Polinoame în probleme de Bacalaureat M1: parametri, resturi, divizibilitate, rădăcini comune

Dacă deschizi zece variante de subiecte de Bacalaureat M1 din ultimii ani și te uiți numai la problema a doua din Subiectul al II-lea, observi ceva liniștitor: polinoamele de la clasa a 12-a apar acolo într-un număr mic de forme, care se repetă. Un parametru care trebuie determinat dintr-un rest dat. O condiție de divizibilitate. O rădăcină dublă. Două polinoame despre care se cere să aibă o rădăcină comună. O sumă de puteri ale rădăcinilor, cerută fără ca ecuația să poată fi rezolvată. Și, tot mai des în ultimii ani, aceleași întrebări puse peste ${\mathbb{Z}}_5$ sau ${\mathbb{Z}}_7$ în loc de $\mathbb{R}$. O problemă cu polinoame de la Bacalaureat M1 dă un polinom cu unul sau doi coeficienți necunoscuți și o informație despre comportarea lui — un rest, o divizibilitate, o rădăcină — pe care trebuie să o traduci într-o ecuație sau într-un sistem.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Ea nu introduce nicio noțiune nouă. Tot ce folosim aici e deja construit: împărțirea cu rest și teorema restului la împărțirea polinoamelor peste un corp, cel mai mare divizor comun la algoritmul lui Euclid pentru polinoame, criteriul rădăcinilor multiple la rădăcini multiple și derivata formală, descompunerile la polinoame ireductibile și descompunerea în factori. Ce facem acum este să transformăm aceste unelte în rețete de recunoscut dintr-o citire a enunțului, pentru că la examen nu ai timp să redescoperi metoda.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini parametrii unui polinom dintr-un rest impus la împărțirea cu un polinom de gradul întâi sau al doilea.
• Vei ști să traduci o condiție de divizibilitate într-un sistem de ecuații cu parametrii ca necunoscute.
• Vei ști să folosești derivata formală ca să impui unui polinom o rădăcină dublă sau triplă.
• Vei ști să decizi dacă două polinoame au rădăcini comune, fără să le rezolvi, cu algoritmul lui Euclid.
• Vei ști să calculezi sume simetrice de tipul $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ din relațiile lui Viète, fără să afli rădăcinile.
• Vei ști să pui aceleași întrebări peste ${\mathbb{Z}}_5$ și ${\mathbb{Z}}_7$, unde verificarea tuturor claselor este o metodă legitimă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, de fapt, într-o problemă cu polinoame la Bacalaureat M1?

Problema cu polinoame de la Bacalaureat M1 este, aproape întotdeauna, o cerință în care se dă un polinom cu unul sau doi coeficienți necunoscuți și o informație despre comportarea lui — un rest, o divizibilitate, o rădăcină, o sumă de rădăcini — iar sarcina ta este să traduci acea informație într-o ecuație sau într-un sistem și să-l rezolvi. Aceasta este definiția practică a tipului, și ea explică de ce metoda contează mai mult decât calculul.

Observația care schimbă totul e că informația din enunț se traduce mereu în valori ale polinomului sau ale derivatei lui în puncte precise. Restul la $X-a$ este $f(a)$. Divizibilitatea cu $X-a$ înseamnă $f(a)=0$. Divizibilitatea cu $X^2-1$ înseamnă $f(1)=f(-1)=0$, pentru că $X^2-1=(X-1)(X+1)$. Rădăcina dublă în $a$ înseamnă $f(a)=f^{\prime }(a)=0$. Fiecare condiție dă o ecuație; două condiții dau un sistem de două ecuații cu doi parametri.

De aceea, prima mișcare într-o astfel de problemă nu este niciodată împărțirea efectivă. Prima mișcare este întrebarea: în ce puncte îmi cere enunțul, de fapt, să evaluez?

Tabelul acesta este trusa întregii lecții. Restul e antrenament. Două rânduri au nevoie de o precizare, pe care o vei găsi argumentată mai jos: criteriul cu derivata a doua ține numai peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ — peste ${\mathbb{Z}}_p$ ordinul exact se stabilește prin împărțiri repetate, așa cum arată lecția rădăcini multiple și derivata formală — iar rândul despre rădăcinile comune cere, pe lângă gradul divizorului comun, ca acesta să aibă el însuși rădăcini în corpul din enunț.

2. Cum determini un parametru dintr-un rest dat?

Teorema restului spune că restul împărțirii polinomului $f$ la $X-a$ este chiar $f(a)$. Ea este unealta pe care ai folosit-o la teorema restului din clasa a X-a și care rămâne valabilă peste orice corp comutativ $K$, cu aceeași demonstrație. Consecința practică: dacă enunțul îți dă restul, îți dă de fapt o valoare a polinomului, deci o ecuație în parametri.

Cu doi parametri ai nevoie de două informații. Forma clasică a enunțului este „restul împărțirii lui $f$ la $X-1$ este $3$, iar restul împărțirii la $X+1$ este $-5$". Ea îți dă $f(1)=3$ și $f(-1)=-5$, adică un sistem liniar de două ecuații.

