $2$ se aplică direct.

Merită descompus rezultatul, pentru că ne spune ceva despre problemă. Ridicarea găleții singure ar fi cerut $100\cdot 20=2000$ de jouli; restul, $1000$ de jouli, s-a consumat pentru ridicarea cablului, adică o treime din efortul total. Cu cât fântâna e mai adâncă, cu atât proporția crește, pentru că greutatea găleții rămâne aceeași, iar cea a cablului crește proporțional cu adâncimea. Forța medie pe tot drumul este $\frac{3000}{20}=150$ de newtoni, adică exact media dintre $200$ și $100$ — coincidența funcțiilor de gradul întâi, despre care am vorbit în prima secțiune.

6. Pomparea apei: aici se însumează altceva

Următoarea problemă seamănă, dar nu este de același tip — iar confuzia dintre ele e sursa celor mai multe greșeli.

Un rezervor cilindric cu raza de $1$ metru și înălțimea de $4$ metri este plin cu apă. Cât lucru mecanic e necesar pentru a pompa toată apa peste marginea de sus?

Deosebirea față de găleată: aici nu se mișcă un singur corp, ci fiecare strat de apă are propriul drum de parcurs. Apa de la suprafață urcă foarte puțin, cea de la fund urcă patru metri. Prin urmare nu putem scrie $\int F(x)dx$ cu $F$ „forța la poziția $x$"; trebuie să tăiem apa în felii orizontale și să adunăm, pentru fiecare felie, produsul dintre greutatea ei și înălțimea la care e ridicată. Este exact tăierea în felii folosită la volumul corpului de rotație, doar că acolo feliile erau cilindrice și se însumau volume, iar aici feliile sunt straturi de apă și se însumează energii.

Notăm cu $y$ înălțimea unei felii deasupra fundului, $y\in [0,4]$. Felia de grosime $\Delta y$ are volumul $\pi \cdot 1^2\cdot \Delta y$ metri cubi; cu densitatea apei $\rho =1000$ kg/m${}^3$ și $g\approx 10$ m/s${}^2$, greutatea ei este $10000\pi \Delta y$ newtoni. Ea trebuie ridicată pe distanța $4-y$ metri. Însumând și trecând la limită, $$L={\int }_0^{4}10000\pi (4-y)dy=10000\pi \left(4y-\frac{y^2}{2}\right){|}_0^4=10000\pi \cdot 8=80000\pi \text{J},$$ adică aproximativ $251327$ jouli, cam $251$ de kilojouli. Reține deosebirea în cuvinte: la găleată integrăm forța după poziția corpului, la pompare integrăm greutatea feliei înmulțită cu drumul ei, după poziția feliei.

7. Cum se calculează lucrul unei forțe care scade cu distanța?

Al treilea model clasic este forța de tip gravitațional sau electrostatic, care scade cu pătratul distanței: $$F(x)=\frac{k}{x^2},x>0.$$ Lucrul mecanic la deplasarea de la distanța $a$ la distanța $b$, cu $0<a<b$, este $$L={\int }_a^b\frac{k}{x^2}dx=-\frac{k}{x}{|}_a^b=k\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).$$

Exemplu. Pentru $F(x)=\frac{40}{x^2}$ newtoni, între $x=2$ m și $x=5$ m, obținem $L=40\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=40\cdot \frac{3}{10}=12$ jouli.

Merită observat că, pe măsură ce $b$ crește, valoarea $k\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ se apropie de $\frac{k}{a}$ fără să o depășească: energia necesară pentru a duce corpul „foarte departe" rămâne mărginită. Este exact ideea de viteză de evadare din fizică. Nu scriem însă ${\int }_a^{\infty }$ — integralele pe intervale nemărginite nu sunt în programa clasei a XII-a; formulăm concluzia ca limită a lui $L(b)$ când $b\to +\infty$, ceea ce e legitim.

Compară aici și cu încercarea naivă din prima secțiune. Media aritmetică a forțelor de la capete ar da $\frac{1}{2}\left(\frac{40}{4}+\frac{40}{25}\right)\cdot 3=\frac{1}{2}(10+1,6)\cdot 3=17,4$ jouli, cu peste $45\%$ mai mult decât valoarea corectă de $12$ jouli. La forțele care scad repede, media capetelor supraevaluează grosolan: forța mică ocupă cea mai mare parte a drumului, iar media aritmetică nu știe asta. Forța medie adevărată, în sensul teoremei de medie, este $4$ newtoni, nu $5,8$.

