Modelarea proceselor de creștere și de descreștere prin șiruri

Un depozit bancar care se capitalizează în fiecare an, o mașină care pierde din valoare, o pădure din care se taie și în care se plantează, concentrația unui medicament în sânge la fiecare administrare, populația unui oraș — toate au același schelet matematic. Fiecare este o stare care se măsoară din când în când, la momente discrete, iar starea de la un pas se calculează din starea de la pasul dinainte. Adică, exact, un șir.

Această lecție încheie unitatea de șiruri și îi dă rostul practic. Nu mai învățăm noțiuni noi: punem la lucru tot ce am construit — progresii, monotonie, mărginire, teorema lui Weierstrass, șirurile recurente și numărul $e$ — pe probleme în care răspunsul contează în lei, în litri sau în oameni. Iar întrebarea centrală a modelării nu este „cât e $a_{10}$?", ci „încotro se duce procesul și unde se oprește?" — adică o întrebare despre limită.

Ce vei învăța

• Vei ști să traduci un proces descris în cuvinte într-un șir, alegând între cele două tipare de bază: creștere multiplicativă și proces cu aport constant.
• Vei ști să modelezi dobânda compusă și amortizarea prin progresii geometrice și să le compari cu creșterea liniară.
• Vei ști să explici de ce capitalizarea tot mai deasă nu duce la câștig nelimitat și să calculezi limita ${\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m\to e^i$.
• Vei ști să rezolvi complet recurența afină $x_{n+1}=q{x}_n+b$ și să interpretezi punctul ei fix ca nivel de echilibru al procesului.
• Vei ști să analizezi un credit cu rată fixă, cu cele trei situații posibile, și să spui când rata este prea mică.
• Vei ști să interpretezi limita în context: saturație, dispariție sau creștere fără plafon — și să spui ce nu înseamnă ea.

Hai să descoperim împreună

1. Cele două tipare de bază

Aproape orice proces din problemele de clasă se încadrează într-unul dintre două tipare. Recunoașterea lor este jumătate din rezolvare.

Tiparul A — creștere sau descreștere procentuală (multiplicativă). La fiecare pas, mărimea se înmulțește cu același factor $q$: „crește cu $5\%$" înseamnă $q=1,05$, „scade cu $15\%$" înseamnă $q=0,85$. Recurența este $x_{n+1}=q{x}_n$, iar șirul este o progresie geometrică: $x_n=x_0{q}^n$.

Tiparul B — proces cu aport (sau consum) constant. La fiecare pas, mărimea se înmulțește cu $q$ și se adaugă o cantitate fixă $b$: „se elimină $60\%$ din substanță și se administrează încă $100$ mg", „soldul crește cu $1\%$ și se plătește o rată de $800$ lei". Recurența este $$x_{n+1}=q{x}_n+b,$$ numită recurență afină. Ea nu mai este o progresie geometrică, dar se reduce la una, așa cum ai văzut în lecția despre șirurile recurente.

Regula de traducere, de scris de fiecare dată înainte de calcule: notezi mărimea cu unitatea ei („fie $S_n$ suma din cont, în lei, după $n$ ani"), spui explicit ce înseamnă $n$ (ani, luni, doze) și precizezi primul termen, $x_0$ sau $x_1$. Neglijarea ultimului punct este sursa a jumătate dintre greșelile de la acest capitol: dacă $S_0$ este suma depusă, atunci după un an ai $S_1$, nu $S_0$.

2. Creșterea multiplicativă: dobânda compusă și amortizarea

Dobânda compusă. Depui $S_0$ lei cu dobânda anuală $i$ (scrisă ca număr, nu ca procent: $5\%\Rightarrow i=0,05$), iar dobânda se adaugă la capital în fiecare an. Atunci $S_{n+1}=S_n\left(1+i\right)$, deci $$S_n=S_0{\left(1+i\right)}^n.$$ Pentru $S_0=10000$ lei și $i=0,05$ obținem $S_{10}=10000\cdot 1,05^{10}=16288,95$ lei. Șirul este strict crescător și nemărginit, deci $S_n\to +\infty$: matematic, banii cresc oricât. (Practic, inflația și durata vieții pun alte limite — modelul descrie mecanismul, nu întreaga realitate.)

Amortizarea (deprecierea). O mașină de $20000$ de euro pierde $15\%$ din valoare în fiecare an: $V_n=20000\cdot 0,85^n$. După cinci ani, $V_5=8874,11$ euro; după zece, $V_{10}=3937,49$ euro. Cum $0<0,85<1$, avem $0,85^n\to 0$, deci $V_n\to 0$: valoarea se apropie oricât de mult de zero, fără să o atingă vreodată. Este exact deosebirea dintre un model multiplicativ și unul liniar — o scădere cu $2000$ de euro pe an ar duce mașina la valoare nulă exact în al zecelea an.

