Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al treilea

Există o categorie întreagă de probleme care par imposibile la prima vedere: „fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-3x^2+2x-5=0$; calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$". Impasul e evident — ecuația nu are rădăcini simpatice, nu poți scrie niciuna dintre ele pe hârtie într-o formă utilizabilă. Și totuși răspunsul, $5$, se obține în două rânduri.

Secretul este că anumite expresii de rădăcini — cele simetrice, care nu se schimbă dacă permuți rădăcinile între ele — se pot citi direct din coeficienți, fără să afli vreodată rădăcinile. François Viète a descoperit acest lucru în secolul al XVI-lea, iar la ecuația de gradul al doilea l-ai folosit deja intens. Acum îl extindem la gradul al treilea, unde relațiile sunt trei, nu două, și unde tipurile de probleme de la Bacalaureat M1 sunt bine conturate: suma pătratelor, suma inverselor, suma cuburilor și determinarea unui parametru dintr-o relație dată între rădăcini.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci cele trei relații ale lui Viète pentru $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, pornind de la descompunerea în factori.
• Vei ști să calculezi suma pătratelor rădăcinilor, cu formula $S_1^2-2S_2$.
• Vei ști să calculezi suma inverselor rădăcinilor, ca raport $S_2/S_3$, și să verifici condiția de existență.
• Vei ști să calculezi suma cuburilor, folosind faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.
• Vei ști să determini un parametru când se dă o relație între rădăcini (de tipul $x_1+x_2=x_3$ sau rădăcini în progresie).
• Vei ști să formezi ecuația de gradul al treilea când i se cunosc suma, suma produselor două câte două și produsul rădăcinilor.

Hai să descoperim împreună

1. Deducerea celor trei relații

Fie polinomul de gradul al treilea

$$f=a{X}^3+b{X}^2+cX+d,a\ne 0,$$

cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3\in \mathbb{C}$, numărate cu ordinele lor de multiplicitate. Din Teorema fundamentală a algebrei. Descompunerea canonică știm că

$$f=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).$$

Desfacem parantezele. Întâi primele două:

$$(X-x_1)(X-x_2)=X^2-(x_1+x_2)X+x_1{x}_2.$$

Înmulțim cu $X-x_3$:

$$X^3-(x_1+x_2+x_3)X^2+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)X-x_1{x}_2{x}_3.$$

Prin urmare

$$f=a[X^3-(x_1+x_2+x_3)X^2+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)X-x_1{x}_2{x}_3].$$

Două polinoame sunt egale exact când au toți coeficienții egali. Identificând cu $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, obținem:

$$\boxed{\begin{array}{rl}{S}_1& =x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ S_2& =x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}\\ S_3& =x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\end{array}}$$

Acestea sunt relațiile lui Viète pentru gradul al treilea.

Observă tiparul semnelor: minus, plus, minus — semnele alternează, începând cu minus. La gradul al doilea era la fel: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ (vezi Relațiile lui Viète în mulțimea numerelor complexe). Regula se păstrează la orice grad, subiectul lecției următoare.

Verificare pe un caz cunoscut. Pentru $f=X^3-6X^2+11X-6$, rădăcinile sunt $1$, $2$, $3$. Formulele dau $S_1=6$, $S_2=11$, $S_3=6$; direct din rădăcini: $1+2+3=6$ ✓, $1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=2+3+6=11$ ✓, $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓.

2. Forma monică și forma „ecuație"

Când polinomul este monic ($a=1$), relațiile se citesc și mai simplu:

$$X^3+p{X}^2+qX+r⟹S_1=-p,S_2=q,S_3=-r.$$

Invers, dacă știi $S_1$, $S_2$, $S_3$, poți reconstrui ecuația:

$$X^3-S_1{X}^2+S_{2}X-S_3=0.$$

Aceasta este cea mai rapidă cale de a scrie o ecuație cu rădăcini date. De exemplu, pentru rădăcinile $1,-2,3$: $S_1=2$, $S_2=1\cdot (-2)+1\cdot 3+(-2)\cdot 3=-2+3-6=-5$, $S_3=-6$. Ecuația este

$$X^3-2X^2-5X+6=0.$$

Atenție. Rădăcinile se numără cu multiplicități. Dacă un polinom de gradul $3$ are rădăcina $1$ dublă și rădăcina $2$, atunci $S_1=1+1+2=4$, nu $1+2=3$ — vezi Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate.

