Unghiul a două drepte

Un acoperiș în două ape, două străzi care se întâlnesc într-o intersecție, două brațe ale unei macarale: de fiecare dată, întrebarea practică nu este „unde se taie", ci „sub ce unghi". Un raportor pus pe desen dă un răspuns aproximativ și doar acolo unde figura chiar există, la scară. Când dreptele sunt date prin ecuații — iar în geometria analitică asta e situația obișnuită — răspunsul trebuie să vină din numere.

Vestea bună este că avem deja tot ce ne trebuie. Panta unei drepte este, prin definiție, tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă $Ox$. Dacă fiecare dintre cele două drepte îți spune, prin panta ei, cât de înclinată este față de aceeași axă, atunci diferența înclinărilor este chiar unghiul dintre ele — iar tangenta acestei diferențe se calculează cu o formulă de trigonometrie pe care o cunoști. Toată lecția se naște din această observație.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă, precis, unghiul a două drepte și de ce se alege dintre cele patru unghiuri formate cel ascuțit.
• Vei ști să deduci formula $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|$ și să o aplici.
• Vei ști să recunoști cazurile în care formula nu se poate scrie: drepte perpendiculare și drepte verticale.
• Vei ști să calculezi unghiul dintre o verticală și o dreaptă oarecare.
• Vei ști să exprimi rezultatul prin valori remarcabile sau prin $\mathrm{arctg}$.
• Vei ști să afli unghiurile unui triunghi cunoscând coordonatele vârfurilor.

Hai să descoperim împreună

1. Unghiul unei drepte cu axa $Ox$

Fie $d$ o dreaptă. Unghiul pe care ea îl face cu semiaxa pozitivă $Ox$, măsurat în sens trigonometric, se notează $\alpha$ și se ia în intervalul $[0^{\circ },180^{\circ })$. Legătura cu panta este definiția însăși:

$$m=\mathrm{tg}\alpha ,\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })\setminus \{90^{\circ }\}.$$

Câteva repere pe care merită să le ai în minte: $\alpha =0^{\circ }$ dă $m=0$ (dreaptă orizontală); $\alpha =45^{\circ }$ dă $m=1$; $\alpha =60^{\circ }$ dă $m=\sqrt{3}$; $\alpha =135^{\circ }$ dă $m=-1$; iar $\alpha =90^{\circ }$ este singura valoare exclusă, pentru că acolo tangenta nu există — dreapta e verticală și nu are pantă. Valorile tangentei pentru unghiurile de bază le găsești în lecția despre formulele pentru tangentă, studiată în clasa a IX-a.

Observă un lucru care se va dovedi util: pantele pozitive corespund unghiurilor ascuțite ($\alpha <90^{\circ }$), iar pantele negative unghiurilor obtuze ($\alpha >90^{\circ }$). O dreaptă de pantă $-1$ face cu axa $Ox$ un unghi de $135^{\circ }$, nu de $-45^{\circ }$ — unghiul se măsoară mereu în sens trigonometric, dinspre semiaxa pozitivă.

Cum afli, practic, unghiul $\alpha$ dintr-o pantă dată. Dacă $m>0$, unghiul este direct $\alpha =\mathrm{arctg}m$, pentru că arctangenta întoarce valori din primul cadran. Dacă $m<0$, arctangenta întoarce un număr negativ, care nu se află în intervalul convenit; unghiul căutat se obține adunând $180^{\circ }$. Așa se explică valoarea de mai sus: pentru $m=-1$, $\mathrm{arctg}(-1)=-45^{\circ }$, iar $\alpha =-45^{\circ }+180^{\circ }=135^{\circ }$. Iar dacă $m=0$, atunci $\alpha =0^{\circ }$: dreapta e paralelă cu axa sau se confundă cu ea.

Merită apăsat pe faptul că $\alpha$ nu depinde de punctul ales pe dreaptă și nici de forma în care e scrisă ecuația. Două ecuații proporționale descriu aceeași dreaptă, deci aceeași pantă și același unghi; iar dacă parcurgi dreapta în celălalt sens, direcția rămâne aceeași — direcția unei drepte nu are „început" și „sfârșit". Din acest motiv unghiul dintre două drepte este bine definit, adică depinde numai de cele două drepte, nu de felul în care le-am scris.

