Funcțiile arctangentă și arccotangentă

Pe drumurile de munte întâlnești indicatorul „pantă $10\%$". Procentul acela nu este un unghi, ci un raport: pe fiecare $100$ de metri parcurși pe orizontală, drumul urcă $10$ metri. Cu alte cuvinte, indicatorul îți dă exact tangenta unghiului de înclinare: $\mathrm{tg}\alpha =0,1$. Dacă vrei unghiul propriu-zis — pentru că un camion are limite exprimate în grade, nu în procente — ai nevoie de drumul invers, de la tangentă la unghi.

În lecția precedentă ai construit funcțiile arcsinus și arccosinus după o rețetă precisă: restrângi domeniul până când funcția devine bijectivă, apoi o inversezi. Acum aplici aceeași rețetă tangentei și cotangentei. Diferența este că aceste două funcții au deja domeniul „găurit" (tangenta nu e definită în $\frac{\pi }{2}+k\pi$), iar imaginea lor este tot $\mathbb{R}$ — ceea ce face inversele lor niște funcții definite pe toată axa reală, cu grafice mărginite și asimptote orizontale. Sunt, de departe, cele mai comode funcții trigonometrice inverse: $\mathrm{arctg}$ acceptă orice număr real, oricât de mare.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici restricțiile principale ale tangentei și cotangentei și să demonstrezi că sunt bijective.
• Vei ști să definești riguros $\mathrm{arctg}$ și $\mathrm{arcctg}$, să le trasezi graficele și să le recunoști asimptotele orizontale.
• Vei ști pe de rost valorile remarcabile ale celor două funcții, inclusiv pentru argumente negative.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici identitatea $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$.
• Vei ști să calculezi compuneri de tipul $\sin (\mathrm{arctg}a)$, $\cos (\mathrm{arctg}a)$ și să eviți capcana lui $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)$.
• Vei ști să demonstrezi egalități spectaculoase, precum $\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$.

Hai să descoperim împreună

1. Restricția principală a tangentei

Din lecția despre funcția tangentă și domeniul ei știi că

$$\mathrm{tg}:\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\to \mathbb{R},\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},$$

și că este periodică de perioadă $\pi$. Periodicitatea o face imediat neinjectivă: $\mathrm{tg}0=\mathrm{tg}\pi =0$. Așadar, ca și la sinus, avem nevoie de o restricție.

Alegem intervalul deschis $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ — o singură „ramură" a graficului tangentei, cea care trece prin origine. Capetele se exclud obligatoriu, pentru că acolo tangenta nici măcar nu e definită.

Propoziție. Funcția $\mathrm{tg}:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$ este bijectivă.

Demonstrație. Injectivitatea. Pe acest interval sinusul crește strict de la $-1$ la $1$, iar cosinusul este strict pozitiv și crește până la $0$, apoi descrește; raportul $\frac{\sin x}{\cos x}$ este strict crescător pe tot intervalul. Se vede și geometric: punctul de intersecție dintre semidreapta care pleacă din origine și axa tangentelor urcă neîntrerupt pe măsură ce unghiul crește. Fiind strict crescătoare, funcția este injectivă.

Surjectivitatea. Fie $a\in \mathbb{R}$ oarecare. Pe axa tangentelor (dreapta verticală $x=1$) punctul de ordonată $a$ există întotdeauna, oricât de mare ar fi $|a|$; semidreapta care unește originea cu acest punct taie semicercul din dreapta într-un punct, iar numărul din $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ asociat lui verifică $\mathrm{tg}x=a$. Spre deosebire de sinus, aici nu există restricție asupra lui $a$: tangenta ia toate valorile reale. $■$

2. Funcția arctangentă

Definiție. Funcția arctangentă este inversa restricției principale a tangentei:

$$\mathrm{arctg}:\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\mathrm{arctg}a=x⟺\left(\mathrm{tg}x=a\text{ și }x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\right).$$

În cuvinte: $\mathrm{arctg}a$ este unicul număr din intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ a cărui tangentă este $a$.

