Lucrul mecanic al unei forțe variabile: pe scurt

Lucrul mecanic al unei forțe variabile care acționează de-a lungul deplasării este $L={\int }_a^{b}F(x)dx$; pentru $F$ constantă formula se reduce la produsul dintre forță și distanță. Aici $F$ este forța, măsurată în newtoni, nu o primitivă — litera este aceeași ca la unitatea de primitive, iar unitatea de măsură o deosebește: newtoni sub integrală, jouli după, cu $1$ J $=$ $1$ N $\cdot$ m. Cele patru etape ale modelării sunt: variabila și intervalul, funcția cu unitățile ei, integrala, apoi răspunsul cu unitate și control. Pentru un arc care respectă legea lui Hooke, $F(x)=kx$, lucrul mecanic de la deformarea $x_1$ la $x_2$ este $\frac{k\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2}$, nu $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}$: a doua formulă este valabilă numai pornind de la lungimea naturală. Unitățile se transformă în metri înainte de calcul — deformarea intrând la pătrat, centimetrii lăsați în integrală schimbă rezultatul de zeci de mii de ori. La problemele în care fiecare porțiune de material parcurge un drum diferit — pomparea unui lichid, ridicarea unui lanț — nu se aplică $\int Fdx$, ci se integrează greutatea feliei înmulțită cu drumul ei, după poziția feliei. Raportul $\frac{L}{b-a}$ este forța medie, efectiv atinsă undeva pe drum, prin teorema de medie.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un arc cu constanta elastică $k=600$ N/m este întins de la deformarea $0,1$ m la deformarea $0,2$ m. Lucrul mecanic efectuat este:

   • a) $3$ J
   • b) $12$ J
   • c) $4,5$ J
   • d) $9$ J
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $9$ J

   Cu legea lui Hooke, $L={\int }_{0,1}^{0,2}600xdx=300x^2{|}_{0,1}^{0,2}=300(0,04-0,01)=9$ J. Varianta $3$ J vine din formula $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}=\frac{600\cdot 0,01}{2}$, valabilă numai dacă arcul pornește de la lungimea naturală — aici el este deja întins cu $0,1$ m.

2. În formula $L={\int }_a^{b}F(x)dx$, litera $F$ înseamnă:

   • a) o primitivă a funcției $f$
   • b) lucrul mecanic
   • c) forța, măsurată în newtoni
   • d) forța medie pe intervalul $[a,b]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) forța, măsurată în newtoni

   La unitatea de primitive $F$ nota primitiva lui $f$; aici $F$ este forța, adică tocmai funcția de integrat. Deosebirea se citește din unitatea de măsură: sub integrală newtoni, după integrală jouli. Lucrul mecanic este $L$, iar forța medie este $\frac{L}{b-a}$, un număr, nu o funcție.

3. Într-o problemă cu arc, deformările sunt date în centimetri, iar constanta elastică în N/m. Ce trebuie făcut?

   • a) se integrează direct, unitățile nu contează
   • b) se transformă deformările în metri înainte de calcul
   • c) se transformă constanta în N/cm după calcul
   • d) se împarte rezultatul la $100$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) se transformă deformările în metri înainte de calcul

   Unitățile se aduc la același sistem înainte de integrare, altfel rezultatul nu este în jouli. La un arc, deformarea intră la pătrat, deci o confuzie centimetri–metri schimbă rezultatul de $10000$ de ori, nu de $100$ — de aceea varianta d) este și ea greșită.