3. Tipul 1 de Bacalaureat M1: suma pătratelor

Expresia $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ nu apare direct în relațiile lui Viète, dar se exprimă prin ele. Plecăm de la pătratul sumei:

$$(x_1+x_2+x_3{)}^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3),$$

adică $S_1^2=\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2S_2$. De aici:

$$\boxed{x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2}$$

Verificare numerică. Pentru $f=X^3+2X^2-5X-6$ avem $S_1=-2$ și $S_2=-5$, deci suma pătratelor este $(-2{)}^2-2(-5)=4+10=14$. Rădăcinile acestui polinom sunt $-1$, $2$, $-3$ (se verifică imediat prin înlocuire), iar direct: $1+4+9=14$. ✓

O consecință elegantă: dacă toate rădăcinile sunt reale, suma pătratelor este nenegativă, deci $S_1^2\ge 2S_2$. Când inegalitatea nu are loc, polinomul are obligatoriu rădăcini nereale — un test rapid, care nu cere niciun calcul de discriminant.

4. Tipul 2 de Bacalaureat M1: suma inverselor

Aducem la același numitor:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\boxed{\frac{S_2}{S_3}}$$

Numărătorul este chiar $S_2$, iar numitorul $S_3$. Formula are, firește, o condiție de existență: toate rădăcinile trebuie să fie nenule, adică $S_3\ne 0$, adică $d\ne 0$. Dacă termenul liber lipsește, $0$ este rădăcină și expresia nu are sens — un detaliu pe care baremele îl cer explicit.

Verificare numerică. Pentru același $f=X^3+2X^2-5X-6$: $S_2=-5$, $S_3=6$, deci suma inverselor este $-\frac{5}{6}$. Direct, cu rădăcinile $-1,2,-3$:

$$\frac{1}{-1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{-3}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-6+3-2}{6}=-\frac{5}{6}.✓$$

5. Tipul 3: suma cuburilor, prin „fiecare rădăcină verifică ecuația"

Aici intervine cea mai utilă tehnică din tot capitolul. Dacă $x_1$ este rădăcină a lui $f=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, atunci, prin definiție,

$$a{x}_1^3+b{x}_1^2+c{x}_1+d=0⟹a{x}_1^3=-b{x}_1^2-c{x}_1-d.$$

Aceeași relație are loc pentru $x_2$ și $x_3$. Adunând cele trei egalități:

$$a\left(x_1^3+x_2^3+x_3^3\right)=-b\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-c\left(x_1+x_2+x_3\right)-3d.$$

În membrul drept apar doar mărimi pe care le știm deja calcula. Metoda funcționează pentru orice putere: dacă ai nevoie de $x_1^4+x_2^4+x_3^4$, înmulțești relația cu $x_1$ și repeți.

Pentru polinoame monice se obține, după calcule, și o formulă directă:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=S_1^3-3S_1{S}_2+3S_3.$$

Verificare numerică. Pentru $f=X^3-6X^2+11X-6$ (rădăcinile $1,2,3$): $S_1=6$, $S_2=11$, $S_3=6$, deci

$$S_1^3-3S_1{S}_2+3S_3=216-198+18=36,$$

iar direct $1+8+27=36$. ✓

Sfat de examen. Nu memora formula pentru suma cuburilor. Memorează metoda: „fiecare rădăcină verifică ecuația, deci scriu relația pentru fiecare și adun". E mai scurtă de scris, se aplică la orice putere și nu riști o greșeală de semn într-o formulă rar folosită.

6. Tipul 4: determinarea unui parametru dintr-o relație între rădăcini

Acesta este tipul cel mai bogat. Ideea generală: relația dată dintre rădăcini, combinată cu una dintre relațiile lui Viète, îți dă valoarea unei rădăcini; apoi impui ca acea valoare să anuleze polinomul.