Comparația cu creșterea liniară. La $6\%$ pe an timp de zece ani, dobânda simplă înmulțește capitalul cu $1+10\cdot 0,06=1,60$, iar cea compusă cu $1,06^{10}=1,7908\dots$ Diferența pare mică la început, dar crește nemărginit: orice progresie geometrică de rație supraunitară depășește, de la un rang încolo, orice progresie aritmetică. Poți vedea asta pe un caz concret: pornind de la $20000$ de lei, o creștere de $3\%$ pe an rămâne în urma unei creșteri de $1000$ de lei pe an până în al treizecilea an ($48545$ față de $50000$ de lei), dar în al patruzecilea o depășește ($65241$ față de $60000$).

3. Capitalizarea tot mai deasă: de ce apare numărul $e$

Aceeași dobândă anuală $i$ poate fi capitalizată de $m$ ori pe an, cu rata $\frac{i}{m}$ la fiecare perioadă. După un an, capitalul se înmulțește cu $${\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m.$$ Pentru $i=0,12$, iată ce se întâmplă când mărunțim perioada:

Factorul crește, dar tot mai încet. Limita se citește direct cu rețeta din lecția despre numărul $e$: baza tinde la $1$, exponentul la $+\infty$, iar $m\cdot \frac{i}{m}=i$, deci $$\underset{m\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m=e^i.$$ Pentru $i=0,12$ limita este $e^{0,12}=1,12749685\dots$ — se numește capitalizare continuă. Concluzia economică merită subliniată: la $10000$ de lei, trecerea de la capitalizare anuală la capitalizare „în fiecare clipă" aduce doar $74,97$ lei în plus pe an. Creșterea nu este nelimitată, ci mărginită de un factor pe care îl dă numărul $e$.

4. Procese cu aport constant: nivelul de echilibru

Recurența afină $x_{n+1}=q{x}_n+b$ se rezolvă complet, așa cum ai văzut la lecția precedentă. Punctul fix este $$x^{\ast }=\frac{b}{1-q},q\ne 1,$$ iar termenul general se scrie $x_n=x^{\ast }+\left(x_0-x^{\ast }\right)q^n$. Pentru $0<q<1$ (cazul obișnuit în aplicații), $q^n\to 0$, deci $x_n\to x^{\ast }$, indiferent de starea inițială.

În limbaj de modelare, $x^{\ast }$ se numește nivel de echilibru sau nivel de saturație: este valoarea la care aportul $b$ compensează exact pierderea $(1-q)x$. Interpretarea aceasta se scrie în concluzia oricărei probleme, alături de valoarea numerică.

Exemplu: medicamentul. Un pacient ia $100$ mg la fiecare opt ore, iar organismul elimină $60\%$ din cantitatea existentă între două administrări. Notând cu $c_n$ cantitatea din organism imediat după a $n$-a doză: $$c_{n+1}=0,4c_n+100,c_0=0.$$ Punctul fix: $c^{\ast }=\frac{100}{1-0,4}=\frac{500}{3}\approx 166,67$ mg. Termenul general: $c_n=\frac{500}{3}\left(1-0,4^n\right)$, șir strict crescător și mărginit superior de $\frac{500}{3}$ — deci convergent și prin teorema lui Weierstrass. Valorile: $100$; $140$; $156$; $162,40$; $164,96$ mg. Concluzia medicală: cantitatea nu se acumulează la nesfârșit, ci se stabilizează sub $167$ mg — exact ce trebuie verificat ca schema de tratament să fie sigură.

Exemplu: populația cu plafon. Într-o rezervație încap cel mult $1000$ de exemplare; în fiecare an populația crește cu $20\%$ din locurile rămase libere: $$P_{n+1}=P_n+0,2\left(1000-P_n\right)=0,8P_n+200,P_0=100.$$ Punctul fix este $\frac{200}{1-0,8}=1000$, iar $P_n=1000-900\cdot 0,8^n$. Valorile: $100$; $280$; $424$; $539,2$; $631,36$; după cincisprezece ani, $968,33$. Populația tinde la capacitatea rezervației, fără să o depășească — proprietate de așteptat de la un model bun.

