Recapitulare: inele și corpuri cu structuri ascunse — probleme de tip Bacalaureat M1

Cele mai multe probleme cu inele și corpuri din subiectele de Bacalaureat M1 nu încep cu cuvântul „inel". Ele încep cu o formulă — „pe mulțimea numerelor reale se definesc legile $x\oplus y=x+y-5$ și $x\otimes y=xy-5x-5y+30$" — sau cu o mulțime de matrice, sau cu mulțimea părților unei mulțimi, și abia la punctul b) se cere să arăți ce structură se ascunde acolo. Un inel este o mulțime cu două legi de compoziție în care prima dă un grup comutativ, a doua este asociativă și are element unitate, iar a doua este distributivă față de prima; un corp este un inel în care orice element nenul este inversabil. Lecția aceasta de clasa a 12-a te învață să recunoști structura din prima citire și, mai ales, să nu verifici din nou opt axiome atunci când o singură bijecție potrivită le transferă pe toate deodată.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Ea recapitulează, fără să reia definițiile, tot ce s-a construit în unitate: axiomele de la inelul: definiție, axiome și exemple, divizorii lui zero de la reguli de calcul într-un inel, elementele inversabile de la grupul unităților unui inel, corpurile de la corpul: definiție și exemple și transportul de structură de la morfisme și izomorfisme de inele și corpuri. Următoarea lecție a unității, sinteza polinoamelor peste un corp, face același lucru pentru polinoame.

Notație, fixată pentru toată lecția. Într-un inel $(A,\oplus ,\otimes )$ ale cărui legi nu se numesc $+$ și $\cdot$, scriem $x^{\prime }$ pentru simetricul lui $x$ față de $\oplus$ (el joacă rolul opusului) și $x^{-1}$ pentru simetricul lui $x$ față de $\otimes$ (el joacă rolul inversului). Când $x$ este un număr real, $x^{-1}$ nu înseamnă $\frac{1}{x}$; de fiecare dată spunem față de ce lege.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o lege „de tip inel" scrisă printr-o formulă și să-i găsești imediat forma factorizată.
• Vei ști să folosești transportul de structură ca să demonstrezi că o mulțime este inel sau corp, fără să verifici axiomele una câte una.
• Vei ști să decizi dacă o mulțime de matrice este inel, dacă e comutativă și dacă are divizori ai lui zero.
• Vei ști să spui, motivat, când o structură este inel dar nu corp, și să indici un element nenul neinversabil.
• Vei ști de ce anumite construcții nu pot produce un corp și cum se argumentează asta la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o problemă cu structură ascunsă?

O problemă cu structură ascunsă este o problemă în care ți se dă o mulțime concretă și una sau două legi de compoziție scrise prin formule, fără să ți se spună ce structură formează, iar sarcina ta este să descoperi structura verificând axiomele sau, mai bine, transportând-o dintr-o structură deja cunoscută printr-o funcție bijectivă potrivită.

Enunțurile de la Bacalaureat M1 vin în patru înfățișări, pe care merită să le ai în minte ca pe patru sertare:

Diferența dintre un elev care ia 15 puncte și unul care ia 5 nu e viteza de calcul, ci recunoașterea sertarului. Odată recunoscut, drumul e scurt.

2. Cum recunoști o lege „de tip inel" scrisă printr-o formulă?

Cele două legi apar aproape întotdeauna împreună și au forma $$x\oplus y=x+y-a,x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a.$$

Prima e o translație a adunării; a doua se factorizează. Trucul, fixat deja la morfisme și izomorfisme de inele și corpuri, este să cauți numărul $a$ pentru care $$x\otimes y=(x-a)(y-a)+a.$$ Desfăcând paranteza obții $xy-ax-ay+a^2+a$, deci $a$ se citește direct din coeficientul lui $x$: dacă legea e $x\otimes y=xy-5x-5y+30$, atunci $a=5$, iar termenul liber trebuie să fie $a^2+a=25+5=30$ — și chiar este. Verificarea aceasta a termenului liber e obligatorie: dacă nu iese, legea nu e de acest tip și rețeta nu se aplică.

Odată găsit $a$, se aplică rețeta pentru legile deghizate, fixată la elementele inversabile ale unui inel și reobținută prin transport la morfisme și izomorfisme de inele și corpuri: elementul nul este $a$, elementul unitate este $a+1$, iar $x$ este inversabil dacă și numai dacă $x-a$ este inversabil în inelul de plecare. Totul se citește pe loc:

• elementul neutru al lui $\oplus$ — adică zeroul inelului — este $a$, pentru că $x\oplus a=x+a-a=x$;
• simetricul lui $x$ față de $\oplus$ este $x^{\prime }=2a-x$;
• elementul neutru al lui $\otimes$ — adică unitatea — este $a+1$, pentru că $(x-a)\cdot 1+a=x$;
• simetricul lui $x\ne a$ față de $\otimes$ este $x^{-1}=a+\frac{1}{x-a}$.

Nu memora aceste patru formule; memorează că toate se obțin din $(x-a)(y-a)+a$ într-un rând de calcul.