Situația A: $x_1+x_2=x_3$. Adunând $x_3$ în ambii membri: $x_1+x_2+x_3=2x_3$, adică $S_1=2x_3$. Deci

$$x_3=\frac{S_1}{2}=-\frac{b}{2a}.$$

Cunoscând o rădăcină explicit, punem $f(x_3)=0$ și obținem o ecuație în parametru.

Exemplu. Fie $f=X^3-8X^2+mX-12$, cu rădăcinile verificând $x_1+x_2=x_3$. Atunci $S_1=8$, deci $x_3=4$. Impunem $f(4)=0$:

$$64-128+4m-12=4m-76=0⟹m=19.$$

Verificare: $f=X^3-8X^2+19X-12$; $f(1)=0$, iar Horner cu $1$ dă câtul $X^2-7X+12=(X-3)(X-4)$. Rădăcinile sunt $1,3,4$, și într-adevăr $1+3=4$. ✓

Situația B: rădăcini în progresie aritmetică. Scriem rădăcinile ca $u-r$, $u$, $u+r$. Suma lor este $3u=S_1$, deci rădăcina din mijloc este $\frac{S_1}{3}$, indiferent de rație. Impunem apoi ca ea să anuleze polinomul.

Exemplu. Fie $f=X^3-9X^2+mX-15$, cu rădăcinile în progresie aritmetică. Atunci $u=\frac{9}{3}=3$, iar $f(3)=0$ dă

$$27-81+3m-15=3m-69=0⟹m=23.$$

Verificare: $f=X^3-9X^2+23X-15=(X-1)(X-3)(X-5)$; rădăcinile $1,3,5$ formează într-adevăr o progresie aritmetică de rație $2$. ✓

Situația C: rădăcini în progresie geometrică. Scriem rădăcinile ca $\frac{u}{r}$, $u$, $ur$. Produsul lor este $u^3=S_3$, deci rădăcina din mijloc este $\sqrt[3]{S_3}$. Restul, la fel: impui $f(u)=0$.

Exemplu. Fie $f=X^3-7X^2+mX-8$, cu rădăcinile în progresie geometrică. Atunci $u^3=8$, deci $u=2$, iar $f(2)=0$ dă $8-28+2m-8=2m-28=0$, adică $m=14$. Rădăcinile sunt $1,2,4$ — progresie geometrică de rație $2$. ✓

Situația D: o rădăcină cunoscută. Dacă enunțul dă o rădăcină, o înlocuiești și afli parametrul; apoi celelalte două rădăcini se obțin din $S_1$ și $S_3$, fără nicio împărțire.

7. Alte expresii simetrice utile

Pe lângă cele trei tipuri de bază, mai apar și următoarele, toate reductibile la $S_1$, $S_2$, $S_3$:

• $x_1^2{x}_2^2{x}_3^2=S_3^2$;
• $(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$: pentru un polinom monic, cum $x_1+x_2=S_1-x_3$ și analog, produsul este $(S_1-x_1)(S_1-x_2)(S_1-x_3)=f(S_1)$;
• $(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=-f(-1)$ pentru un polinom monic de gradul $3$, deoarece $f(-1)=(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)=-\prod (1+x_i)$.

Regula generală de recunoaștere: dacă expresia nu se schimbă când permuți rădăcinile între ele, atunci se poate scrie prin $S_1$, $S_2$, $S_3$ — deci se poate calcula din coeficienți. Expresii precum $x_1-x_2$, care se schimbă la permutare, nu au această proprietate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele trei relații, citite și verificate

Scrieți relațiile lui Viète pentru $f=X^3-6X^2+11X-6$ și verificați-le direct, știind că rădăcinile sunt $1$, $2$ și $3$.

Rezolvare. Polinomul este monic, deci $S_1=-(-6)=6$, $S_2=11$, $S_3=-(-6)=6$.