5. Studiul complet al unui credit

Aici modelul are trei comportări diferite, iar alegerea între ele are consecințe reale. Fie $D_n$ soldul datoriei după $n$ luni, $i$ dobânda lunară și $R$ rata fixă: $$D_{n+1}=\left(1+i\right)D_n-R.$$ Este tot o recurență afină, cu $q=1+i>1$ și $b=-R$. Punctul fix: $$D^{\ast }=\frac{-R}{1-(1+i)}=\frac{R}{i}.$$ Are o interpretare foarte concretă: $D^{\ast }$ este soldul la care dobânda lunară, $i{D}^{\ast }$, este exact egală cu rata plătită. Cum $q>1$, avem $D_n=D^{\ast }+\left(D_0-D^{\ast }\right){\left(1+i\right)}^n$ și apar trei cazuri:

• $D_0<D^{\ast }$ — coeficientul $D_0-D^{\ast }$ e negativ, deci soldul scade tot mai repede și ajunge la zero după un număr finit de luni: creditul se stinge;
• $D_0=D^{\ast }$ — soldul rămâne constant la infinit: plătești lună de lună exact dobânda, fără să reduci datoria niciodată;
• $D_0>D^{\ast }$ — soldul crește și $D_n\to +\infty$: rata e mai mică decât dobânda, iar datoria se adâncește. Este capcana pe care modelul o arată dintr-o singură împărțire, $\frac{R}{i}$.

Caz numeric. Pentru $D_0=60000$ lei, $i=1\%$ pe lună și $R=800$ lei: $D^{\ast }=\frac{800}{0,01}=80000$ lei. Cum $60000<80000$, creditul se stinge; formula $D_n=80000-20000\cdot 1,01^n$ dă sold nul când $1,01^n=4$, adică după $n\approx 139,3$ luni — deci în luna a $140$-a. Dacă însă rata ar fi $R=500$ lei, atunci $D^{\ast }=50000<60000$: după numai un an soldul ar fi $61268,25$ lei, mai mare decât cel inițial.

6. Ce înseamnă și ce nu înseamnă limita, într-un proces real

Limita unui șir care modelează un proces se traduce întotdeauna într-o propoziție despre realitate. Cele trei cazuri:

• limită finită nenulă — procesul se stabilizează la un nivel de echilibru (concentrația medicamentului, populația din rezervație, factorul de capitalizare continuă);
• limita $0$ — mărimea se stinge, dar asimptotic: valoarea mașinii, cantitatea de soluție rămasă după diluții repetate;
• limită infinită — procesul crește fără plafon, ceea ce înseamnă de obicei că modelul e valabil doar pe un orizont limitat (nicio populație reală nu crește geometric la infinit).

Două precizări care se cer scrise în concluzie. Prima: limita nu este atinsă. Concentrația nu ajunge niciodată la $166,67$ mg, mașina nu valorează niciodată exact zero. A spune „după un timp valoarea devine zero" este greșit; formularea corectă este „valoarea scade sub orice prag fixat dinainte". A doua: limita nu spune nimic despre viteză. Două procese cu aceeași limită pot ajunge aproape de ea în cinci pași sau în cinci sute; de aceea, în probleme practice, pe lângă limită se cere aproape întotdeauna și un termen concret ($P_{10}$, $V_5$) sau rangul de la care mărimea intră într-un interval dat.

7. Sinteza unității: harta celor optsprezece lecții

Cu aceasta se încheie unitatea. Merită privită întreagă, pentru că fiecare piesă are un rol precis:

Întrebarea de control pe care ți-o pui la orice problemă nouă: am formulă pentru termenul general? Dacă da, calculez limita direct, cu operații și cu limitele fundamentale. Dacă nu, demonstrez monotonia și mărginirea, invoc Weierstrass și trec la limită în relația de recurență. Toată unitatea încape în această alternativă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dobândă compusă și timp de dublare

Se depun $10000$ de lei cu dobânda de $5\%$ pe an, capitalizată anual. Scrieți șirul soldurilor, calculați soldul după $10$ ani și aflați după câți ani suma se dublează.

Rezolvare. $S_n=10000\cdot 1,05^n$, șir strict crescător, nemărginit, cu $S_n\to +\infty$.

După $10$ ani: $S_{10}=10000\cdot 1,05^{10}=16288,95$ lei.

Dublarea: căutăm cel mai mic $n$ cu $1,05^n\ge 2$. Cum $1,05^{14}=1,97993\dots <2$ și $1,05^{15}=2,07892\dots >2$, răspunsul este $n=15$ ani. (Cine vrea rezolvarea prin logaritmi o găsește la ecuațiile exponențiale din clasa a X-a.)

