Împărțirea la X − a. Teorema restului

Închipuie-ți că ai de aflat restul împărțirii polinomului $X^{100} - 1$ la $X + 1$ . Cu algoritmul împărțirii ai avea de făcut o sută de pași — o oră de muncă, cu o sută de ocazii de a greși un semn. Și totuși răspunsul se obține într-o singură linie de calcul: $(- 1)^{100} - 1 = 1 - 1 = 0$ , deci restul este $0$ .

Scurtătura are un nume și o demonstrație de trei rânduri: teorema restului. Ea spune că, atunci când împărțitorul are forma $X - a$ , restul nu trebuie calculat — el este pur și simplu valoarea polinomului în $a$ . Este una dintre cele mai rentabile teoreme din toată programa: apare la Bacalaureat M1 în fiecare an, sub o formă sau alta, și transformă probleme de zece minute în calcule de zece secunde.

Ce vei învăța

Vei ști de ce restul împărțirii la un polinom de gradul întâi este întotdeauna o constantă.
Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ .
Vei ști să aplici teorema și la împărțitori de forma $X + a$ sau $a X + b$ .
Vei ști să afli restul împărțirii la un produs de forma $(X - a) (X - b)$ , scriind restul ca $m X + n$ .
Vei ști să determini parametri din condiții asupra restului sau din condiția de divizibilitate cu $X - a$ .
Vei ști de ce teorema restului este poarta de intrare către teorema lui Bézout și către schema lui Horner.

Hai să descoperim împreună

1. Restul la un împărțitor de gradul întâi este o constantă

Reluăm condiția din teorema împărțirii cu rest: restul este nul sau are gradul strict mai mic decât al împărțitorului. Dacă împărțitorul este $g = X - a$ , de gradul $1$ , atunci restul este nul sau are gradul $0$ — în ambele cazuri, un număr.

Prin urmare, împărțirea unui polinom $f$ la $X - a$ se scrie întotdeauna sub forma

$f = (X - a) \cdot q + r, r \in C .$

Aceasta este observația care face totul posibil: restul fiind un simplu număr, îl putem „prinde" printr-o singură substituție.

2. Teorema restului

Teorema restului. Fie $f \in C [X]$ și $a \in C$ . Restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este egal cu $f (a)$ .

Demonstrație. Din teorema împărțirii cu rest știm că există $q$ și $r$ cu $f = (X - a) q + r$ , unde $r$ este o constantă (secțiunea anterioară). Egalitatea este între polinoame, deci valorile lor coincid în orice punct; calculăm valorile ambilor membri în $a$ :

$f (a) = (a - a) \cdot q (a) + r = 0 \cdot q (a) + r = r .$

Așadar $r = f (a)$ . $■$

Demonstrația încape într-un rând, dar merită înțeleasă exact: substituția $X = a$ anulează factorul $(X - a)$ , deci șterge tot ce ține de cât și lasă doar restul. Este trucul standard din toate problemele de acest tip — îl vei folosi și mai jos, la împărțitori de gradul al doilea.

✏️Ilustrație: egalitatea f(X) = (X − a)·q(X) + r scrisă mare, cu factorul (X − a) încercuit și o săgeată care coboară spre linia f(a) = 0·q(a) + r = r; alături, o etichetă „substituția X = a stinge câtul"

3. Prima verificare, pe un exemplu

Fie $f = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 7$ . Aflăm restul împărțirii la $X - 2$ pe două căi.

Cu teorema: $f (2) = 8 - 16 + 10 - 7 = - 5$ .

Cu algoritmul: efectuând împărțirea obținem câtul $X^{2} - 2 X + 1$ și restul $- 5$ . Într-adevăr,

$(X - 2) (X^{2} - 2 X + 1) - 5 = X^{3} - 2 X^{2} + X - 2 X^{2} + 4 X - 2 - 5 = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 7. ✓$

Aceleași rezultate — dar prima cale a durat cinci secunde, iar a doua un minut. Atenție însă: teorema îți dă doar restul. Când problema cere și câtul, tot trebuie să faci împărțirea (sau, mai bine, schema lui Horner).

