Formule pentru tangentă: tg(π + x) și tg(π − x)

Pe drumurile de munte întâlnești adesea un indicator galben cu un triunghi și un procent: „$12\%$". Procentul acela este panta drumului, adică raportul dintre cât urci și cât înaintezi pe orizontală — exact tangenta unghiului pe care șoseaua îl face cu orizontala. Acum imaginează-ți că mergi pe același drum, dar în sens invers, dinspre vale spre deal. Direcția ta s-a rotit cu $180^{\circ }$, însă panta șoselei a rămas, evident, aceeași. Drumul nu s-a schimbat pentru că te-ai întors tu cu spatele.

Această observație banală ascunde proprietatea cea mai importantă a tangentei: dintre toate funcțiile trigonometrice, ea este singura care nu simte o rotație cu $180^{\circ }$. Sinusul și cosinusul își schimbă ambele semnul la $\pi +x$; tangenta, fiind raportul lor, rămâne neatinsă, pentru că minusul de sus se simplifică cu minusul de jos. De aici formula $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, perioada $\pi$ a tangentei și, cu ea, un întreg mod, mai scurt, de a reduce unghiurile la primul cadran.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci formula $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$ din formulele pentru sinus și cosinus.
• Vei ști să deduci și să folosești formula $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$.
• Vei ști de ce perioada tangentei este $\pi$, spre deosebire de sinus și cosinus, care au perioada $2\pi$.
• Vei ști să citești geometric periodicitatea pe axa tangentelor.
• Vei ști să calculezi tangenta oricărui unghi remarcabil din cele patru cadrane și să stabilești semnul ei fără calcul.
• Vei ști să simplifici expresii care conțin $\mathrm{tg}(\pi +x)$ și $\mathrm{tg}(\pi -x)$ și să indici valorile pentru care ele au sens.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintire: ce este tangenta și unde nu este definită

Tangenta unui număr real $x$ se definește ca raportul dintre sinusul și cosinusul lui:

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Fiind un raport, tangenta are un „punct sensibil": numitorul nu are voie să fie zero. Cum $\cos x=0$ exact pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k$ număr întreg, domeniul de definiție al tangentei este mulțimea numerelor reale din care se scot aceste valori — după cum ai văzut în lecția despre funcția tangentă și domeniul ei.

Consecința practică pentru lecția de azi: toate formulele pe care le vom demonstra sunt valabile numai acolo unde ambii membri au sens. Când scriem $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, se subînțelege condiția $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Este o precizare pe care profesorii o cer explicit la teze, așa că obișnuiește-te să o scrii.

2. Formula tg(π + x) = tg x

Demonstrația este scurtă și frumoasă. Pornim de la definiție și folosim formulele demonstrate în lecția despre formulele cu π + x și 2π − x, adică $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$:

$$\mathrm{tg}(\pi +x)=\frac{\sin (\pi +x)}{\cos (\pi +x)}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x.$$

$$\boxed{\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x}$$

Cele două semne minus, unul la numărător și altul la numitor, se simplifică între ele. Aceasta este întreaga explicație: sinusul și cosinusul se schimbă amândouă, dar raportul lor rămâne.

Un exemplu imediat: $\mathrm{tg}210^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }+30^{\circ })=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Observă cât de diferit se comportă față de sinus și cosinus, care în cadranul III sunt amândouă negative — tangenta, acolo, este pozitivă.

3. Perioada π și citirea ei pe axa tangentelor

Formula tocmai demonstrată spune, în limbajul funcțiilor, că tangenta este periodică de perioadă $\pi$: valoarea ei se repetă din $\pi$ în $\pi$, nu din $2\pi$ în $2\pi$ ca la sinus și cosinus. Aplicând formula de mai multe ori, obținem forma generală

$$\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x,k\in \mathbb{Z}.$$

Există o citire geometrică foarte convingătoare a acestui fapt. Pe cercul trigonometric se poate desena axa tangentelor: dreapta verticală tangentă cercului în punctul $A(1,0)$. Pentru un număr $x$, dacă prelungești dreapta $OM(x)$ până taie această axă, ordonata punctului de intersecție este exact $\mathrm{tg}x$.

