Aplicații ale derivatelor în fizică și în alte domenii

Un tren încetinește la intrarea în stație. O pată de ulei se lățește pe apă. O doză de medicament urcă în sânge, atinge un vârf și scade. O colonie de bacterii se înmulțește repede, apoi tot mai încet. Toate patru sunt povești despre cât de repede se schimbă ceva — și toate se scriu cu același simbol.

Programa cere explicit „aplicații ale derivatelor în contexte date de alte domenii", iar lecția aceasta le adună. Nu ai nevoie de cunoștințe suplimentare din fizică, din chimie sau din biologie: fiecare mărime folosită este definită chiar în enunțul problemei, cu unitatea ei. Ce se cere de la tine este strict matematică — o derivată, un semn, un tabel — plus grija de a traduce rezultatul înapoi în limbajul domeniului.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești derivata ca viteză de variație a unei mărimi față de alta și să-i scrii corect unitatea de măsură.
• Vei ști să lucrezi cu poziția, viteza și accelerația în mișcarea pe o dreaptă și să deosebești distanța parcursă de deplasare.
• Vei ști să legi viteza medie de viteza instantanee prin teorema lui Lagrange.
• Vei ști să rezolvi probleme cu viteze de variație corelate, în care o mărime depinde de alta care, la rândul ei, depinde de timp.
• Vei ști să determini regimul de eficiență energetică maximă, minimizând un consum raportat la unitate.
• Vei ști să interpretezi punctul de inflexiune ca moment de schimbare a ritmului într-un proces de creștere.

Hai să descoperim împreună

1. Derivata este o viteză de variație

Fie $y=f(x)$ o legătură între două mărimi. Raportul $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ este variația medie a lui $y$ pe intervalul dintre $x_0$ și $x$: cu cât se schimbă $y$ pentru fiecare unitate de $x$. Limita lui, adică $f^{\prime }(x_0)$, este viteza de variație instantanee în $x_0$.

De aici se citește imediat unitatea derivatei: dacă $y$ se măsoară în metri și $x$ în secunde, $f^{\prime }$ se măsoară în metri pe secundă; dacă $y$ este în litri și $x$ în kilometri, $f^{\prime }$ este în litri pe kilometru; dacă $y$ este în lei și $x$ în bucăți, $f^{\prime }$ este în lei pe bucată, așa cum ai văzut la optimizarea în economie.

Regula unităților: unitatea derivatei este unitatea mărimii derivate împărțită la unitatea variabilei. Este cea mai ieftină verificare a unui rezultat aplicat și prinde majoritatea greșelilor de model.

Semnul are și el o traducere fixă: $f^{\prime }>0$ înseamnă „mărimea crește", $f^{\prime }<0$ înseamnă „mărimea scade", iar $f^{\prime }=0$ înseamnă „mărimea staționează în acel moment". Iar $f^{\prime \prime }$ spune cum se schimbă însuși ritmul: cu $f^{\prime \prime }>0$ ritmul crește, cu $f^{\prime \prime }<0$ ritmul scade.

2. Mișcarea pe o dreaptă: poziție, viteză, accelerație

Un mobil se deplasează pe o dreaptă pe care s-a fixat o origine și un sens. Poziția lui la momentul $t$ este $x(t)$, măsurată în metri, cu $t$ în secunde. Atunci, prin definiție:

• viteza este $v(t)=x^{\prime }(t)$, în metri pe secundă;
• accelerația este $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$, în metri pe secundă la pătrat — este chiar derivata de ordinul al doilea a poziției.

Semnul vitezei dă sensul mișcării: $v>0$ înseamnă deplasare în sensul pozitiv al axei, $v<0$ în sens invers. Momentele cu $v(t)=0$ sunt cele în care mobilul se oprește, eventual pentru a se întoarce. Cât despre accelerație, regula de citit este:

Mobilul accelerează (viteza crește în valoare absolută) când $v$ și $a$ au același semn și frânează când au semne contrare.

Luăm $x(t)=t^3-6t^2+9t$, pe intervalul $[0,4]$. Atunci $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ și $a(t)=6t-12$. Viteza se anulează în $t=1$ și $t=3$, accelerația în $t=2$. Valorile: $x(0)=0$, $x(1)=4$, $x(2)=2$, $x(3)=0$, $x(4)=4$.