2. Care este „unghiul a două drepte"?

Două drepte concurente formează patru unghiuri, două câte două opuse la vârf, deci egale, iar cele alăturate sunt suplementare: dacă unul măsoară $\theta$, celălalt măsoară $180^{\circ }-\theta$. Ca răspunsul la întrebarea „sub ce unghi se taie?" să fie unul singur, se face o convenție:

Prin unghiul a două drepte se înțelege unghiul $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$, adică cel ascuțit dintre cele două valori (sau unghiul drept, când ele sunt egale).

Convenția acoperă și cazurile-limită: pentru drepte paralele sau confundate se ia $\theta =0^{\circ }$, iar pentru drepte perpendiculare $\theta =90^{\circ }$.

De ce tocmai unghiul ascuțit și nu celălalt? Pentru că el măsoară ceea ce ne interesează cu adevărat — cât de mult diferă direcțiile celor două drepte. Două drepte aproape paralele se taie sub un unghi mic, iar unghiul crește pe măsură ce direcțiile se depărtează, până la maximul de $90^{\circ }$, atins la perpendicularitate. Dincolo de $90^{\circ }$ nu se mai poate merge: unghiul ar începe să scadă la loc, iar aceeași pereche de direcții ar primi două numere diferite. Convenția face, așadar, ca unghiul a două drepte să fie o măsură a diferenței de direcție, cu valori de la $0^{\circ }$ la $90^{\circ }$, și nimic mai mult.

Pentru drepte paralele convenția are și un temei de continuitate: dacă rotești încet una dintre drepte până ajunge paralelă cu cealaltă, unghiul dintre ele scade spre zero, deci $0^{\circ }$ este singura valoare care se potrivește în capăt.

3. Formula tangentei unghiului

Fie $d_1$ și $d_2$ două drepte neverticale, care fac cu axa $Ox$ unghiurile ${\alpha }_1$ și ${\alpha }_2$, deci au pantele $m_1=\mathrm{tg}{\alpha }_1$ și $m_2=\mathrm{tg}{\alpha }_2$.

Cele patru unghiuri formate de drepte au măsurile $|{\alpha }_2-{\alpha }_1|$ și $180^{\circ }-|{\alpha }_2-{\alpha }_1|$, fiecare luată de două ori: privește triunghiul format de cele două drepte și de axa $Ox$ și folosește faptul că un unghi exterior este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente. Prin urmare, este de ajuns să calculăm tangenta diferenței ${\alpha }_2-{\alpha }_1$. Folosind formula tangentei unei diferențe, deja demonstrată în clasa a IX-a la formulele pentru sumă și diferență,

$$\mathrm{tg}({\alpha }_2-{\alpha }_1)=\frac{\mathrm{tg}{\alpha }_2-\mathrm{tg}{\alpha }_1}{1+\mathrm{tg}{\alpha }_2\mathrm{tg}{\alpha }_1}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}.$$

Dacă rezultatul este pozitiv, el este tangenta unghiului ascuțit dintre drepte, deci chiar $\mathrm{tg}\theta$; dacă este negativ, el este tangenta unghiului obtuz, iar unghiul ascuțit fiind suplementul acestuia, tangentele lor diferă doar prin semn. În ambele situații modulul rezolvă totul:

$$\boxed{\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|,\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }],1+m_1{m}_2\ne 0.}$$

Merită urmărit, pe îndelete, de ce modulul este exact ceea ce trebuie. Formula tangentei diferenței dă un număr cu semn, iar semnul lui spune doar care dintre cele două unghiuri alăturate a ieșit din calcul: pozitiv pentru cel ascuțit, negativ pentru cel obtuz. Cum însă cele două sunt suplementare, iar tangentele unghiurilor suplementare sunt opuse, modulul le aduce pe amândouă la aceeași valoare — chiar tangenta unghiului ascuțit. Tot modulul face ca rezultatul să nu depindă de ordinea în care numerotăm dreptele: schimbând între ele $d_1$ și $d_2$, fracția își schimbă semnul, dar modulul rămâne neatins.