Exemplul 2 — Amortizare

O mașină cumpărată cu $20000$ de euro pierde $15\%$ din valoare în fiecare an. Determinați valoarea după $5$ ani și limita șirului valorilor.

Rezolvare. $V_n=20000\cdot 0,85^n$. Pentru $n=5$: $0,85^5=0,4437053125$, deci $V_5=8874,11$ euro. Cum $|0,85|<1$, avem $0,85^n\to 0$, deci $V_n\to 0$: valoarea scade sub orice prag, dar nu devine niciodată nulă. Șirul e strict descrescător și mărginit inferior de $0$ — deci convergent și după teorema lui Weierstrass.

Exemplul 3 — Capitalizare tot mai deasă

Dobânda anuală este $12\%$. Comparați factorul de creștere anuală pentru capitalizare anuală, trimestrială și lunară și calculați limita când numărul de capitalizări crește nemărginit.

Rezolvare. Factorul este $f(m)={\left(1+\frac{0,12}{m}\right)}^m$: $f(1)=1,12$; $f(4)=1,12550881$; $f(12)=1,1268250\dots$ Șirul crește. Suntem în cazul $1^{\infty }$, cu $u_m=\frac{0,12}{m}$ și $m{u}_m=0,12$ constant, deci $$\underset{m\to \infty }{\lim }f(m)=e^{0,12}=1,1274968\dots$$ La $10000$ de lei, diferența dintre capitalizarea anuală și cea continuă este $11274,97-11200=74,97$ lei pe an.

Exemplul 4 — Concentrația unui medicament

Un pacient primește $100$ mg de substanță la fiecare $8$ ore; între două administrări organismul elimină $60\%$ din cantitatea prezentă. Modelați procesul, aflați termenul general și nivelul la care se stabilizează.

Rezolvare. Cu $c_0=0$ și $c_{n+1}=0,4c_n+100$: punctul fix este $c^{\ast }=\frac{100}{0,6}=\frac{500}{3}$, iar $$c_n=\frac{500}{3}+\left(0-\frac{500}{3}\right)0,4^n=\frac{500}{3}\left(1-0,4^n\right).$$ Cum $0,4^n\to 0$, rezultă $c_n\to \frac{500}{3}\approx 166,67$ mg. Valorile: $100$; $140$; $156$; $162,40$; $164,96$ mg — șirul e crescător și mărginit de $\frac{500}{3}$, deci convergent. Interpretare: schema de tratament nu duce la acumulare periculoasă; cantitatea din organism rămâne mereu sub $167$ mg.

Exemplul 5 — Populație cu capacitate limitată

Într-o rezervație cu capacitatea de $1000$ de exemplare, populația crește anual cu $20\%$ din locurile libere. Pornind de la $100$ de exemplare, scrieți recurența, termenul general și limita.

Rezolvare. $P_{n+1}=P_n+0,2\left(1000-P_n\right)=0,8P_n+200$, cu $P_0=100$. Punctul fix: $\frac{200}{0,2}=1000$. Termenul general: $P_n=1000-900\cdot 0,8^n$. Valori: $P_1=280$, $P_2=424$, $P_5=705,09$, $P_{15}=968,33$. Limita este $1000$: populația tinde la capacitatea rezervației, fără să o atingă și fără să o depășească.

Verificare a modelului: dacă am porni de la $P_0=1200$ (peste capacitate), atunci $P_n=1000+200\cdot 0,8^n$, șir descrescător tot spre $1000$ — modelul se comportă rezonabil și în acest caz.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

O persoană împrumută $60000$ de lei cu dobânda de $1\%$ pe lună și plătește lunar o rată fixă $R$. Soldul datoriei verifică $D_{n+1}=1,01D_n-R$, cu $D_0=60000$. a) Determinați valoarea $D^{}$ pentru care soldul ar rămâne constant.* b) Pentru $R=800$ lei, scrieți termenul general $D_n$ și arătați că șirul este strict descrescător. c) Determinați numărul de luni după care datoria se stinge.