Când împărțitorul are gradul al doilea, restul are gradul cel mult $1$, deci se scrie $r=cX+d$ cu două necunoscute. Dacă împărțitorul se descompune în factori de gradul întâi distincți, $g=(X-a)(X-b)$ cu $a\ne b$, atunci din $f=g\cdot q+r$ obții direct $$r(a)=f(a),r(b)=f(b),$$ adică tot un sistem liniar în $c$ și $d$. Metoda aceasta e mult mai rapidă decât împărțirea efectivă și e cea așteptată la examen.

Când împărțitorul este $X^2+1$, rădăcinile lui nu sunt reale, ci $i$ și $-i$ — numerele complexe pe care le-ai studiat în clasa a X-a. Nimic nu se schimbă: se scrie $r=cX+d$ și se impune $r(i)=f(i)$. Din egalitatea a două numere complexe se citesc două ecuații reale, partea reală și partea imaginară.

3. Divizibilitatea ca sistem de ecuații

Divizibilitatea este cazul particular al restului în care restul este nul, dar merită tratată separat pentru că apare cel mai des. Regula de traducere este scurtă: un polinom se divide cu un produs de factori de gradul întâi, distincți, dacă și numai dacă se anulează în fiecare rădăcină a acelui produs.

Cel mai frecvent împărțitor din subiecte este $X^2-1$. Cum $X^2-1=(X-1)(X+1)$ și cele două rădăcini $1$ și $-1$ sunt distincte, condiția devine sistemul $f(1)=0$, $f(-1)=0$. Atenție însă la o ipoteză ascunsă: cele două rădăcini sunt distincte numai dacă $1\ne -1$ în corpul în care lucrăm. Peste $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ impar, totul e în regulă. Peste ${\mathbb{Z}}_2$ însă $\hat{1}=-\hat{1}$, iar $X^2-\hat{1}=(X+\hat{1}{)}^2$ — un pătrat, nu un produs de factori distincți. Acolo criteriul cu două valori se prăbușește și trebuie folosit criteriul cu derivata formală.

Când împărțitorul este $(X-a{)}^2$, factorii nu mai sunt distincți, iar o singură egalitate $f(a)=0$ nu ajunge. A doua condiție vine din derivata formală și e subiectul subsecțiunii următoare.

4. Când are un polinom o rădăcină multiplă?

Criteriul fixat la lecția despre rădăcini multiple și derivata formală este: elementul $a\in K$ este rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$, unde $f^{\prime }$ este derivata formală, definită algebric, termen cu termen, prin $(X^n{)}^{\prime }=n{X}^{n-1}$.

Tipul de problemă care se construiește pe el arată așa: se dă $f=X^3-3X^2+m$ și se cere $m$ real astfel încât $f$ să aibă o rădăcină dublă. Ideea de rezolvare este inversarea ordinii: nu căutăm întâi rădăcina și apoi $m$, ci pornim de la derivată, care nu depinde de $m$. Avem $f^{\prime }=3X^2-6X=3X(X-2)$, deci singurii candidați la rădăcină multiplă sunt $0$ și $2$. Punem apoi fiecare candidat în $f(a)=0$ și citim $m$: din $f(0)=m=0$ obținem $m=0$, din $f(2)=8-12+m=0$ obținem $m=4$.

Merită văzut și de ce ordinea aceasta e obligatorie: derivata unui polinom cu parametru în termenul liber nu conține parametrul, deci ecuația $f^{\prime }(x)=0$ se rezolvă complet, o dată pentru totdeauna. Dacă parametrul stă într-un termen de grad mai mare, derivata îl păstrează și atunci sistemul $f(a)=f^{\prime }(a)=0$ se rezolvă ca sistem, prin eliminare.

O precizare de care depinde corectitudinea răspunsului: criteriul $f(a)=f^{\prime }(a)=0$ spune că $a$ e rădăcină de ordin cel puțin doi. Dacă vrei să știi ordinul exact, împarți efectiv și te uiți dacă $(X-a{)}^3$ mai divide. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ verificarea prin împărțire e obligatorie, pentru că acolo derivata formală se poate anula din motive de caracteristică, nu de multiplicitate.

5. Rădăcini comune: algoritmul lui Euclid ca detector

Două polinoame $f$ și $g$ au o rădăcină comună într-un corp $K$ dacă și numai dacă $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ are gradul cel puțin $1$ și acel divizor comun are rădăcini în $K$. Formularea completă contează: peste $\mathbb{R}$, polinoamele $X^2+1$ și $X^4-1$ au divizorul comun $X^2+1$, deci gradul cmmdc-ului e $2$, dar rădăcinile comune sunt $i$ și $-i$, care nu sunt reale.

