Acasă · Lecții · clasa a X-a · Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere

Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere

Înainte de calculatoare, astronomii înmulțeau numere cu zece cifre cu creionul pe hârtie — o operație care putea dura o jumătate de zi și în care o singură cifră greșită strica tot. În 1614, scoțianul John Napier a publicat un tabel care a schimbat meseria: cu ajutorul lui, orice înmulțire se transforma într-o adunare, iar orice împărțire într-o scădere. Se spune că invenția „a dublat viața astronomilor". Tabelul lui era, bineînțeles, un tabel de logaritmi.

Miracolul are o explicație simplă, pe care o vei vedea în această lecție: logaritmul este un exponent, iar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună. Traducând această regulă din limbajul puterilor în limbajul logaritmilor, obținem trei proprietăți — a produsului, a câtului și a puterii — care stau la baza absolut tuturor calculelor cu logaritmi, de la exercițiile de la logaritmul unui număr până la ecuațiile logaritmice de la Bacalaureatul M1.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să demonstrezi cele trei proprietăți: logaritmul produsului, al câtului și al puterii.
Vei ști condițiile în care se aplică fiecare proprietate și de ce nu e suficient ca produsul să fie pozitiv.
Vei ști să descompui o expresie logaritmică complicată în sume și diferențe de logaritmi simpli.
Vei ști să restrângi o sumă de logaritmi la un singur logaritm.
Vei ști să calculezi valori de tipul $l g 40$ pornind de la o singură valoare memorată, $l g 2 \approx 0, 3010$ .
Vei ști să eviți cele două capcane clasice: $lo g_{a} (x + y)$ și $lo g_{a} x^{2}$ pentru $x$ negativ.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vin proprietățile

Totul pornește de la regulile puterilor, revăzute la proprietățile puterilor cu exponent rațional:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn} .$

Cum logaritmul „citește exponentul", fiecare dintre aceste trei reguli se traduce într-o proprietate a logaritmilor. Practic, logaritmul coboară cu o treaptă fiecare operație: înmulțirea devine adunare, împărțirea devine scădere, puterea devine înmulțire.

De aici vine și metoda cu care s-a lucrat trei secole. Ca să înmulțești $327$ cu $894$ , căutai în tabel $l g 327 \approx 2, 5145$ și $l g 894 \approx 2, 9513$ , adunai cele două valori — $5, 4658$ — și căutai în tabel, invers, numărul cu acest logaritm: aproximativ $292000$ (valoarea exactă a produsului este $292338$ , iar diferența vine din rotunjirea la patru zecimale a valorilor din tabel). O adunare în locul unei înmulțiri, cu creionul, în treizeci de secunde. Rigla de calcul, instrumentul cu care s-au proiectat avioanele până în anii 1970, nu era altceva decât acest tabel, gravat pe două tije care alunecau una lângă alta.

✏️Ilustrație: două coloane paralele legate prin săgeți orizontale; în stânga, „lumea puterilor" cu operațiile ×, ÷, ridicare la putere; în dreapta, „lumea logaritmilor" cu +, −, ×; deasupra săgeților scrie „log"

2. Logaritmul produsului

Teoremă. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $x > 0$ , $y > 0$ . Atunci

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y .$

Demonstrație. Notăm $u = lo g_{a} x$ și $v = lo g_{a} y$ . Din definiția logaritmului, $a^{u} = x$ și $a^{v} = y$ . Înmulțind, obținem

$x y = a^{u} \cdot a^{v} = a^{u + v} .$

Am scris deci produsul $x y$ ca putere a bazei $a$ , cu exponentul $u + v$ . Conform definiției logaritmului, aceasta înseamnă exact $lo g_{a} (x y) = u + v = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ . $■$

Verificare pe numere: $lo g_{2} (4 \cdot 8) = lo g_{2} 32 = 5$ , iar $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 8 = 2 + 3 = 5$ ✓.

Proprietatea se extinde la oricâți factori strict pozitivi: $lo g_{a} (x y z) = lo g_{a} x + lo g_{a} y + lo g_{a} z$ , aplicând teorema de două ori.

