Teorema fundamentală a algebrei. Descompunerea canonică

Timp de trei secole, matematicienii au trăit cu o nesiguranță de fond. Ecuația $x^2+1=0$ nu avea soluții printre numerele reale, așa că s-a inventat $i$. Dar apoi întrebarea s-a mutat cu un pas mai departe: acum, că avem numerele complexe, oare ajung? Nu cumva ecuația $x^5-3x+7=0$ va cere, la rândul ei, un „număr nou", și tot așa la infinit, la fiecare grad?

Răspunsul, unul dintre cele mai frumoase din toată matematica, este: nu mai e nevoie de nimic. Mulțimea $\mathbb{C}$ este suficientă pentru toate ecuațiile algebrice, de orice grad, cu orice coeficienți — chiar și complecși. Odată ce ai adăugat o singură rădăcină, cea a lui $x^2+1$, ai adăugat, fără să vrei, toate rădăcinile tuturor polinoamelor care vor exista vreodată. Acest rezultat se numește teorema fundamentală a algebrei, iar consecința lui practică — descompunerea oricărui polinom în factori de gradul întâi — este instrumentul cu care vom lucra tot restul capitolului.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema fundamentală a algebrei și să explici ce anume garantează ea.
• Vei ști să demonstrezi corolarul descompunerii: orice polinom de gradul $n$ se scrie ca produs de $n$ factori de gradul întâi.
• Vei ști să scrii descompunerea canonică a unui polinom, grupând rădăcinile egale în puteri.
• Vei ști că un polinom de gradul $n$ are exact $n$ rădăcini, dacă le numeri cu ordinele lor de multiplicitate.
• Vei ști să descompui peste $\mathbb{C}$ polinoame uzuale: $X^2+1$, $X^4-1$, $X^3-1$, $X^4+4$.
• Vei ști de ce descompunerea este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor.

Hai să descoperim împreună

1. Întrebarea care a stat deschisă trei secole

Să urmărim traseul. În $\mathbb{N}$, ecuația $x+3=1$ nu are soluție — apar numerele întregi. În $\mathbb{Z}$, ecuația $2x=1$ nu are soluție — apar numerele raționale. În $\mathbb{Q}$, ecuația $x^2=2$ nu are soluție — apar numerele reale. În $\mathbb{R}$, ecuația $x^2=-1$ nu are soluție — apar numerele complexe, așa cum ai văzut la De ce avem nevoie de numere complexe.

Fiecare pas a fost forțat de o ecuație fără soluții. E firesc să te aștepți ca șirul să continue la nesfârșit. Surpriza — și acesta e miezul lecției — este că șirul se oprește la $\mathbb{C}$.

2. Enunțul teoremei

Teorema fundamentală a algebrei (Gauss–d'Alembert). Orice polinom $f\in \mathbb{C}[X]$ cu $\mathrm{grad}f\ge 1$ are cel puțin o rădăcină în $\mathbb{C}$.

Programa clasei a X-a cere acest rezultat fără demonstrație, și nu întâmplător: toate demonstrațiile cunoscute folosesc instrumente de analiză matematică sau de topologie, mult peste nivelul liceului. Prima demonstrație acceptabilă a fost dată de Carl Friedrich Gauss în teza sa de doctorat, în 1799, după încercări incomplete ale lui Jean le Rond d'Alembert. Numele „teorema fundamentală a algebrei" a rămas, deși — ironie a istoriei — nicio demonstrație a ei nu este pur algebrică.

Trei precizări care se cer înțelese exact:

• Teorema spune „cel puțin una", nu „exact una". Numărul exact de rădăcini îl vom deduce imediat, ca o consecință.
• Coeficienții pot fi complecși, nu doar reali. Deci și $f=X^2+iX-3$ are rădăcini în $\mathbb{C}$.
• Teorema este de existență: ea garantează că rădăcina există, fără să spună cum se calculează. Pentru gradele $3$ și $4$ există formule (complicate), iar pentru gradul $\ge 5$ s-a demonstrat că nu există formule generale cu radicali — un alt rezultat celebru, al lui Abel și Galois. Existența e una, calculul e alta.

