Probleme de optimizare în economie: cost, profit, productivitate

O brutărie își pune, în fiecare dimineață, aceeași întrebare: câte pâini să coacă? Puține înseamnă cuptor pornit degeaba și chirie plătită pentru nimic. Multe înseamnă făină cumpărată în grabă, ore suplimentare și marfă rămasă. Undeva între cele două extreme există un număr care face costul unei pâini cât mai mic — și un alt număr, de obicei diferit, care face câștigul zilei cât mai mare.

Până acum ai căutat maxime și minime pentru funcții date de o formulă. În lecția aceasta formula nu mai vine de-a gata: o construiești dintr-o situație descrisă în cuvinte, o studiezi cu derivata întâi și, la final, traduci înapoi rezultatul în limbajul problemei. Traducerea finală este partea pe care o uită toată lumea și tocmai ea arată dacă ai înțeles: un $q=23$ scris singur, fără „bucăți", nu răspunde nimănui.

Ce vei învăța

• Vei ști să traduci un enunț economic într-o funcție, precizând de fiecare dată variabila, unitatea ei și domeniul pe care are sens.
• Vei ști să calculezi și să interpretezi costul mediu și costul marginal, cu unitățile lor.
• Vei ști să determini producția care minimizează costul mediu și să justifici de ce acolo costul marginal îl egalează.
• Vei ști să determini producția care maximizează profitul, atât la preț fix, cât și când prețul scade odată cu cantitatea vândută.
• Vei ști să analizezi productivitatea unei echipe și să separi productivitatea medie de cea marginală.
• Vei ști să tratezi corect variabila discretă (numere de bucăți, de comenzi, de oameni) și extremele atinse în capetele domeniului.

Hai să descoperim împreună

1. Vocabularul: cinci funcții și unitățile lor

Toate problemele acestui capitol se scriu cu aceleași câteva mărimi. Fie $q$ cantitatea produsă și vândută, măsurată în bucăți.

• Costul total $C(q)$, în lei: tot ce se plătește pentru a produce $q$ bucăți. Se descompune în cost fix (chirie, abonamente — se plătește și pentru $q=0$) și cost variabil (materie primă, energie).
• Venitul $V(q)$, în lei: banii încasați. Dacă prețul unei bucăți este $p$, atunci $V(q)=pq$.
• Profitul $P(q)=V(q)-C(q)$, în lei. Poate fi negativ — atunci se numește pierdere.
• Costul mediu $\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$, în lei pe bucată: cât costă, în medie, o bucată.
• Costul marginal $C^{\prime }(q)$, tot în lei pe bucată: despre el vorbim în secțiunea următoare.

Verificarea unităților nu este o formalitate, ci prima plasă de siguranță. Dacă $C$ se măsoară în lei și $q$ în bucăți, atunci raportul $\frac{C(q)}{q}$ este în lei pe bucată, iar diferența $V(q)-C(q)$ este în lei. O expresie în care ai adunat lei cu bucăți este greșită înainte de orice calcul.

2. Derivata ca mărime marginală

În economie, cuvântul marginal înseamnă „la marginea producției actuale", adică raportat la încă o unitate. Costul marginal la nivelul $q$ este, prin definiție economică, sporul de cost adus de bucata următoare: $C(q+1)-C(q)$.

Legătura cu derivata este imediată. Aplicând teorema lui Lagrange pe intervalul $[q,q+1]$, există $c\in (q,q+1)$ cu $$C(q+1)-C(q)=C^{\prime }(c)(q+1-q)=C^{\prime }(c).$$ Dacă $C^{\prime }$ variază puțin pe un interval de lungime $1$ — ceea ce se întâmplă când producția se măsoară în sute sau mii de bucăți —, atunci $C^{\prime }(c)\approx C^{\prime }(q)$. Prin urmare:

Costul marginal $C^{\prime }(q)$ aproximează costul bucății următoare. Unitatea lui este lei pe bucată, exact ca a costului mediu, deși cele două mărimi sunt diferite.

Aceeași citire funcționează peste tot: $V^{\prime }(q)$ este venitul marginal (cât aduce vânzarea bucății următoare), $P^{\prime }(q)$ este profitul marginal, iar la o funcție de producție $Q(n)$ derivata $Q^{\prime }(n)$ spune cât adaugă al $n$-lea lucrător. Derivata întâi este, în limbaj economic, „efectul unei unități în plus".