3. Logaritmul câtului

Teoremă. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $x > 0$ , $y > 0$ . Atunci

$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y .$

Demonstrație. Cu aceleași notații, $\frac{x}{y} = \frac{a ^{u}}{a ^{v}} = a^{u - v}$ , deci $lo g_{a} \frac{x}{y} = u - v$ . $■$

O consecință folosită la tot pasul se obține luând $x = 1$ : cum $lo g_{a} 1 = 0$ , rezultă

$lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y .$

Verificare: $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , iar $- lo g_{2} 8 = - 3$ ✓. Altă verificare: $lo g_{3} \frac{54}{2} = lo g_{3} 27 = 3$ , iar $lo g_{3} 54 - lo g_{3} 2 = 3$ ✓.

4. Logaritmul unei puteri

Teoremă. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$ și $n$ un număr real. Atunci

$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x .$

Demonstrație. Notăm $u = lo g_{a} x$ , deci $a^{u} = x$ . Ridicând la puterea $n$ : $x^{n} = (a^{u})^{n} = a^{n u}$ . Prin definiția logaritmului, $lo g_{a} x^{n} = n u = n lo g_{a} x$ . $■$

Cazul cel mai util în practică este cel al radicalilor. Cum $n x = x^{1/ n}$ , obținem

$lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x .$

Verificare: $lo g_{5} 5 = \frac{1}{2} lo g_{5} 5 = \frac{1}{2}$ , ceea ce se confirmă direct, căci $5^{1/2} = 5$ ✓.

Adunând cele trei teoreme și consecințele lor, obținem trusa completă de lucru, valabilă pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și argumente strict pozitive:

Ce ai în argument	Ce devine	Condiții
produs, $x y$	$lo g_{a} x + lo g_{a} y$	$x > 0$ , $y > 0$
cât, $\frac{x}{y}$	$lo g_{a} x - lo g_{a} y$	$x > 0$ , $y > 0$
invers, $\frac{1}{y}$	$- lo g_{a} y$	$y > 0$
putere, $x^{n}$	$n lo g_{a} x$	$x > 0$ , $n \in R$
radical, $n x$	$\frac{1}{n} lo g_{a} x$	$x > 0$ , $n \geq 2$
baza însăși, $a$	$1$	—
$1$	$0$	—

Tabelul se citește în ambele sensuri: de la stânga la dreapta pentru descompunere, de la dreapta la stânga pentru restrângere.

✏️Ilustrație: o expresie logaritmică complicată în centru, cu două săgeți curbate: una spre stânga, etichetată „descompunere", care duce la o sumă de logaritmi simpli, și una spre dreapta, etichetată „restrângere", care duce înapoi la un singur logaritm

5. Capcanele: unde NU se aplică proprietățile

Aici se pierd cele mai multe puncte, așa că citește de două ori.

Prima capcană: logaritmul unei sume. Nu există nicio formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ . În particular,

$lo g_{a} (x + y) \neq = lo g_{a} x + lo g_{a} y .$

Contraexemplu: $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 16 = 4$ , în timp ce $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = 3 + 3 = 6$ . Diferite. Suma din interiorul logaritmului nu se desface.

A doua capcană: condițiile proprietății produsului. Enunțul cere $x > 0$ și $y > 0$ , nu doar $x y > 0$ . Dacă $x = - 2$ și $y = - 8$ , produsul $x y = 16$ este pozitiv și $lo g_{2} 16 = 4$ există; dar $lo g_{2} (- 2)$ și $lo g_{2} (- 8)$ nu există, deci egalitatea nu are sens. Când în enunț apar expresii cu necunoscută, verifică semnul fiecărui factor, nu doar al produsului.

A treia capcană: $lo g_{a} x^{2}$ . Pentru $x > 0$ avem $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ . Pentru $x < 0$ , membrul stâng există (căci $x^{2} > 0$ ), dar membrul drept nu. Formula corectă, valabilă pentru orice $x \neq = 0$ , este

$lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣.$

Verificare: $lo g_{2} (- 4)^{2} = lo g_{2} 16 = 4$ , iar $2 lo g_{2} ∣ - 4∣ = 2 \cdot 2 = 4$ ✓.

A patra capcană: câtul a doi logaritmi. Proprietatea câtului se referă la logaritmul unui cât, nu la câtul a doi logaritmi. Așadar

$\frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} y} \neq = lo g_{a} \frac{x}{y} .$

Contraexemplu: $\frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ , în timp ce $lo g_{2} \frac{8}{4} = lo g_{2} 2 = 1$ . Raportul a doi logaritmi are, de altfel, propria lui semnificație — este chiar formula de schimbare a bazei, pe care o vei studia în lecția următoare.