8. Care sunt cele patru etape ale modelării?

Toate problemele lecției se rezolvă după aceeași schemă. O numim, ca să o poți cita: cele patru etape ale modelării.

Etapa 1 — variabila și intervalul. Alegi ce se mișcă și de unde se măsoară: poziția corpului, înălțimea feliei, distanța până la centru. Scrii intervalul $[a,b]$ cu unitățile transformate în metri. Etapa 2 — funcția de integrat. Scrii ce se acumulează pe o bucată infinitezimală: forța $F(x)$, sau greutatea feliei înmulțită cu drumul ei. Verifici că produsul are unitatea de energie. Etapa 3 — integrala. Calculezi cu formula Leibniz–Newton, folosind, unde e cazul, schimbarea de variabilă pentru integrala definită. Etapa 4 — răspunsul cu unitate și control. Scrii rezultatul în jouli și verifici ordinul de mărime pe cazul constant: dacă forța ar fi fost tot timpul egală cu valoarea ei maximă, cât ar fi ieșit? Rezultatul tău trebuie să fie mai mic.

O legătură utilă: raportul $\frac{L}{b-a}$ este forța medie pe deplasare, adică valoarea medie a funcției $F$ în sensul teoremei de medie. Ea răspunde la întrebarea „cu ce forță constantă ai fi obținut același lucru mecanic?" — și, prin aceeași teoremă, această forță este efectiv atinsă undeva pe drum. Pasul de traducere din enunț în funcții e cel exersat și în aplicațiile derivatelor în fizică, la clasa a XI-a; ce se schimbă e unealta, nu modul de citire a problemei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O forță dată prin formulă

Un corp este deplasat de-a lungul axei $Ox$ de la $x=0$ la $x=2$ metri, sub acțiunea forței $F(x)=3x^2+2$ newtoni. Calculează lucrul mecanic efectuat.

Rezolvare. Forța e continuă pe $[0,2]$, deci $$L={\int }_0^2\left(3x^2+2\right)dx=\left(x^3+2x\right){|}_0^2=8+4=12\text{J}.$$ Control: forța maximă este $F(2)=14$ N, care pe doi metri ar da $28$ J; rezultatul $12$ J este mai mic, cum trebuie.

Exemplul 2 — Întinderea unui arc

Un arc cu constanta elastică $k=500$ N/m se întinde de la lungimea naturală cu $20$ de centimetri. Ce lucru mecanic se efectuează?

Rezolvare. Transformăm în metri: $d=0,2$ m. Forța este $F(x)=500x$ newtoni, deci $$L={\int }_0^{0,2}500xdx=250x^2{|}_0^{0,2}=250\cdot 0,04=10\text{J}.$$ Dacă am fi lăsat centimetrii, am fi obținut $250\cdot 400=100000$, un număr fără sens fizic.

Exemplul 3 — Găleata și cablul

O găleată de $100$ de newtoni se ridică dintr-o fântână adâncă de $20$ de metri, cu un cablu care cântărește $5$ newtoni pe metru. Ce lucru mecanic se efectuează?

Rezolvare. Etapa 1: variabila $x$ = înălțimea găleții deasupra fundului, $x\in [0,20]$. Etapa 2: la înălțimea $x$ mai atârnă $20-x$ metri de cablu, deci $F(x)=100+5(20-x)=200-5x$ newtoni. Etapa 3: $$L={\int }_0^{20}(200-5x)dx=\left(200x-\frac{5x^2}{2}\right){|}_0^{20}=4000-1000=3000\text{J}.$$ Etapa 4: rezultatul, $3$ kilojouli, este între $100\cdot 20=2000$ J (dacă ar fi doar găleata) și $200\cdot 20=4000$ J (dacă forța ar rămâne tot timpul $200$ N). ✓

Exemplul 4 — Pomparea apei dintr-un rezervor

Un rezervor cilindric cu raza de $1$ metru și înălțimea de $4$ metri este plin cu apă. Ce lucru mecanic e necesar pentru a pompa toată apa peste marginea de sus? Se iau $\rho =1000$ kg/m${}^3$ și $g\approx 10$ m/s${}^2$.