3. Transportul de structură: rețeta care scurtează totul

Ideea e simplă și e cea mai rentabilă din toată unitatea. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-a$, este bijectivă, iar un calcul de două rânduri arată că $$f(x\oplus y)=f(x)+f(y),f(x\otimes y)=f(x)\cdot f(y).$$ Prima egalitate: $f(x\oplus y)=x+y-a-a=(x-a)+(y-a)$. A doua: $f(x\otimes y)=(x-a)(y-a)+a-a=(x-a)(y-a)$.

Deci $f$ este un izomorfism de inele de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$. De aici, toate axiomele se transferă automat: asociativitatea lui $\oplus$ pentru că adunarea e asociativă, distributivitatea pentru că înmulțirea e distributivă față de adunare, existența inverselor pentru că orice real nenul e inversabil. Concluzia — $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ, izomorf cu corpul numerelor reale — se obține fără nicio verificare de axiomă.

Redactarea așteptată la examen are trei pași și numai trei: se propune $f$, se verifică cele două condiții de morfism, se constată bijectivitatea (aici, inversa e $f^{-1}(t)=t+a$). Apoi se enunță concluzia. Un elev care verifică pe rând asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea pierde douăzeci de minute pentru același punctaj.

4. De ce nu poți obține un corp pe un interval prin translație?

Aici stă cea mai frecventă eroare de raționament din acest capitol, iar ea nu se vede la nicio verificare numerică. Dacă mulțimea de plecare nu e $\mathbb{R}$, ci un interval — de pildă $I=(5,+\infty )$ — atunci legile $\oplus$ și $\otimes$ pot fi perfect asociative, comutative și distributive pe $I$, și totuși $(I,\oplus ,\otimes )$ nu poate fi corp.

Motivul e de ordin structural. Un izomorfism este, înainte de orice, o funcție bijectivă. Translația $f(x)=x-5$ duce intervalul $(5,+\infty )$ pe intervalul $(0,+\infty )$, niciodată pe toată mulțimea numerelor reale. Deci ea nu poate fi izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$, oricât de frumos s-ar comporta față de operații.

Mai concret: zeroul inelului ar trebui să fie $5$, iar $5\notin I$. O structură de inel are obligatoriu un element neutru pentru prima lege; dacă acel element lipsește din mulțime, nu există inel, deci cu atât mai puțin corp. În schimb, pe intervalul $I$ legea $\otimes$ singură funcționează impecabil: $(I,\otimes )$ este grup comutativ, izomorf prin aceeași translație cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive.

Regula de reținut, în cuvinte: pe un interval se poate obține grup, monoid sau parte stabilă; corp — numai pe o mulțime pe care translația o duce peste tot $\mathbb{R}$, adică pe $\mathbb{R}$ însuși.

5. Inele de matrice și inele de numere

Al doilea și al treilea sertar se rezolvă cu aceeași strategie: scrie regula de compunere în parametri.

Cadrul e mereu rețeta în trei pași fixată la inelul: definiție, axiome și exemple: parte stabilă la ambele operații $\to$ moștenirea axiomelor de calcul dintr-o structură deja cunoscută $\to$ existența lui $0$, a lui $1$ și a opuselor în mulțimea dată. Pasul al doilea este cel care scurtează totul, iar el trebuie rostit, nu subînțeles: „asociativitatea, comutativitatea adunării și distributivitatea se moștenesc din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$" este o frază care valorează, la barem, cât o pagină de verificări.

Pentru o familie de matrice $M=\{A(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$ se calculează o dată produsul $A(a,b)\cdot A(c,d)$ și se exprimă rezultatul tot sub forma $A(\cdot ,\cdot )$. Dacă reușești, ai demonstrat în același rând că $M$ e parte stabilă și ai obținut instrumentul cu care răspunzi la toate celelalte întrebări: comutativitatea se citește din simetria formulei, unitatea se găsește rezolvând $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(a,b)$, iar inversabilitatea se reduce la o condiție pe parametri. Asociativitatea nu se verifică niciodată: ea se moștenește din inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, unde înmulțirea a două matrice e deja asociativă. Aceeași metodă a fost folosită la inele de matrice cu structură remarcabilă.

Pentru mulțimi de numere de forma $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ sau $\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$, unealta este conjugatul $a-b\sqrt{d}$ și produsul $$(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})=a^2-d{b}^2.$$ Numărul $a^2-d{b}^2$ se numește norma elementului. Când $d$ nu e pătrat perfect, norma se anulează doar pentru $a=b=0$, ceea ce dă imediat inversul în $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$: $$(a+b\sqrt{d}{)}^{-1}=\frac{a-b\sqrt{d}}{a^2-d{b}^2}.$$ De aici rezultă că $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ este corp, iar $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ este doar inel: în el, inversul lui $2$ ar fi $\frac{1}{2}$, care nu are forma cerută. Că ambele sunt integre nu se mai verifică: ele sunt subinele care conțin pe $0$ și pe $1$ ale inelului integru $\mathbb{C}$, deci se aplică criteriul de integritate moștenită de la reguli de calcul într-un inel.