6. Descompunerea unei expresii

A descompune (sau a dezvolta) înseamnă a scrie logaritmul unei expresii complicate ca sumă și diferență de logaritmi simpli. Se aplică, în ordine, proprietatea câtului, apoi cea a produsului, apoi cea a puterii.

Exemplu. Pentru $x, y, z > 0$ :

$lo g_{a} \frac{x ^{2} y ^{3}}{z} = lo g_{a} (x^{2} y^{3}) - lo g_{a} z = lo g_{a} x^{2} + lo g_{a} y^{3} - lo g_{a} z = 2 lo g_{a} x + 3 lo g_{a} y - lo g_{a} z .$

Exemplu cu radical și constantă. Pentru $x, y > 0$ :

$lo g_{2} \frac{8 x ^{3}}{y} = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x^{3} - lo g_{2} y^{1/2} = 3 + 3 lo g_{2} x - \frac{1}{2} lo g_{2} y .$

Observă că factorul numeric $8$ se calculează, nu se lasă sub formă de logaritm: $lo g_{2} 8 = 3$ .

Ordinea în care aplici proprietățile contează pentru claritate, nu pentru rezultat. Regula practică: mergi dinspre exterior spre interior. Dacă expresia este o fracție, desfaci întâi câtul; dacă interiorul e un produs, desfaci apoi produsul; abia la final cobori exponenții. Dacă începi cu exponenții, riști să „scoți" un exponent care se aplica întregii fracții, nu doar unui factor — greșeală clasică la expresii de tipul $lo g_{a} (\frac{x}{y})^{3}$ , care se scrie $3 lo g_{a} x - 3 lo g_{a} y$ , nu $3 lo g_{a} x - lo g_{a} y$ .

7. Restrângerea unei expresii

Operația inversă, restrângerea, se cere la fel de des: transformi o sumă de logaritmi într-unul singur. Se merge invers: întâi coeficienții intră ca exponenți, apoi se adună și se scad argumentele.

Exemplu. Pentru $x, y, z > 0$ :

$2 lo g_{3} x + \frac{1}{2} lo g_{3} y - 3 lo g_{3} z = lo g_{3} x^{2} + lo g_{3} y - lo g_{3} z^{3} = lo g_{3} \frac{x ^{2} y}{z ^{3}} .$

Exemplu cu termen liber. Un număr se transformă în logaritm folosind $lo g_{a} a = 1$ :

$1 + lo g_{2} x = lo g_{2} 2 + lo g_{2} x = lo g_{2} (2 x), 2 - lo g_{5} x = lo g_{5} 25 - lo g_{5} x = lo g_{5} \frac{25}{x} .$

Trucul se generalizează: orice număr $k$ se scrie ca $lo g_{a} a^{k}$ , deci poate intra în logaritm. De exemplu, $3 + lo g_{2} x = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x = lo g_{2} (8 x)$ , iar $lo g_{3} x - 2 = lo g_{3} \frac{x}{9}$ . Este exact pasul care face posibilă rezolvarea ecuațiilor logaritmice: aduci toată egalitatea la forma „un singur logaritm egal cu un singur logaritm" și apoi folosești injectivitatea funcției logaritmice.

8. Calcule cu o singură valoare memorată

Proprietățile permit un truc pe care examinatorii îl adoră: din o singură valoare aproximativă se deduc multe altele. Să presupunem cunoscut $l g 2 \approx 0, 3010$ .

$l g 5 = l g \frac{10}{2} = l g 10 - l g 2 = 1 - 0, 3010 = 0, 6990$ ;
$l g 8 = l g 2^{3} = 3 l g 2 = 0, 9030$ ;
$l g 40 = l g (4 \cdot 10) = 2 l g 2 + 1 = 1, 6020$ ;
$l g 0, 25 = l g \frac{1}{4} = - 2 l g 2 = - 0, 6020$ .

Toate se obțin fără calculator. Reține și legătura de aur, valabilă mereu: $l g 2 + l g 5 = l g 10 = 1$ .

Dacă mai memorezi o singură valoare, $l g 3 \approx 0, 4771$ , acoperi practic toate numerele mici:

$l g 6 = l g 2 + l g 3 \approx 0, 7781$ ;
$l g 9 = 2 l g 3 \approx 0, 9542$ ;
$l g 1, 5 = l g \frac{3}{2} = l g 3 - l g 2 \approx 0, 1761$ ;
$l g 12 = 2 l g 2 + l g 3 \approx 1, 0791$ .