Proprietăți:

• domeniul este tot $\mathbb{R}$ — spre deosebire de $\arcsin$, aici nu există nicio restricție: $\mathrm{arctg}1000$ are perfect sens;
• imaginea este intervalul deschis $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci funcția este mărginită: $|\mathrm{arctg}a|<\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a$, iar valorile $\pm \frac{\pi }{2}$ nu se ating niciodată;
• este strict crescătoare (inversa unei funcții strict crescătoare);
• este impară: $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a$, demonstrația fiind identică cu cea de la $\arcsin$ — intervalul e simetric față de origine, iar tangenta e impară.

Graficul se obține oglindind ramura principală a tangentei față de prima bisectoare $y=x$. Asimptotele verticale $x=\pm \frac{\pi }{2}$ ale tangentei devin, prin simetrie, asimptote orizontale $y=\pm \frac{\pi }{2}$ ale arctangentei: curba urcă strict, trece prin origine și se apropie oricât de mult de dreptele $y=\frac{\pi }{2}$ (spre dreapta) și $y=-\frac{\pi }{2}$ (spre stânga), fără să le atingă vreodată.

3. Valorile remarcabile ale arctangentei

Se citesc invers din tabelul tangentei, cu grijă ca răspunsul să fie în intervalul principal.

Reține că $\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$ și că tabelul e simetric față de origine, ca orice funcție impară. Valorile mari nu mai dau unghiuri remarcabile: $\mathrm{arctg}2$ sau $\mathrm{arctg}5$ rămân scrise așa, în formă exactă, exact cum lași $\sqrt{7}$ nesimplificat.

4. Restricția principală a cotangentei și funcția arccotangentă

Din lecția despre funcția cotangentă și periodicitatea ei știi că $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ este definită pentru $x\ne k\pi$ și are tot perioada $\pi$. Restricția principală este intervalul deschis $(0,\pi )$, pe care cotangenta descrește strict de la $+\infty$ la $-\infty$.

Propoziție. Funcția $\mathrm{ctg}:(0,\pi )\to \mathbb{R}$ este bijectivă.

Demonstrație. Pe $(0,\pi )$ sinusul este strict pozitiv, iar raportul $\frac{\cos x}{\sin x}$ scade strict, pentru că numărătorul descrește de la $1$ la $-1$, iar numitorul rămâne pozitiv și „se umflă" apoi „se subțiază" simetric — o analiză pe cercul trigonometric arată că punctul de pe axa cotangentelor coboară neîntrerupt. Stricta monotonie dă injectivitatea, iar faptul că valorile parcurg toată axa reală dă surjectivitatea. $■$

Definiție. Funcția arccotangentă este inversa acestei restricții:

$$\mathrm{arcctg}:\mathbb{R}\to (0,\pi ),\mathrm{arcctg}a=x⟺(\mathrm{ctg}x=a\text{ și }x\in (0,\pi )).$$

Proprietăți: domeniul $\mathbb{R}$, imaginea $(0,\pi )$ — deci rezultatul este întotdeauna strict pozitiv, oricât de negativ ar fi argumentul; funcția este strict descrescătoare; nu este nici pară, nici impară, dar verifică

$$\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a.$$

Demonstrație: dacă $\beta =\mathrm{arcctg}a$, atunci $\pi -\beta \in (0,\pi )$ și $\mathrm{ctg}(\pi -\beta )=-\mathrm{ctg}\beta =-a$, deci prin unicitate $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\beta$. $■$

Graficul lui $\mathrm{arcctg}$ este o curbă descrescătoare care coboară de la asimptota orizontală $y=\pi$ (spre stânga) la asimptota $y=0$ (spre dreapta), trecând prin punctul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

5. Identitatea $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$

Teoremă. Pentru orice $a\in \mathbb{R}$:

$$\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}.$$

Demonstrație. Notăm $\alpha =\mathrm{arctg}a$, deci $\mathrm{tg}\alpha =a$ și $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Verificăm pentru numărul $\frac{\pi }{2}-\alpha$ cele două condiții din definiția lui $\mathrm{arcctg}$.