Acum, punctele $M(x)$ și $M(\pi +x)$ sunt diametral opuse, deci se află pe aceeași dreaptă care trece prin origine. Iar o dreaptă taie axa tangentelor într-un singur punct. Prin urmare cele două numere, $x$ și $\pi +x$, produc obligatoriu aceeași valoare a tangentei — nu pentru că semnele se simplifică, ci pentru că e vorba, pur și simplu, de aceeași dreaptă.

Aceasta este și explicația „de drum de munte" din deschidere: o dreaptă și panta ei nu depind de sensul în care o parcurgi, iar tangenta măsoară tocmai panta.

Periodicitatea se citește la fel de limpede și pe graficul funcției tangentă. Spre deosebire de sinusoidă, care este o singură curbă continuă, graficul tangentei este format din ramuri separate, câte una pe fiecare interval dintre două puncte în care cosinusul se anulează. Fiecare ramură pornește de foarte jos, trece prin zero și urcă spre valori oricât de mari, apoi se întrerupe; imediat după, ramura următoare reia povestea, identică, la distanță de exact $\pi$ pe orizontală. Dacă ai decupa o ramură și ai translata-o cu $\pi$ spre dreapta, s-ar suprapune perfect peste următoarea. Comparativ, la sinus și cosinus trebuie să translatezi cu $2\pi$ pentru a obține aceeași suprapunere — motiv pentru care spunem că tangenta „se repetă de două ori mai des".

4. Formula tg(π − x) = −tg x

Procedăm identic, dar pornind de la formulele pentru $\pi -x$ învățate la reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Atunci

$$\mathrm{tg}(\pi -x)=\frac{\sin (\pi -x)}{\cos (\pi -x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}x.$$

$$\boxed{\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x}$$

De data aceasta se schimbă un singur semn — cel al cosinusului —, deci raportul își schimbă semnul. Exemplu: $\mathrm{tg}135^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-45^{\circ })=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$.

Merită să reții perechea celor două formule ca pe un contrast: la $\pi +x$ tangenta rămâne, la $\pi -x$ tangenta își schimbă semnul. E singurul lucru de memorat din toată lecția; restul se deduce.

5. Două consecințe utile

Tangenta este funcție impară. Din formulele pentru argument negativ, $\sin (-x)=-\sin x$ și $\cos (-x)=\cos x$, rezultă imediat

$$\mathrm{tg}(-x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}x.$$

Tangenta la $2\pi -x$. Aceasta se obține fie direct din imparitate (pentru că $2\pi -x$ și $-x$ dau același punct pe cerc), fie combinând cele două formule ale lecției: $2\pi -x=\pi +(\pi -x)$, deci

$$\mathrm{tg}(2\pi -x)=\mathrm{tg}(\pi +(\pi -x))=\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x.$$

Nu trebuie să memorezi această a doua relație: e mai sigur să o refaci în două rânduri, la nevoie, decât să înveți pe de rost o listă lungă de formule care se pot confunda între ele.

6. Semnul tangentei pe cadrane

Semnul tangentei se citește din semnele lui $\sin$ și $\cos$, aplicând regula semnelor la împărțire. Iată tabloul complet:

Reține tiparul, mult mai simplu decât la sinus și cosinus: tangenta e pozitivă în cadranele I și III, negativă în cadranele II și IV. Cadranele „pozitive" sunt exact cele diametral opuse — încă o consecință a periodicității $\pi$, pentru că adunând $\pi$ treci din I în III și din II în IV, fără să schimbi valoarea. Comparativ cu ce ai văzut la semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane, aici tiparul se repetă de două ori pe tur, nu o dată.