Exact acesta era conținutul tabelelor lui Napier: câteva valori de bază și proprietățile care le combină pe toate celelalte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Restrângere care dă un număr întreg

Calculați $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3$ .

Rezolvare. Ambele argumente sunt strict pozitive, deci se poate aplica proprietatea câtului:

$lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{24}{3} = lo g_{2} 8 = 3.$

Deci rezultatul este $3$ . $■$

Exemplul 2 — Sumă de doi logaritmi

Calculați $lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9$ .

Rezolvare. Cu proprietatea produsului: $lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 = lo g_{6} 36 = 2$ , deoarece $6^{2} = 36$ .

Observă că niciunul dintre cei doi logaritmi nu are, separat, valoare „frumoasă"; împreună însă dau un întreg. Acesta este semnalul tipic că exercițiul cere restrângere, nu calcul separat. $■$

Exemplul 3 — Descompunere completă

Descompuneți $lo g_{3} \frac{9 x ^{4}}{3 y}$ , unde $x, y > 0$ .

Rezolvare. Aplicăm, în ordine, proprietatea câtului, a produsului și a puterii:

$lo g_{3} \frac{9 x ^{4}}{3 y} = lo g_{3} 9 + lo g_{3} x^{4} - lo g_{3} y^{1/3} = 2 + 4 lo g_{3} x - \frac{1}{3} lo g_{3} y .$

Control rapid, pentru $x = 3$ și $y = 27$ : membrul stâng este $lo g_{3} \frac{9 \cdot 81}{3} = lo g_{3} 243 = 5$ , iar membrul drept este $2 + 4 - 1 = 5$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Restrângere cu coeficienți fracționari

Restrângeți $3 lo g_{2} x + \frac{1}{2} lo g_{2} y - 2 lo g_{2} z$ , unde $x, y, z > 0$ .

Rezolvare. Coeficienții devin exponenți:

$3 lo g_{2} x + \frac{1}{2} lo g_{2} y - 2 lo g_{2} z = lo g_{2} x^{3} + lo g_{2} y - lo g_{2} z^{2} = lo g_{2} \frac{x ^{3} y}{z ^{2}} .$

Control pentru $x = 2$ , $y = 16$ , $z = 2$ : membrul stâng este $3 + 2 - 2 = 3$ , iar membrul drept $lo g_{2} \frac{8 \cdot 4}{4} = lo g_{2} 8 = 3$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Calcule cu $l g 2$

Știind că $l g 2 \approx 0, 3010$ , calculați $l g 5$ , $l g 16$ și $l g 500$ .

Rezolvare. $l g 5 = 1 - l g 2 \approx 0, 6990$ .

$l g 16 = l g 2^{4} = 4 l g 2 \approx 1, 2040$ .

$l g 500 = l g \frac{1000}{2} = 3 - l g 2 \approx 2, 6990$ .

Control de bun-simț: $500$ are trei cifre, deci $l g 500$ trebuie să fie între $2$ și $3$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Arătați că $lo g_{5} (x^{2} - 4) - lo g_{5} (x - 2) = lo g_{5} (x + 2)$ pentru orice $x > 2$ .

Rezolvare. Condiții de existență. Este nevoie de $x^{2} - 4 > 0$ și $x - 2 > 0$ , adică $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ și $x > 2$ . Intersecția este $x > 2$ , exact ipoteza din enunț; pe acest interval avem și $x + 2 > 0$ .

Calculul. Pentru $x > 2$ , factorizăm $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , ambii factori fiind strict pozitivi. Aplicăm proprietatea câtului:

$lo g_{5} (x^{2} - 4) - lo g_{5} (x - 2) = lo g_{5} \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = lo g_{5} (x + 2) .$

Egalitatea este demonstrată. Verificare numerică pentru $x = 3$ : în stânga $lo g_{5} 5 - lo g_{5} 1 = 1 - 0 = 1$ , în dreapta $lo g_{5} 5 = 1$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La exercițiile cu literă, scrie mai întâi condițiile în care se aplică proprietățile.

