Ecuații exponențiale elementare

Într-un laborator, o cultură pornește de la $200$ de bacterii, iar numărul lor se dublează la fiecare trei ore. Întrebarea biologului nu este „câte bacterii vor fi peste $9$ ore" — asta e o simplă înmulțire. Întrebarea reală e inversă: după cât timp ajung la $1600$ ? Scrisă matematic, ea devine

$200 \cdot 2^{t /3} = 1600,$

o ecuație în care necunoscuta stă în exponent. Astfel de ecuații se numesc exponențiale și apar peste tot unde ne interesează nu efectul, ci momentul: când se dublează un depozit bancar, când scade doza unui medicament sub pragul activ, câți ani are un fosil.

Vestea bună e că ai deja unealta necesară. În lecția despre proprietățile funcției exponențiale am demonstrat că funcția $x \mapsto a^{x}$ este injectivă. De aici rezultă regula care rezolvă toate ecuațiile din lecția de față: dacă două puteri cu aceeași bază sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali. Restul e tehnică — și, ca la orice ecuație de examen, disciplină de redactare.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să folosești echivalența $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ , cu condițiile ei asupra bazei.
Vei ști să discuți ecuația elementară $a^{x} = b$ după semnul și forma lui $b$ .
Vei ști să rezolvi ecuații prin aducerea la aceeași bază, în cinci pași.
Vei ști să dai factor comun o putere, la ecuații de tipul $a^{x + 1} + a^{x} = c$ .
Vei ști să tratezi ecuații cu exponent de gradul al doilea și ecuații cu baze care se unesc într-un produs.
Vei ști să faci prima substituție $t = a^{x}$ , punând întotdeauna condiția $t > 0$ și respingând rădăcinile negative.

Hai să descoperim împreună

1. Teorema pe care se sprijină totul

Teoremă. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ . Pentru orice numere reale $u$ și $v$ :

$a^{u} = a^{v} ⟺ u = v .$

Demonstrație. Implicația de la dreapta la stânga e evidentă. Cea de la stânga la dreapta e chiar injectivitatea funcției exponențiale: din $a^{u} = a^{v}$ , împărțind prin $a^{v} > 0$ , obținem $a^{u - v} = 1$ , iar $a^{t} = 1$ are loc doar pentru $t = 0$ , deoarece baza e diferită de $1$ . Deci $u = v$ . $■$

Condițiile nu sunt decorative. Pentru $a = 1$ echivalența cade: $1^{3} = 1^{7}$ , dar $3 \neq = 7$ . De aceea, la orice ecuație în care baza conține un parametru, primul rând al rezolvării verifică $a > 0$ și $a \neq = 1$ .

2. Ecuația elementară $a^{x} = b$

Toate ecuațiile din lecție se reduc, până la urmă, la această formă. Discuția se face după membrul drept:

$b \leq 0$ : ecuația nu are soluții. Funcția exponențială ia doar valori strict pozitive, deci egalitatea e imposibilă. Exemple: $2^{x} = - 8$ , $5^{x} = 0$ . Aceasta e prima verificare pe care o faci — uneori e și ultima.
$b > 0$ și $b$ se scrie ca putere a lui $a$ : ecuația se rezolvă imediat. Din $b = a^{k}$ obținem $a^{x} = a^{k}$ , deci $x = k$ .
$b > 0$ , dar $b$ nu e o putere „frumoasă" a lui $a$ : soluția există și e unică (bijectivitatea!), dar nu se poate scrie cu puteri. Ea se va nota $x = lo g_{a} b$ — subiectul lecției despre logaritmul unui număr. Ecuațiile de acest tip nu fac parte din lecția de față.

3. Metoda aducerii la aceeași bază, în cinci pași

Aceasta e metoda de bază, cea cerută în majoritatea subiectelor de Bacalaureat M1.

Verifică semnul membrului drept. Dacă e $\leq 0$ și în stânga ai o singură putere, ecuația nu are soluții. Gata.
Alege baza comună — de obicei cel mai mic număr din care se obțin toate celelalte: pentru $4$ , $8$ , $16$ alegi $2$ ; pentru $9$ , $27$ , $81$ alegi $3$ .
Scrie fiecare putere în baza aleasă, folosind $(a^{p})^{q} = a^{pq}$ și $\frac{1}{a ^{p}} = a^{- p}$ .
Egalează exponenții, invocând injectivitatea, și rezolvă ecuația obținută (de gradul I, de gradul al II-lea etc.).
Verifică soluțiile prin înlocuire în ecuația inițială și scrie mulțimea soluțiilor.