Rezolvare. Aici se însumează pe felii, nu pe poziția unui corp. Fie $y$ înălțimea unei felii deasupra fundului, $y\in [0,4]$. Felia de grosime $\Delta y$ are volumul $\pi \Delta y$, masa $1000\pi \Delta y$ și greutatea $10000\pi \Delta y$ newtoni; ea urcă pe distanța $4-y$. Prin urmare $$L={\int }_0^{4}10000\pi (4-y)dy=10000\pi \left(4y-\frac{y^2}{2}\right){|}_0^4=80000\pi \approx 251327\text{J}.$$ Control: toată apa cântărește $10000\pi \cdot 4\approx 125664$ N; dacă fiecare picătură ar urca patru metri, ar ieși de două ori mai mult decât rezultatul nostru — corect, pentru că distanța medie de ridicare este exact jumătate din înălțime.

Exemplul 5 — O forță care scade cu distanța

Un corp se deplasează pe direcția unei forțe $F(x)=\frac{40}{x^2}$ newtoni, de la $x=2$ metri la $x=5$ metri. Calculează lucrul mecanic.

Rezolvare. Funcția e continuă pe $[2,5]$, interval care nu conține originea. Atunci $$L={\int }_2^5\frac{40}{x^2}dx=40{\int }_2^5{x}^{-2}dx=-\frac{40}{x}{|}_2^5=-8+20=12\text{J}.$$ Forța medie este $\frac{12}{3}=4$ newtoni, iar ea se atinge acolo unde $\frac{40}{c^2}=4$, adică la $c=\sqrt{10}\approx 3,1622777$ metri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un corp se deplasează pe axa $Ox$ de la $x=0$ la $x=3$ (metri), sub acțiunea forței $F:[0,3]\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{12}{(x+1{)}^2}$ (newtoni).

a) Calculează lucrul mecanic efectuat. b) Determină forța medie pe această deplasare și punctul în care ea este atinsă. c) Arată că lucrul mecanic efectuat pe prima jumătate a drumului este mai mare decât cel efectuat pe a doua jumătate.

Rezolvare. a) Cu schimbarea de variabilă $t=x+1$, sau direct prin recunoașterea primitivei, $$L={\int }_0^3\frac{12}{(x+1{)}^2}dx=-\frac{12}{x+1}{|}_0^3=-3+12=9\text{J}.$$

b) Forța medie este $\frac{L}{3-0}=\frac{9}{3}=3$ newtoni. Ecuația $\frac{12}{(c+1{)}^2}=3$ dă $(c+1{)}^2=4$, deci $c+1=2$ și $c=1$ metru (soluția $c=-3$ nu e în interval). Deci forța medie se atinge la un metru de la start.

c) Pe $\left[0,\frac{3}{2}\right]$: $L_1=-\frac{12}{x+1}{|}_0^{3/2}=-\frac{24}{5}+12=\frac{36}{5}=7,2$ J. Pe $\left[\frac{3}{2},3\right]$: $L_2=9-7,2=1,8$ J. Într-adevăr $L_1>L_2$, iar explicația e că forța scade: prima jumătate a drumului se parcurge contra unor forțe mult mai mari. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare problemă scrie întâi funcția-forță și intervalul, apoi integrala, apoi rezultatul cu unitate.

1. Calculează lucrul mecanic al forței $F(x)=6x$ N pe deplasarea de la $x=0$ la $x=2$ m.

2. Calculează lucrul mecanic al forței constante $F(x)=4$ N pe $[0,5]$ m și verifică formula din gimnaziu.

3. Calculează lucrul mecanic al forței $F(x)=x^2$ N pe $[0,3]$ m.

4. Un arc cu $k=300$ N/m se întinde cu $40$ de centimetri. Calculează lucrul mecanic.

5. Același arc, cu $k=800$ N/m, se întinde de la $20$ la $50$ de centimetri. Calculează lucrul mecanic.

6. Calculează lucrul mecanic al forței $F(x)=\frac{18}{x^2}$ N pe deplasarea de la $x=1$ m la $x=3$ m.

7. Calculează lucrul mecanic al forței $F(x)=\sin x$ N pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ m.

8. Calculează lucrul mecanic al forței $F(x)=e^x$ N pe $[0,\ln 3]$ m.

9. O găleată de $60$ de newtoni se ridică dintr-o fântână adâncă de $10$ metri, cu un cablu de $4$ newtoni pe metru. Calculează lucrul mecanic.