Condiția $1+m_1{m}_2\ne 0$ nu e un detaliu. Ea spune exact că dreptele nu sunt perpendiculare: $1+m_1{m}_2=0$ înseamnă $m_1{m}_2=-1$, adică tocmai condiția de perpendicularitate. Iar acolo formula nici nu are ce să dea, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Prin urmare, primul pas al oricărei rezolvări este verificarea numitorului.

4. Cele trei citiri ale rezultatului

Când valoarea obținută este una remarcabilă — $1$, $\sqrt{3}$ sau $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — răspunsul se scrie în grade: $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, respectiv $30^{\circ }$. Când nu este, răspunsul corect este numărul obținut, iar unghiul se scrie cu funcția arctangentă: de pildă $\theta =\mathrm{arctg}2\approx 63,43^{\circ }$. Nu încerca să „rotunjești" către un unghi cunoscut: la Bacalaureat M1 se cere de obicei chiar tangenta unghiului, nu unghiul, tocmai pentru că prima este un număr exact.

Mărimea numărului obținut se poate citi și ea, ca un control de bun-simț. O tangentă apropiată de zero înseamnă drepte aproape paralele; una apropiată de $1$ înseamnă un unghi în jur de $45^{\circ }$; iar o tangentă foarte mare înseamnă drepte aproape perpendiculare, pentru că tangenta crește nemărginit când unghiul se apropie de $90^{\circ }$. Dacă la un exercițiu cu două drepte care, pe desen, se taie „lat", îți iese o tangentă de ordinul sutimilor, ai greșit undeva un semn.

5. Cazul verticalelor

Dacă una dintre drepte este verticală, formula nu se poate nici scrie: dreapta $x=k$ nu are pantă. Raționamentul cu unghiuri rămâne însă valabil, pentru că verticala face cu $Ox$ un unghi de $90^{\circ }$. Fie deci $d_1:x=k$ și $d_2$ o dreaptă de pantă $m$, cu unghiul $\alpha$ față de $Ox$. Atunci unghiul dintre ele este $|90^{\circ }-\alpha |$, iar

$$\mathrm{tg}\theta =|\mathrm{ctg}\alpha |=\frac{1}{|m|},m\ne 0,$$

folosind legătura dintre tangentă și cotangentă. Dacă $m=0$, adică $d_2$ este orizontală, cele două drepte sunt perpendiculare și $\theta =90^{\circ }$.

Relația se citește ușor și fără calcul, dacă te gândești la unghiuri complementare: dreapta $d_2$ face cu axa orizontală unghiul $\alpha$, iar verticala este perpendiculară pe axă, deci ce rămâne până la unghiul drept este exact unghiul dintre $d_2$ și verticală. Complementul unui unghi are drept tangentă cotangenta unghiului inițial, adică inversul tangentei lui — de aici apare $\frac{1}{|m|}$, fără nicio altă formulă de memorat.

Reține forma inversată: față de o verticală, o dreaptă lină face un unghi mare, iar una abruptă un unghi mic — exact pe dos față de cum se raportează la axa $Ox$. Verticala $x=2$ și dreapta $y=x+3$, de pantă $1$, fac între ele $45^{\circ }$; verticala și o dreaptă de pantă $\sqrt{3}$ fac $30^{\circ }$.

Dacă amândouă dreptele sunt verticale, ele sunt paralele și $\theta =0^{\circ }$.

6. Unghiul unei drepte cu axele de coordonate

Axele sunt și ele drepte, deci întrebarea are sens și pentru ele. Axa $Ox$ are ecuația $y=0$ și panta $0$, iar axa $Oy$ este verticala $x=0$.

• Unghiul cu $Ox$: cu $m_1=0$ formula dă $\mathrm{tg}\theta =|m_2|$. Aceasta este citirea corectă a legăturii dintre pantă și unghi: panta dă tangenta unghiului $\alpha$ măsurat în sens trigonometric, iar modulul ei dă tangenta unghiului ascuțit dintre dreaptă și axă.
• Unghiul cu $Oy$: din secțiunea precedentă, $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m_2|}$ pentru $m_2\ne 0$.

Cele două unghiuri sunt complementare, ceea ce se și vede: dacă una dintre tangente este $t$, cealaltă este $\frac{1}{t}$. O dreaptă de pantă $1$ face $45^{\circ }$ cu ambele axe — singurul caz în care se întâmplă asta.