4. Împărțitori de forma $X + a$ și $a X + b$

Împărțitorul $X + a$ . Îl rescrii ca $X - (- a)$ , deci restul este $f (- a)$ . Pentru același $f = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 7$ , restul împărțirii la $X + 3$ este

$f (- 3) = - 27 - 36 - 15 - 7 = - 85.$

Semnul se schimbă — este greșeala numărul unu la această teoremă. Scrie de fiecare dată împărțitorul sub forma $X - (\dots)$ înainte de a substitui.

Împărțitorul $a X + b$ , cu $a \neq = 0$ . Restul este tot o constantă, iar din $f = (a X + b) q + r$ , substituind $X = - \frac{b}{a}$ , obținem

$r = f (- \frac{b}{a}) .$

De exemplu, restul împărțirii lui $2 X^{3} - 3 X^{2} + 4$ la $2 X - 1$ este $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 4 = \frac{7}{2}$ .

5. Consecința imediată: divizibilitatea cu $X - a$

Dacă restul este $f (a)$ , atunci împărțirea este exactă exact atunci când $f (a) = 0$ — adică atunci când $a$ este rădăcină a polinomului. Enunțul acesta poartă numele de teorema lui Bézout și are o lecție proprie, Teorema lui Bézout, unde vei vedea și cum se folosește la descompunerea în factori. Aici reține doar echivalența:

$X - a divide f ⟺ f (a) = 0.$

Ea explică de ce, în practică, prima mișcare la un polinom de grad mare este să cauți o rădăcină: dacă o găsești, ai găsit și un factor.

6. Restul împărțirii la $(X - a) (X - b)$

Aici teorema restului își arată adevărata forță. Împărțim $f$ la un polinom de gradul al doilea cu rădăcini cunoscute, $g = (X - a) (X - b)$ cu $a \neq = b$ . Restul are gradul cel mult $1$ , deci se scrie

$r = m X + n,$

cu $m$ și $n$ necunoscute. Din $f = (X - a) (X - b) q + m X + n$ , substituim pe rând $X = a$ și $X = b$ — în ambele cazuri produsul se anulează:

$f (a) = ma + n, f (b) = mb + n .$

Am obținut un sistem liniar de două ecuații cu două necunoscute, care se rezolvă imediat. Nu am efectuat nicio împărțire.

Exemplu. Fie $f = X^{4} - 2 X^{3} + X - 5$ și $g = (X - 1) (X - 3) = X^{2} - 4 X + 3$ . Calculăm:

$f (1) = 1 - 2 + 1 - 5 = - 5, f (3) = 81 - 54 + 3 - 5 = 25.$

Sistemul devine $m + n = - 5$ și $3 m + n = 25$ . Scăzând, $2 m = 30$ , deci $m = 15$ și $n = - 20$ . Restul este $15 X - 20$ .

Control: efectuând împărțirea propriu-zisă se obține câtul $X^{2} + 2 X + 5$ și restul $15 X - 20$ , iar $(X^{2} - 4 X + 3) (X^{2} + 2 X + 5) + 15 X - 20 = X^{4} - 2 X^{3} + X - 5$ ✓.

7. Determinarea parametrilor

A doua mare familie de probleme: se dau condiții asupra restului, se cer parametrii. Metoda este mereu aceeași — traduci fiecare condiție într-o egalitate de tip $f (ceva) = ceva$ și rezolvi sistemul.

„Restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $9$ " se traduce prin $f (2) = 9$ .
„ $f$ se divide cu $X + 1$ " se traduce prin $f (- 1) = 0$ .
„ $f$ se divide cu $X^{2} - 1$ " se traduce prin două condiții: $f (1) = 0$ și $f (- 1) = 0$ , pentru că $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ .

Ultima observație este foarte des folosită: divizibilitatea cu un produs de factori de gradul întâi distincți înseamnă anularea în fiecare dintre rădăcini.