6. Clasele de resturi: integru, corp, divizori ai lui zero

Al patrulea sertar e cel mai bine cartografiat, pentru că are un criteriu unic. Teorema de clasă demonstrată la corpul: definiție și exemple spune: ${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim. Ea se dublează cu observația despre divizorii lui zero: ${\mathbb{Z}}_n$ este inel integru exact în aceleași condiții.

Cele două inele-contraexemplu de reținut, pentru că sunt cele mai mici, sunt ${\mathbb{Z}}_4$ și ${\mathbb{Z}}_6$: în primul $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{0}$, în al doilea $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$, iar elementele inversabile sunt doar $\{\hat{1},\hat{3}\}$, respectiv $\{\hat{1},\hat{5}\}$. Pe un caz mai încăpător, ce se întâmplă când $n$ nu e prim se vede pe ${\mathbb{Z}}_{12}$. Clasele inversabile sunt cele cu $(a,12)=1$, adică $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$ — doar patru din douăsprezece. Toate celelalte clase nenule sunt divizori ai lui zero: $\hat{2}\cdot \hat{6}=\widehat{12}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{0}$, $\hat{8}\cdot \hat{3}=\widehat{24}=\hat{0}$.

Consecința practică se vede la ecuații. În ${\mathbb{Z}}_{12}$, ecuația $\hat{5}x=\hat{3}$ se rezolvă înmulțind cu ${\hat{5}}^{-1}=\hat{5}$ (pentru că $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$) și dă soluția unică $x=\widehat{15}=\hat{3}$. Dar ecuația $\hat{4}x=\hat{2}$ nu are nicio soluție, iar $\hat{4}x=\hat{8}$ are patru: $\hat{2},\hat{5},\hat{8},\widehat{11}$. Într-un corp așa ceva nu se poate întâmpla; într-un inel cu divizori ai lui zero, da.

7. Trusa de decizie: inel, corp sau nimic?

Ordinea întrebărilor, la examen, este mereu aceeași:

1. Prima lege are element neutru în mulțime? Dacă nu, nu e nici măcar inel — și de multe ori aici se închide problema.
2. Fiecare element are simetric față de prima lege? Dacă nu, structura e cel mult monoid.
3. A doua lege e asociativă și distributivă? Când legile se moștenesc dintr-un inel cunoscut, răspunsul e da, prin restricție.
4. Există unitate? În acest curs, prin definiție, inelele au element unitate.
5. Orice element nenul e inversabil? Dacă da, e corp. Dacă nu, e inel; și atunci arată explicit un element nenul neinversabil — un singur contraexemplu, nu o explicație generală.
6. Există divizori ai lui zero? Dacă da, cu siguranță nu e corp, iar contraexemplul de la pasul 5 e chiar unul dintre ei. Tot aici se decide dacă poți simplifica în calcule: Propoziția 3 (regula simplificării) de la reguli de calcul într-un inel cere ca factorul cu care simplifici să nu fie divizor al lui zero — în ${\mathbb{Z}}_6$, din $\hat{2}\hat{x}=\hat{2}\hat{y}$ nu rezultă $\hat{x}=\hat{y}$.

Pasul 5 merită subliniat, pentru că e cel care aduce punctele: la Bacalaureat M1 nu se cere „explicați de ce nu e corp", se cere un element concret. În $\mathbb{Z}$ el este $2$; în $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ tot $2$; în inelul matricelor triunghiulare din exemplul 6 este $A(0,1)$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două legi pe mulțimea numerelor reale

Pe $\mathbb{R}$ se definesc $x\oplus y=x+y-5$ și $x\otimes y=xy-5x-5y+30$. Arătați că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ și determinați zeroul, unitatea, simetricul lui $x$ față de $\oplus$ și inversul lui $7$ față de $\otimes$.

Rezolvare. Coeficientul lui $x$ în a doua lege este $-5$, deci candidatul e $a=5$; verificăm termenul liber: $a^2+a=25+5=30$ ✓. Prin urmare $$x\otimes y=(x-5)(y-5)+5.$$ (Verificat exact, cu fracții, pe 400 de perechi de numere raționale.) ✓

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$, bijectivă, cu inversa $f^{-1}(t)=t+5$. Atunci $$f(x\oplus y)=x+y-10=(x-5)+(y-5)=f(x)+f(y),$$ $$f(x\otimes y)=(x-5)(y-5)=f(x)\cdot f(y).$$ Deci $f$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$. Cum acesta din urmă este corp comutativ, structura de plecare este corp comutativ.

Elementele se obțin întorcând prin $f^{-1}$: zeroul este $f^{-1}(0)=5$, unitatea este $f^{-1}(1)=6$, simetricul lui $x$ față de $\oplus$ este $x^{\prime }=f^{-1}(-(x-5))=10-x$, iar inversul lui $7$ față de $\otimes$ este $f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{2}$.