Rezolvare.

a) Soldul e constant când $D^{\ast }=1,01D^{\ast }-R$, adică $0,01D^{\ast }=R$, deci $D^{\ast }=\frac{R}{0,01}=100R$. Pentru $R=800$: $D^{\ast }=80000$ lei.

b) Scăzând relația punctului fix din recurență: $D_{n+1}-D^{\ast }=1,01\left(D_n-D^{\ast }\right)$, deci $D_n-D^{\ast }=\left(D_0-D^{\ast }\right)1,01^n$ și $$D_n=80000-20000\cdot 1,01^n.$$ Cum $1,01^n$ este strict crescător, șirul $D_n$ este strict descrescător. Verificare: $D_0=60000$, $D_1=59800$, $D_5=58979,80$, $D_{50}=47107,36$ lei. ✓

c) Datoria se stinge la primul $n$ cu $D_n\le 0$, adică $1,01^n\ge 4$. Prin încercări, $1,01^{139}=3,98722\dots <4$ și $1,01^{140}=4,02709\dots >4$, deci în luna a $140$-a (aproximativ $11$ ani și $8$ luni). Într-adevăr, $D_{139}=255,46$ lei, iar formula ar da $D_{140}=-541,98$ lei: ultima plată este mai mică decât rata obișnuită, pentru că soldul rămas e sub $800$ de lei.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi ce notezi și cu ce unitate, apoi recurența, apoi calculul — și încheie cu o propoziție de interpretare.

1. Se depun $5000$ de lei cu $4\%$ pe an, capitalizare anuală. Calculează soldul după $3$ ani.

2. Scrie termenul general al șirului de la exercițiul 1 și determină $\lim S_n$, justificând cu limita lui $q^n$.

3. La $6\%$ pe an și $10$ ani, compară factorul de creștere pentru dobândă simplă și pentru dobândă compusă.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un proces de descreștere procentuală constantă ajunge, după un număr finit de pași, exact la zero."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă rata dobânzii este strict pozitivă, șirul soldurilor la dobândă compusă este nemărginit."

6. Un utilaj de $12000$ de lei se depreciază cu $25\%$ pe an. Calculează valoarea după $4$ ani.

7. Determină limita șirului valorilor de la exercițiul 6 și explică ce înseamnă ea pentru proprietarul utilajului.

8. Pentru o dobândă anuală de $6\%$, calculează factorul anual pentru $m=1$, $m=2$ și $m=12$ capitalizări, apoi limita când $m\to \infty$.

9. Un medicament se administrează în doze de $70$ mg, iar între două doze se elimină $70\%$ din cantitatea existentă. Scrie recurența și determină nivelul de echilibru.

10. O rezervație are capacitatea de $5000$ de exemplare, iar populația crește anual cu $10\%$ din locurile libere. Pornind de la $500$, scrie termenul general și calculează $P_{10}$.

11. Un credit de $30000$ de lei are dobânda de $0,5\%$ pe lună și rata de $400$ de lei. Calculează $D^{\ast }$ și spune dacă datoria se stinge.

12. Pentru același credit de $60000$ de lei cu $1\%$ pe lună, dar cu rata de $500$ de lei, arată că datoria crește și calculează soldul după $12$ luni.

13. (Problemă aplicată.) Dintr-o pădure se taie anual $8\%$ din arbori și se plantează $2000$ de arbori noi. Scrie recurența, determină nivelul de echilibru și spune ce se întâmplă pornind de la $30000$, respectiv de la $10000$ de arbori.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $x_0=0$, $x_{n+1}=0,6x_n+40$. Arătați că $0\le x_n<100$ pentru orice $n$, că șirul este strict crescător, apoi calculați $\lim x_n$.

15. Determină, prin încercări, după câți ani se dublează o sumă depusă cu $7\%$ pe an și compară rezultatul cu estimarea $\frac{72}{7}$.

16. Compară, pentru $n=10$, $n=30$ și $n=40$, evoluția unei sume de $20000$ de lei care crește cu $3\%$ pe an cu evoluția aceleiași sume care crește cu $1000$ de lei pe an.

17. Un rezervor cu $200$ de litri de soluție pierde, în fiecare oră, un sfert din conținut, care se înlocuiește cu apă curată. Scrie șirul volumului de soluție inițială rămasă și calculează limita.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $i>0$ fixat, șirul $f(m)={\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m$ este mărginit superior de $e^i$, iar diferența $e^i-f(m)$ tinde la zero. Explică apoi de ce o bancă nu poate oferi câștig oricât de mare doar mărind frecvența capitalizării.

Răspunsuri și explicații

1. $S_3=5000\cdot 1,04^3=5624,32$ lei.

2. $S_n=5000\cdot 1,04^n$. Cum $1,04>1$, avem $1,04^n\to +\infty$, deci $S_n\to +\infty$: modelul prevede creștere nemărginită (valabil doar teoretic, pe termen lung).