7. Unghiurile unui triunghi dat prin coordonate

Cunoscând vârfurile $A$, $B$, $C$, unghiul din $A$ este unghiul dintre dreptele $AB$ și $AC$. Procedura are trei pași: calculezi pantele celor două laturi, verifici numitorul $1+m_1{m}_2$ și aplici formula. Repetând pentru celelalte două vârfuri obții toate unghiurile — iar dacă vrei un control, poți verifica pe cele găsite că suma măsurilor este $180^{\circ }$.

Un triunghi dat prin coordonate se lasă astfel „citit" complet, fără riglă și fără raportor: pantele laturilor dau unghiurile, egalitatea sau produsul lor dau paralelisme și perpendicularități, iar dacă una dintre laturi iese verticală se trece pe relația cu cotangenta din secțiunea precedentă. E util să începi întotdeauna prin a calcula cele trei pante și a le scrie una lângă alta: de multe ori se vede din prima că două dintre ele au produsul $-1$, deci triunghiul e dreptunghic, iar restul calculelor se scurtează considerabil.

Atenție la o subtilitate: formula dă unghiul dintre drepte, nu dintre semidrepte, deci rezultatul e mereu în $[0^{\circ },90^{\circ }]$. Dacă triunghiul are un unghi obtuz, calculul îți va da suplementul lui, iar tu trebuie să decizi din desen sau din semne care este situația. La un exercițiu de Bacalaureat M1 se cere aproape întotdeauna tangenta unui unghi ascuțit, așa că problema apare rar — dar merită știută.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un unghi remarcabil

Determinați unghiul dintre dreptele $d_1:y=\frac{1}{2}x+1$ și $d_2:y=3x-2$.

Rezolvare. Pantele sunt $m_1=\frac{1}{2}$ și $m_2=3$. Verificăm numitorul: $1+m_1{m}_2=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\ne 0$, deci dreptele nu sunt perpendiculare și formula se poate aplica:

$$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{3-\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{2}}\right|=\left|\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right|=1.$$

Cum $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$ și $\mathrm{tg}\theta =1$, rezultă $\theta =45^{\circ }$.

Exemplul 2 — Un unghi care se scrie cu arctangenta

Determinați unghiul dintre dreptele $d_1:x-y+2=0$ și $d_2:3x+y-1=0$.

Rezolvare. Din prima ecuație $y=x+2$, deci $m_1=1$; din a doua $y=-3x+1$, deci $m_2=-3$. Numitorul este $1+1\cdot (-3)=-2\ne 0$, deci

$$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{-3-1}{-2}\right|=|2|=2.$$

Valoarea $2$ nu este remarcabilă, deci răspunsul se scrie $\theta =\mathrm{arctg}2\approx 63,43^{\circ }$. Observă că tangenta este pozitivă, așa cum trebuie să fie pentru un unghi ascuțit — modulul are exact acest rol.

Exemplul 3 — Când formula nu se aplică

Determinați unghiul dintre dreptele $d_1:2x-y+3=0$ și $d_2:x+2y-4=0$.

Rezolvare. Avem $m_1=2$ și $m_2=-\frac{1}{2}$, deci $1+m_1{m}_2=1-1=0$: numitorul se anulează, iar formula nu se poate aplica. Anularea lui este însă ea însăși răspunsul, pentru că $m_1{m}_2=-1$ înseamnă că dreptele sunt perpendiculare. Deci $\theta =90^{\circ }$.

Control cu criteriul pe coeficienți: $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ ✓.

Exemplul 4 — O dreaptă verticală

Determinați unghiul dintre dreapta $d_1:x=2$ și fiecare dintre dreptele $d_2:y=x+3$, $d_3:3x-4y+1=0$ și $d_4:y=5$.

Rezolvare. Dreapta $d_1$ este verticală, deci nu are pantă și folosim $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$.

Pentru $d_2$, $m=1$, deci $\mathrm{tg}\theta =1$ și $\theta =45^{\circ }$. Pentru $d_3$, $m=\frac{3}{4}$, deci $\mathrm{tg}\theta =\frac{4}{3}$ și $\theta =\mathrm{arctg}\frac{4}{3}\approx 53,13^{\circ }$. Pentru $d_4$, panta este $0$: dreapta e orizontală, deci perpendiculară pe verticală, și $\theta =90^{\circ }$.