1. Calculează $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4$ .

2. Calculează $lo g_{3} 54 - lo g_{3} 2$ .

3. Calculează $lo g_{5} 5$ , $lo g_{2} 34$ și $lo g_{3} \frac{1}{3}$ .

4. Calculează $l g 2 + l g 50$ .

5. Calculează $lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9$ .

6. Calculează $lo g_{2} 3 - lo g_{2} 24$ .

7. Descompune $lo g_{a} \frac{x ^{2} y ^{3}}{z}$ , pentru $x, y, z > 0$ .

8. Descompune $lo g_{2} \frac{8 x ^{3}}{y}$ , pentru $x, y > 0$ .

9. Restrânge $2 lo g_{3} x + \frac{1}{2} lo g_{3} y - 3 lo g_{3} z$ , pentru $x, y, z > 0$ .

10. Restrânge $1 + lo g_{2} x$ și $2 - lo g_{5} x$ , pentru $x > 0$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8$ ."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real nenul $x$ , are loc $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ ."

13. Știind că $l g 2 \approx 0, 3010$ , calculează $l g 5$ , $l g 8$ , $l g 40$ și $l g 0, 25$ .

14. Arată că $lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{16}{3} = 5$ .

15. (Problemă aplicată.) Aciditatea unei soluții se măsoară prin $pH = - l g c$ , unde $c$ este concentrația ionilor de hidrogen, în moli pe litru. a) Ce pH are o soluție cu $c = 1 0^{- 3}$ ? b) Arată, folosind proprietățile logaritmilor, că diluarea de $1000$ de ori crește pH-ul cu exact $3$ unități.

16. Calculează $E = l g \frac{1}{2} + l g \frac{2}{3} + l g \frac{3}{4} + \dots + l g \frac{9}{10}$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că $lo g_{3} (x^{2} - 9) - lo g_{3} (x + 3) = lo g_{3} (x - 3)$ pentru orice $x > 3$ .

18. (Provocare.) Fie $a, b > 0$ cu $a^{2} + b^{2} = 7 ab$ . Arată că $l g \frac{a + b}{3} = \frac{l g a + l g b}{2}$ .

Răspunsuri și explicații

1. $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4 = lo g_{2} 32 = 5$ (căci $2^{5} = 32$ ). Se putea și direct: $3 + 2 = 5$ .

2. $lo g_{3} 54 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} 27 = 3$ .

3. $lo g_{5} 5 = \frac{1}{2} lo g_{5} 5 = \frac{1}{2}$ . $lo g_{2} 34 = \frac{1}{3} lo g_{2} 4 = \frac{2}{3}$ . $lo g_{3} \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} lo g_{3} 3 = - \frac{1}{2}$ .

4. $l g 2 + l g 50 = l g 100 = 2$ .

5. $lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 = lo g_{6} 36 = 2$ .

6. $lo g_{2} 3 - lo g_{2} 24 = lo g_{2} \frac{3}{24} = lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ .

7. $lo g_{a} \frac{x ^{2} y ^{3}}{z} = 2 lo g_{a} x + 3 lo g_{a} y - lo g_{a} z$ .

8. $lo g_{2} \frac{8 x ^{3}}{y} = 3 + 3 lo g_{2} x - \frac{1}{2} lo g_{2} y$ . Verificare pentru $x = 2$ , $y = 4$ : stânga $lo g_{2} \frac{64}{2} = lo g_{2} 32 = 5$ , dreapta $3 + 3 - 1 = 5$ ✓.

9. $2 lo g_{3} x + \frac{1}{2} lo g_{3} y - 3 lo g_{3} z = lo g_{3} \frac{x ^{2} y}{z ^{3}}$ .

10. $1 + lo g_{2} x = lo g_{2} 2 + lo g_{2} x = lo g_{2} (2 x)$ . $2 - lo g_{5} x = lo g_{5} 25 - lo g_{5} x = lo g_{5} \frac{25}{x}$ .

11. Fals. Membrul stâng este $lo g_{2} 16 = 4$ , iar cel drept $3 + 3 = 6$ . Proprietatea produsului se referă la $lo g_{a} (x y)$ , nu la $lo g_{a} (x + y)$ : pentru logaritmul unei sume nu există nicio formulă de desfacere.

12. Fals. Pentru $x < 0$ membrul drept nu are sens, deși cel stâng există. De exemplu, pentru $x = - 4$ : $lo g_{2} 16 = 4$ , dar $lo g_{2} (- 4)$ nu există. Formula corectă pentru orice $x \neq = 0$ este $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} ∣ x ∣$ .