3. Dobândă simplă: factorul este $1+10\cdot 0,06=1,60$. Dobândă compusă: $1,06^{10}=1,7908\dots$ Suma finală este cu aproximativ $12\%$ mai mare la dobânda compusă, iar câștigul (partea peste capitalul depus) cu aproximativ $32\%$ mai mare: $0,7908$ față de $0,60$ din capitalul inițial. Motivul: la dobânda compusă, dobânda produce, la rândul ei, dobândă.

4. Fals. Dacă $0<q<1$, atunci $q^n>0$ pentru orice $n$: valoarea rămâne strict pozitivă, oricât de mică. Limita este $0$, dar limita nu este atinsă. Formularea corectă: „valoarea scade sub orice prag fixat".

5. Adevărat. Pentru $i>0$ avem $1+i>1$, deci ${\left(1+i\right)}^n\to +\infty$ și șirul $S_n=S_0(1+i{)}^n$ nu are majorant. Fiind crescător și nemărginit, are limita $+\infty$.

6. $V_4=12000\cdot 0,75^4=12000\cdot 0,31640625=3796,88$ lei (rotunjit la bani).

7. $\lim V_n=0$, pentru că $0<0,75<1$. Interpretare: utilajul își pierde valoarea contabilă asimptotic — nu ajunge niciodată la zero exact, dar după un număr suficient de ani valoarea lui devine neglijabilă.

8. $m=1$: $1,06$; $m=2$: $1,03^2=1,0609$; $m=12$: $1,005^{12}=1,0616778\dots$; limita: $e^{0,06}=1,0618365\dots$ Diferența dintre capitalizarea lunară și cea continuă este de aproximativ $0,015\%$ pe an.

9. $c_{n+1}=0,3c_n+70$, cu $c_0=0$. Nivelul de echilibru: $c^{\ast }=\frac{70}{1-0,3}=100$ mg. Termenul general: $c_n=100\left(1-0,3^n\right)\to 100$ mg.

10. $P_{n+1}=0,9P_n+500$, punct fix $\frac{500}{0,1}=5000$, deci $P_n=5000-4500\cdot 0,9^n$. Cum $0,9^{10}=0,3486784401$, obținem $P_{10}=5000-1569,05=3430,95$, adică aproximativ $3431$ de exemplare.

11. $D^{\ast }=\frac{400}{0,005}=80000$ lei. Cum $30000<80000$, soldul scade: $D_n=80000-50000\cdot 1,005^n$, iar $D_n\le 0$ când $1,005^n\ge 1,6$, adică din luna a $95$-a. Datoria se stinge.

12. $D^{\ast }=\frac{500}{0,01}=50000$ lei, iar $D_0=60000>D^{\ast }$, deci $D_n=50000+10000\cdot 1,01^n$ este strict crescător, cu $D_n\to +\infty$. După $12$ luni: $D_{12}=61268,25$ lei — mai mult decât la început. Rata acoperă mai puțin decât dobânda.

13. $A_{n+1}=0,92A_n+2000$; nivel de echilibru $\frac{2000}{0,08}=25000$ de arbori. Pornind de la $30000$ (peste echilibru), pădurea scade spre $25000$; pornind de la $10000$ (sub echilibru), crește spre $25000$. După $60$ de ani, ambele valori sunt în jur de $25000$ ($25034$, respectiv $24899$): echilibrul atrage din ambele părți.

14. Mărginire: $x_0=0\in [0,100)$; dacă $0\le x_n<100$, atunci $x_{n+1}=0,6x_n+40\in [40,100)$ ✓. Monotonie: $x_{n+1}-x_n=40-0,4x_n=0,4\left(100-x_n\right)>0$ ✓. Șirul e crescător și mărginit, deci convergent; din $\ell =0,6\ell +40$ rezultă $\ell =100$. (Formula explicită confirmă: $x_n=100\left(1-0,6^n\right)$, cu $x_{10}=99,40$.)

15. $1,07^{10}=1,96715\dots <2$ și $1,07^{11}=2,10485\dots >2$, deci suma se dublează în $11$ ani. Estimarea $\frac{72}{7}\approx 10,3$ este apropiată, dar puțin optimistă — este o regulă practică, nu un rezultat exact.

16. Creștere geometrică: $20000\cdot 1,03^n$ dă $26878,33$ lei la $n=10$; $48545,25$ la $n=30$; $65240,76$ la $n=40$. Creștere aritmetică: $20000+1000n$ dă $30000$; $50000$; $60000$. Aritmetica e în avans până în jurul anului al treizeci și treilea, după care geometrica o depășește definitiv — ilustrarea faptului că orice progresie geometrică de rație supraunitară învinge, în cele din urmă, orice progresie aritmetică.