Apartenența la interval: din $-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$ obținem $0<\frac{\pi }{2}-\alpha <\pi$. ✓

Valoarea cotangentei: $\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha =a$. ✓

Prin unicitate, $\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}-\alpha$, ceea ce este exact identitatea din enunț. $■$

Verifică-o pe tabelele de mai sus, coloană cu coloană: $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$, $-\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$. Practic, identitatea îți spune că e suficient să memorezi un singur tabel — al doilea se obține prin scădere din $\frac{\pi }{2}$.

O rudă apropiată, foarte utilă: pentru $a>0$,

$$\mathrm{arctg}a+\mathrm{arctg}\frac{1}{a}=\frac{\pi }{2},$$

pentru că $\mathrm{arctg}\frac{1}{a}=\mathrm{arcctg}a$ atunci când $a>0$ (ambele sunt în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și au aceeași cotangentă). Pentru $a<0$ suma este $-\frac{\pi }{2}$, prin imparitate.

6. Compunerile și capcana lor

Ca la orice pereche funcție–inversă, o compunere e sigură, cealaltă cere atenție:

$$\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a\text{pentru orice }a\in \mathbb{R},\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}a)=a\text{pentru orice }a\in \mathbb{R};$$

$$\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x\text{doar daca˘}x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}x)=x\text{doar daca˘}x\in (0,\pi ).$$

Exemplul-tip al capcanei: $x=\frac{5\pi }{6}$ nu e în intervalul principal al tangentei. Cum $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, avem

$$\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)=\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi }{6}\ne \frac{5\pi }{6}.$$

Regula de reducere e chiar mai simplă decât la sinus, fiindcă perioada tangentei este $\pi$: scazi sau aduni multipli de $\pi$ până cazi în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Aici, $\frac{5\pi }{6}-\pi =-\frac{\pi }{6}$ ✓.

Ultima familie, esențială la Bacalaureat — sinusul și cosinusul unei arctangente. Fie $\alpha =\mathrm{arctg}a$; atunci $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, unde cosinusul este strict pozitiv. Din $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, relație pe care ai demonstrat-o la formulele pentru tangentă, obținem ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+a^2}$ și, luând radicalul cu semnul plus:

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\sin (\mathrm{arctg}a)=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}.$$

A doua rezultă din prima prin $\sin \alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha$; observă că semnul lui $\sin$ urmează automat semnul lui $a$, cum și trebuie. Ca bonus, comparând cu definiția arcsinusului:

$$\mathrm{arctg}a=\arcsin \frac{a}{\sqrt{1+a^2}},$$

un pod între cele două funcții inverse.

7. Adunarea a două arctangente

Cea mai frumoasă aplicație a lecției folosește formula tangentei sumei. Fie $u=\mathrm{arctg}a$ și $v=\mathrm{arctg}b$. Atunci

$$\mathrm{tg}(u+v)=\frac{\mathrm{tg}u+\mathrm{tg}v}{1-\mathrm{tg}u\mathrm{tg}v}=\frac{a+b}{1-ab}.$$

Atenție: de aici nu rezultă automat $u+v=\mathrm{arctg}\frac{a+b}{1-ab}$! Formula dă doar tangenta sumei; ca să identifici suma însăși, trebuie să verifici în ce interval se află $u+v$. Dacă $u+v\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, atunci egalitatea cu arctangenta e corectă; altfel trebuie adăugat sau scăzut $\pi$.

Aplicație. Fie $u=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}$ și $v=\mathrm{arctg}\frac{1}{3}$. Atunci

$$\mathrm{tg}(u+v)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1.$$

Încadrarea: $\frac{1}{2}<1$ și $\frac{1}{3}<1$, deci $u,v\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ și prin urmare $u+v\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Singurul număr din acest interval cu tangenta $1$ este $\frac{\pi }{4}$, deci

$$\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}.$$

(Control numeric: $0,4636+0,3218=0,7854\approx \frac{\pi }{4}$ ✓.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori directe

Calculați $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$, $\mathrm{arcctg}\sqrt{3}$, $\mathrm{arctg}(-1)$ și $\mathrm{arcctg}(-1)$.