Metoda de lucru se alege după enunț:

• Dacă unul dintre polinoame se rezolvă ușor, îi afli rădăcinile și le înlocuiești, pe rând, în celălalt. Aceasta e calea cea mai scurtă când unul dintre polinoame e de gradul al doilea și are rădăcini raționale evidente. Fiecare rădăcină înlocuită dă o ecuație în parametru; răspunsul e reuniunea soluțiilor.
• Dacă niciunul nu se rezolvă ușor, aplici algoritmul lui Euclid: împarți $f$ la $g$, apoi $g$ la primul rest, apoi restul precedent la ultimul rest, până când restul devine nul. Ultimul rest nenul, făcut monic, este cel mai mare divizor comun.

Algoritmul lui Euclid are un avantaj pe care metoda rădăcinilor nu-l are: el funcționează identic peste orice corp și nu cere să știi rezolva ecuațiile. La examen, o cerință de tipul „arătați că $f$ și $g$ nu au rădăcini comune" se rezolvă cel mai sigur arătând că $\mathrm{cmmdc}(f,g)=1$.

6. Sumele simetrice: ce afli fără să rezolvi ecuația

Relațiile lui Viète, pe care le-ai învățat pentru gradul al treilea la relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, leagă coeficienții de sumele simetrice ale rădăcinilor. Pentru $f=X^3+a{X}^2+bX+c$ cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$ într-un corp în care $f$ se descompune complet: $$S_1=x_1+x_2+x_3=-a,S_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b,S_3=x_1{x}_2{x}_3=-c.$$

De aici se calculează, prin identități, sumele de puteri. Cele trei formule pe care le folosește examenul, în această ordine: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2,\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3},x_1^3+x_2^3+x_3^3=S_1^3-3S_1{S}_2+3S_3.$$

Prima se obține ridicând $S_1$ la pătrat. A doua, aducând la același numitor. A treia se obține cel mai comod pe un drum diferit, care merită reținut ca metodă: fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_i^3=-a{x}_i^2-b{x}_i-c$; sumezi cele trei egalități și obții suma cuburilor din suma pătratelor și din $S_1$. Metoda aceasta se generalizează la orice putere și la orice grad, ceea ce cele trei formule memorate nu fac.

7. Ce se schimbă când polinomul are coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$ sau ${\mathbb{Z}}_7$?

Peste un corp ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim, toate teoremele de mai sus rămân în picioare — teorema restului, teorema lui Bézout, criteriul rădăcinilor multiple, algoritmul lui Euclid — pentru că demonstrațiile lor folosesc doar axiomele de corp. Se schimbă însă strategia, în trei feluri.

Întâi, corpul e finit, deci căutarea rădăcinilor prin verificarea tuturor claselor este o metodă completă și legitimă: pentru ${\mathbb{Z}}_5$ înseamnă cinci evaluări, pentru ${\mathbb{Z}}_7$ șapte. Nu e „încercare", e demonstrație prin epuizarea cazurilor, și așa trebuie și redactată. Numărul rădăcinilor rămâne mărginit de grad: teorema revendicată de lecția împărțirea polinoamelor peste un corp spune că un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte într-un corp. Ipoteza „corp" e esențială — în ${\mathbb{Z}}_8$, care nu e corp, polinomul $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini, $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$, și două descompuneri diferite, $(X-\hat{1})(X-\hat{7})$ și $(X-\hat{3})(X-\hat{5})$. De aceea modulul trebuie să fie prim.

Al doilea, împărțirile se fac cu inverse, nu cu fracții: pentru a împărți la $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_5$ înmulțești cu $\hat{2}$, pentru că $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}=\hat{1}$. E util să ai în minte tabelul inverselor din ${\mathbb{Z}}_5$: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$. Tot aici scurtează calculul egalitatea ${\hat{a}}^p=\hat{a}$, valabilă pentru orice clasă din ${\mathbb{Z}}_p$ și obținută din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: puterile mari se reduc înainte de a fi calculate.

Al treilea, descompunerile arată altfel. Reluăm aici — și în exercițiile $9$ și $10$ — polinomul-etalon fixat la rădăcini în ${\mathbb{Z}}_p$ și funcția polinomială, dar cu altă întrebare: acolo i s-au căutat rădăcinile într-un singur corp, aici se compară două corpuri. Polinomul $X^2+\hat{1}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$, pentru că niciuna dintre cele șapte clase nu îl anulează, dar peste ${\mathbb{Z}}_5$ el are rădăcinile $\hat{2}$ și $\hat{3}$ și se scrie $X^2+\hat{1}=(X+\hat{2})(X+\hat{3})$. Ireductibilitatea nu e o proprietate a polinomului, ci a perechii polinom–corp; e mesajul central al lecției despre polinoame ireductibile și descompunerea în factori.