10. Un rezervor cilindric cu raza de $2$ metri și înălțimea de $3$ metri, plin cu apă, se golește pompând apa peste marginea de sus. Calculează lucrul mecanic, cu $\rho =1000$ kg/m${}^3$ și $g\approx 10$ m/s${}^2$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În formula $L={\int }_a^{b}F(x)dx$, litera $F$ înseamnă o primitivă a forței."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Lucrul mecanic al unei forțe de $10$ N pe o deplasare de $3$ m este ${\int }_0^{3}10dx=30$ J."

13. Arată că lucrul mecanic necesar pentru a întinde un arc de constantă $k$ de la deformarea $x_1$ la deformarea $x_2$ este $\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}$.

14. Pentru $F(x)=6x$ N pe $[0,2]$ m, determină forța medie și poziția în care ea este atinsă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Un corp se deplasează sub acțiunea forței $F(x)=\frac{1}{x+1}$ newtoni, de la $x=0$ la $x=e-1$ metri. Calculează lucrul mecanic și forța medie.

16. (Problemă aplicată.) Un resort de amortizor are constanta elastică $k=250$ N/m și se comprimă cu $8$ centimetri la trecerea peste o denivelare. Câtă energie preia resortul?

17. Calculează lucrul mecanic al forței $F(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$ N pe $[0,3]$ m. (Indicație: schimbare de variabilă.)

18. (Provocare.) Un lanț de $10$ metri, cu masa de $3$ kilograme pe metru, atârnă complet de pe marginea unei terase. Ce lucru mecanic se efectuează pentru a-l trage în întregime sus? Se ia $g\approx 10$ m/s${}^2$. (Indicație: felii, ca la pomparea apei.)

Răspunsuri și explicații

1. $L={\int }_0^{2}6xdx=3x^2{|}_0^2=12$ J.

2. $L={\int }_0^{5}4dx=4\cdot 5=20$ J, exact produsul dintre forță și distanță — formula veche e cazul particular al celei noi.

3. $L={\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^3=9$ J.

4. $d=0,4$ m, deci $L=\frac{300\cdot 0,16}{2}=24$ J.

5. $x_1=0,2$ m, $x_2=0,5$ m, deci $L=\frac{800(0,25-0,04)}{2}=400\cdot 0,21=84$ J. Formula greșită $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}$ ar da $36$ J.

6. $L=18\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)=18\cdot \frac{2}{3}=12$ J.

7. $L=-\cos x{|}_0^{\pi /2}=0+1=1$ J.

8. $L=e^x{|}_0^{\ln 3}=3-1=2$ J.

9. $F(x)=60+4(10-x)=100-4x$ newtoni, pentru $x\in [0,10]$. Atunci $L={\int }_0^{10}(100-4x)dx=1000-200=800$ J.

10. Felia de la înălțimea $y$ are greutatea $1000\cdot 10\cdot \pi \cdot 4\Delta y=40000\pi \Delta y$ newtoni și urcă $3-y$ metri, deci $L={\int }_0^{3}40000\pi (3-y)dy=40000\pi \cdot \frac{9}{2}=180000\pi \approx 565487$ J.

11. Fals. $F$ este chiar forța, adică funcția de integrat; unitatea ei este newtonul. Primitiva ei apare doar ca instrument de calcul, prin formula Leibniz–Newton, iar valorile ei se măsoară în jouli.

12. Adevărat. Forța fiind constantă, integrala se reduce la produsul $10\cdot 3=30$, iar rezultatul se scrie în jouli.

13. $L={\int }_{x_1}^{x_2}kxdx=\frac{k{x}^2}{2}{|}_{x_1}^{x_2}=\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}$. Expresia $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}$ ar fi corectă doar dacă forța ar începe iar de la zero în $x_1$, ceea ce nu e cazul: arcul e deja întins.

14. $L=12$ J (exercițiul $1$), deci forța medie este $\frac{12}{2}=6$ newtoni. Din $6c=6$ rezultă $c=1$ metru, mijlocul deplasării — cum se întâmplă întotdeauna la forțe de gradul întâi.

15. $L=\ln (x+1){|}_0^{e-1}=\ln e-\ln 1=1$ J. Forța medie este $\frac{1}{e-1}\approx 0,5819767$ newtoni.