Rezolvare. $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$, pentru că $\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$.

$\mathrm{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$, prin identitate.

$\mathrm{arctg}(-1)=-\mathrm{arctg}1=-\frac{\pi }{4}$, prin imparitate.

$\mathrm{arcctg}(-1)=\pi -\mathrm{arcctg}1=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Observă contrastul: arctangenta a dat un rezultat negativ, arccotangenta nu poate. $■$

Exemplul 2 — Compuneri sigure și compuneri periculoase

Calculați $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}7)$, $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}\right)$ și $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{4\pi }{5}\right)$.

Rezolvare. Prima: $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}7)=7$, valabil pentru că domeniul lui $\mathrm{arctg}$ este tot $\mathbb{R}$.

A doua: $\frac{\pi }{5}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci compunerea se „simplifică": rezultatul este $\frac{\pi }{5}$.

A treia: $\frac{4\pi }{5}>\frac{\pi }{2}$, deci nu. Reducem cu o perioadă: $\frac{4\pi }{5}-\pi =-\frac{\pi }{5}$, număr care e în intervalul principal și are aceeași tangentă. Deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{4\pi }{5}\right)=-\frac{\pi }{5}$. $■$

Exemplul 3 — Sinus și cosinus dintr-o arctangentă

Calculați $\sin \left(\mathrm{arctg}\frac{3}{4}\right)$ și $\cos (\mathrm{arctg}(-2))$.

Rezolvare. Cu formulele demonstrate, pentru $a=\frac{3}{4}$: $\sqrt{1+a^2}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$, deci

$$\sin \left(\mathrm{arctg}\frac{3}{4}\right)=\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}.$$

Pentru $a=-2$: $\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, deci $\cos (\mathrm{arctg}(-2))=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0,447$ — pozitiv, cum era de așteptat, fiindcă $\mathrm{arctg}(-2)$ e în cadranul al patrulea.

Imaginea mentală: $\mathrm{arctg}\frac{3}{4}$ este unghiul ascuțit al triunghiului dreptunghic cu catetele $3$ și $4$; ipotenuza e $5$, de unde sinusul $\frac{3}{5}$ direct. $■$

Exemplul 4 — Ecuații simple

Rezolvați: a) $\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{3}$; b) $\mathrm{arcctg}x=\frac{3\pi }{4}$; c) $\mathrm{arctg}x=\frac{2\pi }{3}$.

Rezolvare. a) Aplicăm tangenta: $x=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$; cum $\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, soluția e validă. $S=\{\sqrt{3}\}$.

b) $x=\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1$, iar $\frac{3\pi }{4}\in (0,\pi )$ ✓. $S=\{-1\}$.

c) Imposibil: imaginea lui $\mathrm{arctg}$ este $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, iar $\frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$. $S=\varnothing$. $■$

Exemplul 5 — Unghiul de elevație

Un stâlp de antenă are $30$ m înălțime. Sub ce unghi se vede vârful lui de la $30$ m distanță de bază? Dar de la $30\sqrt{3}$ m?

Rezolvare. Unghiul de elevație $\alpha$ satisface $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{ıˆna˘lțimea}}{\text{distanța}}$.

De la $30$ m: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{30}{30}=1$, deci $\alpha =\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$.

De la $30\sqrt{3}$ m: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{30}{30\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $\alpha =\frac{\pi }{6}=30^{\circ }$.

Verificare de bun-simț: te-ai depărtat, deci unghiul a scăzut — coerent cu stricta creștere a arctangentei și cu scăderea raportului. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Arătați că $\mathrm{arctg}1+\mathrm{arctg}2+\mathrm{arctg}3=\pi$.

Rezolvare. Lucrăm întâi cu ultimii doi termeni. Fie $u=\mathrm{arctg}2$ și $v=\mathrm{arctg}3$. Cum $2>1$ și $3>1$, iar arctangenta e strict crescătoare, avem $u,v\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$, deci

$$u+v\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right).$$

Calculăm tangenta sumei:

$$\mathrm{tg}(u+v)=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}=\frac{5}{-5}=-1.$$

Singurul număr din intervalul $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ cu tangenta $-1$ este $\frac{3\pi }{4}$, deci $u+v=\frac{3\pi }{4}$.