8. Trusa de control înainte de a preda foaia

Cinci verificări scurte, care prind aproape toate greșelile de calcul:

• Împărțirea se verifică înmulțind înapoi: $f=g\cdot q+r$, cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$. Douăzeci de secunde de verificat, cinci puncte salvate.
• Parametrul găsit se pune în enunț și se reface condiția inițială. Dacă restul cerut era $3$, calculează $f(1)$ cu valoarea găsită și vezi dacă iese $3$.
• Numărul de soluții are sens? O condiție liniară în doi parametri dă o dreaptă de soluții, nu o soluție unică; dacă ai obținut o singură pereche dintr-o singură ecuație, ai pierdut ceva.
• Rădăcinile găsite se înlocuiesc în polinomul de plecare, nu doar în cel de la sfârșitul calculului.
• Peste ${\mathbb{Z}}_p$, rezultatul este o clasă, nu un întreg: se scrie $\hat{4}$, nu $4$, și se reduce în intervalul $\hat{0},\dots ,\widehat{p-1}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Doi parametri din două resturi, apoi restul la un împărțitor de gradul al doilea

Fie $f=X^3-2X^2+aX+b\in \mathbb{R}[X]$. Restul împărțirii lui $f$ la $X-1$ este $3$, iar restul împărțirii la $X+1$ este $-5$. Determinați $a$ și $b$, apoi aflați restul împărțirii lui $f$ la $X^2-1$.

Rezolvare. Din teorema restului, $f(1)=3$ și $f(-1)=-5$: $$f(1)=1-2+a+b=a+b-1=3,f(-1)=-1-2-a+b=b-a-3=-5.$$ Sistemul $a+b=4$, $b-a=-2$ dă $b=1$ și $a=3$, deci $f=X^3-2X^2+3X+1$. (Verificat: $f(1)=1-2+3+1=3$, $f(-1)=-1-2-3+1=-5$.) ✓

Pentru restul la $X^2-1$, scriem $r=cX+d$ și folosim rădăcinile $1$ și $-1$ ale împărțitorului: $$r(1)=c+d=f(1)=3,r(-1)=-c+d=f(-1)=-5.$$ Adunând, $2d=-2$, deci $d=-1$ și $c=4$. Restul este $r=4X-1$.

Verificare prin împărțire efectivă: $X^3-2X^2+3X+1=(X^2-1)(X-2)+4X-1$, pentru că $(X^2-1)(X-2)=X^3-2X^2-X+2$, iar adunând $4X-1$ se obține exact $f$. ✓

Exemplul 2 — Divizibilitate cu $X^2-1$

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $f=X^4+a{X}^3+b{X}^2+X-6$ se divide cu $X^2-1$, apoi scrieți câtul.

Rezolvare. Cum $X^2-1=(X-1)(X+1)$ cu rădăcini distincte, condiția este $f(1)=0$ și $f(-1)=0$: $$f(1)=1+a+b+1-6=a+b-4=0,f(-1)=1-a+b-1-6=b-a-6=0.$$ Deci $a+b=4$ și $b-a=6$, de unde $b=5$ și $a=-1$. Polinomul este $f=X^4-X^3+5X^2+X-6$.

Câtul se obține prin împărțire: $f:(X^2-1)=X^2-X+6$, cu rest zero.

Verificare înmulțind înapoi: $(X^2-1)(X^2-X+6)=X^4-X^3+6X^2-X^2+X-6=X^4-X^3+5X^2+X-6$. ✓

Exemplul 3 — Rădăcină dublă și derivata formală

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care polinomul $f=X^3-3X^2+m$ are o rădăcină dublă și, pentru fiecare valoare găsită, descompuneți $f$ în factori.

Rezolvare. Derivata formală este $f^{\prime }=3X^2-6X=3X(X-2)$, cu rădăcinile $0$ și $2$. Ea nu depinde de $m$, deci orice rădăcină multiplă a lui $f$ se află printre aceste două valori.

Cazul $a=0$. Condiția $f(0)=0$ dă $m=0$, iar $f=X^3-3X^2=X^2(X-3)$. Rădăcina $0$ e dublă, rădăcina $3$ e simplă.

Cazul $a=2$. Condiția $f(2)=8-12+m=0$ dă $m=4$, iar $f=X^3-3X^2+4$. Împărțind la $(X-2{)}^2=X^2-4X+4$ obținem câtul $X+1$ și restul zero, deci $f=(X+1)(X-2{)}^2$.

Verificare: $(X+1)(X^2-4X+4)=X^3-4X^2+4X+X^2-4X+4=X^3-3X^2+4$. ✓

Răspuns: $m\in \{0,4\}$.

Exemplul 4 — Rădăcină comună a două polinoame, pe două drumuri

a) Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f=X^2-3X+2$ și $g=X^2+aX-2$ au o rădăcină comună. b) Determinați $\mathrm{cmmdc}(f_1,g_1)$ pentru $f_1=X^3+X^2-5X+3$ și $g_1=X^2-3X+2$.

Rezolvare. a) Polinomul $f$ se descompune imediat: $f=(X-1)(X-2)$, cu rădăcinile $1$ și $2$. O rădăcină comună înseamnă că cel puțin una dintre ele anulează și $g$.