8. Când teorema nu se aplică

Teorema restului vorbește doar despre împărțitori de gradul întâi. Dacă împărțitorul este $X^{2} + 1$ , restul are gradul cel mult $1$ și nu este un număr, deci nu poate fi „prins" printr-o singură substituție reală. Poți folosi totuși ideea, dacă împărțitorul are rădăcini pe care le știi: pentru $X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$ , scrii $r = m X + n$ și substitui $X = i$ și $X = - i$ .

Iar dacă împărțitorul nu are rădăcini comod de scris, rămâne algoritmul clasic. Teorema restului este o scurtătură puternică, nu un înlocuitor universal.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Restul, în două secunde

Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ la $X - 2$ .

Rezolvare. Conform teoremei restului, restul este

$f (2) = 8 - 8 + 10 - 1 = 9.$

Control prin împărțire: câtul este $X^{2} + 5$ , iar $(X - 2) (X^{2} + 5) + 9 = X^{3} + 5 X - 2 X^{2} - 10 + 9 = X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ ✓.

Exemplul 2 — Atenție la semn

Determinați restul împărțirii polinomului $f = 2 X^{4} - 3 X^{2} + X - 5$ la $X + 1$ .

Rezolvare. Scriem întâi împărțitorul ca $X - (- 1)$ , deci $a = - 1$ :

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 1 - 5 = 2 - 3 - 1 - 5 = - 7.$

Restul este $- 7$ . Dacă am fi substituit din greșeală $X = 1$ , am fi obținut $2 - 3 + 1 - 5 = - 5$ — alt răspuns, complet greșit.

Exemplul 3 — Un rest complex

Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{4} - X^{2} + 2 X + 3$ la $X - i$ .

Rezolvare. Teorema funcționează la fel pentru $a$ complex. Folosim $i^{2} = - 1$ , deci $i^{4} = 1$ :

$f (i) = i^{4} - i^{2} + 2 i + 3 = 1 + 1 + 2 i + 3 = 5 + 2 i .$

Restul este $5 + 2 i$ — o constantă, chiar dacă nu este reală. (Faptul că restul este complex nu contrazice nimic: lucrăm în $C [X]$ .)

Exemplul 4 — Determinarea unui parametru

Determinați $m \in R$ știind că restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + m X^{2} - 2 X + 1$ la $X - 2$ este egal cu $9$ .

Rezolvare. Condiția se scrie $f (2) = 9$ :

$8 + 4 m - 4 + 1 = 9 ⟹ 4 m + 5 = 9 ⟹ m = 1.$

Verificare: pentru $m = 1$ , $f = X^{3} + X^{2} - 2 X + 1$ și $f (2) = 8 + 4 - 4 + 1 = 9$ ✓. (Câtul, dacă e cerut, este $X^{2} + 3 X + 4$ .)

Exemplul 5 — Restul la un produs de doi factori

Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{4} - 3 X^{2} + 2 X + 1$ la $g = (X - 1) (X - 2)$ .

Rezolvare. Gradul lui $g$ este $2$ , deci restul are forma $r = m X + n$ . Scriem

$f = (X - 1) (X - 2) q + m X + n$

și substituim $X = 1$ , apoi $X = 2$ — de fiecare dată produsul se anulează:

$f (1) = 1 - 3 + 2 + 1 = 1 = m + n, f (2) = 16 - 12 + 4 + 1 = 9 = 2 m + n .$

Scăzând prima relație din a doua: $m = 8$ , deci $n = 1 - 8 = - 7$ . Restul este $8 X - 7$ .

Control: efectuând împărțirea se obține câtul $X^{2} + 2 X + 4$ și restul $8 X - 7$ ; verificarea prin înmulțire confirmă ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + b X + 2$ , cu $a, b \in R$ . a) Determinați $a$ și $b$ știind că $f$ se divide cu $X - 1$ , iar restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ este $- 6$ . b) Determinați câtul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ .

Rezolvare. a) Traducem cele două condiții cu teorema restului:

$f (1) = 1 + a + b + 2 = 0 ⟹ a + b = - 3,$ $f (- 1) = - 1 + a - b + 2 = - 6 ⟹ a - b = - 7.$

Adunând: $2 a = - 10$ , deci $a = - 5$ și $b = 2$ . Prin urmare $f = X^{3} - 5 X^{2} + 2 X + 2$ .