Adăugăm primul termen: $\mathrm{arctg}1+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$. $■$

Reține structura demonstrației, tipică la examen: (1) calculezi tangenta expresiei, (2) încadrezi expresia într-un interval de lungime $\pi$, (3) identifici valoarea unică din acel interval. Pasul (2) e cel care se uită și cel care se punctează.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Notează la fiecare exercițiu intervalul-imagine al funcției implicate — $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ pentru $\mathrm{arctg}$, $(0,\pi )$ pentru $\mathrm{arcctg}$ — și verifică dacă răspunsul tău se încadrează.

1. Calculează $\mathrm{arctg}1$, $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$, $\mathrm{arcctg}1$ și $\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Calculează $\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\mathrm{arcctg}\sqrt{3}$ fără a calcula separat termenii. Justifică.

3. Calculează $\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ și $\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, folosind proprietățile de simetrie.

4. Calculează $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}7)$ și $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}\right)$. Explică de ce ambele „se simplifică".

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $x$ din domeniul tangentei are loc $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$."

6. Calculează $\sin \left(\mathrm{arctg}\frac{3}{4}\right)$.

7. Calculează $\cos (\mathrm{arctg}(-2))$.

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{6}$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{arcctg}x=\frac{2\pi }{3}$.

10. Ordonează crescător numerele $\mathrm{arctg}5$, $\mathrm{arctg}(-3)$ și $\mathrm{arctg}0,5$, fără calculator. Ce proprietate ai folosit?

11. Demonstrează că $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$.

12. (Problemă aplicată.) Un indicator rutier anunță „pantă $100\%$". Ce unghi face drumul cu orizontala? Ce procent ar corespunde unei pante de $30^{\circ }$?

13. Calculează $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)$ și $\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$.

14. Calculează $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}2)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că $\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$.

16. Demonstrează identitatea $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$.

17. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{arctg}x=\mathrm{arcctg}x$.

18. (Provocare.) Arătați că $2\mathrm{arctg}\frac{1}{2}=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$; $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$; $\mathrm{arcctg}1=\frac{\pi }{4}$; $\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{3}$ (căci $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $\frac{\pi }{3}\in (0,\pi )$).

2. $\frac{\pi }{2}$, prin identitatea $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$, valabilă pentru orice număr real $a$ (domeniul ambelor funcții este $\mathbb{R}$).

3. $\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\pi }{6}$ (imparitate); $\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi -\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Control: $-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ ✓.

4. $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}7)=7$, pentru că $7$ este în domeniul lui $\mathrm{arctg}$, adică în $\mathbb{R}$ — această compunere e mereu validă. $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\pi }{5}$, pentru că $\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$, deci argumentul e deja în intervalul principal.

5. Fals. Egalitatea are loc doar pentru $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Contraexemplu: $x=\frac{2\pi }{3}$ este în domeniul tangentei, dar $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}\right)=\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}\ne \frac{2\pi }{3}$. Motivul: imaginea arctangentei este $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci nu poate returna $\frac{2\pi }{3}$.

6. Cu $a=\frac{3}{4}$: $\sqrt{1+a^2}=\frac{5}{4}$, deci $\sin \left(\mathrm{arctg}\frac{3}{4}\right)=\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$. (Triunghiul dreptunghic $3$–$4$–$5$.)

7. $\cos (\mathrm{arctg}(-2))=\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Rezultatul e pozitiv indiferent de semnul argumentului, pentru că $\mathrm{arctg}a$ se află mereu în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, unde cosinusul e strict pozitiv.

8. $x=\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ ✓. Deci $S=\left\{\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}$.

9. $x=\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $\frac{2\pi }{3}\in (0,\pi )$ ✓. Deci $S=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}$.