Din $g(1)=1+a-2=a-1=0$ obținem $a=1$; atunci $g=X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, iar rădăcina comună este $1$. Din $g(2)=4+2a-2=2a+2=0$ obținem $a=-1$; atunci $g=X^2-X-2=(X-2)(X+1)$, iar rădăcina comună este $2$. Răspuns: $a\in \{-1,1\}$.

b) Aplicăm algoritmul lui Euclid. Împărțim $f_1$ la $g_1$: $$X^3+X^2-5X+3=(X^2-3X+2)(X+4)+(5X-5).$$ Verificare: $(X^2-3X+2)(X+4)=X^3+X^2-10X+8$, iar adunând $5X-5$ se obține $f_1$. ✓

Împărțim acum $g_1$ la restul $5X-5$, adică la $X-1$ (constanta nenulă nu schimbă divizorii): $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$, cu rest zero. Ultimul rest nenul, făcut monic, este $X-1$, deci $\mathrm{cmmdc}(f_1,g_1)=X-1$, iar singura rădăcină comună este $1$.

Se vede și direct: $f_1=(X-1{)}^2(X+3)$ și $g_1=(X-1)(X-2)$.

Exemplul 5 — Viète: sume de puteri fără a afla rădăcinile

Fie $f=X^3-3X^2+mX-1\in \mathbb{R}[X]$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$. a) Determinați $m$ știind că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5$. b) Pentru valoarea găsită, calculați $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

Rezolvare. a) Relațiile lui Viète dau $S_1=3$, $S_2=m$, $S_3=1$. Atunci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=9-2m.$$ Din $9-2m=5$ obținem $m=2$, deci $f=X^3-3X^2+2X-1$.

b) Pentru suma cuburilor folosim metoda „sumăm ecuațiile". Fiecare rădăcină verifică $x_i^3=3x_i^2-2x_i+1$; adunând cele trei egalități: $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=3(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-2(x_1+x_2+x_3)+3=3\cdot 5-2\cdot 3+3=12.$$ Pentru suma inverselor, aducem la același numitor: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3}=\frac{2}{1}=2$.

(Ambele rezultate au fost confirmate independent prin identitățile lui Newton: $p_1=3$, $p_2=5$, $p_3=12$.) ✓

Observă că nicio rădăcină nu a fost calculată — și nici nu ar fi fost comod, pentru că $f$ are o singură rădăcină reală, irațională.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al problemei a doua din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte. Aceeași structură — trei subpuncte legate între ele — o au și problemele din Subiectul al III-lea, doar materia diferă.

Se consideră polinomul $f=X^3-6X^2+mX-6\in \mathbb{R}[X]$, unde $m$ este un număr real.

a) Determinați $m$ știind că $1$ este rădăcină a polinomului $f$. b) Pentru valoarea găsită la punctul a), descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$. c) Determinați restul împărțirii polinomului $f$ (cu $m$ de la punctul a) la $X^2+1$.

Rezolvare.

a) Din teorema lui Bézout, $1$ este rădăcină dacă și numai dacă $f(1)=0$: $$f(1)=1-6+m-6=m-11=0⟹m=11.$$ Deci $f=X^3-6X^2+11X-6$.

b) Știind că $1$ e rădăcină, împărțim la $X-1$ cu schema lui Horner și obținem câtul $X^2-5X+6$. Acesta are discriminantul $\Delta =25-24=1>0$ și rădăcinile $2$ și $3$, deci $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$. Prin urmare $$f=(X-1)(X-2)(X-3).$$ Toți cei trei factori au gradul $1$, deci sunt ireductibili peste $\mathbb{Q}$ (și peste orice corp). Verificare: $(X-1)(X-2)=X^2-3X+2$, iar $(X^2-3X+2)(X-3)=X^3-6X^2+11X-6$. ✓

c) Restul are gradul cel mult $1$, deci $r=cX+d$. Din $f=(X^2+1)q+r$ și din faptul că $i^2=-1$, punem $X=i$: $$f(i)=i^3-6i^2+11i-6=-i+6+11i-6=10i.$$ Deci $ci+d=10i$, de unde, prin identificarea părții reale și a celei imaginare, $c=10$ și $d=0$. Restul este $r=10X$.

Verificare prin împărțire: $X^3-6X^2+11X-6=(X^2+1)(X-6)+10X$, pentru că $(X^2+1)(X-6)=X^3-6X^2+X-6$. ✓

Să exersăm

1. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $f=X^3+2X^2-5X+m$ se divide cu $X-1$.

2. Calculați restul împărțirii polinomului $f=X^4+X^2+1$ la $X-2$.

3. Descompuneți în factori de gradul întâi polinomul $f=X^3-7X+6$, știind că admite rădăcina $1$.

4. Determinați restul împărțirii polinomului $X^5$ la $X^2-1$.

5. Arătați că $2$ este rădăcină dublă a polinomului $f=X^3-3X^2+4$, folosind derivata formală.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Suma pătratelor rădăcinilor unui polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali este întotdeauna un număr pozitiv.