3. Rețeta unei probleme de optimizare economică

Șase pași, în această ordine, de fiecare dată:

1. Alege variabila și scrie ce reprezintă, cu unitatea ei: „fie $q$ numărul de bucăți produse într-o zi".
2. Scrie funcția de optimizat în funcție de acea variabilă, și numai de ea. Dacă în enunț apar două mărimi, caută relația care o elimină pe una.
3. Stabilește domeniul pe care problema are sens: de obicei $q>0$, uneori un interval mărginit ($0\le q\le 500$, capacitatea zilnică a atelierului).
4. Derivează și rezolvă $f^{\prime }(q)=0$; reține numai soluțiile din domeniu.
5. Fă tabelul de variație și citește din el natura fiecărui punct critic. Semnul derivatei decide; anularea singură nu decide nimic, conform teoremei lui Fermat, a cărei reciprocă este falsă.
6. Întoarce răspunsul în limbajul problemei, cu unități: „costul mediu minim este de $48$ de lei pe bucată și se atinge la o producție de $10$ bucăți".

Este aceeași metodă folosită la problemele de extrem în geometrie; singura deosebire este că acolo funcția vine dintr-o figură, iar aici dintr-o listă de prețuri, și că am scris separat pasul de derivare, pentru că expresiile economice conțin aproape mereu o fracție de tipul $\frac{c}{q}$.

Pasul 3 este cel mai des sărit și cel mai scump. O funcție de cost nu are sens pentru $q<0$, iar la $q=0$ costul mediu nici nu este definit: împărțirea la zero.

4. Minimizarea costului mediu

Fie o mică fabrică cu costul total, în lei, $C(q)=2q^2+8q+200$, unde $200$ este costul fix. Costul mediu este $$\overline{C}(q)=\frac{2q^2+8q+200}{q}=2q+8+\frac{200}{q},q>0.$$ Cei doi termeni care variază se bat între ei: $2q$ crește (producția mare obosește utilajele), iar $\frac{200}{q}$ scade (costul fix se împarte la tot mai multe bucăți). Derivata arată exact unde se echilibrează: $${\overline{C}}^{\prime }(q)=2-\frac{200}{q^2}=\frac{2q^2-200}{q^2}=\frac{2(q-10)(q+10)}{q^2}.$$ Pe $(0,+\infty )$ factorul $q+10$ este pozitiv, deci semnul este dat de $q-10$.

Citirea tabelului: costul mediu scade pe $(0,10]$ și crește pe $[10,+\infty )$, deci are un minim global în $q=10$, egal cu $\overline{C}(10)=20+8+20=48$ de lei pe bucată. Producția de $10$ bucăți este cea mai eficientă.

Acum calculăm și costul marginal acolo: $C^{\prime }(q)=4q+8$, deci $C^{\prime }(10)=48$. Aceeași valoare. Nu e o coincidență:

Regula costului mediu. Dacă $\overline{C}$ are un minim într-un punct interior $q_0$ și $C$ este derivabilă, atunci $C^{\prime }(q_0)=\overline{C}(q_0)$: în punctul de cost mediu minim, costul marginal egalează costul mediu.

Demonstrație. Din regula de derivare a câtului, $${\overline{C}}^{\prime }(q)={\left(\frac{C(q)}{q}\right)}^{\prime }=\frac{C^{\prime }(q)q-C(q)}{q^2}.$$ Cum $q^2>0$, anularea derivatei revine la $C^{\prime }(q)q=C(q)$, adică $C^{\prime }(q)=\frac{C(q)}{q}=\overline{C}(q)$. Punctul de minim fiind interior și $\overline{C}$ derivabilă acolo, teorema lui Fermat dă ${\overline{C}}^{\prime }(q_0)=0$, de unde concluzia. $■$

Interpretarea este intuitivă: cât timp bucata următoare costă mai puțin decât media, media scade; când bucata următoare costă mai mult decât media, media urcă. Media se întoarce exact când marginalul o taie.

5. Maximizarea profitului

Aceeași fabrică vinde fiecare bucată cu $100$ de lei. Atunci $V(q)=100q$ și $$P(q)=100q-(2q^2+8q+200)=-2q^2+92q-200,q\ge 0.$$ Derivata este $P^{\prime }(q)=-4q+92$, care se anulează în $q=23$ și schimbă semnul din $+$ în $-$.

Citirea tabelului: profitul crește până la $23$ de bucăți și scade după. Profitul maxim este $P(23)=858$ de lei. Pentru $q=0$ profitul este $-200$ de lei, adică pierderea egală cu costul fix — plătești chiria chiar dacă nu produci nimic.