Verificare directă: $7\otimes \frac{11}{2}=\frac{77}{2}-35-\frac{55}{2}+30=11-5=6$, adică unitatea. ✓

Exemplul 2 — Un inel ascuns în mulțimea părților

Fie $M$ o mulțime nevidă și $\mathcal{P}(M)$ mulțimea părților ei. Arătați că $(\mathcal{P}(M),△,\cap )$ este inel comutativ cu unitate și că, pentru $M$ cu cel puțin două elemente, are divizori ai lui zero.

Rezolvare. Legile sunt cele studiate la legi de compoziție pe mulțimea părților: diferența simetrică $A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ și intersecția.

Grupul aditiv. Diferența simetrică este asociativă și comutativă; elementul neutru este $\varnothing$, pentru că $A△\varnothing =A$; iar fiecare element este propriul simetric, $A△A=\varnothing$, deci $A^{\prime }=A$. Prin urmare $(\mathcal{P}(M),△)$ e grup comutativ.

Monoidul multiplicativ. Intersecția e asociativă și comutativă, cu elementul neutru $M$: $A\cap M=A$ pentru orice $A\subseteq M$.

Distributivitatea. $A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C)$ — se verifică pe elemente sau pe o diagramă.

(Toate cele patru proprietăți au fost verificate exhaustiv pe $M=\{1,2,3\}$, adică pe toate cele $8^3=512$ triplete de submulțimi.) ✓

Divizori ai lui zero. Dacă $M$ are cel puțin două elemente $u\ne v$, atunci $\{u\}\ne \varnothing$, $\{v\}\ne \varnothing$ și $\{u\}\cap \{v\}=\varnothing$, adică zeroul inelului. Deci inelul nu e integru și, cu atât mai puțin, corp. De altfel singurul element inversabil este $M$ însuși.

Exemplul 3 — Pe un interval: grup, dar nu inel

Fie $I=(5,+\infty )$, cu legile $\oplus$ și $\otimes$ din exemplul 1. a) Arătați că $I$ e parte stabilă față de $\otimes$ și că $(I,\otimes )$ e grup comutativ. b) Arătați că $(I,\oplus ,\otimes )$ nu este inel.

Rezolvare. a) Pentru $x,y>5$ avem $x-5>0$ și $y-5>0$, deci $x\otimes y=(x-5)(y-5)+5>5$: mulțimea e parte stabilă. Legea indusă e asociativă și comutativă, fiind restricția uneia care are aceste proprietăți pe $\mathbb{R}$.

Elementul neutru este $6\in I$. Pentru $x\in I$, simetricul este $x^{-1}=5+\frac{1}{x-5}$, care aparține lui $I$ pentru că $\frac{1}{x-5}>0$. Deci $(I,\otimes )$ e grup comutativ, izomorf prin $f(x)=x-5$ cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive.

(Stabilitatea, neutrul și simetricul au fost verificate exact pe 400 de perechi de numere raționale din interval.) ✓

b) Zeroul inelului ar trebui să fie elementul neutru al lui $\oplus$, adică $5$. Dar $5\notin I$, iar pentru $x,y\in I$ avem $x\oplus y=x+y-5>5$, deci nicio pereche nu compune la un element neutru. Fără element neutru pentru prima lege, $(I,\oplus )$ nu e grup, deci $(I,\oplus ,\otimes )$ nu e inel.

Observația de reținut: faptul că legile se comportă frumos nu compensează lipsa unui element din mulțime. Translația $f(x)=x-5$ duce $I$ pe $(0,+\infty )$, nu pe $\mathbb{R}$ — deci un corp izomorf cu $(\mathbb{R},+,\cdot )$ nu se poate construi așa pe un interval.

Exemplul 4 — Un corp și un inel construite cu $\sqrt{3}$

Fie $A=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ și $K=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$, cu adunarea și înmulțirea numerelor reale. Arătați că $A$ este inel, că $K$ este corp și că $A$ nu este corp.

Rezolvare. Ambele mulțimi sunt părți stabile: $(a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=(a+c)+(b+d)\sqrt{3}$ și $$(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}.$$ Asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc de la numerele reale; zeroul este $0$, unitatea este $1$, iar opusul lui $a+b\sqrt{3}$ este $-a-b\sqrt{3}$. Deci ambele sunt inele comutative cu unitate.

(Regula de înmulțire, asociativitatea și distributivitatea au fost verificate exact pe 300 de triplete cu componente raționale.) ✓

Pentru $K$, fie $a+b\sqrt{3}\ne 0$. Numărul $a^2-3b^2$ nu poate fi zero: dacă $b\ne 0$, ar rezulta $\sqrt{3}=\left|\frac{a}{b}\right|$, iar $\sqrt{3}$ este irațional; dacă $b=0$, atunci $a\ne 0$. Deci $$(a+b\sqrt{3}{)}^{-1}=\frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}=\frac{a}{a^2-3b^2}-\frac{b}{a^2-3b^2}\sqrt{3}\in K.$$ Prin urmare $K$ este corp comutativ.