7. Determinați $\mathrm{cmmdc}(X^3-1,X^2-1)$.

8. Determinați $\mathrm{cmmdc}(X^4-1,X^6-1)$.

9. Determinați rădăcinile polinomului $f=X^2+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ și descompuneți-l în factori.

10. Arătați că polinomul $g=X^2+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_7[X]$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$.

11. Arătați că polinomul $h=X^3+X+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$.

12. Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care $f=X^3+a{X}^2+bX+2$ se divide cu $X^2-1$, apoi descompuneți $f$ în factori.

13. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care polinomul $f=X^3+3X^2+m$ are o rădăcină dublă.

14. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care polinoamele $f=X^2-5X+6$ și $g=X^2+aX-6$ au o rădăcină comună.

15. (Problemă aplicată.) Cu schema lui Horner, împărțiți $f=X^4-3X^3+2X-5$ la $X-2$ și verificați rezultatul prin teorema restului.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_5$ pentru care $\hat{2}$ este rădăcină a polinomului $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{a}X+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$, apoi împărțiți $f$ la $X-\hat{2}$.

17. Fie $f=X^3-X-1$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ și $x_1^3+x_2^3+x_3^3$.

18. (Provocare.) Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^{100}-1$ la $X^2-3X+2$.

Răspunsuri și explicații

1. $m=2$. Condiția e $f(1)=0$, adică $1+2-5+m=m-2=0$.

2. $21$. Restul este $f(2)=16+4+1=21$.

3. $f=(X-1)(X-2)(X+3)$. După împărțirea la $X-1$ rămâne $X^2+X-6=(X-2)(X+3)$. Verificare: $(X-1)(X-2)=X^2-3X+2$, înmulțit cu $X+3$ dă $X^3-7X+6$.

4. $X$. Restul are forma $cX+d$; din $r(1)=1^5=1$ și $r(-1)=(-1{)}^5=-1$ rezultă $c+d=1$ și $-c+d=-1$, deci $c=1$, $d=0$.

5. $f(2)=8-12+4=0$ și $f^{\prime }=3X^2-6X$, cu $f^{\prime }(2)=12-12=0$. Cele două condiții împreună dau rădăcină de ordin cel puțin doi. Ordinul e exact doi, pentru că $f=(X+1)(X-2{)}^2$ și $X+1$ nu se anulează în $2$.

6. Fals. Pentru $f=X^3-2X^2+3X-4$ avem $S_1=2$, $S_2=3$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4-6=-2$. Explicația: două dintre rădăcini sunt complexe nereale, iar pătratele lor nu sunt numere pozitive.

7. $X-1$. Prin Euclid: $X^3-1=(X^2-1)X+(X-1)$, apoi $X^2-1=(X-1)(X+1)$ cu rest zero.

8. $X^2-1$. Se poate vedea și structural: $\mathrm{cmmdc}(X^m-1,X^n-1)=X^{(m,n)}-1$, iar $(4,6)=2$.

9. Verificăm cele cinci clase: ${\hat{0}}^2+\hat{1}=\hat{1}$, ${\hat{1}}^2+\hat{1}=\hat{2}$, ${\hat{2}}^2+\hat{1}=\hat{5}=\hat{0}$, ${\hat{3}}^2+\hat{1}=\widehat{10}=\hat{0}$, ${\hat{4}}^2+\hat{1}=\widehat{17}=\hat{2}$. Rădăcinile sunt $\hat{2}$ și $\hat{3}$, iar $X^2+\hat{1}=(X+\hat{3})(X+\hat{2})$. Verificare: $(X+\hat{3})(X+\hat{2})=X^2+\hat{5}X+\hat{6}=X^2+\hat{1}$.

10. Evaluăm în toate cele șapte clase: valorile lui $x^2+\hat{1}$ sunt, pentru $x=\hat{0},\dots ,\hat{6}$, respectiv $\hat{1},\hat{2},\hat{5},\hat{3},\hat{3},\hat{5},\hat{2}$. Niciuna nu e $\hat{0}$, deci $g$ nu are rădăcini; fiind de gradul al doilea, el este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$.

11. Valorile lui $x^3+x+\hat{1}$ pentru $x=\hat{0},\dots ,\hat{4}$ sunt $\hat{1},\hat{3},\hat{1},\hat{1},\hat{4}$. Nu există rădăcini; un polinom de gradul al treilea fără rădăcini în corp este ireductibil, pentru că orice descompunere ar conține un factor de gradul întâi.

12. $a=-2$, $b=-1$. Din $f(1)=1+a+b+2=0$ și $f(-1)=-1+a-b+2=0$ rezultă $a+b=-3$ și $a-b=-1$. Atunci $f=X^3-2X^2-X+2=(X^2-1)(X-2)=(X-1)(X+1)(X-2)$.