Există și o cale de a deduce tabelul fără a-l memora, folosind chiar formulele lecției. Orice unghi din cadranul III se scrie ca $180^{\circ }+t$ cu $t$ în cadranul I, iar $\mathrm{tg}(180^{\circ }+t)=\mathrm{tg}t>0$; deci cadranul III moștenește semnul cadranului I. Orice unghi din cadranul II se scrie ca $180^{\circ }-t$, iar $\mathrm{tg}(180^{\circ }-t)=-\mathrm{tg}t<0$; iar cadranul IV, fiind cadranul II mutat cu $180^{\circ }$, primește același semn negativ. Două formule și un raționament de trei rânduri înlocuiesc, astfel, un tabel învățat pe de rost.

7. Tabelul complet al valorilor tangentei

Cu formulele lecției și valorile din primul cadran ($\mathrm{tg}0=0$, $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$) obținem toate valorile remarcabile de pe cerc:

Verifică singur câteva: $\mathrm{tg}240^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }+60^{\circ })=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$; $\mathrm{tg}150^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-30^{\circ })=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. La unghiurile de $0^{\circ }$, $180^{\circ }$ și $360^{\circ }$ tangenta este $0$; la $90^{\circ }$ și $270^{\circ }$ ea nu există, pentru că acolo cosinusul se anulează.

Observă un lucru elegant în tabel: coloanele lui $210^{\circ }$, $225^{\circ }$, $240^{\circ }$ repetă exact valorile lui $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, iar coloanele lui $300^{\circ }$, $315^{\circ }$, $330^{\circ }$ le repetă pe cele ale lui $120^{\circ }$, $135^{\circ }$, $150^{\circ }$. Perioada $\pi$ se vede cu ochiul liber.

8. Reducerea la primul cadran pentru tangentă

Pentru tangentă strategia e mai scurtă decât pentru sinus și cosinus, tocmai datorită perioadei mai mici. Iată-o, în doi pași:

Pasul 1 — adu unghiul în intervalul $[0^{\circ },180^{\circ })$, adunând sau scăzând multipli de $180^{\circ }$ (nu de $360^{\circ }$!). Tangenta nu se schimbă deloc la această operație.

Pasul 2 — dacă unghiul rămas e mai mare de $90^{\circ }$, scrie-l ca $180^{\circ }-t$ și schimbă semnul, obținând $-\mathrm{tg}t$ cu $t$ din primul cadran.

Exemplu complet: calculăm $\mathrm{tg}480^{\circ }$. Pasul 1: $480^{\circ }-180^{\circ }=300^{\circ }$, tot prea mare, deci încă o dată: $300^{\circ }-180^{\circ }=120^{\circ }$. Așadar $\mathrm{tg}480^{\circ }=\mathrm{tg}120^{\circ }$. Pasul 2: $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$. Rezultat: $\mathrm{tg}480^{\circ }=-\sqrt{3}$.

O verificare rapidă, cu metoda lungă: $480^{\circ }-360^{\circ }=120^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}120^{\circ }=\frac{\sin 120^{\circ }}{\cos 120^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}$ ✓.

Merită să pui alături cele două strategii, ca să vezi economia. Pentru $\sin 480^{\circ }$ ești obligat să scazi o tură întreagă ($480^{\circ }-360^{\circ }=120^{\circ }$), apoi să reduci $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ și abia atunci să scrii $\sin 480^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ — trei operații. Pentru tangentă, „unitatea de măsură" a repetiției e de două ori mai mică, deci ajungi mai repede în zona utilă. Regula de aur, ușor de reținut: la sinus și cosinus tai din $360^{\circ }$ în $360^{\circ }$, la tangentă tai din $180^{\circ }$ în $180^{\circ }$.

O ultimă observație despre unghiurile negative: dacă unghiul e negativ, aduni multipli de $180^{\circ }$ în loc să scazi. De exemplu, $\mathrm{tg}(-150^{\circ })=\mathrm{tg}(-150^{\circ }+180^{\circ })=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Același rezultat se obține și prin imparitate: $\mathrm{tg}(-150^{\circ })=-\mathrm{tg}150^{\circ }=-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un unghi din cadranul III

Calculați $\mathrm{tg}210^{\circ }$.