Verificare: $f (1) = 1 - 5 + 2 + 2 = 0$ ✓ și $f (- 1) = - 1 - 5 - 2 + 2 = - 6$ ✓.

b) Aici teorema nu ne mai ajută — câtul se obține prin împărțire efectivă. Efectuând-o (sau folosind schema lui Horner) găsim $q = X^{2} - 4 X - 2$ .

Verificare: $(X - 1) (X^{2} - 4 X - 2) = X^{3} - 4 X^{2} - 2 X - X^{2} + 4 X + 2 = X^{3} - 5 X^{2} + 2 X + 2$ ✓, cu restul $0$ , cum trebuia.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi împărțitorul sub forma $X - (\dots)$ și abia apoi substituie — jumătate dintre greșelile de la această temă sunt greșeli de semn.

1. Determină restul împărțirii polinomului $X^{3} + 3 X^{2} - 2 X + 4$ la $X - 1$ .

2. Determină restul împărțirii polinomului $3 X^{4} + 2 X^{3} - X + 6$ la $X + 2$ .

3. Determină restul împărțirii polinomului $X^{3} - 27$ la $X - 3$ și explică ce înseamnă rezultatul.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Restul împărțirii unui polinom $f$ la $X + 2$ este $f (2)$ ."

5. Determină $m \in R$ astfel încât restul împărțirii polinomului $X^{3} - 3 X^{2} + m X - 2$ la $X - 1$ să fie egal cu $4$ .

6. Determină restul împărțirii polinomului $X^{4} + X^{2} - 2$ la $X - i$ .

7. Determină restul împărțirii polinomului $X^{100} - 1$ la $X + 1$ , fără a efectua împărțirea.

8. Determină restul împărțirii polinomului $3 X^{3} - 2 X^{2} + X + 1$ la $3 X + 1$ .

9. Determină restul împărțirii polinomului $X^{4} + 2 X^{3} - X + 3$ la $(X - 1) (X + 3)$ .

10. Determină $a \in R$ astfel încât polinomul $X^{3} + a X^{2} - 4 X + 12$ să se dividă cu $X - 3$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă restul împărțirii lui $f$ la $X - 3$ este $0$ , atunci $3$ este rădăcină a lui $f$ ."

12. (Problemă aplicată.) Numărul de vizitatori ai unui muzeu, în mii de persoane, la $x$ luni de la deschidere, este modelat de $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + 3 X + 4$ . Folosind teorema restului, află câți vizitatori au fost în luna a patra, calculând restul împărțirii lui $f$ la $X - 4$ .

13. Determină restul împărțirii polinomului $X^{4} + X^{3} - 2 X + 5$ la $(X - 1) (X + 2)$ .

14. Arată că restul împărțirii oricărui polinom $f$ la $X - 1$ este egal cu suma coeficienților lui $f$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 3$ , cu $a, b \in R$ . a) Determinați $a$ și $b$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ este $- 4$ , iar $f$ se divide cu $X + 1$ . b) Determinați câtul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ .

16. Determină restul împărțirii polinomului $X^{6}$ la $X - 1$ și la $X + 1$ .

17. Se știe că $f (1) = 2$ și $f (- 1) = 4$ . Determină restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - 1$ , apoi verifică rezultatul pe polinomul concret $f = X^{3} + X^{2} - 2 X + 2$ .

18. (Provocare.) Determină, în funcție de $n \in N^{*}$ , restul împărțirii polinomului $X^{n}$ la $X - 1$ și restul împărțirii lui la $X + 1$ . Deduce apoi pentru ce valori ale lui $n$ polinomul $X^{n} - 1$ se divide cu $X + 1$ .

Răspunsuri și explicații

1. $f (1) = 1 + 3 - 2 + 4 = 6$ . Restul este $6$ — aici el coincide cu suma coeficienților. (Câtul, dacă se cere, este $X^{2} + 4 X + 2$ .)