Pentru $A$ concluzia e diferită: elementul $2\in A$ este nenul, dar $2^{-1}=\frac{1}{2}\notin A$, pentru că $\frac{1}{2}$ nu se scrie ca $a+b\sqrt{3}$ cu $a,b$ întregi. Deci $A$ este inel, nu corp. (Un exemplu de element inversabil din $A$: $2+\sqrt{3}$, cu inversul $2-\sqrt{3}$, pentru că $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$.) ✓

Exemplul 5 — Două inele de clase de resturi, față în față

Comparați ${\mathbb{Z}}_{12}$ și ${\mathbb{Z}}_{11}$: determinați elementele inversabile, divizorii lui zero și rezolvați în fiecare ecuațiile $\hat{5}x=\hat{3}$ și $\hat{4}x=\hat{2}$.

Rezolvare. În ${\mathbb{Z}}_{11}$, numărul $11$ e prim, deci toate cele zece clase nenule sunt inversabile și nu există divizori ai lui zero: ${\mathbb{Z}}_{11}$ e corp. Ecuația $\hat{5}x=\hat{3}$ se rezolvă înmulțind cu ${\hat{5}}^{-1}=\hat{9}$ (fiindcă $\hat{5}\cdot \hat{9}=\widehat{45}=\hat{1}$) și dă $x=\widehat{27}=\hat{5}$. Ecuația $\hat{4}x=\hat{2}$ se rezolvă la fel, cu ${\hat{4}}^{-1}=\hat{3}$, și dă $x=\hat{6}$. Ambele au soluție unică — semnătura unui corp.

În ${\mathbb{Z}}_{12}$, inversabile sunt clasele $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$, adică exact cele cu $(a,12)=1$. Toate celelalte clase nenule — $\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\hat{9},\widehat{10}$ — sunt divizori ai lui zero. Ecuația $\hat{5}x=\hat{3}$ are coeficientul inversabil, cu ${\hat{5}}^{-1}=\hat{5}$, deci soluție unică $x=\widehat{15}=\hat{3}$. Ecuația $\hat{4}x=\hat{2}$ nu are soluții: verificând cele douăsprezece clase, produsul $\hat{4}x$ ia doar valorile $\hat{0},\hat{4},\hat{8}$, iar $\hat{2}$ nu e printre ele.

(Ambele liste de inversabile, lista divizorilor lui zero și cele patru ecuații au fost verificate prin parcurgerea completă a claselor.) ✓

Concluzia care se cere formulată: într-un corp, o ecuație de gradul întâi cu coeficient nenul are exact o soluție; într-un inel cu divizori ai lui zero, ea poate avea zero, una sau mai multe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al problemei a doua din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte. Structura celor trei subpuncte legate între ele este aceeași și la problemele din Subiectul al III-lea.

Se consideră mulțimea $M=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}\subset {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

a) Arătați că $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(ac,ad+bc)$ și deduceți că $M$ este parte stabilă față de înmulțirea matricelor. b) Arătați că $(M,+,\cdot )$ este inel comutativ cu unitate, dar nu este corp. c) Determinați mulțimea elementelor inversabile ale lui $M$ și calculați inversul matricei $A(2,3)$.

Rezolvare.

a) Înmulțim direct: $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& ad+bc\\ 0& ac\end{array}\right)=A(ac,ad+bc).$$ Rezultatul are aceeași formă, deci produsul a două elemente din $M$ rămâne în $M$: mulțimea e parte stabilă. (Regula a fost verificată exact pe 300 de perechi cu intrări raționale.) ✓

b) Aplicăm rețeta în trei pași. Pasul 1 — parte stabilă: pentru înmulțire s-a arătat la a), iar pentru adunare $A(a,b)+A(c,d)=A(a+c,b+d)$. Pasul 2 — moștenirea: asociativitatea și comutativitatea adunării, asociativitatea înmulțirii și distributivitatea se moștenesc din inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, deci nu se reverifică. Pasul 3 — elementele: zeroul este $A(0,0)=O_2$, opusul lui $A(a,b)$ este $A(-a,-b)$, iar unitatea este $A(1,0)=I_2$; toate trei aparțin lui $M$. Comutativitatea se citește din formula de la a): $A(c,d)\cdot A(a,b)=A(ca,cb+da)$, iar $ad+bc=cb+da$. Deci $(M,+,\cdot )$ e inel comutativ cu unitate.

Nu e corp, pentru că $A(0,1)\ne O_2$ nu este inversabil: din formula de la a), $A(0,1)\cdot A(c,d)=A(0,0)$ pentru orice $c,d$, deci produsul nu poate fi niciodată $I_2$. Mai mult, $A(0,1)\cdot A(0,1)=O_2$, deci $A(0,1)$ este chiar divizor al lui zero.

c) Din $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(ac,ad+bc)=A(1,0)$ obținem sistemul $ac=1$, $ad+bc=0$. Prima ecuație cere $a\ne 0$ și dă $c=\frac{1}{a}$; a doua devine $ad=-\frac{b}{a}$, deci $d=-\frac{b}{a^2}$. Prin urmare $$U(M)=\{A(a,b)\mid a\ne 0\},A(a,b{)}^{-1}=A\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a^2}\right).$$ Pentru $a=2$ și $b=3$: $A(2,3{)}^{-1}=A\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right)$.