Exemplu complet. Rezolvăm $9^{x} = 2 7^{x - 1}$ .

Baza comună este $3$ : $9 = 3^{2}$ și $27 = 3^{3}$ . Ecuația devine

$(3^{2})^{x} = (3^{3})^{x - 1}, 3^{2 x} = 3^{3 x - 3} .$

Prin injectivitate, $2 x = 3 x - 3$ , deci $x = 3$ .

Verificare în ecuația inițială: $9^{3} = 729$ și $2 7^{3 - 1} = 2 7^{2} = 729$ . ✓ Mulțimea soluțiilor: $S = {3}$ .

4. Ecuații cu factor comun

Când în ecuație apar mai multe puteri ale aceleiași baze, cu exponenți care diferă prin constante, se dă factor comun puterea cu exponentul cel mai mic.

Exemplu. Rezolvăm $3^{x + 2} + 3^{x} = 90$ .

Scriem $3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$ , deci

$9 \cdot 3^{x} + 3^{x} = 90 ⟹ 3^{x} (9 + 1) = 90 ⟹ 3^{x} = 9 = 3^{2} ⟹ x = 2.$

Verificare: $3^{4} + 3^{2} = 81 + 9 = 90$ . ✓

Tiparul e mereu același: scoți în față puterea comună, aduni coeficienții numerici (aici $9 + 1 = 10$ ), împarți și ajungi la o ecuație elementară. Funcționează identic cu scăderi: la $2^{x + 2} - 2^{x} = 12$ obții $2^{x} (4 - 1) = 12$ , deci $2^{x} = 4$ și $x = 2$ . Verificare: $16 - 4 = 12$ ✓.

5. Baze diferite care se unesc

Uneori bazele nu se pot reduce una la alta, dar puterile au același exponent și se pot uni într-un produs sau într-un cât, folosind $a^{x} b^{x} = (ab)^{x}$ .

Exemplu. $2^{x} \cdot 5^{x} = 0, 1$ . Membrul stâng este $1 0^{x}$ , iar $0, 1 = 1 0^{- 1}$ , deci $x = - 1$ . Verificare: $2^{- 1} \cdot 5^{- 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = 0, 1$ ✓.

Exemplu de ecuație fără soluții. $2^{x} \cdot 4^{x - 1} = 8^{x - 2}$ . Aducem totul la baza $2$ :

$2^{x} \cdot 2^{2 x - 2} = 2^{3 x - 6}, 2^{3 x - 2} = 2^{3 x - 6} .$

Prin injectivitate ar rezulta $3 x - 2 = 3 x - 6$ , adică $- 2 = - 6$ — egalitate falsă. Deci ecuația nu are soluții: $S = \emptyset$ . Nu e o eroare de calcul, e un răspuns legitim, care trebuie scris ca atare.

6. Exponent de gradul al doilea

Dacă după egalarea exponenților rămâne o ecuație de gradul al II-lea, o rezolvi normal — toate soluțiile ei sunt valabile, pentru că nu am impus nicio restricție asupra lui $x$ .

Exemplu. $2^{x^{2} - 3 x} = 16$ . Cum $16 = 2^{4}$ , injectivitatea dă $x^{2} - 3 x = 4$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , cu $Δ = 9 + 16 = 25$ și soluțiile

$x_{1} = \frac{3 + 5}{2} = 4, x_{2} = \frac{3 - 5}{2} = - 1.$

Verificare în ecuația inițială. Pentru $x = 4$ : exponentul e $16 - 12 = 4$ , deci $2^{4} = 16$ ✓. Pentru $x = - 1$ : exponentul e $1 + 3 = 4$ , deci $2^{4} = 16$ ✓. $S = {- 1, 4}$ .

Caz special util: $a^{f (x)} = 1$ înseamnă $f (x) = 0$ , pentru că $a^{0} = 1$ și baza e diferită de $1$ . De exemplu, $6^{x^{2} - x} = 1$ dă $x^{2} - x = 0$ , deci $x \in {0, 1}$ .