13. $m\in \{-4,0\}$. Din $f^{\prime }=3X^2+6X=3X(X+2)=0$ obținem candidații $0$ și $-2$. Pentru $a=0$: $m=0$ și $f=X^3+3X^2=X^2(X+3)$. Pentru $a=-2$: $-8+12+m=0$, deci $m=-4$ și $f=X^3+3X^2-4=(X+2{)}^2(X-1)$.

14. $a\in \{-1,1\}$. Rădăcinile lui $f$ sunt $2$ și $3$. Din $g(2)=4+2a-6=0$ rezultă $a=1$; din $g(3)=9+3a-6=0$ rezultă $a=-1$.

15. Câtul este $X^3-X^2-2X-2$, restul este $-9$. Linia lui Horner, pornind de la coeficienții $1,-3,0,2,-5$ și rădăcina $2$: $1$, $-1$, $-2$, $-2$, $-9$. Teorema restului confirmă: $f(2)=16-24+4-5=-9$.

16. $\hat{a}=\hat{4}$. Din $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{8}+\hat{2}\hat{a}+\hat{1}=\hat{2}+\hat{2}\hat{a}=\hat{0}$ rezultă $\hat{2}\hat{a}=\hat{3}$; înmulțind cu ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$ obținem $\hat{a}=\hat{9}=\hat{4}$. Împărțind $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}$ la $X-\hat{2}=X+\hat{3}$, câtul este $X^2+\hat{4}X+\hat{2}$, cu rest $\hat{0}$.

17. $x_1^2+x_2^2+x_3^2=2$ și $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3$. Viète dă $S_1=0$, $S_2=-1$, $S_3=1$, deci suma pătratelor este $0-2(-1)=2$. Pentru cuburi, din $x_i^3=x_i+1$ rezultă prin sumare $S_1+3=3$.

18. $r=(2^{100}-1)(X-1)$. Împărțitorul este $(X-1)(X-2)$; din $r(1)=f(1)=0$ și $r(2)=f(2)=2^{100}-1$, cu $r=cX+d$, obținem $c+d=0$ și $2c+d=2^{100}-1$, deci $c=2^{100}-1$ și $d=-(2^{100}-1)$.

De reținut

• Orice informație despre rest sau divizibilitate se traduce într-o valoare a polinomului într-un punct, iar fiecare valoare dă o ecuație în parametri.
• Restul împărțirii unui polinom la un polinom de gradul al doilea cu rădăcini distincte $a$ și $b$ se află scriind $r=cX+d$ și rezolvând sistemul $r(a)=f(a)$, $r(b)=f(b)$.
• Elementul $a$ este rădăcină multiplă a polinomului $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$, unde $f^{\prime }$ este derivata formală, definită algebric.
• Două polinoame au rădăcini comune într-un corp $K$ exact atunci când cel mai mare divizor comun al lor are gradul cel puțin $1$ și are, la rândul lui, rădăcini în $K$.
• Relațiile lui Viète permit calculul sumelor simetrice de tipul $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ direct din coeficienți, fără ca vreo rădăcină să fie determinată.

Greșeli frecvente

• Greșeala: a împărți efectiv polinomul ca să afli restul la $X-a$. Corect: teorema restului dă restul într-o singură evaluare, $f(a)$; împărțirea se face doar când e cerut și câtul.
• Greșeala: a scrie că $f$ se divide cu $(X-1{)}^2$ doar din $f(1)=0$. Corect: pentru un factor la pătrat sunt necesare două condiții, $f(1)=0$ și $f^{\prime }(1)=0$; o singură egalitate garantează doar un factor $X-1$.
• Greșeala: a spune că $f$ și $g$ au o rădăcină comună doar pentru că $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ are gradul $\ge 1$, fără să verifici corpul. Corect: peste $\mathbb{R}$, divizorul comun $X^2+1$ nu produce nicio rădăcină comună reală.
• Greșeala: a folosi criteriul „$f(1)=f(-1)=0$" pentru divizibilitatea cu $X^2-\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$. Corect: acolo $\hat{1}=-\hat{1}$, deci $X^2-\hat{1}=(X+\hat{1}{)}^2$ și trebuie folosit criteriul cu derivata formală.
• Greșeala: a scrie rezultatul unei probleme din ${\mathbb{Z}}_5$ ca număr întreg, de exemplu „$a=9$". Corect: rezultatul este o clasă redusă, $\hat{a}=\hat{4}$, pentru că $\hat{9}=\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_5$.