Verificare directă: $1+2+3=6$ ✓; $1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=2+3+6=11$ ✓; $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓.

Cele trei numere $S_1$, $S_2$, $S_3$ conțin toată informația „simetrică" despre rădăcini — și au fost obținute fără să rezolvăm ecuația.

Exemplul 2 — Suma pătratelor

Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3+2x^2-5x-6=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

Rezolvare. Din Viète: $S_1=-2$, $S_2=-5$, $S_3=6$. Aplicăm formula:

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=4-2(-5)=4+10=14.$$

Verificare: rădăcinile sunt $-1$, $2$, $-3$ (înlocuire directă), iar $1+4+9=14$. ✓

Exemplul 3 — Suma inverselor

Pentru aceeași ecuație, calculați $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

Rezolvare. Termenul liber este $-6\ne 0$, deci $S_3=6\ne 0$ și niciuna dintre rădăcini nu este nulă — expresia are sens. Aducem la același numitor:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3}=\frac{-5}{6}=-\frac{5}{6}.$$

Verificare cu rădăcinile $-1,2,-3$: $-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-6+3-2}{6}=-\frac{5}{6}$. ✓

Exemplul 4 — Un parametru dintr-o relație între rădăcini

Determinați $m\in \mathbb{R}$ știind că rădăcinile ecuației $x^3-8x^2+mx-12=0$ verifică relația $x_1+x_2=x_3$. Aflați apoi rădăcinile.

Rezolvare. Din Viète, $x_1+x_2+x_3=8$. Înlocuind $x_1+x_2$ cu $x_3$: $2x_3=8$, deci $x_3=4$.

Cum $4$ este rădăcină, impunem $f(4)=0$:

$$64-128+4m-12=0⟺4m=76⟺m=19.$$

Pentru rădăcini: $f=X^3-8X^2+19X-12$; împărțind cu $X-4$ prin schema lui Horner obținem câtul $X^2-4X+3=(X-1)(X-3)$. Așadar rădăcinile sunt $1$, $3$, $4$, iar relația se verifică: $1+3=4$. ✓

Exemplul 5 — Rădăcini în progresie aritmetică

Determinați $m\in \mathbb{R}$ știind că rădăcinile ecuației $x^3-9x^2+mx-15=0$ sunt în progresie aritmetică, apoi aflați-le.

Rezolvare. Notăm rădăcinile $u-r$, $u$, $u+r$. Suma lor este $3u$, iar din Viète $3u=9$, deci $u=3$: rădăcina din mijloc este $3$, oricare ar fi rația.

Impunem $f(3)=0$: $27-81+3m-15=3m-69=0$, deci $m=23$.

Pentru celelalte două: produsul rădăcinilor este $S_3=15$, deci $(3-r)\cdot 3\cdot (3+r)=15$, adică $9-r^2=5$ și $r^2=4$, $r=2$. Rădăcinile sunt $1$, $3$, $5$.

Verificare: $f=X^3-9X^2+23X-15=(X-1)(X-3)(X-5)$; $S_1=9$ ✓, $S_2=3+5+15=23$ ✓, $S_3=15$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-4x^2+5x-2=0$. Fără a rezolva ecuația, calculați: a) $x_1^2+x_2^2+x_3^2$; b) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$; c) $x_1^3+x_2^3+x_3^3$.

Rezolvare. Din relațiile lui Viète: $S_1=4$, $S_2=5$, $S_3=2$.

a) $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=16-10=6$.

b) Termenul liber este $-2\ne 0$, deci $S_3=2\ne 0$ și expresia are sens:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3}=\frac{5}{2}.$$

c) Fiecare rădăcină verifică ecuația: $x_i^3=4x_i^2-5x_i+2$, pentru $i\in \{1,2,3\}$. Adunând cele trei relații:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=4\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-5\left(x_1+x_2+x_3\right)+6=4\cdot 6-5\cdot 4+6=10.$$

Verificare (doar pentru control). Ecuația are rădăcinile $1$, $1$, $2$, pentru că $f=(X-1{)}^2(X-2)$. Într-adevăr: a) $1+1+4=6$ ✓; b) $1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ ✓; c) $1+1+8=10$ ✓. Observă că rădăcina $1$ este dublă și a fost numărată de două ori peste tot — exact cum cer relațiile lui Viète.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi $S_1$, $S_2$, $S_3$ din coeficienți; abia apoi exprimă ce ți se cere prin ele. Este ordinea pe care o urmărește și baremul.