10. $\mathrm{arctg}(-3)<\mathrm{arctg}0,5<\mathrm{arctg}5$, prin stricta monotonie crescătoare a arctangentei: ordinea $-3<0,5<5$ se transmite valorilor. Niciun calcul nu a fost necesar. (Orientativ, valorile sunt $\approx -1,249$, $\approx 0,464$ și $\approx 1,373$ — toate în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\approx (-1,571;1,571)$, cum trebuie.)

11. Fie $\beta =\mathrm{arcctg}a$, deci $\mathrm{ctg}\beta =a$ și $\beta \in (0,\pi )$. Numărul $\pi -\beta$ verifică ambele condiții pentru valoarea $-a$: aparține lui $(0,\pi )$ (din $0<\beta <\pi$ rezultă $0<\pi -\beta <\pi$) și $\mathrm{ctg}(\pi -\beta )=-\mathrm{ctg}\beta =-a$. Prin unicitatea din definiție, $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\beta$. $■$

12. Panta de $100\%$ înseamnă $\mathrm{tg}\alpha =1$, deci $\alpha =\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$. (Un drum care urcă un metru la fiecare metru parcurs pe orizontală.) Invers, pentru $30^{\circ }$ avem $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$, adică o pantă de aproximativ $57,7\%$ — enormă pentru un drum public, unde limitele obișnuite sunt sub $12\%$.

13. $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\pi }{6}$ (rapid: $\frac{5\pi }{6}-\pi =-\frac{\pi }{6}$, deja în intervalul principal). Apoi $\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$, deci $\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)=\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$ — și aici $-\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4}$ ✓.

14. Fie $\beta =\mathrm{arcctg}2$, deci $\mathrm{ctg}\beta =2$. Cum $\mathrm{tg}\beta =\frac{1}{\mathrm{ctg}\beta }$ (valabil aici, fiindcă $\beta \in (0,\pi )$ și $\mathrm{ctg}\beta =2\ne 0$), rezultă $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}2)=\frac{1}{2}$.

15. Fie $u=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}$ și $v=\mathrm{arctg}\frac{1}{3}$. Din $\frac{1}{2}<1$ și $\frac{1}{3}<1$ și din stricta creștere a arctangentei, $u,v\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$, deci $u+v\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Formula tangentei sumei dă

$$\mathrm{tg}(u+v)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1.$$

Unicul număr din $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $1$ este $\frac{\pi }{4}$, deci $u+v=\frac{\pi }{4}$. $■$

16. Fie $\alpha =\mathrm{arctg}a$, deci $\mathrm{tg}\alpha =a$ și $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Numărul $\frac{\pi }{2}-\alpha$ aparține lui $(0,\pi )$ și are $\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\mathrm{tg}\alpha =a$. Prin unicitate, $\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}-\alpha$, adică $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$. $■$

17. Fie $t$ valoarea comună. Din identitate, $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$, deci $2t=\frac{\pi }{2}$ și $t=\frac{\pi }{4}$. Atunci $x=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$. Verificare: $\mathrm{arctg}1=\mathrm{arcctg}1=\frac{\pi }{4}$ ✓. Deci $S=\{1\}$.

18. Fie $u=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}$. Din $0<\frac{1}{2}<1$ rezultă $u\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$, deci $2u\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Aplicăm formula tangentei sumei cu $a=b=\frac{1}{2}$:

$$\mathrm{tg}(2u)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}.$$

Cum $2u$ se află în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, adică în intervalul principal al tangentei, iar $\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$ este unicul număr de acolo cu tangenta $\frac{4}{3}$, obținem $2u=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$. $■$

(Control numeric: $2\cdot 0,46365=0,92730$ și $\mathrm{arctg}\frac{4}{3}\approx 0,92730$ ✓.)