Rezolvare. Scriem $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$ și aplicăm formula $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$:

$$\mathrm{tg}210^{\circ }=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Rezultatul e pozitiv, deși atât sinusul, cât și cosinusul lui $210^{\circ }$ sunt negative — raportul a două numere negative este pozitiv. $■$

Exemplul 2 — Un unghi din cadranul II

Calculați $\mathrm{tg}135^{\circ }$.

Rezolvare. Scriem $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ și aplicăm formula $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$:

$$\mathrm{tg}135^{\circ }=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1.$$

Verificare prin definiție: $\mathrm{tg}135^{\circ }=\frac{\sin 135^{\circ }}{\cos 135^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1$ ✓. $■$

Exemplul 3 — În radiani

Calculați $\mathrm{tg}\frac{4\pi }{3}$ și $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}$.

Rezolvare. Descompunem fiecare argument. Pentru primul: $\frac{4\pi }{3}=\frac{3\pi +\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci

$$\mathrm{tg}\frac{4\pi }{3}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}.$$

Pentru al doilea: $\frac{5\pi }{6}=\frac{6\pi -\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, deci

$$\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=-\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Semnele confirmă cadranele: $\frac{4\pi }{3}$ e în cadranul III (tangentă pozitivă), $\frac{5\pi }{6}$ e în cadranul II (tangentă negativă). $■$

Exemplul 4 — Același rezultat, două drumuri

Calculați $\mathrm{tg}300^{\circ }$ pe două căi diferite.

Rezolvare. Prima cale, cu perioada $\pi$: $300^{\circ }-180^{\circ }=120^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}300^{\circ }=\mathrm{tg}120^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}120^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-60^{\circ })=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$.

A doua cale, prin argumentul negativ: $300^{\circ }=360^{\circ }-60^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}300^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$.

Ambele dau $-\sqrt{3}$, cum era de așteptat. Prima cale e de preferat când unghiul e mult mai mare decât $360^{\circ }$, a doua când unghiul e aproape de o tură completă. $■$

Exemplul 5 — Simplificarea unei expresii

Simplificați $E(x)=\mathrm{tg}(\pi +x)+\mathrm{tg}(\pi -x)$, precizând valorile lui $x$ pentru care expresia are sens.

Rezolvare. Aplicăm cele două formule ale lecției:

$$E(x)=\mathrm{tg}x+(-\mathrm{tg}x)=0.$$

Expresia este identic nulă. Condiția de existență: tangentele trebuie să fie definite, adică $\cos x\ne 0$, deci $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Arătați că $\mathrm{tg}135^{\circ }+\mathrm{tg}225^{\circ }=0$. b) Calculați $\mathrm{tg}120^{\circ }\cdot \mathrm{tg}240^{\circ }$.

Rezolvare. a) Reducem fiecare termen: $\mathrm{tg}135^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-45^{\circ })=-1$, iar $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }+45^{\circ })=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$. Suma este $-1+1=0$. ✓

b) $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$ și $\mathrm{tg}240^{\circ }=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$. Produsul:

$$(-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=-3.$$

Observă că cele două unghiuri diferă cu $120^{\circ }$, nu cu $180^{\circ }$ — de aceea valorile nu coincid, ci sunt opuse. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare unghi, scrie mai întâi descompunerea ($180^{\circ }+t$ sau $180^{\circ }-t$), apoi aplică formula; acolo unde apare o literă, precizează și condițiile de existență.