Condiția $P^{\prime }(q)=0$ se scrie $V^{\prime }(q)=C^{\prime }(q)$, adică:

Regula profitului. Profitul este maxim acolo unde venitul marginal egalează costul marginal, cu trecerea derivatei de la $+$ la $-$.

Verificăm: $C^{\prime }(23)=4\cdot 23+8=100$, exact prețul de vânzare. Cât timp bucata următoare costă mai puțin de $100$ de lei, merită produsă; de la a $24$-a încolo, nu.

Cazul realist: prețul scade cu cantitatea. Ca să vinzi mai mult, de obicei trebuie să lași din preț. Fie $p(q)=60-q$ prețul, în lei, la care se vând $q$ bucăți, și $C(q)=12q+200$. Atunci $$V(q)=q(60-q)=60q-q^2,P(q)=-q^2+48q-200.$$ Din $P^{\prime }(q)=-2q+48=0$ obținem $q=24$, cu $P(24)=376$ de lei și prețul $p(24)=36$ de lei pe bucată.

Atenție la o confuzie clasică: venitul maxim și profitul maxim nu se ating în același punct. Aici $V^{\prime }(q)=60-2q$ se anulează în $q=30$, cu $V(30)=900$ de lei; dar la $q=30$ profitul este doar $P(30)=340$ de lei, mai mic decât $376$. Vânzarea celor șase bucăți în plus aduce bani, însă costă mai mult decât aduce.

6. Productivitatea

O echipă de $n$ muncitori produce, într-o zi, $Q(n)$ unități. Modelul folosit în probleme are, tipic, forma $$Q(n)=-n^3+18n^2+60n,0<n\le 13,$$ care surprinde un fapt real: primii oameni adăugați ajută mult, apoi apar aglomerația, așteptarea la utilaje și pierderea de timp cu organizarea.

Se definesc, prin analogie cu costurile:

• productivitatea medie $\overline{Q}(n)=\frac{Q(n)}{n}=-n^2+18n+60$, în unități pe muncitor;
• productivitatea marginală $Q^{\prime }(n)=-3n^2+36n+60$, adică ce adaugă al $n$-lea muncitor.

Productivitatea medie este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant negativ, deci vârful parabolei dă maximul; cu derivata, ${\overline{Q}}^{\prime }(n)=-2n+18=0$ dă $n=9$ și $\overline{Q}(9)=141$ de unități pe muncitor. Regula se repetă: $Q^{\prime }(9)=-243+324+60=141$, tot $141$ — productivitatea marginală egalează media exact în punctul de medie maximă.

Aici apare și prima capcană a variabilei discrete: $n$ este un număr de oameni, deci întreg. Pentru că maximul a căzut chiar pe un întreg, răspunsul este direct $9$. Când nu cade, se compară cei doi întregi vecini — vezi secțiunea următoare.

Merită observat că producția totală încă mai crește la $n=9$: $Q^{\prime }(9)=141>0$. Producția totală crește până în jurul lui $n=13$. Deci „cel mai eficient" și „cel mai mult" sunt două întrebări diferite, cu două răspunsuri diferite; enunțul spune întotdeauna care dintre ele se cere.

7. Trei capcane care aduc puncte

Capcana 1 — variabila discretă. Fie profitul $P(q)=-q^2+15q-20$, cu $q$ număr de bucăți. Derivata se anulează în $q=7,5$, care nu este un număr de bucăți. Se compară atunci vecinii întregi: $P(7)=36$ și $P(8)=36$. Aici valorile sunt egale, deci ambele producții sunt optime. Nu se rotunjește niciodată „din ochi" — se calculează ambele valori și se compară.

Capcana 2 — domeniul mărginit. Dacă atelierul poate produce cel mult $15$ bucăți pe zi, iar profitul maxim „liber" ar fi la $23$, atunci pe $[0,15]$ funcția este crescătoare până la capăt și maximul se atinge în $q=15$, unde derivata nu se anulează. Ipoteza „din interiorul intervalului" din teorema lui Fermat este esențială: pe un domeniu mărginit se compară întotdeauna și valorile din capete.

Capcana 3 — costul fix. Nu se poate „optimiza" costul total $C(q)$ la producție liberă: el este crescător, deci minimul lui este la $q=0$, ceea ce nu răspunde nimănui. Ce se minimizează este costul mediu, sau costul total pe un domeniu în care cantitatea este impusă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cost mediu minim la cost cubic

Costul producerii a $q$ tone de material este $C(q)=q^3-6q^2+20q+32$ (în mii de lei), $q>0$. Determinați producția la care costul mediu este minim și verificați regula costului mediu.