7. Prima substituție: $t = a^{x}$ , cu condiția $t > 0$

Când în ecuație apar $a^{2 x}$ și $a^{x}$ (adică o putere și pătratul ei), aducerea la aceeași bază nu mai ajunge. Se folosește substituția

$t = a^{x}, cu condi ț ia obligatorie t > 0,$

pentru că funcția exponențială ia doar valori strict pozitive. Condiția nu e un moft de redactare: fără ea vei accepta soluții inexistente.

Exemplu. Rezolvăm $4^{x} + 2^{x} - 6 = 0$ .

Observăm că $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ . Notăm $t = 2^{x}$ , cu $t > 0$ . Ecuația devine

$t^{2} + t - 6 = 0, Δ = 1 + 24 = 25, t_{1} = 2, t_{2} = - 3.$

Respingem $t_{2} = - 3$ , pentru că nu respectă condiția $t > 0$ : nu există niciun număr real $x$ cu $2^{x} = - 3$ , valorile exponențialei fiind strict pozitive. Rămâne $t = 2$ , deci $2^{x} = 2$ și $x = 1$ .

Verificare în ecuația inițială: $4^{1} + 2^{1} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$ ✓. $S = {1}$ .

Reține ordinea corectă a pașilor: notezi cu condiție → rezolvi în $t$ → respingi explicit rădăcinile care nu respectă condiția → revii la variabila inițială → verifici. Vei aprofunda tehnica în lecția despre ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție; aici o folosim doar în cazurile simple.

✏️Ilustrație: schemă în patru casete legate prin săgeți: „ecuație în x" → „notăm t = a^x, t > 0" → „ecuație de gradul II în t" → „revenim: a^x = t, doar pentru t > 0"; sub a treia casetă, o etichetă roșie „rădăcinile t ≤ 0 se resping"

8. De ce verificăm, dacă metoda e echivalentă

La aducerea la aceeași bază, toți pașii sunt echivalențe, deci teoretic nu pot apărea soluții străine. Verificarea rămâne totuși obligatorie, din trei motive practice:

prinde greșelile de calcul (un semn schimbat la exponent se vede imediat);
la substituții și la ecuații cu radicali, unde apar ridicări la putere, soluțiile străine chiar apar;
baremul o punctează: la Bacalaureatul M1, pasul de verificare e adesea cotat separat.

Verificarea se face întotdeauna în ecuația inițială, nu în vreo formă intermediară — o greșeală făcută la pasul 2 s-ar propaga și ar trece neobservată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație elementară

Rezolvați ecuația $2^{x - 1} = 16$ .

Rezolvare. Membrul drept e pozitiv și se scrie ca putere a lui $2$ : $16 = 2^{4}$ . Ecuația devine $2^{x - 1} = 2^{4}$ , iar prin injectivitate $x - 1 = 4$ , deci $x = 5$ .

Verificare: $2^{5 - 1} = 2^{4} = 16$ ✓. $S = {5}$ . $■$

Exemplul 2 — Bază subunitară

Rezolvați ecuația $(\frac{1}{5})^{x} = 125$ .

Rezolvare. Scriem ambii membri în baza $5$ : $(\frac{1}{5})^{x} = 5^{- x}$ și $125 = 5^{3}$ . Din $5^{- x} = 5^{3}$ rezultă $- x = 3$ , deci $x = - 3$ .

Verificare: $(\frac{1}{5})^{- 3} = 5^{3} = 125$ ✓. $S = {- 3}$ .

Observă că soluția e negativă — perfect normal: baza fiind subunitară, funcția e descrescătoare, deci valori mari se obțin pentru exponenți negativi. $■$

Exemplul 3 — Baze diferite, aceeași rădăcină comună

Rezolvați ecuația $2^{3 x} = 4^{x + 1}$ .

Rezolvare. Baza comună este $2$ : $4^{x + 1} = (2^{2})^{x + 1} = 2^{2 x + 2}$ . Ecuația devine $2^{3 x} = 2^{2 x + 2}$ , deci $3 x = 2 x + 2$ și $x = 2$ .

Verificare: $2^{6} = 64$ și $4^{3} = 64$ ✓. $S = {2}$ . $■$

Exemplul 4 — Factor comun

Rezolvați ecuația $5^{x + 1} + 5^{x} = 30$ .