1. Calculează $\mathrm{tg}210^{\circ }$, $\mathrm{tg}225^{\circ }$ și $\mathrm{tg}240^{\circ }$.

2. Calculează $\mathrm{tg}120^{\circ }$, $\mathrm{tg}135^{\circ }$ și $\mathrm{tg}150^{\circ }$.

3. Calculează $\mathrm{tg}300^{\circ }$, $\mathrm{tg}315^{\circ }$ și $\mathrm{tg}330^{\circ }$.

4. Scrie $\frac{4\pi }{3}$ și $\frac{5\pi }{4}$ în forma $\pi +t$ și calculează tangenta fiecăruia.

5. Scrie $\frac{2\pi }{3}$ și $\frac{5\pi }{6}$ în forma $\pi -t$ și calculează tangenta fiecăruia.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) a) „$\mathrm{tg}(\pi +x)=-\mathrm{tg}x$ pentru orice $x$ din domeniul de definiție." b) „Perioada funcției tangentă este $2\pi$."

7. Simplifică expresia $E(x)=\mathrm{tg}(\pi +x)+\mathrm{tg}(\pi -x)$ și precizează condițiile de existență.

8. Simplifică expresia $F(x)=\mathrm{tg}(\pi +x)-\mathrm{tg}(\pi -x)$.

9. Calculează $\mathrm{tg}405^{\circ }$ și $\mathrm{tg}540^{\circ }$.

10. Pentru ce valori ale lui $x$ nu este definită expresia $\mathrm{tg}(\pi +x)$? Justifică.

11. (Problemă aplicată.) O șosea de munte urcă făcând un unghi de $30^{\circ }$ cu orizontala; panta ei este $\mathrm{tg}30^{\circ }$. Un șofer coboară pe același drum, deci direcția lui de mers face cu orizontala un unghi de $210^{\circ }$ măsurat în același reper. Arată, folosind formulele lecției, că panta calculată este aceeași, și explică de ce rezultatul era de așteptat.

12. Verifică egalitatea $\mathrm{tg}150^{\circ }=-\mathrm{tg}30^{\circ }$, calculând ambii membri prin definiție, ca raport $\frac{\sin }{\cos }$.

13. Calculează $E=\mathrm{tg}210^{\circ }\cdot \mathrm{tg}240^{\circ }\cdot \mathrm{tg}300^{\circ }$.

14. Ordonează crescător numerele $\mathrm{tg}120^{\circ }$, $\mathrm{tg}135^{\circ }$, $\mathrm{tg}150^{\circ }$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Arătați că $\mathrm{tg}135^{\circ }+\mathrm{tg}225^{\circ }=0$. b) Calculați $\mathrm{tg}120^{\circ }\cdot \mathrm{tg}240^{\circ }$.

16. Se știe că $\mathrm{tg}x=2$. Calculează $\mathrm{tg}(\pi +x)$, $\mathrm{tg}(\pi -x)$ și $\mathrm{tg}(2\pi -x)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că $\mathrm{tg}(\pi +x)\cdot \mathrm{tg}(\pi -x)+{\mathrm{tg}}^{2}x=0$, pentru orice $x$ pentru care expresia are sens.

18. (Provocare.) Folosind formula $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, arată prin inducție că $\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$ pentru orice număr natural $k$ și orice $x$ din domeniul tangentei. Explică apoi de ce egalitatea rămâne adevărată și pentru $k$ întreg negativ.

Răspunsuri și explicații

1. $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}210^{\circ }=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}225^{\circ }=1$; $240^{\circ }=180^{\circ }+60^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}240^{\circ }=\sqrt{3}$. Toate trei sunt pozitive — cadranul III.

2. $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}$; $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}135^{\circ }=-1$; $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Toate negative — cadranul II.

3. Cel mai comod prin scăderea unei jumătăți de tură: $\mathrm{tg}300^{\circ }=\mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}$; $\mathrm{tg}315^{\circ }=\mathrm{tg}135^{\circ }=-1$; $\mathrm{tg}330^{\circ }=\mathrm{tg}150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4. $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci tangenta este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$. $\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$, deci tangenta este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$.