Citirea tabelului: mobilul pleacă din origine, merge în sens pozitiv până la $x=4$ (atins la $t=1$), se întoarce și coboară până în origine (la $t=3$), apoi pleacă din nou înainte, ajungând la $x=4$ în momentul $t=4$. Momentul $t=2$ este punct de inflexiune al funcției de poziție — adică $(2,2)$ este punct de inflexiune al graficului ei: acolo accelerația își schimbă semnul, deci mobilul trece de la frânat la accelerat în sens negativ.

3. Distanța parcursă nu este deplasarea

Aici se pierde cel mai des punctajul. Deplasarea pe intervalul $[t_1,t_2]$ este diferența $x(t_2)-x(t_1)$; ea poate fi negativă sau nulă. Distanța parcursă este lungimea totală a drumului, care se obține adunând variațiile în modul, pe fiecare interval de monotonie separat.

Pentru mișcarea de mai sus, pe $[0,4]$: $$|x(1)-x(0)|+|x(3)-x(1)|+|x(4)-x(3)|=4+4+4=12\text{ m},$$ în timp ce deplasarea este $x(4)-x(0)=4$ m. Rețeta este simplă: se taie intervalul în punctele unde $v$ se anulează și se adună modulele variațiilor.

4. Viteza medie și teorema lui Lagrange

Viteza medie pe $[t_1,t_2]$ se definește ca deplasare împărțită la durată: $$v_{\text{med}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.$$ Pentru mișcarea noastră, pe $[0,4]$, $v_{\text{med}}=\frac{4-0}{4}=1$ m/s, deși distanța parcursă împărțită la timp dă $\frac{12}{4}=3$ m/s. Sunt două mărimi diferite, cu nume care seamănă; enunțul spune întotdeauna care se cere.

Ce leagă viteza medie de cea instantanee este teorema lui Lagrange: funcția $x$ fiind continuă pe $[0,4]$ și derivabilă pe $(0,4)$, există $c\in (0,4)$ cu $v(c)=v_{\text{med}}=1$. Într-adevăr, $3c^2-12c+9=1$ dă $3c^2-12c+8=0$, cu soluțiile $c=2\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$, ambele în $(0,4)$.

Interpretarea fizică a teoremei lui Lagrange: oricum ai circula, există cel puțin un moment în care viteza indicată de vitezometru este exact viteza medie a călătoriei. Acesta este argumentul matematic al radarului care măsoară media pe tronson.

5. Viteze de variație corelate

Uneori mărimea căutată nu depinde direct de timp, ci de altceva care depinde de timp. Atunci se folosește derivarea funcțiilor compuse.

Model. O pată circulară de ulei își mărește raza cu $2$ cm în fiecare secundă. Cu ce viteză crește aria ei în momentul în care raza este de $10$ cm?

Notăm cu $r(t)$ raza, în centimetri, la momentul $t$, în secunde; se dă $r^{\prime }(t)=2$. Aria petei este $\mathcal{S}(t)=\pi r(t{)}^2$, deci $${\mathcal{S}}^{\prime }(t)=2\pi r(t)r^{\prime }(t).$$ În momentul în care $r=10$ obținem ${\mathcal{S}}^{\prime }=2\pi \cdot 10\cdot 2=40\pi$ centimetri pătrați pe secundă. Observă că răspunsul depinde de rază: aceeași creștere a razei mărește mult mai mult aria unei pete mari decât a uneia mici.

Rețeta, în trei pași: (1) scrie relația dintre mărimi, ca formulă; (2) derivează în raport cu timpul, tratând fiecare mărime ca funcție de $t$; (3) înlocuiește valorile din momentul cerut, la final, nu înainte de derivare. Pasul trei este ordinea care contează: dacă înlocuiești $r=10$ înainte de a deriva, obții derivata unei constante, adică zero.

6. Eficiența energetică: consumul minim

Un autoturism consumă, la viteză constantă $v$ (în kilometri pe oră), o cantitate de carburant dată de $$Q(v)=2,25+\frac{v^2}{1600}\text{litri pe ora˘},v>0.$$ Termenul constant acoperă funcționarea de bază a motorului, iar cel pătratic crește cu viteza, din cauza rezistenței aerului. Întrebarea utilă nu este însă „cât se consumă pe oră", ci „cât se consumă pe kilometru", pentru că drumul are o lungime fixă. Într-o oră se parcurg $v$ kilometri, deci consumul pe kilometru este $$c(v)=\frac{Q(v)}{v}=\frac{2,25}{v}+\frac{v}{1600},v>0.$$ Derivăm: $c^{\prime }(v)=-\frac{2,25}{v^2}+\frac{1}{1600}=\frac{v^2-3600}{1600v^2}$, care se anulează pentru $v=60$ și schimbă semnul din $-$ în $+$.