De reținut

• Restricțiile principale: $\mathrm{tg}$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ (strict crescătoare), $\mathrm{ctg}$ pe $(0,\pi )$ (strict descrescătoare). Ambele sunt bijective spre $\mathbb{R}$, de aceea inversele lor au domeniul $\mathbb{R}$.
• Definiții: $\mathrm{arctg}a$ este unicul număr din $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $a$; $\mathrm{arcctg}a$ este unicul număr din $(0,\pi )$ cu cotangenta $a$. Nicio restricție asupra lui $a$.
• $\mathrm{arctg}$ este strict crescătoare, impară și mărginită, cu asimptotele orizontale $y=\pm \frac{\pi }{2}$; $\mathrm{arcctg}$ este strict descrescătoare, cu valori mereu în $(0,\pi )$ și $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$.
• Identitatea de aur: $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a$ real; pentru $a>0$, și $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arctg}\frac{1}{a}=\frac{\pi }{2}$.
• Compuneri: $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a$ mereu, dar $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$ doar pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. În plus, $\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ și $\sin (\mathrm{arctg}a)=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$.

Greșeli frecvente

• Uitarea încadrării la suma a două arctangente. Din $\mathrm{tg}(u+v)=\frac{a+b}{1-ab}$ se sare direct la $u+v=\mathrm{arctg}\frac{a+b}{1-ab}$, fără a verifica intervalul. La $\mathrm{arctg}2+\mathrm{arctg}3$ această scurtătură dă $-\frac{\pi }{4}$ în loc de $\frac{3\pi }{4}$ — o eroare de $\pi$.
• Rezultat negativ la arccotangentă. Se scrie $\mathrm{arcctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$, deși imaginea funcției este $(0,\pi )$. Corect: $\frac{3\pi }{4}$. Arccotangenta nu este impară.
• Simplificarea oarbă a compunerii. $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)$ nu este $\frac{5\pi }{6}$, ci $-\frac{\pi }{6}$. Redu întâi cu multipli de $\pi$ până cazi în intervalul principal.
• Impunerea unei condiții de existență inexistente. Se scrie „condiția $a\in [-1,1]$" și pentru $\mathrm{arctg}$, prin analogie cu $\arcsin$. Fals: domeniul arctangentei este tot $\mathbb{R}$; doar $\arcsin$ și $\arccos$ au domeniul $[-1,1]$.
• Semnul greșit la $\cos (\mathrm{arctg}a)$. Se pune minus când $a<0$. Dar $\mathrm{arctg}a$ e mereu în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, unde cosinusul e strict pozitiv, deci radicalul se ia întotdeauna cu plus.

Aplică acasă

1. Panta străzii tale. Pe o hartă topografică online (sau cu aplicația de alergare de pe telefon) găsește diferența de nivel și lungimea orizontală a unei străzi în pantă din cartierul tău. Calculează raportul și apoi unghiul cu tasta tan⁻¹ a calculatorului, setat pe grade. Compară cu limita legală pentru drumurile publice, de obicei $12\%$ — cât înseamnă asta în grade?

2. Tabelul-oglindă. Scrie într-un tabel valorile $\mathrm{arctg}a$ pentru $a\in \left\{-\sqrt{3},-1,-\frac{\sqrt{3}}{3},0,\frac{\sqrt{3}}{3},1,\sqrt{3}\right\}$ și, dedesubt, valorile $\mathrm{arcctg}a$ obținute prin scădere din $\frac{\pi }{2}$. Verifică apoi două-trei dintre ele direct din definiție. Ai construit singur al doilea tabel din primul.

3. Umbra la prânz. Măsoară într-o zi însorită înălțimea unui obiect vertical (un gard, un stâlp) și lungimea umbrei lui. Raportul înălțime/umbră este tangenta unghiului de înălțare a Soarelui; calculează unghiul cu $\mathrm{arctg}$. Repetă măsurătoarea peste două ore și observă cum unghiul scade odată cu creșterea umbrei — exact stricta monotonie a funcției.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează familia funcțiilor trigonometrice inverse cerute de programa de matematică-informatică. Ea nu adaugă un concept nou, ci repetă rețeta din lecția precedentă pe un caz cu specific propriu: aici restricțiile principale sunt intervale deschise, iar codomeniul este $\mathbb{R}$, ceea ce răstoarnă situația față de $\arcsin$ — domeniul inversei devine toată axa reală, iar imaginea devine mărginită. Din acest contrast se naște proprietatea vizuală cea mai memorabilă: graficul arctangentei are asimptote orizontale, primele pe care elevul le întâlnește la o funcție trigonometrică.