Verificare: $A(2,3)\cdot A\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right)=A\left(1,2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)+3\cdot \frac{1}{2}\right)=A(1,0)=I_2$. ✓

Se poate observa și că $\det A(a,b)=a^2$, deci condiția $a\ne 0$ este exact condiția de inversabilitate în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ — dar aici trebuia arătat în plus că inversa rămâne în $M$.

Să exersăm

1. Arătați că legea $x\ast y=x+y-7$ pe $\mathbb{R}$ are elementul neutru $7$ și determinați simetricul lui $x$.

2. Scrieți legea $x\otimes y=xy-4x-4y+20$ sub forma $(x-a)(y-a)+a$ și determinați elementul ei neutru.

3. Determinați mulțimea elementelor inversabile ale inelului ${\mathbb{Z}}_{10}$.

4. Calculați ${\hat{3}}^{-1}$ în ${\mathbb{Z}}_{10}$ și verificați rezultatul.

5. Arătați că ${\mathbb{Z}}_6$ are divizori ai lui zero, dând un exemplu concret.

6. Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{3}x=\hat{4}$.

7. Arătați că ecuația $\hat{2}x=\hat{3}$ nu are soluții în ${\mathbb{Z}}_6$.

8. Calculați inversul lui $3+\sqrt{3}$ în corpul $K=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$.

9. Cu notațiile din exemplul 6, determinați inversul matricei $A(3,-1)$.

10. Arătați că, pentru orice $a,b$ reali, $A(a,b{)}^2=A(a^2,2ab)$.

11. Calculați produsul $A(1,2)\cdot A(3,-1)$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice inel comutativ cu unitate în care $1\ne 0$ este corp.

13. Explicați de ce mulțimea numerelor întregi pare, $2\mathbb{Z}$, nu este inel în sensul folosit în această unitate.

14. Scrieți legea $x\ast y=2xy-6x-6y+21$ sub forma $2(x-3)(y-3)+3$ și determinați elementul neutru.

15. (Problemă aplicată.) Determinați $U({\mathbb{Z}}_9)$ și arătați că $\hat{3}$ este divizor al lui zero în ${\mathbb{Z}}_9$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definesc $x\oplus y=x+y-5$ și $x\otimes y=xy-5x-5y+30$. Determinați simetricul lui $9$ față de $\oplus$ și inversul lui $9$ față de $\otimes$.

17. Arătați că ${\mathbb{Z}}_5$ este corp, iar ${\mathbb{Z}}_6$ nu, folosind criteriul cu numere prime.

18. (Provocare.) În inelul $(\mathcal{P}(M),△,\cap )$, arătați că $A\cap A=A$ și $A△A=\varnothing$ pentru orice $A$, apoi deduceți că, dacă $M$ are cel puțin două elemente, inelul nu este corp.

Răspunsuri și explicații

1. $x\ast 7=x+7-7=x$, deci neutrul este $7$. Simetricul lui $x$ se află din $x\ast x^{\prime }=7$, adică $x+x^{\prime }-7=7$, de unde $x^{\prime }=14-x$.

2. $a=4$, iar termenul liber verifică $a^2+a=16+4=20$ ✓. Deci $x\otimes y=(x-4)(y-4)+4$, iar elementul neutru este $a+1=5$.

3. $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$ — clasele $\hat{a}$ cu $(a,10)=1$.

4. ${\hat{3}}^{-1}=\hat{7}$, pentru că $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_{10}$.

5. $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, iar $\hat{2}\ne \hat{0}$ și $\hat{3}\ne \hat{0}$. Deci $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt divizori ai lui zero, ceea ce era de așteptat pentru că $6$ nu e prim.

6. $x=\hat{6}$. Cum $7$ e prim, $\hat{3}$ e inversabil cu ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$ ($\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$), deci $x=\hat{5}\cdot \hat{4}=\widehat{20}=\hat{6}$. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{6}=\widehat{18}=\hat{4}$ ✓.

7. Clasa $\hat{2}$ nu e inversabilă în ${\mathbb{Z}}_6$, deci verificăm toate cele șase clase: $\hat{2}x$ ia valorile $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{0},\hat{2},\hat{4}$. Valoarea $\hat{3}$ nu apare, deci ecuația nu are soluții. Motivul de fond: $\hat{2}x$ este mereu o clasă „pară", iar $\hat{3}$ nu e.

8. $(3+\sqrt{3}{)}^{-1}=\frac{3-\sqrt{3}}{9-3}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$. Verificare: $(3+\sqrt{3})\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{6}=1$ ✓.

9. $A(3,-1{)}^{-1}=A\left(\frac{1}{3},\frac{1}{9}\right)$, din formula $A(a,b{)}^{-1}=A\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a^2}\right)$ cu $a=3$, $b=-1$.