Rezolvare. Dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic:

$5^{x} \cdot 5 + 5^{x} = 30 ⟹ 5^{x} (5 + 1) = 30 ⟹ 6 \cdot 5^{x} = 30 ⟹ 5^{x} = 5.$

Deci $x = 1$ . Verificare: $5^{2} + 5^{1} = 25 + 5 = 30$ ✓. $S = {1}$ . $■$

Exemplul 5 — Substituție cu rădăcină respinsă

Rezolvați ecuația $9^{x} - 2 \cdot 3^{x} - 3 = 0$ .

Rezolvare. Observăm că $9^{x} = (3^{x})^{2}$ . Notăm $t = 3^{x}$ , cu condiția $t > 0$ . Ecuația devine

$t^{2} - 2 t - 3 = 0, Δ = 4 + 12 = 16, t_{1} = 3, t_{2} = - 1.$

Respingem $t_{2} = - 1 < 0$ : ecuația $3^{x} = - 1$ nu are soluții reale, pentru că $3^{x} > 0$ pentru orice $x$ . Rămâne $t = 3$ , adică $3^{x} = 3^{1}$ , deci $x = 1$ .

Verificare în ecuația inițială: $9^{1} - 2 \cdot 3^{1} - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$ ✓. $S = {1}$ . $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2^{x}$ . a) Arătați că $f (1) + f (2) + f (3) = 14$ . b) Rezolvați ecuația $f (x) + f (x + 1) = 24$ . c) Rezolvați ecuația $f (2 x) - 3 f (x) - 4 = 0$ .

Rezolvare. a) $f (1) + f (2) + f (3) = 2 + 4 + 8 = 14$ . ✓

b) Ecuația se scrie $2^{x} + 2^{x + 1} = 24$ . Dăm factor comun: $2^{x} (1 + 2) = 24$ , deci $3 \cdot 2^{x} = 24$ și $2^{x} = 8 = 2^{3}$ , de unde $x = 3$ . Verificare: $2^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24$ ✓.

c) $f (2 x) = 2^{2 x} = (2^{x})^{2}$ , deci ecuația devine $(2^{x})^{2} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ . Notăm $t = 2^{x}$ , cu condiția $t > 0$ :

$t^{2} - 3 t - 4 = 0, Δ = 9 + 16 = 25, t_{1} = 4, t_{2} = - 1.$

Respingem $t_{2} = - 1$ (nu respectă $t > 0$ ). Din $2^{x} = 4 = 2^{2}$ obținem $x = 2$ . Verificare în ecuația inițială: $2^{4} - 3 \cdot 2^{2} - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ ✓. $S = {2}$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regulile casei: scrii baza comună aleasă, invoci explicit injectivitatea când egalezi exponenții, iar la substituții pui condiția $t > 0$ și respingi în scris rădăcinile care nu o respectă. Fiecare soluție se verifică în ecuația inițială.

1. Rezolvă $3^{x} = 81$ .

2. Rezolvă $7^{x} = \frac{1}{49}$ .

3. Rezolvă $2^{3 x - 1} = 32$ .

4. Rezolvă $(\frac{1}{2})^{x} = 8$ .

5. Rezolvă $(\frac{2}{5})^{x} = \frac{125}{8}$ .

6. Rezolvă $3^{x + 1} = 3^{2 x - 4}$ .

7. Rezolvă $8^{x} = \frac{1}{4}$ , aducând la baza $2$ .

8. Rezolvă $4^{x} = 8$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $5^{x} = - 25$ are soluția $x = - 2$ ."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din $a^{u} = a^{v}$ rezultă întotdeauna $u = v$ ."

11. Rezolvă $6^{x^{2} - x} = 1$ .

12. Rezolvă $2^{x^{2} - 5 x} = \frac{1}{16}$ .

13. Rezolvă $3^{x + 2} - 3^{x} = 72$ .

14. Rezolvă $2^{x + 3} + 2^{x + 1} = 40$ .

15. Rezolvă $2^{x} \cdot 3^{x} = 36$ .

16. (Problemă aplicată.) O cultură pornește de la $200$ de bacterii, iar numărul lor se dublează la fiecare $3$ ore. Scrie funcția $N (t)$ și determină după câte ore se ajunge la $1600$ de bacterii.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 3^{x}$ . a) Calculează $f (0) + f (1) + f (2)$ . b) Rezolvă ecuația $f (x + 1) + f (x) = 36$ . c) Rezolvă ecuația $f (2 x) + f (x) - 12 = 0$ .