13. $l g 5 = 1 - l g 2 \approx 0, 6990$ ; $l g 8 = 3 l g 2 \approx 0, 9030$ ; $l g 40 = l g 4 + l g 10 = 2 l g 2 + 1 \approx 1, 6020$ ; $l g 0, 25 = l g \frac{1}{4} = - 2 l g 2 \approx - 0, 6020$ .

14. $lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{16}{3} = lo g_{2} (6 \cdot \frac{16}{3}) = lo g_{2} 32 = 5$ ✓.

15. a) $pH = - l g 1 0^{- 3} = 3$ . b) După diluare, concentrația devine $\frac{c}{1000}$ , deci noul pH este $- l g \frac{c}{1000} = - (l g c - l g 1000) = - l g c + 3 = pH + 3$ . Aceasta este chiar ideea scărilor logaritmice din lecția despre scări logaritmice: un factor multiplicativ constant devine un salt aditiv constant.

16. Restrângem tot produsul: $E = l g (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{9}{10})$ . Produsul se simplifică telescopic — numărătorul fiecărei fracții se reduce cu numitorul celei precedente — și rămâne $\frac{1}{10}$ . Deci $E = l g \frac{1}{10} = - 1$ .

17. Condiții: $x^{2} - 9 > 0$ și $x + 3 > 0$ , deci $x > 3$ (intersecția lui $(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$ cu $(- 3, \infty)$ ). Pe acest interval, $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ cu ambii factori strict pozitivi, deci $lo g_{3} (x^{2} - 9) - lo g_{3} (x + 3) = lo g_{3} \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x + 3} = lo g_{3} (x - 3)$ ✓. Verificare pentru $x = 6$ : stânga $lo g_{3} 27 - lo g_{3} 9 = 3 - 2 = 1$ , dreapta $lo g_{3} 3 = 1$ ✓.

18. Din $a^{2} + b^{2} = 7 ab$ adunăm $2 ab$ în ambii membri: $(a + b)^{2} = 9 ab$ . Cum $a, b > 0$ , avem $a + b > 0$ , deci $a + b = 3 ab$ , adică $\frac{a + b}{3} = ab$ . Logaritmăm în baza $10$ și aplicăm proprietățile puterii și produsului:

$l g \frac{a + b}{3} = l g ab = \frac{1}{2} l g (ab) = \frac{l g a + l g b}{2} .$

Verificare numerică: pentru $a = 1$ obținem $b^{2} - 7 b + 1 = 0$ , deci $b = \frac{7 + 45}{2} \approx 6, 854$ ; atunci $\frac{a + b}{3} \approx 2, 618$ , iar $ab \approx 2, 618$ ✓.

De reținut

Produs: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , pentru $x > 0$ și $y > 0$ . Logaritmul transformă înmulțirea în adunare.
Cât: $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ ; caz particular, $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ .
Putere: $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ pentru $x > 0$ și $n$ real; de aici $lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ .
Nu există formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ . Suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată.
Pentru $x$ care poate fi negativ, forma corectă este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ — modulul nu se uită.

Greșeli frecvente

„Desfaci" logaritmul unei sume. $lo g_{2} (8 + 8) = 4$ , nu $6$ . Verifică numeric ori de câte ori ești tentat.
Aplici proprietatea produsului fără să verifici semnul fiecărui factor. Din $x y > 0$ nu rezultă $x > 0$ și $y > 0$ ; la expresii cu necunoscută, condițiile se scriu pentru fiecare argument în parte.
Cobori exponentul fără modul. $lo g_{3} x^{2} = 2 lo g_{3} x$ este valabil doar pentru $x > 0$ ; în general se scrie $2 lo g_{3} ∣ x ∣$ .
Uiți să calculezi logaritmii numerici la descompunere. În $lo g_{2} \frac{8 x ^{3}}{y}$ , termenul $lo g_{2} 8$ se înlocuiește cu $3$ , nu se lasă nedesfăcut.
La restrângere, muți coeficientul greșit. $3 lo g_{2} x$ devine $lo g_{2} x^{3}$ , nu $lo g_{2} 3 x$ . Coeficientul urcă la exponent, nu în fața argumentului.