Observă cum se răstoarnă lucrurile: dreapta $d_3$, mai lină decât $d_2$, face cu verticala un unghi mai mare.

Exemplul 5 — Unghiuri de $60^{\circ }$ și de $30^{\circ }$

a) Determinați unghiul dintre axa $Ox$ și dreapta $d:y=x\sqrt{3}+1$. b) Determinați unghiul dintre dreptele $d_1:y=x\sqrt{3}$ și $d_2:x-y\sqrt{3}+2=0$.

Rezolvare. a) Axa $Ox$ are panta $0$, iar $d$ are panta $\sqrt{3}$, deci $\mathrm{tg}\theta =|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$ și $\theta =60^{\circ }$. Se vede și direct din definiția pantei: $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$ dă $\alpha =60^{\circ }$.

b) Pantele sunt $m_1=\sqrt{3}$ și $m_2=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Numitorul este $1+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1+1=2\ne 0$, deci

$$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}}{2}\right|=\left|\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

adică $\theta =30^{\circ }$. Verificare prin unghiurile cu axa: prima dreaptă face $60^{\circ }$, a doua $30^{\circ }$, iar diferența lor este chiar $30^{\circ }$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(3,2)$ și $C(0,3)$. a) Scrieți ecuațiile dreptelor $AB$ și $AC$. b) Arătați că unghiul $A$ al triunghiului $ABC$ are măsura de $45^{\circ }$. c) Calculați tangenta unghiului dintre dreapta $BC$ și axa $Ox$.

Rezolvare. a) $m_{AB}=\frac{2-0}{3-(-1)}=\frac{1}{2}$, deci $y=\frac{1}{2}(x+1)$, adică $AB:x-2y+1=0$; verificare: $3-4+1=0$ ✓. Apoi $m_{AC}=\frac{3-0}{0-(-1)}=3$, deci $y=3(x+1)$, adică $AC:3x-y+3=0$; verificare: $0-3+3=0$ ✓.

b) Numitorul este $1+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{5}{2}\ne 0$, deci

$$\mathrm{tg}A=\left|\frac{3-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}\right|=1,$$

deci unghiul dintre dreptele $AB$ și $AC$ este de $45^{\circ }$. Cum abscisele lui $B$ și $C$ sunt amândouă mai mari decât abscisa lui $A$, semidreptele $AB$ și $AC$ pornesc din $A$ în același sens față de verticală, deci unghiul dintre ele este chiar cel dintre drepte: $A=45^{\circ }$.

c) $m_{BC}=\frac{3-2}{0-3}=-\frac{1}{3}$, iar axa $Ox$ are panta $0$, deci tangenta unghiului dintre ele este $\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$. Așadar unghiul este $\mathrm{arctg}\frac{1}{3}\approx 18,43^{\circ }$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi pantele, apoi verifică numitorul $1+m_1{m}_2$ și abia după aceea aplică formula.

1. Calculează tangenta unghiului dintre dreptele $y=2x$ și $y=-3x$.

2. Calculează tangenta unghiului dintre dreptele de pante $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{2}$.

3. Determină unghiul dintre dreapta $y=x$ și axa $Ox$.

4. Determină unghiul dintre dreptele $y=x$ și $y=-x$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă tangenta unghiului dintre două drepte este $0$, atunci dreptele sunt paralele sau confundate."

6. Determină unghiul dintre dreptele $x+y-2=0$ și $x=1$.

7. Determină unghiul dintre dreapta $y=x-4$ și axa $Oy$.

8. Calculează tangenta unghiului dintre dreptele $3x-4y+1=0$ și $x=2$.

9. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât unghiul dintre dreapta $y=mx$ și axa $Ox$ să fie de $60^{\circ }$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula tangentei unghiului a două drepte se poate aplica oricăror două drepte concurente."

11. Calculează tangenta unghiului dintre dreptele $2x-y+1=0$ și $x+3y-2=0$.

12. (Problemă aplicată.) Două tronsoane de șosea sunt reprezentate de dreptele $x-5y+10=0$ și $3x-2y-6=0$. Sub ce unghi se întâlnesc?

13. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât dreptele $y=mx+1$ și $y=2x-3$ să formeze un unghi de $90^{\circ }$.

14. În triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(4,0)$ și $C(0,4)$, calculează tangenta unghiului $B$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră dreptele $d_1:x+y-3=0$ și $d_2:x-2y+3=0$. a) Determină coordonatele punctului $P$ de intersecție. b) Calculează tangenta unghiului dintre $d_1$ și $d_2$. c) Determină toate dreptele care trec prin $P$ și fac un unghi de $45^{\circ }$ cu $d_1$.

16. Determină unghiul dintre dreptele $x=-1$ și $y=7$.

17. Calculează tangenta unghiului dintre dreptele $y=3x+1$ și $y=3x-5$ și interpretează rezultatul.

18. (Provocare.) Fie $d$ o dreaptă de pantă $m$, cu $m\ne \pm 1$. Arată că dreptele care fac cu $d$ un unghi de $45^{\circ }$ au pantele $\frac{m+1}{1-m}$ și $\frac{m-1}{1+m}$.

Răspunsuri și explicații

1. $1+2\cdot (-3)=-5\ne 0$, deci $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{-3-2}{-5}\right|=1$, adică $\theta =45^{\circ }$.

2. $1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\ne 0$, deci $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{7}{6}}\right|=\frac{1/6}{7/6}=\frac{1}{7}$. Unghiul este $\mathrm{arctg}\frac{1}{7}\approx 8,13^{\circ }$ — dreptele sunt aproape paralele.

3. Panta este $1$, deci $\mathrm{tg}\theta =1$ și $\theta =45^{\circ }$.

4. $m_1{m}_2=-1$, deci numitorul se anulează: dreptele sunt perpendiculare, $\theta =90^{\circ }$.

5. Adevărat. $\mathrm{tg}\theta =0$ cere $m_2=m_1$, adică pante egale, ceea ce înseamnă drepte paralele sau confundate; în ambele cazuri $\theta =0^{\circ }$.

6. Dreapta $x=1$ este verticală, iar cealaltă are panta $-1$, deci $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|-1|}=1$ și $\theta =45^{\circ }$.

7. Dreapta are panta $1$, iar axa $Oy$ este verticală, deci $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{1}=1$ și $\theta =45^{\circ }$. (Este singura pantă pentru care unghiurile cu cele două axe sunt egale.)

8. Panta primei drepte este $\frac{3}{4}$, iar a doua e verticală, deci $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}$.

9. Unghiul dintre dreaptă și axă are tangenta $|m|$, iar $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$, deci $|m|=\sqrt{3}$ și $m\in \{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$. (Pentru $m=\sqrt{3}$ dreapta face cu $Ox$ unghiul $60^{\circ }$, iar pentru $m=-\sqrt{3}$ unghiul $120^{\circ }$ — dar unghiul dintre drepte este $60^{\circ }$ în ambele cazuri.)

10. Fals. Formula cere ca ambele drepte să aibă pantă (deci niciuna verticală) și ca numitorul $1+m_1{m}_2$ să fie nenul (deci dreptele să nu fie perpendiculare). Ambele situații apar frecvent.

11. $m_1=2$, $m_2=-\frac{1}{3}$, iar $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\ne 0$, deci $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{-\frac{1}{3}-2}{\frac{1}{3}}\right|=\left|\frac{-7/3}{1/3}\right|=7$.

12. Pantele sunt $\frac{1}{5}$ și $\frac{3}{2}$, iar $1+\frac{3}{10}=\frac{13}{10}\ne 0$, deci $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{5}}{\frac{13}{10}}\right|=\frac{13/10}{13/10}=1$. Cele două tronsoane se întâlnesc sub un unghi de $45^{\circ }$.

13. Unghi de $90^{\circ }$ înseamnă perpendicularitate, deci $2m=-1$ și $m=-\frac{1}{2}$.

14. Latura $BA$ este pe axa $Ox$ (pantă $0$), iar $m_{BC}=\frac{4-0}{0-4}=-1$, deci $\mathrm{tg}B=|-1|=1$ și $B=45^{\circ }$.