Rezolvare. Costul mediu este $\overline{C}(q)=q^2-6q+20+\frac{32}{q}$, iar $${\overline{C}}^{\prime }(q)=2q-6-\frac{32}{q^2}=\frac{2q^3-6q^2-32}{q^2}=\frac{2(q-4)(q^2+q+4)}{q^2}.$$ Trinomul $q^2+q+4$ are discriminantul $1-16=-15<0$, deci este strict pozitiv; semnul derivatei este dat de $q-4$.

Citirea tabelului: minim global în $q=4$, cu $\overline{C}(4)=16-24+20+8=20$ mii de lei pe tonă. Verificare: $C^{\prime }(q)=3q^2-12q+20$, deci $C^{\prime }(4)=48-48+20=20$ — egal cu costul mediu, cum cere regula. (Observație: $C^{\prime }$ are discriminantul $144-240<0$, deci costul total este strict crescător, ceea ce se și cuvine.)

Exemplul 2 — Producția de profit maxim, cu prag de rentabilitate

Cu $C(q)=2q^2+8q+200$ lei și prețul de $100$ de lei pe bucată, aflați producția de profit maxim și de la ce producție firma iese pe profit.

Rezolvare. $P(q)=-2q^2+92q-200$, $P^{\prime }(q)=-4q+92$, deci $q=23$ și $P(23)=858$ de lei, ca în secțiunea 5.

Pragul de rentabilitate cere $P(q)\ge 0$, adică $q^2-46q+100\le 0$. Discriminantul este $2116-400=1716$, care nu este pătrat perfect, deci rădăcinile nu sunt întregi. Le încadrăm: $P(2)=-24<0$ și $P(3)=58>0$, deci prima producție rentabilă este de $3$ bucăți. Analog la capătul de sus, $P(43)=58>0$ și $P(44)=-24<0$: peste $43$ de bucăți firma pierde din nou. (Valorile se repetă pentru că parabola este simetrică față de $q=23$: $P(43)=P(3)$ și $P(44)=P(2)$.)

Exemplul 3 — Preț care scade cu cantitatea

Un magazin vinde $q$ abonamente pe lună la prețul $p(q)=80-2q$ lei, cu un cost total $C(q)=20q+150$ lei. Aflați numărul de abonamente care maximizează profitul, prețul corespunzător și profitul.

Rezolvare. $V(q)=q(80-2q)=80q-2q^2$, deci $$P(q)=80q-2q^2-20q-150=-2q^2+60q-150.$$ Din $P^{\prime }(q)=-4q+60=0$ rezultă $q=15$; derivata trece de la $+$ la $-$, deci este punct de maxim. Profitul maxim este $P(15)=-450+900-150=300$ de lei, la prețul $p(15)=80-30=50$ de lei pe abonament.

Exemplul 4 — Mărimea optimă a comenzii

Un magazin vinde $900$ de saci de ciment pe an. Fiecare comandă costă $x$ saci și aduce cheltuieli de transport de $1800$ lei împărțite la mărimea comenzii, iar depozitarea costă $2$ lei pe sac și pe an, adică $2x$ lei. Costul total anual este $C(x)=\frac{1800}{x}+2x$, $x>0$. Aflați mărimea optimă a unei comenzi.

Rezolvare. $C^{\prime }(x)=-\frac{1800}{x^2}+2=\frac{2x^2-1800}{x^2}=\frac{2(x-30)(x+30)}{x^2}$. Pe $(0,+\infty )$, semnul este dat de $x-30$: derivata este negativă pe $(0,30)$ și pozitivă pe $(30,+\infty )$. Deci $x=30$ este punct de minim, cu $C(30)=60+60=120$ de lei.

Observă echilibrul: în punctul optim, cei $60$ de lei de transport egalează cei $60$ de lei de depozitare. Comenzile rare sunt scumpe la depozit, cele dese sunt scumpe la transport.

Exemplul 5 — Productivitatea unei echipe

Producția zilnică a unei echipe de $n$ muncitori este $Q(n)=-n^3+12n^2+36n$ unități, $1\le n\le 11$. Aflați numărul de muncitori la care productivitatea medie este maximă.

Rezolvare. $\overline{Q}(n)=-n^2+12n+36$, deci ${\overline{Q}}^{\prime }(n)=-2n+12$, care se anulează în $n=6$ și schimbă semnul din $+$ în $-$: punct de maxim. Productivitatea medie maximă este $\overline{Q}(6)=-36+72+36=72$ de unități pe muncitor.