5. $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$, deci tangenta este $-\sqrt{3}$. $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, deci tangenta este $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

6. a) Fals — formula corectă este $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, fără minus; sinusul și cosinusul își schimbă amândouă semnul, iar raportul lor rămâne neschimbat. Contraexemplu: $\mathrm{tg}225^{\circ }=1$, iar $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci valorile coincid, nu sunt opuse. b) Fals — perioada tangentei este $\pi$. Este adevărat că $\mathrm{tg}(x+2\pi )=\mathrm{tg}x$, dar $2\pi$ nu este cea mai mică perioadă pozitivă, iar prin „perioada funcției" se înțelege perioada principală.

7. $E(x)=\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}x=0$, pentru orice $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

8. $F(x)=\mathrm{tg}x-(-\mathrm{tg}x)=2\mathrm{tg}x$, cu aceleași condiții de existență.

9. $405^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }+45^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}405^{\circ }=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$. $540^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}540^{\circ }=\mathrm{tg}0=0$.

10. Expresia $\mathrm{tg}(\pi +x)$ există dacă $\cos (\pi +x)\ne 0$, adică $-\cos x\ne 0$, adică $\cos x\ne 0$. Prin urmare condiția este $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ — exact aceeași ca pentru $\mathrm{tg}x$, ceea ce e firesc: cele două expresii sunt egale acolo unde există.

11. Direcția de coborâre corespunde unghiului $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}210^{\circ }=\mathrm{tg}30^{\circ }$. Panta este deci aceeași, $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$, adică aproximativ $58\%$. Era de așteptat: panta descrie drumul, nu sensul în care e parcurs, iar o rotație cu $180^{\circ }$ păstrează dreapta.

12. Membrul stâng: $\mathrm{tg}150^{\circ }=\frac{\sin 150^{\circ }}{\cos 150^{\circ }}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Membrul drept: $-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Egalitate confirmată.

13. $E=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot (-\sqrt{3})$. Primii doi factori dau $\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$, deci $E=1\cdot (-\sqrt{3})=-\sqrt{3}$.

14. Valorile sunt $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}\approx -1,73$; $\mathrm{tg}135^{\circ }=-1$; $\mathrm{tg}150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0,58$. Ordinea crescătoare: $\mathrm{tg}120^{\circ }<\mathrm{tg}135^{\circ }<\mathrm{tg}150^{\circ }$. (Se vede aici că tangenta este crescătoare pe fiecare interval pe care e definită.)

15. a) $\mathrm{tg}135^{\circ }=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$ și $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci suma este $0$. ✓ b) $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}$, $\mathrm{tg}240^{\circ }=\sqrt{3}$, iar produsul lor este $-3$.

16. $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x=2$; $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x=-2$; $\mathrm{tg}(2\pi -x)=-\mathrm{tg}x=-2$.

17. Înlocuim: $\mathrm{tg}(\pi +x)\cdot \mathrm{tg}(\pi -x)=\mathrm{tg}x\cdot (-\mathrm{tg}x)=-{\mathrm{tg}}^{2}x$. Adunând ${\mathrm{tg}}^{2}x$, obținem $-{\mathrm{tg}}^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x=0$, pentru orice $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. $■$

18. Demonstrăm prin metoda inducției matematice propoziția $P(k)$: „$\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$". Verificarea: pentru $k=0$ egalitatea e evidentă. Pasul inductiv: presupunem $\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$ și calculăm pentru $k+1$, folosind formula lecției cu argumentul $x+k\pi$ în locul lui $x$:

$$\mathrm{tg}(x+(k+1)\pi )=\mathrm{tg}(\pi +(x+k\pi ))=\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x.$$

Deci $P(k)\Rightarrow P(k+1)$, iar propoziția e adevărată pentru orice $k$ natural. Pentru $k$ negativ: dacă $k=-n$ cu $n$ natural, aplicăm rezultatul deja demonstrat numărului $y=x-n\pi$, obținând $\mathrm{tg}(y+n\pi )=\mathrm{tg}y$, adică $\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}(x-n\pi )$ — exact ce trebuia.