2. Împărțitorul este $X - (- 2)$ , deci restul este $f (- 2) = 3 \cdot 16 + 2 \cdot (- 8) + 2 + 6 = 48 - 16 + 8 = 40$ .

3. $f (3) = 27 - 27 = 0$ , deci restul este $0$ : împărțirea este exactă, adică $X - 3$ divide $X^{3} - 27$ și $3$ este rădăcină. Într-adevăr, $X^{3} - 27 = (X - 3) (X^{2} + 3 X + 9)$ .

4. Fals. $X + 2 = X - (- 2)$ , deci restul este $f (- 2)$ , nu $f (2)$ . Este greșeala de semn cea mai frecventă la această temă.

5. $f (1) = 1 - 3 + m - 2 = m - 4$ . Condiția $m - 4 = 4$ dă $m = 8$ . Verificare: pentru $m = 8$ , $f (1) = 1 - 3 + 8 - 2 = 4$ ✓.

6. $f (i) = i^{4} + i^{2} - 2 = 1 - 1 - 2 = - 2$ . Restul este $- 2$ . (Câtul este $X^{3} + i X^{2}$ .)

7. Restul este $(- 1)^{100} - 1 = 1 - 1 = 0$ , deci $X + 1$ divide $X^{100} - 1$ . Un calcul de cinci secunde care înlocuiește o sută de pași de algoritm.

8. Din $3 X + 1 = 0$ obținem $X = - \frac{1}{3}$ , deci restul este $f (- \frac{1}{3}) = 3 \cdot (- \frac{1}{27}) - 2 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = - \frac{1}{9} - \frac{2}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1}{3}$ .

9. Restul are forma $m X + n$ . Din $f (1) = 1 + 2 - 1 + 3 = 5$ și $f (- 3) = 81 - 54 + 3 + 3 = 33$ obținem $m + n = 5$ și $- 3 m + n = 33$ ; scăzând, $4 m = - 28$ , deci $m = - 7$ și $n = 12$ : restul este $- 7 X + 12$ . (Control: câtul împărțirii este $X^{2} + 3$ .)

10. Condiția de divizibilitate este $f (3) = 0$ : $27 + 9 a - 12 + 12 = 9 a + 27 = 0$ , deci $a = - 3$ . Verificare: $f = X^{3} - 3 X^{2} - 4 X + 12$ și $f (3) = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$ ✓ (câtul este $X^{2} - 4$ ).

11. Adevărat. Conform teoremei restului, restul este $f (3)$ ; dacă el este $0$ , atunci $f (3) = 0$ , adică $3$ este rădăcină. Reciproca este la fel de adevărată — împreună formează teorema lui Bézout.

12. $f (4) = 2 \cdot 64 - 5 \cdot 16 + 12 + 4 = 128 - 80 + 16 = 64$ , deci $64$ de mii de vizitatori în luna a patra. Teorema restului transformă aici o împărțire într-o simplă evaluare.

13. Restul are forma $m X + n$ . $f (1) = 1 + 1 - 2 + 5 = 5$ și $f (- 2) = 16 - 8 + 4 + 5 = 17$ , deci $m + n = 5$ și $- 2 m + n = 17$ . Scăzând: $3 m = - 12$ , deci $m = - 4$ și $n = 9$ : restul este $- 4 X + 9$ . (Control: câtul împărțirii este $X^{2} + 2$ .)

14. Restul împărțirii la $X - 1$ este $f (1)$ , iar $f (1) = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{1} + a_{0}$ , adică exact suma coeficienților — fiecare putere a lui $1$ fiind $1$ .

15. a) $f (1) = 1 + a + b - 3 = - 4$ dă $a + b = - 2$ , iar $f (- 1) = - 1 + a - b - 3 = 0$ dă $a - b = 4$ ; adunând, $2 a = 2$ , deci $a = 1$ și $b = - 3$ , iar $f = X^{3} + X^{2} - 3 X - 3$ . b) Împărțind la $X + 1$ obținem $q = X^{2} - 3$ , cu restul $0$ . Verificare: $(X + 1) (X^{2} - 3) = X^{3} + X^{2} - 3 X - 3$ ✓; și $f (1) = 1 + 1 - 3 - 3 = - 4$ ✓.