1. Scrie cele trei relații ale lui Viète pentru polinomul $f=X^3-6X^2+11X-6$.

2. Scrie relațiile lui Viète pentru $f=2X^3-4X^2+6X-8$.

3. Pentru $f=X^3+3X^2-4$, calculează $x_1+x_2+x_3$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$ și $x_1{x}_2{x}_3$.

4. Calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ pentru rădăcinile ecuației $x^3-5x^2+6x-1=0$.

5. Calculează $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$ pentru rădăcinile ecuației $x^3-2x^2+3x-4=0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru polinomul $f=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, produsul rădăcinilor este $\frac{d}{a}$."

7. Scrie ecuația de gradul al treilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $1$, $-2$ și $3$.

8. Determină $m\in \mathbb{R}$ știind că rădăcinile ecuației $x^3-6x^2+mx-6=0$ sunt în progresie aritmetică, apoi află rădăcinile.

9. Rădăcinile polinomului $f=X^3+a{X}^2+bX+c$ sunt $2$, $-1$ și $3$. Determină $a$, $b$ și $c$.

10. Calculează $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ pentru rădăcinile ecuației $x^3-6x^2+11x-6=0$, folosind faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

11. (Problemă aplicată.) Un paralelipiped dreptunghic are suma muchiilor egală cu $24$ cm, aria totală egală cu $22$ cm² și volumul egal cu $6$ cm³. Scrie ecuația de gradul al treilea ale cărei rădăcini sunt cele trei dimensiuni și rezolv-o.

12. Determină $m\in \mathbb{R}$ știind că rădăcinile ecuației $x^3-7x^2+mx-8=0$ sunt în progresie geometrică, apoi află rădăcinile și rația.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate rădăcinile unui polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali sunt reale, atunci $S_1^2\ge 2S_2$."

14. Pentru rădăcinile ecuației $x^3-6x^2+11x-6=0$, calculează $x_1^2{x}_2^2{x}_3^2$ și $(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-3x^2+2x-5=0$. a) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. b) Calculați $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

16. Determină $a\in \mathbb{R}$ știind că rădăcinile ecuației $x^3-12x^2+ax-48=0$ verifică $x_1+x_2=x_3$, apoi află rădăcinile.

17. Pentru rădăcinile ecuației $x^3-4x^2+5x-2=0$, calculează $(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)$.

18. (Provocare.) Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-x-1=0$. Calculează $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ folosind faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

Răspunsuri și explicații

1. Polinomul e monic: $S_1=6$, $S_2=11$, $S_3=6$. (Rădăcinile sunt $1,2,3$, ceea ce confirmă imediat toate trei.)

2. Aici $a=2$, deci împărțim: $S_1=-\frac{-4}{2}=2$, $S_2=\frac{6}{2}=3$, $S_3=-\frac{-8}{2}=4$. Nu uita împărțirea la coeficientul dominant.

3. Termenul în $X$ lipsește, deci $c=0$: $S_1=-3$, $S_2=0$, $S_3=-(-4)=4$. (Rădăcinile sunt $1$, $-2$, $-2$, a doua fiind dublă — verificare: $1-2-2=-3$ ✓, $-2-2+4=0$ ✓, $1\cdot (-2)(-2)=4$ ✓.)

4. $S_1=5$, $S_2=6$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=25-12=13$.

5. $S_2=3$, $S_3=4\ne 0$, deci suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}=\frac{3}{4}$.

6. Fals. Produsul rădăcinilor este $-\frac{d}{a}$; semnul minus vine din alternanța semnelor în relațiile lui Viète. Contraexemplu: pentru $X^3-6X^2+11X-6$, produsul este $6$, nu $-6$.