De reținut

• $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$ — tangenta nu se schimbă la adăugarea unei jumătăți de tură, pentru că minusul de la sinus se simplifică cu minusul de la cosinus.
• $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$ — aici se schimbă doar semnul cosinusului, deci raportul își schimbă semnul.
• Perioada tangentei este $\pi$, nu $2\pi$: $\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$ pentru orice $k$ întreg. Geometric, punctele diametral opuse determină aceeași dreaptă prin origine, deci același punct pe axa tangentelor.
• Semnul: tangenta e pozitivă în cadranele I și III, negativă în cadranele II și IV; nu este definită la $\frac{\pi }{2}$ și la $\frac{3\pi }{2}$, adică pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.
• Reducerea în doi pași: scazi multipli de $180^{\circ }$ până ajungi în $[0^{\circ },180^{\circ })$, apoi, dacă mai e nevoie, scrii unghiul ca $180^{\circ }-t$ și schimbi semnul.

Greșeli frecvente

• Punerea unui minus la $\pi +x$. Se scrie $\mathrm{tg}(\pi +x)=-\mathrm{tg}x$, prin analogie cu sinusul și cosinusul. Corect: tangenta rămâne neschimbată, tocmai pentru că sinusul și cosinusul se schimbă amândouă.
• Confuzia dintre perioada $\pi$ și perioada $2\pi$. Se reduce tangenta scăzând $360^{\circ }$, ceea ce nu e greșit, dar e drum lung; și, mai grav, se afirmă la teorie că perioada tangentei este $2\pi$. Perioada principală este $\pi$.
• Omiterea condițiilor de existență. La simplificarea unei expresii cu tangente, se scrie rezultatul fără a preciza $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. La teze, această omisiune costă puncte.
• Deducerea greșită a semnului din cadran. Se crede că, dacă în cadranul III sinusul și cosinusul sunt negative, atunci și tangenta trebuie să fie negativă. Fiind un raport, tangenta e pozitivă acolo: minus împărțit la minus dă plus.
• Amestecarea valorilor $\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $\sqrt{3}$. $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$, iar $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}\approx 1,73$. Un control rapid: la $45^{\circ }$ tangenta e $1$, deci sub $45^{\circ }$ valorile sunt subunitare, peste $45^{\circ }$ supraunitare.

Aplică acasă

1. Panta din trafic. Fotografiază sau notează trei indicatoare rutiere de pantă pe care le vezi (sau caută valori tipice: $7\%$, $10\%$, $12\%$). Pentru fiecare, procentul este chiar tangenta unghiului cu orizontala, scrisă zecimal. Estimează unghiul comparând cu valorile pe care le știi: $\mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,58$, deci $58\%$. Vei descoperi că pantele reale corespund unor unghiuri surprinzător de mici — sub $10^{\circ }$.

2. Rigla și umbra, la două ore diferite. Măsoară dimineața și după-amiaza înălțimea unui obiect și lungimea umbrei lui; raportul înălțime/umbră este tangenta unghiului de înălțare a Soarelui. Notează cele două valori și observă în care moment al zilei tangenta e mai mare. Discută: de ce tangenta crește foarte repede când unghiul se apropie de $90^{\circ }$?

3. Cercul cu axa tangentelor. Desenează un cerc trigonometric mare și, tangent la el în punctul $A(1,0)$, o dreaptă verticală. Trasează diametrele care trec prin punctele de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ și prelungește-le până taie dreapta verticală. Măsoară cu rigla ordonatele punctelor de intersecție și compară-le cu $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$, $\sqrt{3}$. Vei „vedea" de ce fiecare diametru dă o singură valoare a tangentei — și deci de ce perioada este $\pi$.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie seria formulelor de reducere din programă, adăugând cele două relații pentru tangentă. Ele nu se memorează separat: se deduc din formulele pentru sinus și cosinus, ca raport, iar deducerea în sine este partea importantă a orei. Consecința majoră — perioada $\pi$ a tangentei, față de $2\pi$ la sinus și cosinus — trebuie înțeleasă și geometric, prin faptul că două puncte diametral opuse de pe cerc determină aceeași dreaptă prin origine și deci aceeași intersecție cu axa tangentelor.