Verificare cu regula marginalului: $Q^{\prime }(n)=-3n^2+24n+36$, deci $Q^{\prime }(6)=-108+144+36=72$ — egal cu media, ca în teorie. Cum $n$ este întreg și maximul cade pe un întreg, răspunsul este $6$ muncitori.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Costul mediu de producție al unei firme este $\overline{C}:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $\overline{C}(q)=q+\frac{16}{q}+5$, unde $q$ este cantitatea în tone, iar $\overline{C}(q)$ se măsoară în lei pe tonă. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\overline{C}$. b) Arătați că $\overline{C}(q)\ge 13$ pentru orice $q>0$. c) Determinați costul total $C(q)$ și costul marginal în punctul de minim.

Rezolvare. a) ${\overline{C}}^{\prime }(q)=1-\frac{16}{q^2}=\frac{q^2-16}{q^2}=\frac{(q-4)(q+4)}{q^2}$. Pe $(0,+\infty )$, semnul este cel al lui $q-4$, deci $\overline{C}$ este strict descrescătoare pe $(0,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$.

b) Din monotonie, $q=4$ este punct de minim global, iar $\overline{C}(4)=4+4+5=13$. Prin urmare $\overline{C}(q)\ge \overline{C}(4)=13$ pentru orice $q>0$, cu egalitate numai în $q=4$.

c) $C(q)=q\overline{C}(q)=q^2+5q+16$, deci $C^{\prime }(q)=2q+5$ și $C^{\prime }(4)=13$ lei pe tonă — din nou egal cu costul mediu minim, cum prevede regula costului mediu.

Să exersăm

1. Pentru $C(q)=q^2+6q+100$ lei, scrieți costul mediu și determinați producția la care el este minim.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, verificați prin calcul că în punctul de minim costul marginal egalează costul mediu.

3. Pentru $C(q)=3q^2+12q+300$ lei, aflați costul mediu minim și producția la care se atinge.

4. Prețul unei bucăți este $50$ de lei, iar costul total este $C(q)=q^2+10q+150$ lei. Aflați producția de profit maxim și profitul.

5. (Problemă aplicată.) O firmă vinde $q$ produse la prețul $p(q)=80-2q$ lei, cu un cost total de $20q+150$ lei. Calculați venitul maxim și arătați că el nu se atinge la aceeași cantitate ca profitul maxim.

6. Venitul unei firme este $V(q)=q(100-2q)$ lei. Determinați cantitatea care maximizează venitul și valoarea acestuia.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $C^{\prime }(q_0)=0$, atunci $q_0$ este punct de minim pentru costul total."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Profitul este maxim exact acolo unde venitul este maxim."

9. Costul total anual de aprovizionare este $C(x)=\frac{4050}{x}+2x$ lei, $x>0$. Aflați mărimea optimă a comenzii și costul minim.

10. Producția unei echipe de $n$ muncitori este $Q(n)=-n^3+12n^2+36n$ unități. Calculați productivitatea marginală la $n=6$ și comparați-o cu productivitatea medie în același punct.

11. (Problemă aplicată.) Profitul zilnic al unei patiserii este $P(q)=-q^2+15q-20$ lei, unde $q$ este numărul de torturi. Aflați numărul de torturi care aduce profitul maxim, știind că $q$ este întreg.

12. Pentru $C(q)=q^3-3q^2+15q+27$ lei, arătați că ${\overline{C}}^{\prime }(q)=\frac{(q-3)(2q^2+3q+9)}{q^2}$ și determinați costul mediu minim.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Costul marginal și costul mediu se măsoară în aceeași unitate, deci sunt aceeași mărime."

14. Un atelier are profitul $P(q)=-2q^2+92q-200$ lei, dar capacitatea maximă este de $15$ bucăți pe zi. Aflați profitul maxim realizabil.

15. (Problemă aplicată.) O firmă are costul fix de $500$ de lei și un cost variabil de $4$ lei pe bucată. Scrieți costul mediu și arătați că el este strict descrescător pe $(0,+\infty )$. Ce înseamnă acest lucru?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{9}{x}$. Determinați punctele de extrem ale funcției $f$ și arătați că $f(x)\ge 6$ pentru orice $x>0$.

17. Profitul unei firme este $P(q)=q(30-q)-8q-45$ lei. Determinați cantitatea de profit maxim și profitul corespunzător.

18. (Provocare.) Fie $C(q)=a{q}^2+bq+c$, cu $a>0$, $b\ge 0$, $c>0$. Arătați că, pe $(0,+\infty )$, costul mediu are minim în $q_0=\sqrt{\frac{c}{a}}$ și că valoarea minimă este $b+2\sqrt{ac}$. Verificați formula pe cazul $a=2$, $b=8$, $c=200$.