10. Din regula de înmulțire cu $c=a$ și $d=b$: $A(a,b)A(a,b)=A(a\cdot a,ab+ba)=A(a^2,2ab)$.

11. $A(1,2)\cdot A(3,-1)=A(1\cdot 3,1\cdot (-1)+2\cdot 3)=A(3,5)$.

12. Fals. Inelul numerelor întregi $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ este comutativ, are unitatea $1\ne 0$, dar nu e corp: singurele elemente inversabile sunt $1$ și $-1$, iar $2$ nu are invers întreg.

13. Pentru că nu are element unitate: nu există $u\in 2\mathbb{Z}$ cu $u\cdot n=n$ pentru orice $n$ par, singurul candidat fiind $1$, care nu e par. În acest curs, ca în manualele românești, inelele au element unitate prin definiție.

14. Desfăcând, $2(x-3)(y-3)+3=2xy-6x-6y+18+3=2xy-6x-6y+21$ ✓. Elementul neutru $e$ se află din $2(x-3)(e-3)+3=x$ pentru orice $x$, adică $2(e-3)=1$, deci $e=\frac{7}{2}$.

15. $U({\mathbb{Z}}_9)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\}$ — cele șase clase cu $(a,9)=1$. Clasa $\hat{3}$ nu e printre ele și $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{0}$, deci $\hat{3}$ e divizor al lui zero.

16. Simetricul lui $9$ față de $\oplus$ este $9^{\prime }=10-9=1$; verificare: $9\oplus 1=9+1-5=5$, adică zeroul ✓. Inversul față de $\otimes$ este $9^{-1}=5+\frac{1}{9-5}=\frac{21}{4}$; verificare: $9\otimes \frac{21}{4}=\frac{189}{4}-45-\frac{105}{4}+30=21-15=6$, adică unitatea ✓.

17. $5$ este prim, deci ${\mathbb{Z}}_5$ e corp: toate cele patru clase nenule sunt inversabile (${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{3}}^{-1}=\hat{2}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$). $6$ nu e prim, deci ${\mathbb{Z}}_6$ nu e corp; concret, $\hat{2}$ nu e inversabil.

18. $A\cap A=A$ este chiar definiția intersecției. $A△A=(A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\varnothing$, adică zeroul inelului, deci fiecare element e propriul opus. Dacă $M$ are două elemente distincte $u\ne v$, atunci $\{u\}$ și $\{v\}$ sunt nenule și $\{u\}\cap \{v\}=\varnothing$: avem divizori ai lui zero, iar un corp nu are. De fapt singurul element inversabil este $M$, pentru că $A\cap B=M$ obligă $A=B=M$.

De reținut

• O lege de forma $x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a$ se scrie întotdeauna $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, iar din această formă se citesc pe rând zeroul, unitatea și simetricele.
• Transportul de structură prin funcția $f(x)=x-a$ demonstrează într-un rând că o structură este inel sau corp, pentru că un izomorfism transferă toate axiomele deodată.
• Un corp izomorf cu corpul numerelor reale nu se poate obține pe un interval prin translație, pentru că translația duce un interval tot într-un interval, niciodată peste toată dreapta reală.
• O mulțime de matrice se studiază scriind regula de compunere în parametri; asociativitatea și distributivitatea se moștenesc din inelul matricelor pătratice și nu se reverifică.
• Inelul claselor de resturi ${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim; în rest, clasele neinversabile sunt exact divizorii lui zero.

Greșeli frecvente

• Greșeala: a verifica pe rând toate cele opt axiome de corp după ce ai găsit deja izomorfismul. Corect: izomorfismul le transferă pe toate; se scriu doar cele două condiții de morfism și bijectivitatea.
• Greșeala: a declara că $(I,\oplus ,\otimes )$ e corp pe un interval, pentru că „legile se comportă la fel". Corect: zeroul, adică neutrul primei legi, trebuie să aparțină mulțimii; pe $(5,+\infty )$, elementul $5$ lipsește, deci nu există nici măcar inel.
• Greșeala: a afirma „nu e corp pentru că nu toate elementele sunt inversabile", fără exemplu. Corect: baremul cere un element concret nenul și neinversabil, de pildă $2$ în $\mathbb{Z}$ sau $A(0,1)$ în inelul matricelor triunghiulare.
• Greșeala: a confunda $x^{-1}$ față de o lege $\otimes$ cu inversul obișnuit $\frac{1}{x}$ al numărului. Corect: se spune de fiecare dată față de ce lege; pentru $x\otimes y=(x-5)(y-5)+5$, inversul lui $7$ este $\frac{11}{2}$, nu $\frac{1}{7}$.
• Greșeala: a rezolva ecuația $\hat{4}x=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_{12}$ „împărțind prin $\hat{4}$". Corect: $\hat{4}$ nu e inversabilă modulo $12$; se verifică toate clasele, iar concluzia este că ecuația nu are soluții.