15. a) Din $x+y=3$ și $x-2y=-3$, scăzând, $3y=6$, deci $y=2$ și $x=1$: $P(1,2)$; verificare: $1+2-3=0$ ✓ și $1-4+3=0$ ✓. b) $m_1=-1$, $m_2=\frac{1}{2}$, iar $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne 0$, deci $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}}\right|=3$. c) Căutăm dreptele prin $P$ cu $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$. Pentru o dreaptă de pantă $m$: $\left|\frac{m+1}{1-m}\right|=1$ dă $m+1=1-m$, deci $m=0$ (dreapta $y=2$), cealaltă posibilitate ducând la $1=-1$, imposibil. Rămâne de cercetat verticala prin $P$, pentru care formula nu se aplică: $x=1$ face cu $d_1$ (de pantă $-1$, deci unghi de $135^{\circ }$ cu $Ox$) un unghi de $45^{\circ }$ ✓. Răspuns: dreptele $y=2$ și $x=1$.

16. Prima este verticală, a doua orizontală, deci sunt perpendiculare: $\theta =90^{\circ }$.

17. Pantele sunt egale, deci $\mathrm{tg}\theta =0$ și $\theta =0^{\circ }$: dreptele sunt paralele. Sunt distincte, pentru că termenii liberi diferă.

18. Fie $m^{\prime }$ panta unei astfel de drepte. Condiția este $\left|\frac{m^{\prime }-m}{1+m{m}^{\prime }}\right|=1$, adică $m^{\prime }-m=1+m{m}^{\prime }$ sau $m^{\prime }-m=-(1+m{m}^{\prime })$. Din prima: $m^{\prime }(1-m)=1+m$, deci $m^{\prime }=\frac{m+1}{1-m}$. Din a doua: $m^{\prime }(1+m)=m-1$, deci $m^{\prime }=\frac{m-1}{1+m}$. Cele două pante sunt distincte, iar produsul lor este $-1$: cele două drepte care fac $45^{\circ }$ cu $d$ sunt perpendiculare între ele — firesc, pentru că fiecare e simetrica celeilalte față de $d$.

De reținut

• Panta este tangenta unghiului cu $Ox$: $m=\mathrm{tg}\alpha$, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$; verticala, cu $\alpha =90^{\circ }$, nu are pantă.
• Unghiul a două drepte este, prin convenție, cel ascuțit (sau drept): $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$.
• Formula: $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|$, valabilă pentru drepte neverticale și neperpendiculare.
• Numitorul nul înseamnă perpendicularitate: $1+m_1{m}_2=0$ dă direct $\theta =90^{\circ }$, fără alt calcul.
• Față de o verticală: $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$ pentru $m\ne 0$, iar pentru $m=0$ unghiul este drept.

Greșeli frecvente

• Aplicarea formulei fără verificarea numitorului. Dacă $1+m_1{m}_2=0$, împărțirea la zero nu are sens; răspunsul este $\theta =90^{\circ }$ și se scrie ca atare.
• Uitarea modulului. Fără el poți obține o „tangentă negativă", deci un unghi obtuz, care nu respectă convenția $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$.
• Confuzia dintre unghiul cu axa și unghiul dintre drepte. O dreaptă de pantă $-1$ face cu $Ox$ unghiul $\alpha =135^{\circ }$, dar unghiul dintre dreaptă și axă este $45^{\circ }$.
• Încercarea de a folosi formula pentru o verticală. Dreapta $x=k$ nu are pantă; se trece la relația cu cotangenta sau se spune direct că verticala e perpendiculară pe orizontale.
• Rotunjirea unui unghi nestandard. Dacă $\mathrm{tg}\theta =2$, răspunsul este $\mathrm{arctg}2$, nu „aproximativ $60^{\circ }$". Valoarea exactă cerută în barem este de obicei chiar tangenta.

Aplică acasă

1. Raportorul și formula. Desenează pe hârtie milimetrică două drepte care trec prin puncte cu coordonate întregi, măsoară unghiul dintre ele cu raportorul, apoi calculează-l cu formula. Compară cele două valori și estimează eroarea măsurătorii.