7. $S_1=1-2+3=2$; $S_2=1\cdot (-2)+1\cdot 3+(-2)\cdot 3=-2+3-6=-5$; $S_3=1\cdot (-2)\cdot 3=-6$. Ecuația este $x^3-2x^2-5x+6=0$.

8. Rădăcina din mijloc este $\frac{S_1}{3}=\frac{6}{3}=2$. Impunem $f(2)=0$: $8-24+2m-6=2m-22=0$, deci $m=11$. Atunci $f=X^3-6X^2+11X-6=(X-1)(X-2)(X-3)$, iar rădăcinile $1,2,3$ formează o progresie aritmetică de rație $1$.

9. $S_1=2-1+3=4$, deci $a=-4$; $S_2=2(-1)+2\cdot 3+(-1)\cdot 3=-2+6-3=1$, deci $b=1$; $S_3=2\cdot (-1)\cdot 3=-6$, deci $c=6$. Polinomul este $f=X^3-4X^2+X+6$.

10. Fiecare rădăcină verifică $x_i^3=6x_i^2-11x_i+6$. Adunând: $x_1^3+x_2^3+x_3^3=6\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-11S_1+18$. Cum $S_1=6$, $S_2=11$, suma pătratelor este $36-22=14$, deci rezultatul este $6\cdot 14-11\cdot 6+18=84-66+18=36$. Control direct (rădăcinile sunt $1,2,3$): $1+8+27=36$. ✓

11. Fie $x_1,x_2,x_3$ dimensiunile. Suma muchiilor: $4(x_1+x_2+x_3)=24\Rightarrow S_1=6$. Aria totală: $2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=22\Rightarrow S_2=11$. Volumul: $S_3=6$. Ecuația este $$x^3-6x^2+11x-6=0,$$ cu soluțiile $1$, $2$, $3$. Dimensiunile sunt deci $1$ cm, $2$ cm și $3$ cm. (Verificare: $4\cdot 6=24$, $2\cdot 11=22$, $1\cdot 2\cdot 3=6$. ✓)

12. Rădăcina din mijloc verifică $u^3=S_3=8$, deci $u=2$. Impunem $f(2)=0$: $8-28+2m-8=2m-28=0$, deci $m=14$. Atunci $f=X^3-7X^2+14X-8=(X-1)(X-2)(X-4)$: rădăcinile sunt $1,2,4$, iar rația progresiei este $2$.

13. Adevărat. Pentru rădăcini reale, $x_1^2+x_2^2+x_3^2\ge 0$; cum această sumă este $S_1^2-2S_2$, rezultă $S_1^2\ge 2S_2$. (Contrapoziția e utilă: dacă $S_1^2<2S_2$, polinomul are obligatoriu rădăcini nereale.)

14. $x_1^2{x}_2^2{x}_3^2=(x_1{x}_2{x}_3{)}^2=S_3^2=36$. Pentru al doilea produs: $x_1+x_2=S_1-x_3=6-x_3$ și analog, deci produsul este $(6-x_1)(6-x_2)(6-x_3)=f(6)=216-216+66-6=60$. Control direct (rădăcinile $1,2,3$): $(1+2)(1+3)(2+3)=3\cdot 4\cdot 5=60$. ✓

15. $S_1=3$, $S_2=2$, $S_3=5$. a) $x_1^2+x_2^2+x_3^2=9-4=5$. b) Cum $S_3=5\ne 0$, suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}=\frac{2}{5}$.

