Optimizare în economie: cost și profit: pe scurt

Aici formula nu mai vine de-a gata: o construiești dintr-un enunț în cuvinte, o studiezi cu derivata și traduci răspunsul înapoi, cu unități. Vocabularul e fix: costul total $C(q)$ în lei, venitul $V(q)=pq$, profitul $P(q)=V(q)-C(q)$, costul mediu $\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$ în lei pe bucată și costul marginal $C^{\prime }(q)$, tot în lei pe bucată.

Derivata are, în economie, o citire proprie: efectul unei unități în plus. Prin teorema lui Lagrange, $C(q+1)-C(q)=C^{\prime }(c)$ cu $c$ între $q$ și $q+1$, deci $C^{\prime }(q)$ aproximează costul bucății următoare.

Rețeta are șase pași: variabila, cu unitatea ei; funcția de optimizat; domeniul pe care problema are sens; derivarea și rezolvarea ecuației; tabelul de variație; răspunsul în limbajul problemei.

Două rezultate se citează pe nume. Regula costului mediu: în punctul de cost mediu minim, $C^{\prime }(q_0)=\overline{C}(q_0)$ — cât timp bucata următoare costă sub medie, media scade. Regula profitului: profitul e maxim acolo unde venitul marginal egalează costul marginal, $V^{\prime }=C^{\prime }$, cu derivata trecând de la $+$ la $-$.

Trei capcane aduc puncte: variabila discretă — dacă punctul critic nu e întreg, se compară valorile în cei doi întregi vecini, nu se rotunjește; domeniul mărginit de capacitatea atelierului — maximul poate cădea în capăt, unde derivata nu se anulează; și confuzia venit–profit, care nu sunt maxime la aceeași cantitate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Costul total al producerii a $q$ bucăți este $C(q)=q^2+4q+81$ lei. Costul mediu este minim pentru:

   • a) $q=9$, cu $\overline{C}(9)=22$ lei pe bucată
   • b) $q=9$, cu $\overline{C}(9)=13$ lei pe bucată
   • c) $q=81$, cu $\overline{C}(81)=4$ lei pe bucată
   • d) $q=3$, cu $\overline{C}(3)=34$ lei pe bucată
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $q=9$, cu $\overline{C}(9)=22$ lei pe bucată

   $\overline{C}(q)=q+4+\frac{81}{q}$, iar ${\overline{C}}^{\prime }(q)=\frac{q^2-81}{q^2}$ se anulează pe domeniu doar în $q=9$, cu semnele $-$ și $+$: minim global. Valoarea este $\overline{C}(9)=9+4+9=22$ lei pe bucată. Se verifică și Regula costului mediu: $C^{\prime }(q)=2q+4$, deci $C^{\prime }(9)=22$, exact costul mediu minim.

2. O firmă vinde fiecare bucată cu $60$ de lei, iar costul total este $C(q)=q^2+20q+150$ lei. Profitul este maxim pentru:

   • a) $q=30$
   • b) $q=15$
   • c) $q=40$
   • d) $q=20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $q=20$

   $P(q)=60q-\left(q^2+20q+150\right)=-q^2+40q-150$, iar $P^{\prime }(q)=-2q+40$ se anulează în $q=20$, cu trecere de la $+$ la $-$. Profitul maxim este $P(20)=250$ de lei. Se regăsește Regula profitului: $C^{\prime }(20)=2\cdot 20+20=60$, adică exact prețul de vânzare — bucata a $21$-a ar costa mai mult decât aduce.

3. Un magazin vinde $q$ abonamente la prețul $p(q)=90-3q$ lei, cu un cost total $C(q)=18q+120$ lei. Atunci:

   • a) venitul și profitul sunt maxime la aceeași cantitate, $q=15$
   • b) profitul este maxim la $q=15$, iar venitul la $q=12$
   • c) venitul este maxim la $q=15$, iar profitul la $q=12$
   • d) profitul este maxim la $q=24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) venitul este maxim la $q=15$, iar profitul la $q=12$

   $V(q)=q(90-3q)$, cu $V^{\prime }(q)=90-6q$, deci venitul e maxim la $q=15$, unde $V(15)=675$ de lei. Profitul este $P(q)=-3q^2+72q-120$, cu $P^{\prime }(q)=-6q+72$, deci maxim la $q=12$, cu $P(12)=312$ de lei. La $q=15$ profitul ar fi doar $285$ de lei: cele trei abonamente în plus aduc venit, dar costă mai mult decât aduc.