Citirea tabelului: consumul pe kilometru scade până la $60$ km/h și crește după. Minimul este $c(60)=0,0375+0,0375=0,075$ litri pe kilometru, adică $7,5$ litri la $100$ de kilometri. Prea încet este risipă (motorul merge mult timp pentru puțin drum), prea repede la fel (rezistența aerului). Structura este identică cu cea de la costul mediu: și aici, în punctul optim, „marginalul" $Q^{\prime }(60)=0,075$ egalează media $c(60)$.

7. Alte domenii: concentrații, populații, temperaturi

Farmacologie. Concentrația unui medicament în sânge, în miligrame pe litru, la $t$ ore de la administrare, este $c(t)=12\left(e^{-t}-e^{-2t}\right)$, $t\ge 0$. Atunci $$c^{\prime }(t)=12\left(-e^{-t}+2e^{-2t}\right)=12e^{-2t}\left(2-e^t\right).$$ Cum $e^{-2t}>0$, semnul este dat de $2-e^t$: pozitiv pentru $t<\ln 2$, negativ după. Deci concentrația crește până la $t=\ln 2\approx 0,69$ ore și scade apoi, cu maximul $c(\ln 2)=12\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=3$ mg/l.

Biologie. O cultură de bacterii are, după $t$ ore, $N(t)=30t^2-t^3$ mii de indivizi, $t\in [0,20]$. Ritmul de creștere este $N^{\prime }(t)=60t-3t^2$, iar $N^{\prime \prime }(t)=60-6t$ se anulează în $t=10$, cu schimbare de semn. Prin urmare $t=10$ este punct de inflexiune: până acolo ritmul crește, după aceea scade, deși populația continuă să crească. Ritmul maxim este $N^{\prime }(10)=300$ de mii de indivizi pe oră, atins când populația este $N(10)=2000$ de mii, adică exact jumătate din maximul final $N(20)=4000$ de mii.

Punctul de inflexiune este „momentul de cotitură": nu punctul în care mărimea e maximă, ci acela în care ritmul ei e maxim. Este exact ce descriu punctele de inflexiune în limbaj geometric.

Răcire. Temperatura unui obiect scos din cuptor, în grade Celsius, este $T(t)=20+60e^{-t/10}$, cu $t$ în minute. Atunci $T^{\prime }(t)=-6e^{-t/10}$, mereu negativă: obiectul se răcește tot timpul. La $t=0$, ritmul este $T^{\prime }(0)=-6$ grade pe minut; la $t=10$, doar $T^{\prime }(10)=-\frac{6}{e}\approx -2,21$ grade pe minut. Cu cât obiectul e mai apropiat de temperatura camerei, cu atât se răcește mai încet.

8. Cum se rezolvă corect o problemă aplicată

Cinci reguli care se aplică oricărui domeniu:

1. Nu presupune nimic din afara enunțului. Toate mărimile și legile de care ai nevoie sunt scrise acolo; tu ești matematician, nu fizician.
2. Notează fiecare mărime cu unitatea ei, înainte de primul calcul.
3. Verifică unitatea derivatei după ce o calculezi; dacă îți iese „litri pe oră" acolo unde ai nevoie de „litri pe kilometru", modelul e greșit.
4. Derivează întâi, înlocuiește la final. Valorile numerice ale momentului se pun după derivare.
5. Încheie cu o propoziție. „$t=\ln 2$" nu este răspunsul; „concentrația maximă, de $3$ mg/l, se atinge după $\ln 2$ ore, adică aproximativ $41$ de minute" este.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Distanță parcursă și deplasare

Un mobil se mișcă pe o dreaptă după legea $x(t)=t^3-9t^2+24t$ (metri, $t$ în secunde), $t\in [0,5]$. Aflați momentele de oprire, deplasarea și distanța parcursă.

Rezolvare. $v(t)=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)$, deci mobilul se oprește la $t=2$ și $t=4$. Semnul vitezei: pozitiv pe $[0,2)$, negativ pe $(2,4)$, pozitiv pe $(4,5]$.

Valorile: $x(0)=0$, $x(2)=8-36+48=20$, $x(4)=64-144+96=16$, $x(5)=125-225+120=20$.

Deplasarea este $x(5)-x(0)=20$ m. Distanța parcursă este $$|20-0|+|16-20|+|20-16|=20+4+4=28\text{ m}.$$ Mobilul a mers $20$ m înainte, $4$ m înapoi și încă $4$ m înainte.

