Modelarea creșterii și descreșterii cu șiruri: pe scurt

Aproape orice proces măsurat la momente discrete intră într-unul dintre două tipare. Tiparul multiplicativ: la fiecare pas mărimea se înmulțește cu același factor $q$ — „crește cu $5\%$” înseamnă $q=1,05$, „scade cu $15\%$” înseamnă $q=0,85$ — deci $x_n=x_0{q}^n$, progresie geometrică. Tiparul cu aport constant: $x_{n+1}=q{x}_n+b$, recurență afină.

La recurența afină, $x^{\ast }=\frac{b}{1-q}$ este nivelul de echilibru: valoarea la care aportul compensează exact pierderea. Pentru $|q|<1$ procesul tinde la $x^{\ast }$ indiferent de starea inițială, fiindcă $x_n=x^{\ast }+\left(x_0-x^{\ast }\right)q^n$.

Capitalizarea tot mai deasă nu dă câștig nelimitat: ${\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m\to e^i$. La un credit cu rată fixă, totul se decide comparând $D_0$ cu $\frac{R}{i}$: sub prag datoria se stinge, la prag stagnează, peste prag crește nemărginit.

Limita se interpretează, nu doar se calculează: limită finită nenulă înseamnă stabilizare, limita $0$ înseamnă stingere asimptotică, limita infinită înseamnă creștere fără plafon (deci un model valabil doar pe un orizont limitat). Două formulări greșite de evitat: „valoarea devine zero” (corect: scade sub orice prag fixat) și confuzia dintre limită și viteza de apropiere de ea.

Exerciții din această mini-lecție

1. O sumă de $8000$ de lei este depusă cu dobânda de $5\%$ pe an, capitalizată anual. Soldul după $n$ ani este:

   • a) $8000\cdot 1,05^n$
   • b) $8000\cdot 0,05^n$
   • c) $8000+0,05n$
   • d) $8000\cdot 1,5^n$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $8000\cdot 1,05^n$

   O creștere de $5\%$ înseamnă înmulțirea cu $1+0,05=1,05$, nu cu $0,05$ (varianta b) ar duce soldul la zero) și nu cu $1,5$ (varianta d) ar însemna $50\%$). Varianta c) descrie o creștere liniară, cu $0,05$ lei pe an. Control: $S_{10}=8000\cdot 1,05^{10}=13031,16$ lei.

2. O mașină cumpărată cu $18000$ de euro pierde $20\%$ din valoare în fiecare an. Care afirmație este adevărată?

   • a) $V_n=18000\cdot 0,8^n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n=0$
   • b) $V_n=18000\cdot 0,2^n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n=0$
   • c) $V_n=18000-0,2n$, deci mașina ajunge la valoare nulă după $5$ ani
   • d) $\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n=18000$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $V_n=18000\cdot 0,8^n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n=0$

   „Pierde $20\%$” înseamnă că rămâne $80\%$, deci factorul este $0,8$. Cum $|0,8|<1$, avem $0,8^n\to 0$ și $V_n\to 0$ — valoarea scade sub orice prag, dar niciun termen nu este nul. Varianta c) confundă modelul multiplicativ cu unul liniar. Control: $V_5=5898,24$ euro.

3. Un pacient primește $60$ mg de substanță la fiecare doză, iar între două administrări organismul elimină $75\%$ din cantitatea prezentă. Cantitatea din organism se stabilizează la:

   • a) $60$ mg
   • b) $80$ mg
   • c) $240$ mg
   • d) crește nemărginit
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $80$ mg

   Rămâne un sfert din cantitate, deci $c_{n+1}=0,25c_n+60$: recurență afină cu $q=0,25$ și $b=60$. Nivelul de echilibru este $c^{\ast }=\frac{60}{1-0,25}=80$ mg, iar $|q|<1$ asigură convergența spre el, indiferent de starea inițială. Cantitatea nu se acumulează periculos: rămâne mereu sub $80$ mg.