16. La $X - 1$ : restul este $1^{6} = 1$ . La $X + 1$ : restul este $(- 1)^{6} = 1$ . Ambele resturi sunt $1$ , pentru că exponentul este par.

17. Restul are forma $m X + n$ , cu $m + n = f (1) = 2$ și $- m + n = f (- 1) = 4$ . Adunând: $2 n = 6$ , deci $n = 3$ și $m = - 1$ : restul este $- X + 3$ . Pe polinomul concret: $f (1) = 1 + 1 - 2 + 2 = 2$ ✓, $f (- 1) = - 1 + 1 + 2 + 2 = 4$ ✓, iar împărțirea efectivă dă câtul $X + 1$ și restul $- X + 3$ ✓.

18. Restul împărțirii lui $X^{n}$ la $X - 1$ este $1^{n} = 1$ . Restul împărțirii la $X + 1$ este $(- 1)^{n}$ , deci $1$ pentru $n$ par și $- 1$ pentru $n$ impar. Prin urmare restul împărțirii lui $X^{n} - 1$ la $X + 1$ este $(- 1)^{n} - 1$ , care este $0$ exact atunci când $n$ este par. Deci $X + 1$ divide $X^{n} - 1$ dacă și numai dacă $n$ este par.

De reținut

Teorema restului: restul împărțirii polinomului $f$ la $X - a$ este $f (a)$ . Demonstrația: substitui $X = a$ în $f = (X - a) q + r$ și factorul $(X - a)$ se anulează.
Restul la $X - a$ este întotdeauna o constantă, pentru că gradul lui trebuie să fie mai mic decât $1$ .
Semnele: la $X + a$ restul este $f (- a)$ ; la $a X + b$ restul este $f (- \frac{b}{a})$ . Rescrie mereu împărțitorul sub forma $X - (\dots)$ .
La $(X - a) (X - b)$ , cu $a \neq = b$ , restul se scrie $m X + n$ , iar $m$ și $n$ se află din sistemul $f (a) = ma + n$ , $f (b) = mb + n$ — fără nicio împărțire.
Teorema dă doar restul. Când problema cere și câtul, folosești algoritmul împărțirii sau schema lui Horner.

Greșeli frecvente

Semnul la $X + a$ . Restul împărțirii la $X + 2$ este $f (- 2)$ , nu $f (2)$ . Rescrie împărțitorul ca $X - (- 2)$ și greșeala dispare.
Aplicarea teoremei la împărțitori de grad mai mare. La $X^{2} + 1$ restul nu este un număr, ci un polinom de gradul cel mult $1$ : nu îl poți obține dintr-o singură substituție, ci din două (în rădăcinile împărțitorului).
Confuzia dintre rest și cât. Teorema restului nu spune nimic despre cât. Dacă enunțul cere câtul, tot trebuie să împarți.
Uitarea celei de-a doua condiții la $X^{2} - 1$ . Divizibilitatea cu $(X - 1) (X + 1)$ înseamnă două cerințe: $f (1) = 0$ și $f (- 1) = 0$ . Cu una singură rezolvi altă problemă.
Calculul greșit al puterilor lui $a$ . La $f (- 3)$ ai $(- 3)^{3} = - 27$ și $(- 3)^{2} = 9$ . Scrie puterile cu paranteze, una câte una, înainte de a le înmulți cu coeficienții.

Aplică acasă

Cronometrul. Alege un polinom de gradul al cincilea și un împărțitor de forma $X - a$ . Află restul o dată cu teorema și o dată prin algoritm, cronometrând ambele metode. Diferența pe care o vei măsura este exact motivul pentru care teorema merită știută pe de rost.
Tabelul de resturi. Ia $f = X^{4} - 5 X^{2} + 4$ și calculează $f (a)$ pentru $a \in {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ , într-un tabel. Vei citi imediat pentru ce valori împărțirea este exactă — adică rădăcinile — și vei vedea cum teorema restului se transformă într-o metodă de căutare a rădăcinilor.
Provocare pentru colegi. Construiește un polinom care să dea restul $7$ la împărțirea cu $X - 1$ și restul $- 2$ la împărțirea cu $X + 1$ (indicație: pornește de la forma $f = (X^{2} - 1) q + m X + n$ ). Dă-l unui coleg și cere-i să afle resturile.