Exemplul 2 — Cădere și viteză la impact

Înălțimea unui obiect deasupra solului este $h(t)=45-5t^2$ metri, cu $t$ în secunde, până în momentul atingerii solului. Aflați acest moment, viteza la impact și accelerația.

Rezolvare. Solul înseamnă $h(t)=0$, adică $5t^2=45$, deci $t=3$ secunde (soluția negativă nu are sens fizic).

Viteza este $h^{\prime }(t)=-10t$, deci $h^{\prime }(3)=-30$ metri pe secundă. Semnul minus arată că mișcarea se face în jos, adică înălțimea scade; mărimea vitezei la impact este de $30$ m/s.

Accelerația este $h^{\prime \prime }(t)=-10$ metri pe secundă la pătrat, constantă — mișcarea este uniform accelerată. Viteza medie pe toată căderea este $\frac{h(3)-h(0)}{3}=\frac{0-45}{3}=-15$ m/s, iar prin teorema lui Lagrange există $c\in (0,3)$ cu $h^{\prime }(c)=-15$; într-adevăr, $-10c=-15$ dă $c=1,5$ secunde.

Exemplul 3 — Viteze de variație corelate

a) Latura unui cub crește cu $0,2$ cm pe secundă. Cu ce viteză crește volumul în momentul în care latura este de $10$ cm? b) O scară de $5$ m este sprijinită de un perete vertical. Baza ei alunecă pe podea, îndepărtându-se de perete cu $1$ m/s. Cu ce viteză coboară vârful scării în momentul în care baza este la $3$ m de perete?

Rezolvare. a) Fie $\ell (t)$ latura, în centimetri; se dă ${\ell }^{\prime }(t)=0,2$. Volumul este $V(t)=\ell (t{)}^3$, deci $V^{\prime }(t)=3\ell (t{)}^2{\ell }^{\prime }(t)$. Pentru $\ell =10$: $V^{\prime }=3\cdot 100\cdot 0,2=60$ centimetri cubi pe secundă.

b) Fie $x(t)$ distanța de la bază la perete și $y(t)$ înălțimea vârfului, ambele în metri. Din teorema lui Pitagora, $x(t{)}^2+y(t{)}^2=25$. Derivăm în raport cu $t$: $$2x(t)x^{\prime }(t)+2y(t)y^{\prime }(t)=0\Rightarrow y^{\prime }(t)=-\frac{x(t)x^{\prime }(t)}{y(t)}.$$ Pentru $x=3$ avem $y=\sqrt{25-9}=4$, iar $x^{\prime }=1$, deci $y^{\prime }=-\frac{3\cdot 1}{4}=-0,75$ m/s. Semnul minus spune că vârful coboară, cu $0,75$ metri pe secundă.

Exemplul 4 — Viteza de consum minim

Un vehicul consumă $Q(v)=4+\frac{v^2}{900}$ litri pe oră la viteza constantă $v$ (km/h). Aflați viteza la care consumul pe kilometru este minim și valoarea acestui consum.

Rezolvare. Consumul pe kilometru este $c(v)=\frac{Q(v)}{v}=\frac{4}{v}+\frac{v}{900}$, $v>0$. Derivata: $$c^{\prime }(v)=-\frac{4}{v^2}+\frac{1}{900}=\frac{v^2-3600}{900v^2},$$ care se anulează în $v=60$ și trece de la $-$ la $+$; deci $v=60$ km/h este punct de minim. Consumul minim este $c(60)=\frac{4}{60}+\frac{60}{900}=\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{2}{15}$ litri pe kilometru, adică aproximativ $13,3$ litri la $100$ de kilometri.

Exemplul 5 — Concentrația unui medicament

Concentrația unei substanțe în sânge este $c(t)=8\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)$ mg/l, cu $t\ge 0$ în ore. Determinați momentul concentrației maxime și valoarea ei.

Rezolvare. $c^{\prime }(t)=8\left(-e^{-t}+3e^{-3t}\right)=8e^{-3t}\left(3-e^{2t}\right)$. Cum $e^{-3t}>0$, semnul este dat de $3-e^{2t}$: pozitiv pentru $e^{2t}<3$, adică $t<\frac{\ln 3}{2}$, și negativ după. Deci $t_0=\frac{\ln 3}{2}\approx 0,55$ ore este punct de maxim.