Întrebări bune de control: „Care este domeniul funcției $\mathrm{arctg}$?" (tot $\mathbb{R}$ — și de ce, spre deosebire de $\arcsin$); „Poate $\mathrm{arcctg}$ să dea un rezultat negativ?" (nu, imaginea e $(0,\pi )$); „De ce $\cos (\mathrm{arctg}a)$ e mereu pozitiv?"; „Ce trebuie verificat în plus după ce calculezi tangenta unei sume de arctangente?" (încadrarea sumei într-un interval de lungime $\pi$). Semne că a înțeles: nu confundă intervalele-imagine ale celor patru funcții inverse și nu aplică imparitatea la $\mathrm{arcctg}$.

La Bacalaureatul M1, arctangenta apare în primul rând ca limbaj obligatoriu pentru soluțiile ecuației $\mathrm{tg}x=a$ — subiect tratat imediat, la lecția despre ecuații trigonometrice elementare — și, ca exercițiu de sine stătător, în demonstrarea unor egalități de tipul celor din Exemplul 6 și exercițiile 15 și 18. Acestea din urmă se punctează pe raționament, nu pe calcul: baremul cere explicit justificarea încadrării în interval.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă arctg de a? Este unicul număr real din intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ a cărui tangentă este $a$. De exemplu $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, deși și $\frac{5\pi }{4}$ are tangenta $1$ — dar acesta din urmă nu e în intervalul principal, deci nu poate fi răspunsul funcției.

De ce domeniul lui arctg este tot R, iar al lui arcsin doar intervalul de la minus unu la unu? Pentru că imaginile funcțiilor de plecare sunt diferite. Sinusul ia valori doar în $[-1,1]$, deci inversa lui poate primi doar astfel de numere. Tangenta, în schimb, ia toate valorile reale pe o singură ramură, deci inversa ei acceptă orice număr real.

Care este imaginea funcției arccotangentă? Intervalul deschis $(0,\pi )$. Prin urmare $\mathrm{arcctg}$ nu returnează niciodată valori negative sau mai mari decât $\pi$, indiferent de semnul argumentului. De exemplu, $\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})=\frac{5\pi }{6}$.

Cât face arctg de tg de x? Este $x$ numai dacă $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. În rest, aduni sau scazi multipli de $\pi$ (perioada tangentei) până ajungi în acest interval. De exemplu, $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}-\pi =-\frac{\pi }{6}$.

Are graficul funcției arctangentă asimptote? Da, două asimptote orizontale: $y=\frac{\pi }{2}$ spre plus infinit și $y=-\frac{\pi }{2}$ spre minus infinit. Ele sunt oglinda, față de prima bisectoare, a asimptotelor verticale $x=\pm \frac{\pi }{2}$ ale tangentei. Valorile se apropie oricât de mult de aceste drepte, dar nu le ating niciodată.

Cum calculez sinusul unei arctangente fără calculator? Cu formula $\sin (\mathrm{arctg}a)=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$. Justificarea rapidă: $\mathrm{arctg}a$ este unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic cu catetele $a$ și $1$, deci ipotenuza este $\sqrt{1+a^2}$, iar sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză.

Cum demonstrez că arctg de 1 supra 2 plus arctg de 1 supra 3 este pi supra patru? În doi pași. Întâi calculezi tangenta sumei cu formula $\frac{a+b}{1-ab}$ și obții $1$. Apoi arăți că suma se află în intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ — fiindcă fiecare termen e mai mic decât $\frac{\pi }{4}$ — și conchizi că suma este $\frac{\pi }{4}$, singurul număr de acolo cu tangenta $1$. Pasul al doilea este obligatoriu.

Ce legătură este între arctg și arcsin? Una directă: $\mathrm{arctg}a=\arcsin \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$, pentru orice $a$ real. Se obține chiar din formula sinusului unei arctangente, aplicând $\arcsin$ ambilor membri — legitim, pentru că $\mathrm{arctg}a$ este în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, exact intervalul principal al sinusului.