16. $d=0,08$ m, deci $L=\frac{250\cdot 0,0064}{2}=0,8$ jouli. Transformarea centimetrilor în metri e obligatorie; cu $8$ în loc de $0,08$ ar fi ieșit $8000$ J, adică de zece mii de ori mai mult.

17. Cu $u=x^2+16$, avem $u^{\prime }=2x$, deci integrandul este $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, a cărui primitivă este $\sqrt{u}$. Atunci $L=\sqrt{x^2+16}{|}_0^3=5-4=1$ J.

18. Fie $x$ distanța de la marginea terasei până la o felie de lanț, $x\in [0,10]$. Felia de lungime $\Delta x$ are masa $3\Delta x$ kilograme și greutatea $30\Delta x$ newtoni, iar ea trebuie ridicată exact cu $x$ metri. Deci $L={\int }_0^{10}30xdx=15x^2{|}_0^{10}=1500$ J. Verificare: întregul lanț cântărește $300$ N, iar centrul lui de greutate urcă $5$ metri, ceea ce dă tot $1500$ J.

De reținut

• Lucrul mecanic al unei forțe variabile care acționează de-a lungul deplasării este $L={\int }_a^{b}F(x)dx$, iar pentru $F$ constantă formula se reduce la produsul dintre forță și distanță.
• În această formulă $F$ este forța, măsurată în newtoni, nu o primitivă; rezultatul $L$ se măsoară în jouli, cu $1$ J $=$ $1$ N $\cdot$ m.
• Pentru un arc care respectă legea lui Hooke, $F(x)=kx$, lucrul mecanic de la deformarea $x_1$ la $x_2$ este $\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}$, nu $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}$.
• La problemele în care fiecare porțiune de material parcurge un drum diferit — pomparea unui lichid, ridicarea unui lanț — se integrează greutatea feliei înmulțită cu drumul ei, după poziția feliei.
• Raportul $\frac{L}{b-a}$ este forța medie, adică valoarea medie a funcției $F$ pe deplasare, și, prin teorema de medie, ea este efectiv atinsă undeva pe drum.

Greșeli frecvente

• Scrii $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}$ la întinderea unui arc deja întins. Formula $\frac{k{d}^2}{2}$ e valabilă numai pornind de la lungimea naturală. Corect este $\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}$; pentru $k=200$ N/m, de la $0,1$ la $0,3$ m, iese $8$ J, nu $4$ J.
• Lași centimetrii în integrală. Unitățile trebuie transformate în metri înainte de calcul, altfel rezultatul nu e în jouli. La un arc, greșeala schimbă rezultatul de zece mii de ori, pentru că deformarea intră la pătrat.
• Aplici $\int Fdx$ la pomparea unui lichid. Acolo nu se mișcă un singur corp: fiecare felie are drumul ei. Se integrează greutatea feliei înmulțită cu distanța de ridicare, ca la tăierea în felii de la volumele corpurilor de rotație.
• Confunzi $F$ din formulă cu primitiva. În unitatea de primitive litera $F$ a însemnat primitiva lui $f$; aici e forța, adică funcția de integrat. Citește întotdeauna unitatea de măsură: newtoni sub integrală, jouli după.
• Uiți unitatea la rezultat. O problemă de fizică fără unitate la răspuns pierde punct la Bacalaureat M1, oricât de corect ar fi numărul. Scrie „$L=12$ J", nu „$L=12$".

Aplică acasă

1. Arcul din pix. Scoate arcul dintr-un pix cu bilă și estimează-i constanta elastică: atârnă de el un obiect de masă cunoscută, măsoară alungirea în metri și folosește $k=\frac{mg}{x}$ cu $g\approx 10$ m/s${}^2$. Calculează apoi energia acumulată la o comprimare de un centimetru și compar-o cu energia unui bob de orez căzut de la un metru, care este de ordinul a $0,0003$ jouli.

2. Găleata din fântână, pe hârtie. Ia o găleată de $80$ de newtoni și o fântână de $15$ metri, cu un cablu de $3$ newtoni pe metru. Scrie funcția-forță, calculează lucrul mecanic și apoi răspunde: ce procent din energie s-a consumat pentru ridicarea cablului și nu a apei? Repetă socoteala pentru o fântână de $30$ de metri și compară procentele.