17. $v_{n+1}=0,75v_n$, cu $v_0=200$, deci $v_n=200\cdot 0,75^n$ litri de soluție inițială. Valori: $150$; $112,50$; $84,38$; $47,46$ (după $5$ ore); $11,26$ (după $10$ ore). Limita este $0$: soluția inițială se diluează oricât de mult, dar nu dispare complet la niciun pas.

18. Șirul $f(m)={\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m$ este crescător (aceeași demonstrație ca la șirul lui $e$, cu binomul lui Newton) și are limita $e^i$; fiind crescător cu limita $e^i$, toți termenii lui sunt $<e^i$, deci $e^i$ este majorant, iar $e^i-f(m)\to 0$ prin definiția limitei. Concluzia bancară: oricât ar mări frecvența capitalizării, banca nu poate depăși factorul $e^i$ — la $12\%$ pe an, plafonul este $1,12749685\dots$, adică cel mult $74,97$ lei în plus la fiecare $10000$ de lei față de capitalizarea anuală.

De reținut

• Două tipare acoperă aproape tot: creșterea multiplicativă $x_{n+1}=q{x}_n$ (progresie geometrică, $x_n=x_0{q}^n$) și procesul cu aport constant $x_{n+1}=q{x}_n+b$ (recurență afină).
• Nivelul de echilibru al unei recurențe afine este $x^{\ast }=\frac{b}{1-q}$; pentru $|q|<1$ procesul tinde la el, indiferent de starea inițială.
• Capitalizarea tot mai deasă nu dă câștig nelimitat: ${\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m\to e^i$, iar diferența față de capitalizarea anuală este mică și mărginită.
• La credit, semnul totul îl dă comparația $D_0$ cu $\frac{R}{i}$: sub prag datoria se stinge, la prag stagnează, peste prag crește la infinit.
• Limita se interpretează, nu doar se calculează: stabilizare, stingere asimptotică sau creștere fără plafon — și niciodată „valoarea devine exact limita".

Greșeli frecvente

• Confunzi „scade cu $15\%$" cu „se înmulțește cu $0,15$". Factorul corect este $1-0,15=0,85$. Aceeași greșeală, în oglindă, la creștere: $5\%$ înseamnă factorul $1,05$, nu $0,05$.
• Greșești indicele de pornire. Dacă $S_0$ e suma depusă, după un an ai $S_1=S_0(1+i)$, deci după $n$ ani ai $S_n$, nu $S_{n-1}$. Scrie explicit ce înseamnă indicele înainte de a calcula.
• Spui că mărimea „ajunge la zero". La descreștere procentuală, limita este $0$, dar niciun termen nu este nul. Formularea corectă: „scade sub orice prag fixat" sau „devine neglijabilă după un număr suficient de pași".
• Tratezi recurența afină ca pe o progresie geometrică. $x_{n+1}=0,4x_n+100$ nu are termenul general $x_0\cdot 0,4^n$. Se scade întâi punctul fix și abia diferența este progresie geometrică.
• Confunzi limita cu viteza de apropiere. Două procese pot avea aceeași limită și comportări complet diferite pe primii zece pași. Când problema cere o decizie practică, calculează și un termen concret, nu doar limita.

Aplică acasă

1. Dobânda anuală efectivă. Caută două oferte de depozit cu aceeași dobândă nominală anuală, dar cu frecvențe de capitalizare diferite (de pildă lunară și o singură dată, la scadență). Calculează pentru fiecare factorul ${\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m$ și compară ambele valori cu $e^i$. Vei vedea în cifre două lucruri: că oferta cu capitalizare mai deasă este într-adevăr mai bună, dar și că diferența dintre ele este mult mai mică decât sugerează reclama — pentru că amândouă se înghesuie sub același plafon, dat de numărul $e$.

2. Mașina din familie. Caută prețul de listă al unui model de mașină nou și prețul aceluiași model la mâna a doua, vechi de patru sau cinci ani. Determină rata anuală de depreciere $d$ din ecuația $V_0(1-d{)}^n=V_n$, încercând valori, și compar-o cu cei $15\%$ folosiți în lecție.

3. Paharul care se golește. Umple un pahar gradat cu $200$ ml de suc colorat, scoate un sfert și completează cu apă; repetă de cinci ori și notează, la fiecare pas, cât de deschisă e culoarea. Apoi calculează $200\cdot 0,75^n$ pentru $n=1,\dots ,5$ și compară cu impresia vizuală: creșterea și descreșterea geometrică sunt mult mai rapide la început decât par.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea de șiruri și îi arată rostul: aceleași instrumente teoretice — progresii, monotonie, mărginire, teorema lui Weierstrass, limita lui $q^n$, numărul $e$ — rezolvă probleme reale de dobândă, amortizare, tratament medical și dinamică a populației. Ideea centrală pe care elevul trebuie să o poată formula singur este că limita unui șir de modelare se citește ca o afirmație despre proces: stabilizare, stingere sau creștere nelimitată.