Valoarea: din $e^{2t_0}=3$ obținem $e^{-t_0}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ și $e^{-3t_0}=\frac{1}{3\sqrt{3}}$, deci $$c(t_0)=8\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=8\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\approx 3,08\text{ mg/l}.$$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f:[0,20]\to \mathbb{R}$, $f(t)=30t^2-t^3$, unde $f(t)$ reprezintă numărul de bacterii (în mii) după $t$ ore. a) Calculați $f^{\prime }(t)$ și $f^{\prime \prime }(t)$. b) Determinați momentul în care ritmul de creștere a populației este maxim și valoarea acestui ritm. c) Determinați valoarea maximă a funcției $f$ pe intervalul $[0,20]$.

Rezolvare. a) $f^{\prime }(t)=60t-3t^2$ și $f^{\prime \prime }(t)=60-6t$.

b) Ritmul de creștere este $f^{\prime }$, deci îi studiem variația cu ajutorul lui $f^{\prime \prime }$. Avem $f^{\prime \prime }(t)=60-6t>0$ pentru $t<10$ și $f^{\prime \prime }(t)<0$ pentru $t>10$, deci $f^{\prime }$ crește pe $[0,10]$ și scade pe $[10,20]$: ritmul este maxim în $t=10$, cu $f^{\prime }(10)=600-300=300$ de mii de bacterii pe oră. Momentul $t=10$ este punct de inflexiune pentru $f$.

c) $f^{\prime }(t)=3t(20-t)\ge 0$ pe $[0,20]$, cu anulare doar în capete, deci $f$ este crescătoare pe tot intervalul, iar maximul se atinge în capătul din dreapta: $f(20)=12000-8000=4000$ de mii de bacterii. Observă că punctul de maxim nu este punct critic interior — este un capăt al domeniului.

Să exersăm

1. Un mobil are legea de mișcare $x(t)=t^2-8t+7$ (metri, $t$ în secunde). Aflați momentul în care se oprește și poziția lui atunci.

2. Pentru $x(t)=t^3-9t^2+24t$, calculați accelerația la $t=1$ și spuneți dacă mobilul accelerează sau frânează în acel moment.

3. Pentru mișcarea de la exercițiul 2, calculați viteza medie pe intervalul $[0,5]$ și comparați-o cu raportul dintre distanța parcursă și timp.

4. Un obiect cade după legea $h(t)=45-5t^2$ metri. Calculați viteza lui la $t=1$ și la $t=2$ și explicați creșterea.

5. (Problemă aplicată.) Raza unei sfere crește cu $3$ cm pe secundă. Cu ce viteză crește aria suprafeței ei, $\mathcal{S}=4\pi r^2$, în momentul în care raza este de $5$ cm?

6. Latura unui pătrat crește cu $0,5$ cm pe secundă. Cu ce viteză cresc perimetrul și aria când latura este de $8$ cm?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $v(t_0)=0$, atunci mobilul stă pe loc pe un interval de timp în jurul lui $t_0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Distanța parcursă este întotdeauna cel puțin egală cu valoarea absolută a deplasării."

9. Un vehicul consumă $Q(v)=4+\frac{v^2}{900}$ litri pe oră. Arătați că viteza de consum minim pe kilometru nu depinde de lungimea drumului.

10. (Problemă aplicată.) Volumul de apă rămas într-un rezervor este $V(t)=(50-t{)}^2$ litri, $t\in [0,50]$ minute. Calculați viteza de golire la $t=10$ și la $t=40$ și explicați diferența.

11. Temperatura unui obiect este $T(t)=20+60e^{-t/10}$ grade Celsius. Calculați $T^{\prime }(0)$ și $T^{\prime }(10)$ și interpretați semnul și mărimea lor.

12. Concentrația unei substanțe este $c(t)=8\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)$ mg/l. Arătați că $c$ este pozitivă pentru $t>0$ și că tinde la $0$ când $t\to +\infty$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul de inflexiune al unei curbe de creștere este momentul în care populația atinge valoarea maximă."

14. Pentru $N(t)=t^3-12t^2+45t+10$ (mii de indivizi, $t$ în luni), determinați momentele de extrem local ale populației și valorile atunci.

15. Pentru funcția de la exercițiul 14, determinați momentul în care ritmul de variație este minim și valoarea acestui ritm.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(t)=-t^3+6t^2$. Determinați valoarea maximă a lui $f$ și momentul în care ritmul de creștere $f^{\prime }$ este maxim.

