Matrice care modelează situații practice: pe scurt

Primul lucru pe care îl scrii nu este matricea, ci contractul de citire: ce înseamnă o linie și ce înseamnă o coloană. Pentru o brutărie cu două produse și trei materiale, $C=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ are liniile produsele și coloanele materialele, deci $c_{23}=1$ înseamnă „un cozonac consumă $1$ kg de unt”. Fără contract, aceleași cifre pot însemna orice, iar cea mai frecventă greșeală de modelare nu este de calcul, ci de citire.

Fiecare operație are un înțeles propriu. Adunarea și scăderea cumulează valori din aceeași căsuță — stoc plus intrări minus vânzări — și cer același tip, adică aceleași etichete. Înmulțirea cu un scalar modelează o schimbare uniformă, care atinge toate elementele: o scumpire de $25\%$ înseamnă $\frac{5}{4}L$. Produsul matriceal combină două tablouri printr-o mărime comună.

Regula indicelui comun: $X\cdot Y$ are sens când coloanele lui $X$ înseamnă același lucru ca liniile lui $Y$; acea mărime este însumată și dispare, iar rezultatul are liniile lui $X$ și coloanele lui $Y$. De aici se vede și de ce produsul nu comută: „produse × furnizori” și „furnizori × produse” sunt tabele diferite. Înmulțind la dreapta cu o coloană de $1$ obții totalurile pe linii, iar la stânga cu o linie de $1$, totalurile pe coloane.

Exerciții din această mini-lecție

1. O fabrică produce două modele de rucsac. Consumurile, în „modele × materiale”, sunt date de $C=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 5\end{array}\right)$, iar prețurile materialelor la doi furnizori, în „materiale × furnizori”, de $P=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 5\end{array}\right)$. Costul materialelor pentru un rucsac de modelul al doilea, la primul furnizor, este:

   • a) $29$
   • b) $27$
   • c) $39$
   • d) $31$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $39$

   Costul cerut este elementul de pe linia $2$, coloana $1$ al produsului $C\cdot P$: folosim linia $2$ din $C$, adică $(1,5)$, și coloana $1$ din $P$, adică $(4,7)$, deci $1\cdot 4+5\cdot 7=39$. Variantele $29$, $27$ și $31$ sunt celelalte trei costuri din tabloul $C\cdot P$ — greșeala tipică este confundarea liniei cu coloana.

2. Fie $X$ tabloul „produse × materiale” și $Y$ tabloul „materiale × furnizori”. Care produs are sens și ce descrie el?

   • a) $Y\cdot X$, tabloul „produse × furnizori”
   • b) $X\cdot Y$, tabloul „materiale × materiale”
   • c) $Y\cdot X$, tabloul „furnizori × produse”
   • d) $X\cdot Y$, tabloul „produse × furnizori”
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $X\cdot Y$, tabloul „produse × furnizori”

   Coloanele lui $X$ (materialele) înseamnă același lucru ca liniile lui $Y$, deci se poate forma $X\cdot Y$. Mărimea comună este însumată și dispare, iar ce rămâne sunt liniile primului factor și coloanele celui de-al doilea: „produse × furnizori”. Produsul $Y\cdot X$ ar cere ca furnizorii să însemne același lucru cu produsele, ceea ce nu are sens.

3. Cursele directe dintre trei orașe sunt descrise de $F=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$, unde linia este orașul de plecare, iar coloana orașul de sosire. Numărul traseelor din orașul $1$ în orașul $3$ cu exact o escală este:

   • a) $3$
   • b) $1$
   • c) $4$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $3$

   Alegem orașul de escală $k$, înmulțim numărul curselor $1\to k$ cu numărul curselor $k\to 3$ și adunăm peste toate escalele: $0\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0=3$. Este exact elementul de pe linia $1$, coloana $3$ al produsului $F\cdot F$. Varianta $1$ numără doar cursele directe, iar $4$ este numărul traseelor în sens invers, din orașul $3$ în orașul $1$.