Panta unei drepte: pe scurt

Un punct nu are direcție, dar o dreaptă întreagă este definită tocmai de direcția ei. Numărul care codifică această direcție se numește pantă, iar programa cere să fie definit trigonometric. Mai întâi se fixează unghiul de înclinare $\alpha$: unghiul măsurat în sens trigonometric, de la semiaxa pozitivă $Ox$ până la dreaptă, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$. Intervalul se oprește la $180^{\circ }$ pentru că o dreaptă nu are sens de parcurgere, iar rotind cu $180^{\circ }$ ajungi pe aceeași înclinare. Panta este atunci $m=\mathrm{tg}\alpha$.

Semnul spune încotro merge dreapta: $m=0$ înseamnă orizontală, $m>0$ înseamnă că urcă (unghi ascuțit), $m<0$ înseamnă că coboară (unghi obtuz). Modulul spune cât de abruptă este: cu cât $|m|$ este mai mare, cu atât dreapta se apropie de verticală.

Din coordonate, pentru $x_A\ne x_B$, se demonstrează că $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ — cu aceeași ordine a scăderii sus și jos. Rezultatul nu depinde de perechea de puncte aleasă, pentru că $\alpha$ ține de dreaptă, nu de puncte.

Cazul care se cere de fiecare dată: dreapta verticală nu are pantă, fiindcă $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există, iar numitorul ar fi zero. Nu se spune „panta este infinită” și nu se confundă cu panta nulă a orizontalei. Drumul invers se face cu arctangenta: $\alpha =\mathrm{arctg}m$ pentru $m\ge 0$ și $\alpha =180^{\circ }+\mathrm{arctg}m$ pentru $m<0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Panta dreptei determinate de punctele $A(-4,7)$ și $B(2,-5)$ este:

   • a) $-\frac{1}{2}$
   • b) $2$
   • c) $-2$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-2$

   $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-5-7}{2-(-4)}=\frac{-12}{6}=-2$. Varianta $-\frac{1}{2}$ apare dacă se răstoarnă raportul, iar $2$ dacă se pierde semnul. Panta fiind negativă, dreapta coboară, iar unghiul ei de înclinare este obtuz.

2. Despre dreapta determinată de punctele $G(-5,2)$ și $H(-5,9)$ se poate afirma că:

   • a) este verticală, nu are pantă, iar $\alpha =90^{\circ }$
   • b) este orizontală, are panta $0$, iar $\alpha =0^{\circ }$
   • c) este verticală, iar panta ei este infinită
   • d) este oblică și are panta $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) este verticală, nu are pantă, iar $\alpha =90^{\circ }$

   Cele două puncte au aceeași abscisă, deci dreapta este verticală: unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Formularea corectă este „dreapta nu are pantă”, nu „panta este infinită” — infinitul nu este număr real. Panta $0$ o are dreapta orizontală, ceea ce este cu totul altceva.

3. O dreaptă are panta $m=-\sqrt{3}$. Unghiul ei de înclinare este:

   • a) $60^{\circ }$
   • b) $-60^{\circ }$
   • c) $150^{\circ }$
   • d) $120^{\circ }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $120^{\circ }$

   Panta fiind negativă, unghiul este obtuz, deci se caută în $(90^{\circ },180^{\circ })$. Din $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$ rezultă $\alpha =120^{\circ }$. Unghiului $150^{\circ }$ îi corespunde panta $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $-60^{\circ }$ nu aparține intervalului $[0^{\circ },180^{\circ })$.