16. Din $x_1+x_2=x_3$ și $S_1=12$ rezultă $2x_3=12$, deci $x_3=6$. Impunem $f(6)=0$: $216-432+6a-48=6a-264=0$, deci $a=44$. Atunci $f=X^3-12X^2+44X-48=(X-2)(X-4)(X-6)$, iar $2+4=6$. ✓

17. Polinomul fiind monic, $f(-1)=(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)=-(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)$, deci produsul cerut este $-f(-1)$. Calculăm $f(-1)=-1-4-5-2=-12$, deci rezultatul este $12$. Control (rădăcinile sunt $1,1,2$): $2\cdot 2\cdot 3=12$. ✓

18. Aici $S_1=0$, $S_2=-1$, $S_3=1$. Fiecare rădăcină verifică $x_i^3-x_i-1=0$, adică $x_i^3=x_i+1$. Adunând cele trei relații:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)+3=S_1+3=0+3=3.$$

Elegant: nu am avut nevoie nici măcar de suma pătratelor. (Control cu formula generală: $S_1^3-3S_1{S}_2+3S_3=0-0+3=3$. ✓)

De reținut

• Relațiile lui Viète pentru $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$: $S_1=-\frac{b}{a}$, $S_2=\frac{c}{a}$, $S_3=-\frac{d}{a}$ — semnele alternează: minus, plus, minus.
• Rădăcinile se numără cu multiplicități. O rădăcină dublă intră de două ori în toate sumele și produsele.
• Suma pătratelor: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2$. Suma inverselor: $\frac{S_2}{S_3}$, cu condiția $S_3\ne 0$.
• Suma cuburilor (și orice putere superioară) se obține din faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația: scrii relația pentru $x_1$, $x_2$, $x_3$ și le aduni.
• Relație dată între rădăcini: $x_1+x_2=x_3$ dă $x_3=\frac{S_1}{2}$; progresia aritmetică dă rădăcina din mijloc $\frac{S_1}{3}$; progresia geometrică o dă pe cea din mijloc ca $\sqrt[3]{S_3}$. Apoi impui că acel număr anulează polinomul.

Greșeli frecvente

• Semnul greșit la $S_3$. Produsul rădăcinilor este $-\frac{d}{a}$, nu $\frac{d}{a}$. Verifică-l mereu pe un exemplu cunoscut, de pildă $(X-1)(X-2)(X-3)=X^3-6X^2+11X-6$, unde produsul este $6$, iar $d=-6$.
• Uitarea împărțirii la $a$. Dacă polinomul nu e monic, toate cele trei relații se împart la coeficientul dominant. La $2X^3-4X^2+6X-8$, suma este $2$, nu $4$.
• Omiterea termenilor lipsă. La $X^3+3X^2-4$, coeficientul lui $X$ este $0$, deci $S_2=0$. Scrie polinomul complet, cu toți termenii, înainte de a citi coeficienții.
• Suma inverselor fără condiție. Formula $\frac{S_2}{S_3}$ cere $S_3\ne 0$. Dacă termenul liber este $0$, una dintre rădăcini este $0$ și expresia nu are sens — menționează asta, baremul o cere.
• Numărarea greșită a rădăcinilor multiple. Pentru $f=(X-1{)}^2(X-2)$, $S_1=1+1+2=4$. Dacă socotești doar rădăcinile distincte, obții $3$ și tot restul calculului se strică.

Aplică acasă

1. Cutia misterioasă. Măsoară dimensiunile unei cutii de ceai sau de medicamente, în centimetri, rotunjite la număr întreg. Calculează suma lor, suma produselor două câte două și produsul, apoi scrie ecuația $x^3-S_1{x}^2+S_{2}x-S_3=0$. Verifică, prin înlocuire, că dimensiunile măsurate sunt exact soluțiile ei. Ai reconstruit obiectul din trei numere.

2. Trei numere din trei informații. Roagă pe cineva să aleagă în secret trei numere întregi mici și să-ți spună doar suma lor, suma produselor două câte două și produsul. Formează ecuația și găsește numerele căutând rădăcini printre divizorii termenului liber. Este exact procedeul folosit la problemele de examen.