17. (Problemă aplicată.) Un mobil are viteza $v(t)=3t^2-12t+9$ m/s. Aflați pe ce intervale mișcarea se face în sens pozitiv și scrieți unitatea de măsură a lui $v^{\prime }(t)$.

18. (Provocare.) Arătați că, dacă $v(t)$ și $a(t)$ au același semn pe un interval, atunci $|v(t)|$ este strict crescătoare pe acel interval, adică mobilul accelerează. Indicație: studiați semnul derivatei funcției $v^2$.

Răspunsuri și explicații

1. $v(t)=2t-8$, care se anulează în $t=4$ secunde. Poziția este $x(4)=16-32+7=-9$ metri, adică la $9$ metri în sensul negativ față de origine.

2. $a(t)=6t-18$, deci $a(1)=-12$ m/s${}^2$. Viteza la $t=1$ este $v(1)=3-18+24=9>0$. Cum $v$ și $a$ au semne contrare, mobilul frânează.

3. Viteza medie este $\frac{x(5)-x(0)}{5}=\frac{20}{5}=4$ m/s. Distanța parcursă fiind $28$ m, raportul distanță/timp este $\frac{28}{5}=5,6$ m/s. Cele două diferă pentru că mobilul s-a întors pe drum.

4. $h^{\prime }(t)=-10t$, deci $h^{\prime }(1)=-10$ m/s și $h^{\prime }(2)=-20$ m/s. Mărimea vitezei crește pentru că accelerația $h^{\prime \prime }(t)=-10$ are același semn cu viteza: mișcarea este accelerată.

5. $\mathcal{S}(t)=4\pi r(t{)}^2$, deci ${\mathcal{S}}^{\prime }(t)=8\pi r(t)r^{\prime }(t)$. Pentru $r=5$ și $r^{\prime }=3$: ${\mathcal{S}}^{\prime }=8\pi \cdot 5\cdot 3=120\pi$ centimetri pătrați pe secundă.

6. $P(t)=4\ell (t)$, deci $P^{\prime }=4{\ell }^{\prime }=2$ cm/s (nu depinde de latură). $\mathcal{S}(t)=\ell (t{)}^2$, deci ${\mathcal{S}}^{\prime }=2\ell {\ell }^{\prime }=2\cdot 8\cdot 0,5=8$ centimetri pătrați pe secundă.

7. Fals. Anularea vitezei este o proprietate a unui moment, nu a unui interval. La $x(t)=t^3-6t^2+9t$ avem $v(1)=0$, dar mobilul doar își schimbă sensul acolo; se oprește o clipă, nu staționează.

8. Adevărat. Distanța se obține adunând modulele variațiilor pe fiecare interval de monotonie, iar deplasarea este suma acelorași variații cu semn. Din inegalitatea modulului, suma modulelor este cel puțin modulul sumei; egalitatea are loc exact când mobilul nu își schimbă sensul.

9. Consumul pe kilometru este $c(v)=\frac{Q(v)}{v}$, o funcție care depinde numai de $v$. Pentru un drum de $L$ kilometri, consumul total este $L\cdot c(v)$, iar $L>0$ este o constantă care nu schimbă punctul de minim al lui $c$. Minimul rămâne la $v=60$ km/h.

10. $V^{\prime }(t)=-2(50-t)$, deci $V^{\prime }(10)=-80$ litri pe minut și $V^{\prime }(40)=-20$ litri pe minut. Semnul minus arată golirea; viteza scade în timp pentru că presiunea coloanei de apă scade odată cu nivelul.

11. $T^{\prime }(t)=-6e^{-t/10}$, deci $T^{\prime }(0)=-6$ grade pe minut și $T^{\prime }(10)=-\frac{6}{e}\approx -2,21$ grade pe minut. Semnul negativ înseamnă răcire, iar scăderea mărimii arată că răcirea încetinește pe măsură ce obiectul se apropie de temperatura camerei.

12. Pentru $t>0$ avem $e^{-t}>e^{-3t}$, deoarece $-t>-3t$ și funcția exponențială este strict crescătoare; deci $c(t)>0$. Cum $e^{-t}\to 0$ și $e^{-3t}\to 0$ când $t\to +\infty$, rezultă $c(t)\to 0$: substanța se elimină complet.

13. Fals. Inflexiunea este momentul în care ritmul este maxim, nu populația. La $N(t)=30t^2-t^3$, inflexiunea e la $t=10$, cu $N(10)=2000$ de mii, în timp ce maximul, $4000$ de mii, se atinge la $t=20$.