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ și explică de ce, de data aceasta, ambele rădăcini ale ecuației în $t$ sunt acceptate.

Răspunsuri și explicații

1. $81 = 3^{4}$ , deci $3^{x} = 3^{4}$ și $x = 4$ . Verificare: $3^{4} = 81$ ✓.

2. $\frac{1}{49} = 7^{- 2}$ , deci $x = - 2$ . Verificare: $7^{- 2} = \frac{1}{49}$ ✓.

3. $32 = 2^{5}$ , deci $3 x - 1 = 5$ , adică $x = 2$ . Verificare: $2^{3 \cdot 2 - 1} = 2^{5} = 32$ ✓.

4. $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ și $8 = 2^{3}$ , deci $- x = 3$ și $x = - 3$ . Verificare: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ ✓.

5. $\frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^{3} = (\frac{2}{5})^{- 3}$ , deci $x = - 3$ . Verificare: $(\frac{2}{5})^{- 3} = \frac{125}{8}$ ✓.

6. Bazele fiind deja egale, injectivitatea dă $x + 1 = 2 x - 4$ , deci $x = 5$ . Verificare: ambii exponenți devin $6$ , deci ambii membri sunt $3^{6}$ ✓.

7. $8^{x} = 2^{3 x}$ și $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ , deci $3 x = - 2$ și $x = - \frac{2}{3}$ . Verificare: $8^{- 2/3} = \frac{1}{( 3 8 ) ^{2}} = \frac{1}{4}$ ✓.

8. $4^{x} = 2^{2 x}$ și $8 = 2^{3}$ , deci $2 x = 3$ și $x = \frac{3}{2}$ . Verificare: $4^{3/2} = (4)^{3} = 8$ ✓.

9. Fals. Ecuația nu are nicio soluție: $5^{x} > 0$ pentru orice $x$ real, iar membrul drept e negativ. (Valoarea $x = - 2$ dă $5^{- 2} = \frac{1}{25}$ , care nu e $- 25$ .)

10. Fals așa cum e formulat: lipsește condiția $a \neq = 1$ . Contraexemplu: $1^{2} = 1^{9}$ , dar $2 \neq = 9$ . Enunțul devine adevărat pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ .

11. $1 = 6^{0}$ , deci $x^{2} - x = 0$ , adică $x (x - 1) = 0$ și $x \in {0, 1}$ . Verificare: pentru ambele valori exponentul e $0$ , deci membrul stâng e $1$ ✓.

12. $\frac{1}{16} = 2^{- 4}$ , deci $x^{2} - 5 x = - 4$ , adică $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , cu $Δ = 25 - 16 = 9$ și soluțiile $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ . Verificare: pentru $x = 1$ , exponentul e $1 - 5 = - 4$ ✓; pentru $x = 4$ , exponentul e $16 - 20 = - 4$ ✓. $S = {1, 4}$ .

13. $3^{x} (9 - 1) = 72$ , deci $8 \cdot 3^{x} = 72$ și $3^{x} = 9 = 3^{2}$ , de unde $x = 2$ . Verificare: $3^{4} - 3^{2} = 81 - 9 = 72$ ✓.

14. $2^{x} (8 + 2) = 40$ , deci $10 \cdot 2^{x} = 40$ și $2^{x} = 4$ , de unde $x = 2$ . Verificare: $2^{5} + 2^{3} = 32 + 8 = 40$ ✓.

15. $2^{x} \cdot 3^{x} = 6^{x}$ , iar $36 = 6^{2}$ , deci $x = 2$ . Verificare: $4 \cdot 9 = 36$ ✓.

16. $N (t) = 200 \cdot 2^{t /3}$ , cu $t$ în ore. Din $200 \cdot 2^{t /3} = 1600$ obținem $2^{t /3} = 8 = 2^{3}$ , deci $\frac{t}{3} = 3$ și $t = 9$ ore. Verificare: $200 \cdot 2^{3} = 200 \cdot 8 = 1600$ ✓.