Aplică acasă

1. Ia trei variante de subiecte de Bacalaureat M1 din anii trecuți și, fără să rezolvi nimic, citește doar problema a doua din Subiectul al II-lea. Notează pentru fiecare, într-un tabel, care dintre cele șase rânduri ale trusei din subsecțiunea 1 se aplică. Vei vedea că trei-patru rânduri acoperă aproape tot.
2. Construiește-ți singur o problemă „la invers": pornește de la descompunerea $f=(X-2{)}^2(X+5)$, desfă parantezele, ascunde doi coeficienți sub literele $a$ și $b$ și scrie enunțul care i-ar permite altcuiva să-i recupereze. Dă problema unui coleg și compară enunțurile.
3. Fă-ți un tabel al inverselor din ${\mathbb{Z}}_5$ și din ${\mathbb{Z}}_7$ și ține-l la vedere o săptămână. Apoi rezolvă, fără tabel, ecuațiile $\hat{3}x=\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_5$ și $\hat{5}x=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_7$, și verifică-ți răspunsurile înmulțind înapoi.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul poate traduce un enunț în ecuații, nu dacă știe să împartă polinoame — aceea e o deprindere din clasa a X-a, presupusă aici. Ea este scrisă pentru traseul de matematică-informatică (mate-info), singurul pe care apar polinoamele peste un corp. Ea aparține suplimentului pentru Bacalaureat M1, adică materiei pe care o cer sesiunile 2027–2029, chiar dacă programa nouă a clasei a XII-a nu mai conține inele, corpuri și polinoame.

Întrebări de control, în ordinea dificultății: Ce înseamnă, în ecuații, „restul împărțirii la $X+2$ este $7$"? (răspuns: $f(-2)=7$). De ce divizibilitatea cu $X^2-1$ dă două ecuații, iar divizibilitatea cu $(X-1{)}^2$ dă tot două, dar altele? Cum arăți că două polinoame nu au rădăcini comune, fără să le rezolvi?

Semne că a înțeles: începe orice problemă scriind ce valori trebuie evaluate, nu pornind un calcul; verifică parametrul găsit reintroducându-l în condiția inițială; nu confundă „rădăcină multiplă" cu „două rădăcini egale găsite din întâmplare"; scrie rezultatele din ${\mathbb{Z}}_p$ ca pe niște clase reduse.

La BAC, materia aceasta apare aproape exclusiv în problema a doua din Subiectul al II-lea, unde valorează 15 puncte, împărțite în trei subpuncte a câte 5. Subpunctul a) este aproape întotdeauna o simplă evaluare; b) cere o descompunere sau o împărțire; c) cere o sinteză. Un elev care stăpânește doar a) și b) ia deja 10 puncte din 15.

Întrebări frecvente

Cum determin un parametru dintr-un rest dat la împărțirea unui polinom? Folosești teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este chiar $f(a)$. Scrii deci ecuația $f(a)=r$, în care singura necunoscută este parametrul, și o rezolvi. Dacă în polinom apar doi parametri, ai nevoie de două informații de acest tip și obții un sistem liniar de două ecuații.

Ce înseamnă că un polinom se divide cu $X^2-1$? Înseamnă că restul împărțirii este polinomul nul. Cum $X^2-1=(X-1)(X+1)$ și cele două rădăcini sunt distincte, condiția este echivalentă cu sistemul $f(1)=0$ și $f(-1)=0$. Aceasta e traducerea cea mai rapidă și e cea așteptată în rezolvările de la Bacalaureat M1, pentru că evită împărțirea efectivă.

Care este formula pentru suma pătratelor rădăcinilor unui polinom de gradul al treilea? Formula este $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2$, unde $S_1$ este suma rădăcinilor și $S_2$ suma produselor luate două câte două, ambele citite din coeficienți prin relațiile lui Viète. Pentru $f=X^3+a{X}^2+bX+c$ ea devine $a^2-2b$. Rădăcinile nu se calculează niciodată.

De ce am nevoie de derivata formală ca să găsesc o rădăcină dublă? Pentru că o singură condiție, $f(a)=0$, garantează doar un factor $X-a$, nu doi. Criteriul complet este $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$. Derivata se numește formală pentru că e definită algebric, termen cu termen, fără limite — definiția funcționează și peste corpuri finite, unde limitele nu au sens.

Cum verific dacă două polinoame au o rădăcină comună fără să le rezolv? Aplici algoritmul lui Euclid și calculezi cel mai mare divizor comun. Dacă acesta este o constantă nenulă, polinoamele nu au niciun factor comun, deci nici rădăcini comune. Dacă are gradul cel puțin $1$, rădăcinile comune sunt exact rădăcinile lui — verifică însă dacă ele există în corpul cerut.

Se schimbă metodele când polinomul are coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$? Teoremele rămân aceleași, pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ este corp și demonstrațiile folosesc numai axiomele de corp. Se schimbă tactica: corpul are cinci elemente, deci poți găsi toate rădăcinile evaluând polinomul în toate cele cinci clase, ceea ce este o demonstrație completă, nu o încercare. Împărțirile se fac înmulțind cu inversul.

Cât valorează la examen o problemă de acest tip? Problema a doua din Subiectul al II-lea al examenului de Bacalaureat M1 valorează 15 puncte, împărțite în trei subpuncte a câte 5 puncte fiecare. Primul subpunct cere de obicei o evaluare simplă, al doilea o descompunere sau o împărțire, iar al treilea o sinteză a celor două. Baremul acordă puncte și pentru pași intermediari corecți.