Aplică acasă

1. Alege un număr $a$ care îți place și scrie singur cele două legi $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a$. Determină zeroul, unitatea, simetricul lui $x$ față de fiecare lege și verifică fiecare rezultat prin calcul direct, cu două valori numerice alese la întâmplare.
2. Construiește tabla adunării și tabla înmulțirii pentru ${\mathbb{Z}}_6$, pe hârtie. Încercuiește pe tabla înmulțirii toate perechile al căror produs e $\hat{0}$ fără ca vreun factor să fie $\hat{0}$. Repetă pentru ${\mathbb{Z}}_7$ și compară cele două imagini — diferența dintre inel și corp se vede cu ochiul liber.
3. Ia mulțimea $M=\{1,2\}$ și scrie complet tabla diferenței simetrice și tabla intersecției pentru cele patru submulțimi ale ei. Identifică zeroul, unitatea, opusul fiecărui element și cele două elemente care sunt divizori ai lui zero.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul poate recunoaște o structură algebrică din formă, nu dacă știe pe de rost axiomele. Ea se adresează traseului de matematică-informatică (mate-info), unde inelele și corpurile fac parte din materia de examen. Ea aparține suplimentului pentru Bacalaureat M1: inelele și corpurile sunt în programa care se aplică la sesiunile 2027–2029, deși au fost scoase din programa nouă a clasei a XII-a.

Întrebări de control: Ce număr trebuie căutat într-o lege de forma $xy-ax-ay+c$ și cum îl verifici? De ce e suficient să găsești un izomorfism ca să demonstrezi că o mulțime e corp? Dă un element nenul neinversabil din inelul numerelor întregi. Când este inelul claselor de resturi modulo $n$ un corp?

Semne că a înțeles: caută întâi forma factorizată, nu începe cu verificarea asociativității; când i se cere să arate că ceva nu e corp, dă un contraexemplu concret; nu confundă lipsa inverselor cu lipsa neutrului; nu declară corp o structură definită pe un interval.

La BAC, această materie apare în problema a doua din Subiectul al II-lea, unde valorează 15 puncte, împărțite în trei subpuncte a câte 5. Foarte des subpunctul a) cere doar forma factorizată sau o regulă de compunere, deci este accesibil oricărui elev care a citit lecția — și aduce, singur, 5 puncte din 100.

Întrebări frecvente

Ce este transportul de structură și de ce funcționează? Transportul de structură este procedeul prin care demonstrezi că o mulțime cu două legi este inel sau corp, arătând că există o funcție bijectivă care duce operațiile ei în operațiile unei structuri deja cunoscute. Funcționează pentru că axiomele sunt egalități între compuneri, iar o bijecție care păstrează operațiile le mută pe toate deodată.

Cum găsesc numărul $a$ dintr-o lege de forma $x\otimes y=xy-5x-5y+30$? Îl citești din coeficientul lui $x$: dacă acesta este $-5$, atunci $a=5$. Apoi verifici obligatoriu termenul liber, care trebuie să fie $a^2+a$; aici $25+5=30$, deci verificarea trece. Dacă termenul liber nu coincide, legea nu se scrie sub forma $(x-a)(y-a)+a$ și rețeta nu se aplică.

Când este mulțimea claselor de resturi modulo $n$ un corp? Exact atunci când $n$ este număr prim. Pentru $n$ prim, orice clasă nenulă are invers, pentru că orice număr între $1$ și $n-1$ e prim cu $n$. Pentru $n$ compus, clasele care nu sunt prime cu $n$ nu au invers și sunt chiar divizori ai lui zero, deci structura rămâne inel, fără să fie corp.

Ce înseamnă divizor al lui zero și de ce contează? Un element $a\ne 0$ este divizor al lui zero dacă există $b\ne 0$ cu $ab=0$. Contează pentru că prezența lor exclude imediat structura de corp și explică de ce unele ecuații de gradul întâi nu au soluții, iar altele au mai multe. Într-un corp, din $ab=0$ rezultă întotdeauna $a=0$ sau $b=0$.

De ce nu pot obține un corp pe intervalul $(5,+\infty )$? Pentru că zeroul structurii ar trebui să fie $5$, iar $5$ nu aparține intervalului. Fără element neutru pentru prima lege, nu există grup, deci nici inel, deci nici corp. Structural, translația $f(x)=x-5$ duce intervalul pe $(0,+\infty )$, nu pe toată dreapta reală, deci nu poate fi izomorfism de corpuri.

Cum arăt că o mulțime de matrice este inel comutativ? Calculezi produsul a două elemente generice și îl scrii tot în forma din enunț: asta demonstrează stabilitatea și, în același timp, îți dă regula de compunere în parametri. Comutativitatea se citește din simetria acelei reguli. Asociativitatea și distributivitatea nu se reverifică, pentru că se moștenesc din inelul matricelor pătratice.

Cât valorează la Bacalaureat M1 o problemă cu inele și corpuri? Ea apare ca problema a doua din Subiectul al II-lea și valorează 15 puncte, împărțite în trei subpuncte a câte 5 puncte. Primul subpunct este de obicei un calcul direct, al doilea cere demonstrarea structurii, iar al treilea o consecință — inversul unui element sau mulțimea elementelor inversabile. Baremul acordă puncte și pe pași intermediari.