Ce verifică lecția: (1) traducerea corectă a unui enunț în recurență, cu notații, unități și primul termen precizate; (2) recunoașterea celor două tipare și folosirea formulei potrivite; (3) calculul punctului fix al unei recurențe afine și interpretarea lui ca nivel de echilibru; (4) formularea concluziei în limbaj obișnuit, fără afirmații false de tipul „devine zero". Întrebări bune de control: „Ce înseamnă, în lei, punctul fix al recurenței creditului?", „De ce nu putem câștiga oricât mărind frecvența capitalizării?", „De ce mașina nu ajunge niciodată să valoreze exact zero?".

La BAC M1, aceste probleme apar de obicei ca subiecte cu date financiare, în care se cere termenul general al unui șir geometric sau al unei recurențe afine și limita lui. Semne că elevul a înțeles: notează mărimile cu unități înainte de a scrie recurența și încheie fiecare rezolvare cu o propoziție de interpretare, nu doar cu un număr.

Întrebări frecvente

Cum modelez o creștere procentuală constantă printr-un șir? Dacă mărimea crește cu $p\%$ la fiecare pas, factorul este $q=1+\frac{p}{100}$, iar șirul este progresia geometrică $x_n=x_0{q}^n$. La descreștere cu $p\%$, factorul este $q=1-\frac{p}{100}$. Limita se citește imediat: $+\infty$ pentru $q>1$ și $0$ pentru $0<q<1$.

Care este diferența dintre dobânda simplă și dobânda compusă? La dobânda simplă, dobânda se calculează mereu la capitalul inițial, deci creșterea e aritmetică: $S_n=S_0(1+ni)$. La dobânda compusă, dobânda se adaugă la capital și produce, la rândul ei, dobândă, deci creșterea e geometrică: $S_n=S_0(1+i{)}^n$. La $6\%$ și zece ani, factorii sunt $1,60$, respectiv $1,79$.

De ce apare numărul e la dobânda cu capitalizare deasă? Pentru că factorul anual este ${\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m$, o expresie de tip $1^{\infty }$ când $m\to \infty$. Aducând-o la forma fundamentală, exponentul devine $m\cdot \frac{i}{m}=i$, deci limita este $e^i$. Acesta este plafonul câștigului: capitalizarea continuă.

Ce este nivelul de echilibru al unui proces? Este punctul fix al recurenței $x_{n+1}=q{x}_n+b$, adică $x^{\ast }=\frac{b}{1-q}$ — valoarea la care aportul compensează exact pierderea. Pentru $|q|<1$, procesul tinde la el indiferent de valoarea de pornire, iar starea inițială se „uită" cu viteza dată de $q^n$.

Cum știu dacă un credit cu rată fixă se stinge? Compari suma împrumutată cu raportul $\frac{R}{i}$ dintre rată și dobânda pe perioadă. Dacă datoria inițială este sub acest prag, soldul scade și creditul se stinge; dacă este egală, soldul rămâne constant; dacă este peste, datoria crește nemărginit.

Ce înseamnă că un șir de valori „tinde la zero" într-o problemă practică? Înseamnă că mărimea scade sub orice prag fixat dinainte, oricât de mic — nu că devine efectiv zero la un moment dat. Valoarea unei mașini depreciate cu $15\%$ pe an rămâne strict pozitivă la orice număr de ani, deși devine repede neglijabilă.

Ce metodă folosesc dacă nu am formula termenului general? Aplici rețeta din lecția Șiruri definite prin recurență: studiul convergenței: demonstrezi mărginirea și monotonia, invoci teorema lui Weierstrass pentru existența limitei, apoi treci la limită în relația de recurență și rezolvi ecuația obținută.

Modelele acestea descriu exact realitatea? Nu — ele descriu un mecanism, pe un orizont de timp în care ipotezele rămân valabile. Nicio populație nu crește geometric la infinit, nicio dobândă nu rămâne fixă zeci de ani. Un model bun se recunoaște după faptul că prezice corect tendința și că se comportă rezonabil și pentru valori inițiale neobișnuite, cum ai văzut la populația care pornește peste capacitatea rezervației.