2. Acoperișul. Caută înclinația recomandată pentru un acoperiș din zona ta (se dă adesea în procente sau în grade) și transform-o în pantă. Calculează apoi unghiul dintre cele două ape ale acoperișului, știind că sunt simetrice față de verticală.

3. Colecția de unghiuri remarcabile. Construiește câte o pereche de drepte care fac între ele exact $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$, pornind de la pantele $0$, $1$, $\sqrt{3}$ și $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Verifică fiecare pereche cu formula.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide grupul de noțiuni legate de direcția unei drepte: pantă, paralelism, perpendicularitate, unghi. Ideea de bază este simplă — unghiul dintre drepte este diferența înclinărilor față de aceeași axă — iar formula nu e decât formula tangentei unei diferențe, scrisă cu pante. Elevii care au înțeles acest lucru nu mai au ce memora.

De verificat în caiet: (1) pantele sunt calculate corect, din forma potrivită a ecuației; (2) numitorul $1+m_1{m}_2$ este verificat înainte de a se aplica formula; (3) modulul este scris; (4) cazul verticalei este tratat separat, cu relația $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$; (5) rezultatul este dat exact, cu $\mathrm{arctg}$ acolo unde nu iese un unghi remarcabil.

Întrebări de control: „Ce înseamnă că numitorul e zero?", „Care e unghiul dintre o verticală și o orizontală?", „Dacă tangenta unghiului e $0$, ce sunt dreptele?". Semn că a înțeles: privind două pante, spune imediat dacă unghiul este $0^{\circ }$, $90^{\circ }$ sau ceva între ele, înainte de orice calcul.

La BAC M1, cerința tipică este „calculați tangenta unghiului dintre dreptele…" sau „arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic", ultima rezolvându-se tocmai prin anularea numitorului. Numerele sunt alese ca tangenta să iasă rațională.

Întrebări frecvente

Cum se calculează unghiul dintre două drepte? Cu formula $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|$, unde $m_1$ și $m_2$ sunt pantele celor două drepte. Rezultatul este tangenta unghiului ascuțit dintre ele, iar unghiul se scrie cu $\mathrm{arctg}$ atunci când valoarea nu este remarcabilă.

De ce se ia modulul în formulă? Pentru că, dintre cele patru unghiuri formate de două drepte concurente, se alege prin convenție cel ascuțit. Fără modul, formula ar putea da tangenta unghiului obtuz, adică un număr negativ.

Ce fac dacă numitorul $1+m_1{m}_2$ este zero? Nu aplici formula. Anularea numitorului înseamnă $m_1{m}_2=-1$, adică dreptele sunt perpendiculare, deci unghiul este de $90^{\circ }$.

Cum calculez unghiul dintre o dreaptă verticală și una oblică? Verticala face $90^{\circ }$ cu axa $Ox$, deci unghiul căutat este complementul unghiului dintre dreapta oblică și axă: $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$. Dacă dreapta oblică este de fapt orizontală, unghiul este drept.

Ce unghi face o dreaptă cu axa $Ox$? Unghiul $\alpha$ pentru care $\mathrm{tg}\alpha =m$, măsurat în sens trigonometric de la semiaxa pozitivă. Pentru pante pozitive el este ascuțit, pentru pante negative este obtuz, iar unghiul dintre dreaptă și axă este întotdeauna $\mathrm{arctg}|m|$.

Cum aflu unghiurile unui triunghi dacă știu coordonatele vârfurilor? Calculezi pantele laturilor și aplici formula pentru fiecare pereche de laturi care pleacă din același vârf. Un control util este că suma măsurilor celor trei unghiuri trebuie să fie $180^{\circ }$.

Când iese un unghi „frumos"? Când tangenta obținută este $1$ (unghi de $45^{\circ }$), $\sqrt{3}$ (unghi de $60^{\circ }$) sau $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (unghi de $30^{\circ }$). În rest, răspunsul corect se scrie cu arctangenta și, dacă se cere, se aproximează.

Ce se cere mai des la Bacalaureat M1: unghiul sau tangenta lui? Tangenta. Ea este un număr exact, obținut prin calcul algebric, în timp ce unghiul ar cere o aproximare. Enunțurile sunt formulate de obicei „calculați tangenta unghiului dintre dreptele…".