Pentru părinți și profesori

Teorema restului este cea mai „profitabilă" teoremă din capitolul de polinoame: demonstrația are trei rânduri, iar aplicațiile ei acoperă o bună parte din subiectele de Bacalaureat M1. Lecția trebuie să lase elevul cu două automatisme: traducerea oricărei condiții despre rest într-o egalitate de tip $f (a) = \dots$ și grija la semn atunci când împărțitorul este $X + a$ .

De verificat în caiet: (1) împărțitorul este rescris sub forma $X - (\dots)$ înainte de substituție; (2) la divizibilitatea cu $X^{2} - 1$ apar două condiții, nu una; (3) la restul împărțirii la $(X - a) (X - b)$ elevul scrie explicit $r = m X + n$ înainte de a substitui. Întrebări bune de control: „Care este restul împărțirii lui $f$ la $X + 5$ ?"; „De ce restul e mereu un număr?"; „Ce condiție înseamnă că $f$ se divide cu $X - 4$ ?".

La Bacalaureat M1, teorema apare fie direct („aflați restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ "), fie ascunsă în cerințe de divizibilitate și de determinare a parametrilor. Semn că elevul a înțeles: nu mai efectuează împărțirea când i se cere doar restul și recunoaște singur că „se divide cu $X - a$ " înseamnă „ $f (a) = 0$ ".

Întrebări frecvente

Ce spune teorema restului? Spune că restul împărțirii unui polinom $f$ la $X - a$ este egal cu valoarea polinomului în $a$ , adică $f (a)$ . Demonstrația se obține substituind $X = a$ în egalitatea $f = (X - a) q + r$ , unde restul $r$ este o constantă.

Cum aflu restul împărțirii la $X + 3$ ? Rescrii împărțitorul ca $X - (- 3)$ și calculezi $f (- 3)$ . Semnul se schimbă întotdeauna: la $X + a$ substitui $- a$ , nu $a$ .

De ce restul împărțirii la $X - a$ este un număr? Pentru că, din teorema împărțirii cu rest, restul este nul sau are gradul strict mai mic decât gradul împărțitorului. Împărțitorul având gradul $1$ , restul are gradul $0$ sau este nul — în ambele cazuri, o constantă.

Cum aflu restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea? Dacă împărțitorul se scrie $(X - a) (X - b)$ cu $a \neq = b$ , restul are forma $m X + n$ ; substituind $X = a$ și $X = b$ obții sistemul $f (a) = ma + n$ , $f (b) = mb + n$ , din care afli $m$ și $n$ fără să efectuezi împărțirea.

Teorema restului îmi dă și câtul? Nu. Ea dă exclusiv restul. Pentru cât ai nevoie de algoritmul împărțirii sau, mai rapid când împărțitorul este $X - a$ , de schema lui Horner, care produce simultan câtul și restul.

Ce legătură are teorema restului cu rădăcinile? Foarte strânsă: restul fiind $f (a)$ , împărțirea la $X - a$ este exactă exact atunci când $f (a) = 0$ , adică atunci când $a$ este rădăcină. Această echivalență poartă numele de teorema lui Bézout.

Funcționează teorema și pentru numere complexe? Da, exact la fel. Restul împărțirii lui $f$ la $X - i$ este $f (i)$ , calculat cu regulile de lucru din numerele complexe. Restul poate ieși un număr complex nereal, ceea ce este perfect normal în $C [X]$ .

Cum apare teorema restului la Bacalaureat M1? Cel mai des în trei forme: „aflați restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ ", „determinați parametrul astfel încât $f$ să se dividă cu $X - a$ " și „aflați restul împărțirii lui $f$ la $(X - a) (X - b)$ ". Toate se rezolvă prin substituții, fără împărțiri efective.