14. $N^{\prime }(t)=3t^2-24t+45=3(t-3)(t-5)$, deci punctele critice sunt $3$ și $5$. Semnul lui $N^{\prime }$ este $+,-,+$, deci $t=3$ este punct de maxim local, cu $N(3)=27-108+135+10=64$ de mii, iar $t=5$ este punct de minim local, cu $N(5)=125-300+225+10=60$ de mii.

15. Ritmul este $N^{\prime }(t)=3t^2-24t+45$, o funcție de gradul al doilea cu $N^{\prime \prime }(t)=6t-24$, care se anulează în $t=4$ și trece de la $-$ la $+$: minim. Ritmul minim este $N^{\prime }(4)=48-96+45=-3$ mii pe lună (populația scade cel mai repede în luna a patra).

16. $f^{\prime }(t)=-3t^2+12t=3t(4-t)$, pozitivă pe $(0,4)$ și negativă pe $(4,6)$, deci maximul este $f(4)=-64+96=32$. Ritmul $f^{\prime }$ are derivata $f^{\prime \prime }(t)=-6t+12$, care se anulează în $t=2$ cu trecere de la $+$ la $-$; deci ritmul de creștere este maxim în $t=2$, unde $f^{\prime }(2)=12$.

17. $v(t)=3(t-1)(t-3)$ este pozitivă pe $[0,1)$ și pe $(3,+\infty )$, deci pe aceste intervale mișcarea se face în sens pozitiv. Derivata $v^{\prime }(t)$ este accelerația, măsurată în metri pe secundă la pătrat.

18. Fie $g(t)=v(t{)}^2$, care este pozitivă și are aceeași monotonie ca $|v|$ (funcția radical este strict crescătoare). Atunci $g^{\prime }(t)=2v(t)v^{\prime }(t)=2v(t)a(t)$. Dacă $v$ și $a$ au același semn, produsul lor este strict pozitiv, deci $g^{\prime }>0$ și $g$ este strict crescătoare; prin urmare și $|v|=\sqrt{g}$ este strict crescătoare, adică mobilul accelerează.

De reținut

• Derivata este viteza de variație, iar unitatea ei este unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei — verificarea cea mai ieftină a unui model.
• În mișcarea pe o dreaptă, $v(t)=x^{\prime }(t)$ și $a(t)=x^{\prime \prime }(t)$; semnul lui $v$ dă sensul, iar $v$ și $a$ de același semn înseamnă accelerare.
• Deplasarea este $x(t_2)-x(t_1)$, iar distanța parcursă se obține tăind intervalul în punctele unde $v$ se anulează și adunând modulele variațiilor.
• Teorema lui Lagrange garantează un moment în care viteza instantanee egalează viteza medie a parcursului.
• La vitezele de variație corelate se derivează întâi relația dintre mărimi, în raport cu timpul, și abia apoi se înlocuiesc valorile momentului cerut.

Greșeli frecvente

• Confunzi distanța parcursă cu deplasarea. Dacă mobilul se întoarce pe drum, cele două diferă. Se taie mereu intervalul în punctele de anulare a vitezei.
• Înlocuiești valorile înainte de a deriva. Dacă pui $r=10$ în $\mathcal{S}=\pi r^2$ și abia apoi derivezi, obții derivata unei constante, adică zero. Ordinea corectă este: relația, derivarea, apoi valorile.
• Uiți unitatea sau o scrii greșit. Accelerația nu se măsoară în metri pe secundă, ci în metri pe secundă la pătrat; consumul optim se caută în litri pe kilometru, nu în litri pe oră.
• Crezi că punctul de inflexiune este maximul. Inflexiunea este vârful ritmului, nu al mărimii; la creșterea unei populații, ele sunt două momente diferite.
• Ignori capetele domeniului. În problemele pe interval închis, maximul poate fi într-un capăt, unde derivata nu se anulează — exact cazul din Exemplul 6.

Aplică acasă

1. Vitezometrul de acasă. Pe un drum cunoscut (până la școală, până la magazin), notează ora de plecare și ora de sosire și calculează viteza medie. Apoi notează, din cinci în cinci minute, cât ai parcurs, și estimează viteza instantanee ca raport pe fiecare interval. Găsește intervalul în care viteza estimată este cea mai apropiată de media pe tot drumul — acesta este teorema lui Lagrange, văzută cu ochii tăi.