Răspunsuri și explicații

1. $\overline{C}(q)=q+6+\frac{100}{q}$, ${\overline{C}}^{\prime }(q)=1-\frac{100}{q^2}=\frac{(q-10)(q+10)}{q^2}$. Derivata este negativă pe $(0,10)$ și pozitivă pe $(10,+\infty )$, deci minim în $q=10$, cu $\overline{C}(10)=26$ de lei pe bucată.

2. $C^{\prime }(q)=2q+6$, deci $C^{\prime }(10)=26$, egal cu $\overline{C}(10)=26$. Se confirmă regula costului mediu.

3. $\overline{C}(q)=3q+12+\frac{300}{q}$, ${\overline{C}}^{\prime }(q)=3-\frac{300}{q^2}$, care se anulează în $q=10$ (semnul trece de la $-$ la $+$). Minimul este $\overline{C}(10)=30+12+30=72$ de lei pe bucată; verificare: $C^{\prime }(10)=60+12=72$.

4. $P(q)=-q^2+40q-150$, $P^{\prime }(q)=-2q+40=0$ dă $q=20$, cu trecere de la $+$ la $-$. Profitul maxim este $P(20)=-400+800-150=250$ de lei.

5. $V(q)=80q-2q^2$, $V^{\prime }(q)=80-4q=0$ dă $q=20$ și $V(20)=800$ de lei. Profitul maxim era însă la $q=15$ (Exemplul 3). Într-adevăr, $P(20)=-800+1200-150=250<300=P(15)$: cele cinci produse în plus aduc venit, dar costă mai mult decât aduc.

6. $V^{\prime }(q)=100-4q=0$ dă $q=25$, punct de maxim (parabolă cu coeficient dominant negativ). Venitul maxim este $V(25)=25\cdot 50=1250$ de lei.

7. Fals. Reciproca teoremei lui Fermat nu este adevărată, iar în plus, la costurile uzuale, $C^{\prime }$ este strict pozitivă (bucata în plus costă ceva), deci nu se anulează niciodată. De exemplu, $C(q)=q^3-6q^2+20q+32$ are $C^{\prime }(q)=3q^2-12q+20>0$ pe $\mathbb{R}$.

8. Fals. Venitul maxim ignoră costurile. La $p(q)=60-q$ și $C(q)=12q+200$, venitul este maxim la $q=30$, iar profitul la $q=24$; profitul la $q=30$ este $340$ de lei, sub cei $376$ de lei de la $q=24$.

9. $C^{\prime }(x)=-\frac{4050}{x^2}+2=\frac{2(x-45)(x+45)}{x^2}$, deci minim în $x=45$, cu $C(45)=90+90=180$ de lei.

10. $Q^{\prime }(n)=-3n^2+24n+36$, deci $Q^{\prime }(6)=-108+144+36=72$. Productivitatea medie este $\overline{Q}(6)=-36+72+36=72$. Sunt egale, pentru că $n=6$ este chiar punctul de maxim al productivității medii.

11. $P^{\prime }(q)=-2q+15=0$ dă $q=7,5$, care nu este întreg. Comparăm vecinii: $P(7)=-49+105-20=36$ și $P(8)=-64+120-20=36$. Valorile sunt egale, deci profitul maxim este de $36$ de lei și se obține atât la $7$, cât și la $8$ torturi.

12. $\overline{C}(q)=q^2-3q+15+\frac{27}{q}$, deci ${\overline{C}}^{\prime }(q)=2q-3-\frac{27}{q^2}=\frac{2q^3-3q^2-27}{q^2}$, iar $2q^3-3q^2-27=(q-3)(2q^2+3q+9)$. Trinomul are discriminantul $9-72=-63<0$, deci este pozitiv, iar semnul este dat de $q-3$. Minimul este $\overline{C}(3)=9-9+15+9=24$ de lei; verificare: $C^{\prime }(3)=27-18+15=24$.

13. Fals. Amândouă se măsoară în lei pe bucată, dar $\overline{C}(q)$ este media pe toate bucățile produse, iar $C^{\prime }(q)$ se referă doar la bucata următoare. Ele coincid numai în punctul de cost mediu minim. La $q=5$, de exemplu, $\overline{C}(5)=58$ de lei, iar $C^{\prime }(5)=28$ de lei pentru $C(q)=2q^2+8q+200$.