17. a) $f (0) + f (1) + f (2) = 1 + 3 + 9 = 13$ . b) $3^{x + 1} + 3^{x} = 36 \Rightarrow 3^{x} (3 + 1) = 36 \Rightarrow 3^{x} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2$ ; verificare: $3^{3} + 3^{2} = 27 + 9 = 36$ ✓. c) $f (2 x) = (3^{x})^{2}$ ; notăm $t = 3^{x}$ , cu $t > 0$ : $t^{2} + t - 12 = 0$ , $Δ = 1 + 48 = 49$ , $t_{1} = 3$ , $t_{2} = - 4$ . Respingem $t_{2} = - 4 < 0$ ; din $3^{x} = 3$ rezultă $x = 1$ . Verificare în ecuația inițială: $3^{2} + 3^{1} - 12 = 9 + 3 - 12 = 0$ ✓.

18. Notăm $t = 2^{x}$ , cu condiția $t > 0$ . Ecuația devine $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , cu $Δ = 25 - 16 = 9$ și rădăcinile $t_{1} = 1$ , $t_{2} = 4$ . Amândouă sunt strict pozitive, deci amândouă se acceptă — condiția $t > 0$ nu elimină automat o rădăcină, ci doar pe cele care nu o respectă. Revenim: $2^{x} = 1$ dă $x = 0$ , iar $2^{x} = 4 = 2^{2}$ dă $x = 2$ . Verificare: pentru $x = 0$ , $1 - 5 + 4 = 0$ ✓; pentru $x = 2$ , $16 - 20 + 4 = 0$ ✓. $S = {0, 2}$ .

De reținut

Regula fundamentală: $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ , pentru $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Ea vine din injectivitatea funcției exponențiale.
Ecuația $a^{x} = b$ nu are soluții pentru $b \leq 0$ ; pentru $b > 0$ are exact o soluție, imediată dacă $b$ e o putere a lui $a$ .
Aducerea la aceeași bază e metoda principală: alegi baza comună, rescrii toate puterile, egalezi exponenții, rezolvi și verifici în ecuația inițială.
Factorul comun rezolvă ecuațiile cu mai multe puteri ale aceleiași baze: $a^{x + k} = a^{x} \cdot a^{k}$ , apoi dai factor comun $a^{x}$ .
La orice substituție $t = a^{x}$ se pune condiția $t > 0$ și se resping explicit rădăcinile negative sau nule — ele nu provin de la niciun $x$ real.

Greșeli frecvente

Egalezi exponenții fără să ai aceeași bază. Din $2^{x} = 3^{x + 1}$ nu rezultă $x = x + 1$ . Mai întâi se aduce totul la o bază comună; dacă bazele nu sunt înrudite, ecuația nu e de tipul studiat aici.
Uiți condiția $t > 0$ la substituție și accepți o rădăcină negativă. O rădăcină $t = - 3$ ar cere $2^{x} = - 3$ , imposibil. Respingerea trebuie scrisă, nu doar gândită.
Declari soluție acolo unde nu există. Ecuația $3^{x} = - 9$ nu are soluții; răspunsul corect este $S = \emptyset$ , nu $x = - 2$ (care ar da $\frac{1}{9}$ , nu $- 9$ ).
Confuzia $a^{x + k}$ cu $a^{x} + a^{k}$ . Corect este $a^{x + k} = a^{x} \cdot a^{k}$ — regula produsului, nu a sumei. Din această confuzie se pierde tot exercițiul cu factor comun.
Verifici într-o formă intermediară. Verificarea se face în ecuația inițială; altfel, o greșeală de transformare rămâne nedescoperită și se propagă în tot restul rezolvării.

Aplică acasă

Când se dublează? Ia o sumă imaginară de $1000$ de lei și o dobândă de $100%$ pe an (nerealistă, dar comodă). Scrie ecuația care dă momentul în care suma ajunge la $8000$ de lei și rezolv-o prin aducere la aceeași bază. Apoi încearcă aceeași întrebare pentru $5000$ de lei și observă de ce metoda nu mai funcționează — vei avea nevoie de logaritmi.
Nufărul de pe lac. Un nufăr își dublează suprafața în fiecare zi și acoperă tot lacul în $30$ de zile. În câte zile acoperă jumătate de lac? Scrie ecuația exponențială corespunzătoare și compară răspunsul cu intuiția ta inițială.
Colecția de baze. Notează pe o foaie toate puterile lui $2$ până la $2^{10}$ , ale lui $3$ până la $3^{5}$ și ale lui $5$ până la $5^{4}$ . Ține lista la îndemână o săptămână: recunoașterea rapidă a numerelor $64$ , $243$ sau $625$ ca puteri este jumătate din viteza de rezolvare la Bacalaureatul M1.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce ecuațiile exponențiale la nivelul cerut de programa de matematică-informatică și verifică patru deprinderi: invocarea explicită a injectivității la egalarea exponenților, discuția după semnul membrului drept, tehnica factorului comun și disciplina substituției cu condiția $t > 0$ . Redactarea contează la fel de mult ca rezultatul: baremele de Bacalaureat M1 punctează separat aducerea la aceeași bază, rezolvarea ecuației în necunoscuta auxiliară, respingerea rădăcinilor care nu convin și verificarea.