3. Rezervorul din curte. Măsoară dimensiunile unui butoi cilindric și calculează lucrul mecanic necesar pentru a-i goli conținutul peste marginea de sus. Compară rezultatul cu energia consumată de un bec de $10$ wați într-o oră, adică $36000$ de jouli, și scrie o frază despre ce înseamnă asta pentru puterea unei pompe.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă primul dintre exemplele de modelare cerute expres de programă la competența XII.CS.6.6: „calcularea lucrului mecanic efectuat de o forță variabilă". Matematica implicată este elementară — integrale de funcții polinomiale, raționale simple și trigonometrice, toate deja stăpânite. Dificultatea reală, și cea pe care lecția o exersează sistematic, este modelarea: alegerea variabilei, scrierea funcției-forță și disciplina unităților de măsură.

Ce verifică lecția: (1) scrierea formulei $L={\int }_a^{b}F(x)dx$ cu identificarea corectă a lui $F$ ca forță; (2) aplicarea ei la legea lui Hooke, inclusiv la întinderea dintre două deformări nenule; (3) construirea funcției-forță în problema cablului; (4) recunoașterea faptului că pomparea unui lichid cere tăierea în felii, nu formula principală; (5) scrierea rezultatului cu unitate.

Întrebări bune de control: „Ce reprezintă $F$ aici?", „De ce nu e $L=F\cdot d$?", „De ce la arc apare pătratul?", „Prin ce diferă găleata de rezervorul cu apă?". La BAC M1, o problemă de acest tip apare ca modelare într-un subpunct de la Subiectul al III-lea, de obicei împreună cu o cerință de forță medie. Semn că elevul a înțeles: începe prin a scrie explicit ce este variabila și de unde se măsoară, înainte de orice integrală.

Întrebări frecvente

Care este formula lucrului mecanic al unei forțe variabile? Este $L={\int }_a^{b}F(x)dx$, unde $F(x)$ este forța din poziția $x$, iar $a$ și $b$ sunt pozițiile de start și de sosire, măsurate pe direcția forței. Rezultatul se exprimă în jouli. Pentru o forță constantă formula se reduce la produsul cunoscut dintre forță și distanță.

De ce nu se mai poate înmulți forța cu distanța? Pentru că nu există o singură forță de înmulțit: ea se schimbă de-a lungul drumului. Se taie atunci drumul în bucăți scurte, pe care forța e aproape constantă, se înmulțește pe fiecare bucată și se adună. Suma este o sumă Riemann, iar limita ei este integrala definită.

Cum se calculează lucrul mecanic la întinderea unui arc? Se folosește legea lui Hooke, $F(x)=kx$, cu $k$ în newtoni pe metru și $x$ deformarea în metri. Lucrul mecanic de la lungimea naturală până la deformarea $d$ este $\frac{k{d}^2}{2}$, iar între două deformări $x_1$ și $x_2$ este $\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}$.

De ce problema pompării apei se rezolvă altfel? Pentru că acolo nu se deplasează un singur corp: fiecare strat de apă parcurge o distanță proprie, cea de la nivelul lui până la marginea rezervorului. Se taie apa în felii orizontale, se scrie greutatea fiecărei felii și distanța ei de ridicare, se înmulțesc și se integrează după înălțimea feliei.

Ce unități de măsură se folosesc? Forța în newtoni, deplasarea în metri, lucrul mecanic în jouli, cu $1$ J $=$ $1$ N $\cdot$ m; constanta elastică în newtoni pe metru. Dacă enunțul dă centimetri, se transformă în metri înainte de integrare, altfel rezultatul nu mai are sens fizic.

Ce înseamnă forța medie și cum se calculează? Forța medie pe deplasarea $[a,b]$ este $\frac{L}{b-a}$, adică valoarea medie a funcției-forță pe interval. Ea răspunde la întrebarea cu ce forță constantă s-ar fi obținut același lucru mecanic, iar teorema de medie garantează că este efectiv atinsă într-un punct al drumului.

Se poate calcula lucrul mecanic până la infinit, la forțe gravitaționale? În programa clasei a XII-a nu se lucrează cu integrale pe intervale nemărginite. Se calculează $L(b)=k\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ pentru un capăt finit și se studiază limita acestei expresii când $b$ tinde la infinit, ceea ce dă $\frac{k}{a}$. Concluzia se formulează ca limită, nu ca integrală.