14. Pe $[0,15]$, $P^{\prime }(q)=-4q+92>0$, deci profitul este strict crescător și maximul se atinge în capătul din dreapta: $P(15)=-450+1380-200=730$ de lei. Derivata nu se anulează acolo — capătul nu este punct interior.

15. $C(q)=4q+500$, deci $\overline{C}(q)=4+\frac{500}{q}$ și ${\overline{C}}^{\prime }(q)=-\frac{500}{q^2}<0$ pe tot domeniul. Costul mediu scade mereu, fără a atinge vreun minim: se apropie de $4$ lei pe bucată fără să ajungă acolo. Interpretare: cu cost variabil constant, producția mare este întotdeauna mai eficientă, pentru că împarte costul fix la mai multe bucăți.

16. $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}$, negativă pe $(0,3)$ și pozitivă pe $(3,+\infty )$. Deci $x=3$ este punct de minim, cu $f(3)=3+3=6$; fiind minim global pe $(0,+\infty )$, rezultă $f(x)\ge 6$ pentru orice $x>0$.

17. $P(q)=-q^2+22q-45$, $P^{\prime }(q)=-2q+22=0$ dă $q=11$, punct de maxim. Profitul este $P(11)=-121+242-45=76$ de lei.

18. $\overline{C}(q)=aq+b+\frac{c}{q}$, deci ${\overline{C}}^{\prime }(q)=a-\frac{c}{q^2}=\frac{a{q}^2-c}{q^2}$, care se anulează pe $(0,+\infty )$ numai în $q_0=\sqrt{c/a}$, cu semn de la $-$ la $+$ (punct de minim). Valoarea este $\overline{C}(q_0)=a\sqrt{\frac{c}{a}}+b+c\sqrt{\frac{a}{c}}=\sqrt{ac}+b+\sqrt{ac}=b+2\sqrt{ac}$. Pentru $a=2$, $b=8$, $c=200$: $q_0=\sqrt{100}=10$ și valoarea $8+2\sqrt{400}=8+40=48$ — exact rezultatul din secțiunea 4.

De reținut

• Costul mediu este $\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$, iar costul marginal este $C^{\prime }(q)$; ambele se măsoară în lei pe bucată, dar înseamnă lucruri diferite.
• Regula costului mediu: în punctul interior de cost mediu minim, $C^{\prime }(q_0)=\overline{C}(q_0)$ — marginalul taie media exact acolo.
• Regula profitului: profitul $P=V-C$ este maxim acolo unde $V^{\prime }(q)=C^{\prime }(q)$ și derivata trece de la $+$ la $-$. Venitul maxim se atinge, de regulă, în alt punct.
• Rețeta în șase pași: variabila cu unitatea ei $\to$ funcția $\to$ domeniul $\to$ $f^{\prime }=0$ $\to$ tabelul de variație $\to$ răspunsul tradus în cuvinte.
• Domeniul decide. Pe interval mărginit se compară și valorile din capete; la variabilă discretă se compară cei doi întregi vecini valorii critice.

Greșeli frecvente

• Confunzi costul mediu cu cel marginal. Ele coincid numai în punctul de cost mediu minim. În rest, întrebarea „cât costă, în medie, o bucată?" are alt răspuns decât „cât costă bucata următoare?".
• Optimizezi costul total în loc de costul mediu. Costul total este crescător, deci „minimul" lui ar fi producția zero. Ce se minimizează este media pe bucată.
• Rotunjești valoarea critică la variabilă discretă. Dacă $q=7,5$, nu scrii „aproximativ $8$": calculezi $P(7)$ și $P(8)$ și compari. Uneori sunt egale, alteori câștigă cel mai mic.
• Uiți capetele domeniului. Teorema lui Fermat cere punct interior. Pe $[0,15]$, maximul unei funcții crescătoare este în $15$, unde derivata nu se anulează.
• Dai răspunsul ca număr gol. „$q=23$" nu este un răspuns; „producția de profit maxim este de $23$ de bucăți pe zi, cu un profit de $858$ de lei" este.

Aplică acasă

1. Bugetul unui proiect mic. Alege ceva ce ai putea vinde la un târg școlar (brelocuri, prăjituri, felicitări). Estimează costul fix (materiale cumpărate o dată) și costul pe bucată, scrie $C(q)$, apoi calculează costul mediu pentru $q=10,20,50,100$ și determină, cu derivata, producția de cost mediu minim.

2. Prețul care aduce cel mai mult. Întreabă cinci colegi la ce preț ar cumpăra produsul de mai sus și la ce preț ar renunța. Construiește din răspunsuri o funcție liniară $p(q)=\alpha -\beta q$, scrie profitul și găsește cantitatea optimă. Compară rezultatul cu intuiția ta de dinainte de calcul.