3. Verificarea unei rezolvări de culegere. Ia din culegere o ecuație de gradul al treilea cu soluții cunoscute și verifică toate cele trei relații ale lui Viète. Dacă una nu se potrivește, sau soluțiile din carte sunt greșite, sau ai citit greșit un semn — în ambele cazuri ai învățat ceva. Viète este cel mai ieftin test de corectitudine pentru orice ecuație de gradul al treilea.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă relațiile lui Viète dintr-o formulă memorată într-un instrument de lucru. Ideea centrală — că expresiile simetrice de rădăcini se citesc din coeficienți — merită subliniată explicit, pentru că ea explică de ce funcționează metoda și de ce nu se poate calcula, de pildă, $x_1-x_2$ prin aceleași mijloace. Elevul cunoaște deja cazul gradului al doilea, deci accentul cade pe extindere și pe tipurile de probleme.

Ce verifică lecția: (1) elevul scrie corect semnele alternante și împarte la coeficientul dominant; (2) numără rădăcinile cu multiplicități; (3) menționează condiția $S_3\ne 0$ la suma inverselor; (4) folosește tehnica „fiecare rădăcină verifică ecuația" în loc să memoreze formula sumei cuburilor. Întrebări bune de control: „De ce produsul rădăcinilor are semnul minus la gradul al treilea, dar plus la gradul al doilea?" (alternanța semnelor); „Cum afli rădăcina din mijloc dacă rădăcinile sunt în progresie aritmetică?"; „Ce expresii de rădăcini se pot calcula prin Viète și care nu?".

La Bacalaureat M1, relațiile lui Viète pentru gradul al treilea apar în aproape fiecare sesiune, în subiectul de algebră: suma pătratelor, suma inverselor, suma cuburilor, determinarea unui parametru dintr-o relație între rădăcini. Baremul acordă puncte separat pentru scrierea celor trei relații, deci acest prim pas trebuie făcut întotdeauna, chiar dacă restul rezolvării se poticnește. Semne că elevul a înțeles: începe orice problemă scriind $S_1$, $S_2$, $S_3$, verifică rezultatul pe un polinom cu rădăcini cunoscute și nu confundă rădăcinile distincte cu cele numărate cu multiplicități.

Întrebări frecvente

Care sunt relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al treilea? Pentru $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$: suma $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, suma produselor două câte două $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și produsul $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.

De unde vin relațiile lui Viète? Din descompunerea $f=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$: desfăcând parantezele și identificând coeficienții cu cei ai lui $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, se obțin exact cele trei egalități. Deci ele nu sunt o formulă memorată, ci o consecință directă a descompunerii în factori.

Cum calculez suma pătratelor rădăcinilor? Cu formula $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2$, care se obține din dezvoltarea pătratului sumei. Nu ai nevoie de rădăcini, doar de coeficienți.

Cum calculez suma inverselor rădăcinilor? Aduci la același numitor și obții $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3}$. Condiția de existență este $S_3\ne 0$, adică termenul liber al polinomului să fie nenul.

Cum calculez suma cuburilor rădăcinilor? Cel mai sigur, folosind că fiecare rădăcină verifică ecuația: din $a{x}_i^3+b{x}_i^2+c{x}_i+d=0$ scoți $x_i^3$ și aduni cele trei relații. Metoda funcționează la orice putere, nu doar la cub.

Cum determin un parametru când se dă o relație între rădăcini? Combini relația dată cu una dintre formulele lui Viète pentru a afla explicit una dintre rădăcini (de exemplu, din $x_1+x_2=x_3$ rezultă $x_3=\frac{S_1}{2}$), apoi impui ca acel număr să anuleze polinomul. Obții o ecuație în parametru.

Ce fac dacă rădăcinile sunt în progresie aritmetică sau geometrică? La progresie aritmetică, notezi rădăcinile $u-r$, $u$, $u+r$: suma lor este $3u$, deci rădăcina din mijloc este $\frac{S_1}{3}$. La progresie geometrică, notezi $\frac{u}{r}$, $u$, $ur$: produsul este $u^3$, deci rădăcina din mijloc este $\sqrt[3]{S_3}$.

Relațiile lui Viète funcționează și dacă rădăcinile sunt complexe sau multiple? Da, fără nicio modificare. Ele decurg din descompunerea peste $\mathbb{C}$, care există întotdeauna. Singura atenție: rădăcinile multiple se numără de câte ori indică ordinul lor de multiplicitate.