Un al doilea obiectiv, la fel de important, este disciplina condițiilor de existență. Tangenta este prima funcție din programă cu domeniu „găurit", iar elevii trebuie obișnuiți să scrie $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ ori de câte ori simplifică o expresie cu tangente. Întrebări bune de control: „De ce $\mathrm{tg}(\pi +x)$ nu primește minus?" (ambele semne se simplifică); „Care e perioada tangentei și de ce e mai mică decât la sinus?"; „În ce cadrane e tangenta pozitivă?" (I și III); „Unde nu e definită tangenta și de ce?" (unde cosinusul se anulează). Semne că elevul a înțeles: reduce unghiurile scăzând $180^{\circ }$, nu $360^{\circ }$, și nu confundă cele două formule ale lecției.

La teze și la subiectul de trigonometrie de la Bacalaureat, formulele apar în calcule de valori ($\mathrm{tg}210^{\circ }$, $\mathrm{tg}135^{\circ }$), în simplificări de expresii și, indirect, în ecuațiile trigonometrice, unde soluțiile ecuației $\mathrm{tg}x=a$ se scriu tocmai cu perioada $\pi$. De aceea o oră investită acum în înțelegerea periodicității se amortizează de mai multe ori mai târziu.

Întrebări frecvente

Cât este tg(π + x)? $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, pentru orice $x$ din domeniul tangentei. Explicația: $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$, iar în raportul lor cele două semne minus se simplifică.

Cât este tg(π − x)? $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$. Aici doar cosinusul își schimbă semnul ($\cos (\pi -x)=-\cos x$, dar $\sin (\pi -x)=\sin x$), deci raportul își schimbă semnul.

De ce perioada tangentei este π și nu 2π? Pentru că valoarea tangentei se repetă deja după o jumătate de tură: $\mathrm{tg}(x+\pi )=\mathrm{tg}x$. Geometric, punctele $M(x)$ și $M(\pi +x)$ sunt diametral opuse, deci se află pe aceeași dreaptă prin origine, iar tangenta se citește ca ordonata intersecției acelei drepte cu axa tangentelor.

Cât este tg 210°? $\mathrm{tg}210^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Se obține scriind $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$ și aplicând $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, deci $\mathrm{tg}210^{\circ }=\mathrm{tg}30^{\circ }$. Valoarea e pozitivă, pentru că $210^{\circ }$ e în cadranul III.

În ce cadrane este tangenta pozitivă? În cadranele I și III. În cadranul I, sinusul și cosinusul sunt amândouă pozitive; în cadranul III sunt amândouă negative, iar raportul a două numere negative este pozitiv. În cadranele II și IV tangenta este negativă.

Unde nu este definită tangenta? Acolo unde cosinusul se anulează, adică pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k$ număr întreg — în grade, la $90^{\circ }$, $270^{\circ }$, $450^{\circ }$ și așa mai departe. În acele puncte raza $OM$ este verticală și nu mai taie axa tangentelor.

Cum reduc tangenta unui unghi mai mare de 360°? Nu e nevoie să scazi ture întregi: fiindcă perioada e $\pi$, scazi direct multipli de $180^{\circ }$ până ajungi în intervalul $[0^{\circ },180^{\circ })$. De exemplu, $\mathrm{tg}480^{\circ }=\mathrm{tg}300^{\circ }=\mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}$.

De ce panta unui drum nu se schimbă dacă îl parcurg în sens invers? Pentru că sensul de mers rotește direcția cu $180^{\circ }$, iar tangenta — care măsoară panta — are perioada $\pi$, adică exact $180^{\circ }$. Matematic: $\mathrm{tg}(180^{\circ }+\alpha )=\mathrm{tg}\alpha$. Drumul rămâne același, indiferent din ce capăt îl privești.