2. Răcirea unei căni. Măsoară temperatura unei căni cu apă fierbinte din cinci în cinci minute, timp de o jumătate de oră, și notează valorile într-un tabel. Calculează scăderile pe fiecare interval: vei observa că sunt din ce în ce mai mici. Explică în două propoziții de ce ritmul de răcire scade și compară forma șirului tău cu modelul $T(t)=T_{\text{camera˘}}+A{e}^{-kt}$.

3. Consumul mașinii familiei. Caută în manualul mașinii (sau pe eticheta energetică) consumul declarat la $90$ km/h și la $130$ km/h. Verifică dacă un model de forma $c(v)=\frac{\alpha }{v}+\beta v$ poate reproduce cele două valori, determinând $\alpha$ și $\beta$ din sistemul obținut, și calculează apoi viteza de consum minim prezisă de model.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă bulina „aplicații ale derivatelor în contexte date de alte domenii" din conținuturile programei, împreună cu cerința din sugestiile metodologice ca derivata a doua să fie introdusă prin analogia „derivata întâi este viteza, derivata a doua este accelerația", iar punctul de inflexiune să fie prezentat ca „punct de cotitură". Foarte important: nu se folosește nicio noțiune de fizică nepredată la clasă. Legea de mișcare, legea de consum, legea de creștere sunt date în enunț, ca funcții; elevul are de făcut exclusiv operații matematice și de interpretat rezultatul.

Ce verifică lecția: (1) citirea derivatei ca viteză de variație, cu unitatea corectă; (2) deosebirea dintre distanța parcursă și deplasare; (3) derivarea unei relații între mărimi care depind toate de timp (funcții compuse); (4) minimizarea unui consum raportat la unitate; (5) interpretarea punctului de inflexiune ca ritm maxim.

Întrebări bune de control: „În ce se măsoară derivata pe care ai calculat-o?", „Mobilul accelerează sau frânează la acest moment, și de unde știi?", „Ce înseamnă, în cuvintele problemei, că derivata a doua se anulează aici?". La BAC M1, tema apare cel mai des sub forma unei funcții date pe un interval închis, cu cerințe de monotonie, extreme și interpretare — exact structura Exemplului 6. Semn că elevul a înțeles: scrie unitatea lângă fiecare rezultat și nu confundă vârful mărimii cu vârful ritmului.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că derivata este o viteză de variație? Înseamnă că $f^{\prime }(x_0)$ arată cu cât se schimbă mărimea $y=f(x)$ pentru fiecare unitate de creștere a lui $x$, în vecinătatea lui $x_0$. Unitatea ei este unitatea lui $y$ împărțită la unitatea lui $x$: metri pe secundă, litri pe kilometru, lei pe bucată.

Cum aflu viteza și accelerația dintr-o lege de mișcare? Derivezi o dată pentru viteză, $v(t)=x^{\prime }(t)$, și încă o dată pentru accelerație, $a(t)=x^{\prime \prime }(t)$. Semnul vitezei dă sensul deplasării, iar accelerația arată cum se schimbă viteza.

Care este diferența dintre distanța parcursă și deplasare? Deplasarea este diferența dintre poziția finală și cea inițială și poate fi negativă sau nulă. Distanța parcursă este lungimea totală a drumului: se taie intervalul în momentele în care viteza se anulează și se adună modulele variațiilor.

Când spunem că un mobil accelerează? Când viteza crește în valoare absolută, adică atunci când viteza și accelerația au același semn. Dacă au semne contrare, mobilul frânează, indiferent de sensul în care se deplasează.

Ce este o problemă cu viteze de variație corelate? Este o problemă în care mai multe mărimi legate printr-o formulă depind toate de timp. Se derivează relația în raport cu timpul, folosind derivarea funcțiilor compuse, și abia apoi se înlocuiesc valorile din momentul cerut.

De ce se caută consumul minim pe kilometru, și nu pe oră? Pentru că drumul are o lungime fixă, nu o durată fixă. Consumul pe oră crește mereu cu viteza, deci minimul lui ar fi la viteză zero; consumul pe kilometru are un minim real, la o viteză de mijloc.

Ce înseamnă punctul de inflexiune într-un proces de creștere? Este momentul de cotitură: până la el ritmul crește, după el ritmul scade, chiar dacă mărimea continuă să crească. Se găsește anulând derivata a doua și verificând că își schimbă semnul.

Am nevoie de cunoștințe de fizică pentru aceste probleme? Nu. Toate legile și mărimile sunt date în enunț, cu unitățile lor; ce ai de făcut este strict matematică — derivate, semne, tabele de variație — plus traducerea rezultatului în cuvintele problemei.