Aplică acasă

Tabla de logaritmi de buzunar. Pornind doar de la $l g 2 \approx 0, 3010$ și $l g 3 \approx 0, 4771$ , calculează cu proprietățile valorile pentru $4, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 20$ . Verifică apoi două dintre ele cu tasta „log" a calculatorului și notează diferența față de rezultatul tău.
Traducerea lui Napier. Alege două numere de trei cifre și înmulțește-le mai întâi obișnuit. Apoi caută cu calculatorul logaritmii lor zecimali, adună-i, și găsește numărul al cărui logaritm este suma obținută. Compară rezultatele — vei fi refăcut, în cinci minute, metoda cu care s-a lucrat trei sute de ani.
Vânătoarea de contraexemple. Scrie cinci „formule" false cu logaritmi (de exemplu $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ sau $\frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} y} = lo g_{a} \frac{x}{y}$ ) și doboară fiecare dintre ele cu un contraexemplu numeric concret.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează cele trei proprietăți fundamentale ale logaritmilor, cerute explicit de programa de matematică-informatică pentru clasa a X-a („Logaritmi: operații"), prin competențele X.CS.2.1, X.CS.3.1 și X.CS.4.1. Noutatea față de calculul din lecția precedentă este că elevul trebuie să demonstreze proprietățile, nu doar să le folosească: fiecare demonstrație are trei rânduri și pornește din definiție.

Întrebări bune de control: „Cum demonstrezi că $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ?" (se notează $u$ și $v$ logaritmii, se înmulțesc puterile); „Este adevărat că $lo g_{2} (x + y) = lo g_{2} x + lo g_{2} y$ ?" (nu, contraexemplu imediat); „Ce condiție lipsește în egalitatea $lo g_{3} x^{2} = 2 lo g_{3} x$ ?" ( $x > 0$ ; altfel apare modulul). Semne că a înțeles: descompune și restrânge fluent, calculează logaritmii numerici din expresie și verifică rezultatele pe valori concrete.

La Bacalaureatul M1, proprietățile logaritmilor apar în aproape fiecare variantă: în Subiectul I, ca simple calcule de restrângere; în Subiectul al II-lea, ca pas dintr-o ecuație logaritmică; iar în demonstrații de tipul celui din Exemplul 6. Pasul următor este lecția despre formula de schimbare a bazei, care completează trusa de calcul cu logaritmi.

Întrebări frecvente

Care sunt cele trei proprietăți ale logaritmilor? Logaritmul produsului este suma logaritmilor, logaritmul câtului este diferența lor, iar logaritmul unei puteri este exponentul înmulțit cu logaritmul bazei argumentului: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ , $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ .

De ce logaritmul transformă înmulțirea în adunare? Pentru că logaritmul este un exponent, iar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună. Egalitatea $a^{u} \cdot a^{v} = a^{u + v}$ , citită în limbajul logaritmilor, este exact proprietatea produsului.

Se poate desface $lo g_{a} (x + y)$ ? Nu. Nu există nicio formulă pentru logaritmul unei sume, iar $lo g_{a} (x + y) \neq = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ . Uneori suma se poate factoriza (de exemplu $lo g_{2} (2 x + 2 y) = 1 + lo g_{2} (x + y)$ ), dar logaritmul sumei rămâne, în esență, nedesfăcut.

Când trebuie pus modul la $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ ? Ori de câte ori $x$ poate fi negativ. Membrul stâng există pentru orice $x \neq = 0$ , dar cel drept doar pentru $x > 0$ ; formula general valabilă este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ .

Ce înseamnă „restrângerea" unei expresii logaritmice? Înseamnă transformarea unei sume și diferențe de logaritmi într-un singur logaritm: coeficienții urcă la exponent, apoi argumentele se înmulțesc și se împart. De exemplu, $2 lo g_{3} x - lo g_{3} y = lo g_{3} \frac{x ^{2}}{y}$ .

Cum calculez $l g 40$ dacă știu doar $l g 2$ ? Descompui argumentul în factori ale căror logaritmi îi cunoști: $40 = 4 \cdot 10$ , deci $l g 40 = 2 l g 2 + 1 \approx 1, 6020$ . Aceeași tehnică merge pentru orice număr care se scrie cu puteri ale lui $2$ , $5$ și $10$ .

Se aplică proprietățile și pentru $l g$ și $ln$ ? Da, integral — ele sunt logaritmi ca oricare alții, doar cu baze consacrate ( $10$ , respectiv $e$ ). De exemplu, $ln (x y) = ln x + ln y$ și $l g x^{3} = 3 l g x$ , pentru argumente strict pozitive.