3. Cumpărături în vrac. Compară, pentru un produs pe care familia îl cumpără des, prețul pe unitate la ambalaje de mărimi diferite. Scrie costul total pe an ca sumă între „cost de deplasare împărțit la mărimea comenzii" și „cost de depozitare proporțional cu ea", apoi află mărimea optimă a comenzii, ca în Exemplul 4.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde direct cerinței din sugestiile metodologice ale programei, care cere ca derivata întâi să fie folosită „pentru a modela situații-problemă practice ce necesită optimizarea soluțiilor (minimizarea costurilor, maximizarea profitului)". Noțiunile economice folosite — cost fix, cost variabil, venit, profit, cost mediu, cost marginal — sunt definite integral în lecție, cu unitățile lor; nu se presupune nimic din studiul economiei.

Ce verifică lecția: (1) traducerea unui enunț în funcție, cu variabilă, unitate și domeniu; (2) calculul corect al derivatei unei expresii cu fracție de tipul $\frac{c}{q}$; (3) folosirea tabelului de variație pentru a decide natura punctului critic, nu simpla anulare a derivatei; (4) interpretarea economică a rezultatului, cu unități; (5) tratarea capetelor domeniului și a variabilei discrete.

Întrebări bune de control: „Ce reprezintă variabila ta și în ce se măsoară?", „Pe ce domeniu are sens problema?", „De ce este acesta punct de minim, nu doar punct critic?", „Cum sună răspunsul într-o propoziție pe care ar înțelege-o un patron?". La BAC M1, tema apare mai ales sub formă mascată: o funcție de tipul $x+\frac{k}{x}$ sau o funcție de gradul al doilea, cu cerințe de monotonie și de inegalitate. Semn că elevul a înțeles: scrie domeniul înainte de a deriva și încheie cu o frază, nu cu un număr.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „marginal" în economie? Înseamnă „raportat la o unitate în plus". Costul marginal este sporul de cost adus de bucata următoare, iar derivata $C^{\prime }(q)$ îl aproximează, pentru că, prin teorema lui Lagrange, diferența $C(q+1)-C(q)$ este egală cu $C^{\prime }(c)$ pentru un $c$ între $q$ și $q+1$.

De ce costul marginal este egal cu costul mediu în punctul de cost mediu minim? Pentru că ${\overline{C}}^{\prime }(q)=\frac{C^{\prime }(q)q-C(q)}{q^2}$, iar anularea numărătorului înseamnă exact $C^{\prime }(q)=\frac{C(q)}{q}$. Intuitiv: cât timp bucata următoare costă sub medie, media coboară; când costă peste medie, media urcă.

Cum aflu producția care aduce profit maxim? Scrii profitul ca diferență între venit și cost, îl derivezi, rezolvi $P^{\prime }(q)=0$ și verifici în tabelul de variație că derivata trece de la plus la minus. Condiția $P^{\prime }(q)=0$ se citește: venitul marginal egalează costul marginal.

Profitul maxim se atinge acolo unde venitul este maxim? Nu, decât în cazul special în care costul este constant. De obicei venitul maxim cere o cantitate mai mare, iar bucățile suplimentare costă mai mult decât aduc, așa că profitul scade deja înainte ca venitul să atingă vârful.

Ce fac dacă punctul critic nu este un număr întreg, iar variabila numără bucăți? Calculezi valoarea funcției în cei doi întregi vecini și le compari. Nu rotunjești: la $P(q)=-q^2+15q-20$ punctul critic este $7,5$, iar $P(7)$ și $P(8)$ sunt amândouă $36$, deci ambele producții sunt optime.

De ce trebuie să scriu domeniul înainte de a deriva? Pentru că el elimină soluțiile fără sens și pentru că, pe un domeniu mărginit, extremele pot fi în capete, unde derivata nu se anulează. Costul mediu nici nu este definit în $q=0$, iar o cantitate negativă nu are înțeles.

Se poate minimiza costul total? Nu la producție liberă: costul total crește cu fiecare bucată, deci minimul lui ar fi la producție zero, ceea ce nu răspunde niciunei probleme reale. Se minimizează costul mediu pe bucată sau costul total pe un domeniu în care cantitatea este impusă de altceva.

La ce mă ajută mai departe acest capitol? Aceleași unelte se folosesc în problemele de extrem din geometrie și în orice situație în care se caută cea mai bună alegere dintr-o infinitate. Structura este mereu aceeași: o funcție construită din enunț, un domeniu și semnul derivatei.