Întrebări bune de control: „Câte soluții are $2^{x} = - 8$ ?" (niciuna — exponențiala e strict pozitivă); „De ce se pune condiția $t > 0$ când notezi $t = 3^{x}$ ?" (pentru că valorile exponențialei sunt strict pozitive, deci o rădăcină negativă nu provine de la niciun $x$ ); „Ce faci când bazele sunt $4$ , $8$ și $16$ ?" (le aduci la baza $2$ ). Semne că a înțeles: scrie mulțimea soluțiilor, nu doar valoarea găsită; verifică în ecuația inițială; nu confundă $a^{x + k}$ cu $a^{x} + a^{k}$ .

La Bacalaureatul M1, ecuațiile exponențiale apar aproape la fiecare sesiune, cel mai des în subiectul II sau la punctul c) al unei probleme cu funcții: o ecuație rezolvabilă prin aducere la aceeași bază, una cu factor comun sau una de tip pătratic, rezolvată prin substituție. Structura din Exemplul 6 — trei subpuncte gradate, pe aceeași funcție — reproduce fidel formatul de examen.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație exponențială? Este o ecuație în care necunoscuta apare în exponent, de exemplu $2^{x - 1} = 16$ . Se deosebește de ecuațiile algebrice obișnuite, unde necunoscuta stă în bază, ca la $x^{2} = 16$ .

Cum rezolv o ecuație exponențială pas cu pas? Verifici semnul membrului drept, alegi o bază comună, rescrii toate puterile în acea bază, egalezi exponenții folosind injectivitatea funcției exponențiale, rezolvi ecuația obținută și verifici fiecare soluție în ecuația inițială.

De ce din $a$ la puterea $u$ egal cu $a$ la puterea $v$ rezultă că $u$ este egal cu $v$ ? Pentru că funcția exponențială este injectivă atunci când baza e strict pozitivă și diferită de $1$ : valori egale nu pot proveni din exponenți diferiți. Pentru baza $1$ regula nu funcționează, fiindcă $1^{u} = 1$ oricare ar fi $u$ .

Ce fac dacă în dreapta ecuației am un număr negativ? Scrii direct că ecuația nu are soluții. Funcția exponențială ia doar valori strict pozitive, deci $a^{x}$ nu poate fi niciodată negativ sau zero, indiferent de exponent.

Cum rezolv o ecuație de tipul $4^{x}$ minus $5$ ori $2^{x}$ plus $4$ egal zero? Observi că $4^{x} = (2^{x})^{2}$ și notezi $t = 2^{x}$ , cu condiția $t > 0$ . Obții o ecuație de gradul al doilea în $t$ , o rezolvi, respingi rădăcinile care nu sunt strict pozitive și revii la $x$ prin $2^{x} = t$ .

De ce trebuie pusă condiția $t$ mai mare decât zero la substituție? Pentru că $t$ înlocuiește o putere cu bază pozitivă, iar aceasta e întotdeauna strict pozitivă. O rădăcină negativă ar corespunde unei ecuații imposibile, de tipul $2^{x} = - 3$ , deci trebuie respinsă explicit în redactare.

Când o ecuație exponențială nu are nicio soluție? În două situații: când membrul drept este negativ sau zero și în stânga ai o singură putere; și când, după aducerea la aceeași bază, egalarea exponenților duce la o egalitate falsă, cum e $3 x - 2 = 3 x - 6$ .

Ce fac dacă numărul din dreapta nu este o putere a bazei? Ecuația are totuși exact o soluție, garantată de bijectivitatea funcției exponențiale, dar ea nu se poate scrie cu puteri. Se exprimă cu ajutorul logaritmului, noțiune pe care o vei studia în lecțiile următoare.