Polinoame în probleme de examen: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Problemele de polinoame de la Bacalaureat M1 se reduc la un număr mic de mișcări. Orice informație despre rest sau despre divizibilitate se traduce într-o valoare a polinomului într-un punct, iar fiecare valoare dă o ecuație în parametri: restul împărțirii la $X-a$ este $f(a)$, iar $X-a$ divide $f$ exact când $f(a)=0$. Pentru un împărțitor de gradul al doilea cu rădăcini distincte $a$ și $b$ se scrie $r=cX+d$ și se rezolvă sistemul $r(a)=f(a)$, $r(b)=f(b)$. Condiția de rădăcină multiplă cere două ecuații, $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$, cu $f^{\prime }$ derivata formală: o singură egalitate garantează doar un factor $X-a$. Două polinoame au rădăcini comune într-un corp $K$ exact atunci când $\mathrm{cmmdc}$ al lor are gradul cel puțin $1$ și are rădăcini în $K$. Sumele simetrice de tipul $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ se calculează din relațiile lui Viète, fără a afla vreo rădăcină. Peste ${\mathbb{Z}}_5$ sau ${\mathbb{Z}}_7$, verificarea tuturor claselor este o metodă legitimă, iar rezultatul se scrie ca clasă redusă, nu ca număr întreg oarecare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Restul împărțirii polinomului $f=X^4+3$ la $X^2-4$ este:

   • a) $19$
   • b) $19X$
   • c) $16$
   • d) $4X+3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $19$

   Restul are gradul cel mult $1$, deci $r=cX+d$. Din $f=\left(X^2-4\right)q+r$ obținem $r(2)=f(2)=19$ și $r(-2)=f(-2)=19$, adică $2c+d=19$ și $-2c+d=19$. Scăzând, $c=0$, deci $d=19$ și restul este constanta $19$. Varianta $16$ apare când se uită termenul liber al lui $f$.

2. Polinomul $f=X^4+aX+b$, cu $a,b$ reale, se divide cu $(X-1{)}^2$. Atunci:

   • a) $a=-1$, $b=0$
   • b) $a=4$, $b=-5$
   • c) $a=-4$, $b=-3$
   • d) $a=-4$, $b=3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $a=-4$, $b=3$

   Divizibilitatea cu $(X-1{)}^2$ înseamnă că $1$ este rădăcină multiplă, deci sunt necesare două condiții: $f(1)=1+a+b=0$ și $f^{\prime }(1)=4+a=0$. Din a doua, $a=-4$, iar din prima, $b=3$. Verificare: $X^4-4X+3=(X-1{)}^2\left(X^2+2X+3\right)$. Varianta a folosește o singură ecuație, ceea ce lasă sistemul nedeterminat.

3. Valorile reale ale lui $a$ pentru care $f=X^2-7X+10$ și $g=X^2+aX-10$ au o rădăcină comună sunt:

   • a) $a=3$
   • b) $a\in \{-3,3\}$
   • c) $a=-3$
   • d) $a=5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a\in \{-3,3\}$

   Rădăcinile lui $f$ sunt $2$ și $5$. Dacă rădăcina comună este $2$: $g(2)=4+2a-10=0$, deci $a=3$. Dacă este $5$: $g(5)=25+5a-10=0$, deci $a=-3$. Ambele valori convin, deci răspunsul este $\{-3,3\}$. Variantele a și c păstrează doar una dintre situații.