3. Corolarul care ne interesează cu adevărat

Corolar (descompunerea în factori de gradul întâi). Orice polinom $f\in \mathbb{C}[X]$ de gradul $n\ge 1$, cu coeficientul dominant $a_n$, se scrie sub forma

$$f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n),$$

unde $x_1,x_2,\dots ,x_n\in \mathbb{C}$ sunt rădăcinile lui $f$ (nu neapărat distincte).

Demonstrație (prin inducție după gradul $n$).

Etapa de verificare. Pentru $n=1$, $f=a_{1}X+a_0=a_1\left(X+\frac{a_0}{a_1}\right)=a_1(X-x_1)$, cu $x_1=-\frac{a_0}{a_1}$. ✓

Etapa de demonstrație. Presupunem afirmația adevărată pentru toate polinoamele de gradul $k$ și fie $f$ de gradul $k+1$, cu coeficientul dominant $a_{k+1}$. Din teorema fundamentală, $f$ are o rădăcină $x_{k+1}\in \mathbb{C}$. Din Teorema lui Bézout, rezultă că $X-x_{k+1}$ divide $f$, deci

$$f=(X-x_{k+1})\cdot q,$$

unde $q$ are gradul $k$ și același coeficient dominant $a_{k+1}$ (coeficientul dominant al lui $X-x_{k+1}$ fiind $1$). Aplicăm ipoteza de inducție lui $q$:

$$q=a_{k+1}(X-x_1)\cdots (X-x_k),$$

și, înlocuind, obținem descompunerea cerută pentru $f$. Conform principiului inducției matematice, afirmația este adevărată pentru orice $n\ge 1$. $■$

Observă cum lucrează mecanismul: teorema fundamentală produce o rădăcină, teorema lui Bézout o transformă în factor, iar inducția repetă procedeul până la epuizarea gradului. Dacă vrei să revezi tehnica de demonstrație, ea este cea din Metoda inducției matematice: principiul dominoului.

Consecință directă. Un polinom de gradul $n$ are exact $n$ rădăcini în $\mathbb{C}$, dacă fiecare este numărată de atâtea ori de câte ori apare în descompunere. Comparând cu rezultatul din lecția precedentă („cel mult $n$ rădăcini distincte"), imaginea se completează: distincte pot fi mai puține, dar numărate cu multiplicități sunt exact $n$.

4. Descompunerea canonică

În descompunerea de mai sus, unele rădăcini se pot repeta. Este comod să grupăm factorii egali în puteri.

Definiție. Fie $f$ de gradul $n$, cu coeficientul dominant $a_n$, și fie $x_1,x_2,\dots ,x_k$ rădăcinile sale distincte, având ordinele de multiplicitate $m_1,m_2,\dots ,m_k$. Scrierea

$$f=a_n(X-x_1{)}^{m_1}(X-x_2{)}^{m_2}\cdots (X-x_k{)}^{m_k},m_1+m_2+\cdots +m_k=n,$$

se numește descompunerea canonică a lui $f$ peste $\mathbb{C}$.

Egalitatea $m_1+\cdots +m_k=n$ nu e un detaliu: ea spune că gradul se „distribuie" integral între rădăcini și este cel mai bun instrument de control al unei descompuneri. Dacă exponenții tăi nu însumează gradul, ai pierdut un factor pe drum.

Exemplu. $f=X^3-3X+2$. Se verifică imediat $f(1)=1-3+2=0$ și $f(-2)=-8+6+2=0$. Descompunerea este

$$X^3-3X+2=(X-1{)}^2(X+2),$$

deci $1$ este rădăcină de ordin $2$ (dublă), iar $-2$ este rădăcină simplă. Control: $2+1=3=\mathrm{grad}f$. ✓ Noțiunea de ordin de multiplicitate o studiem pe îndelete în Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate.

5. Unicitatea descompunerii

Teoremă. Descompunerea canonică este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor.

Ideea demonstrației. Rădăcinile distincte $x_1,\dots ,x_k$ sunt determinate de $f$ însuși (sunt exact numerele în care $f$ se anulează), iar ordinele $m_i$ sunt determinate de cea mai mare putere a lui $X-x_i$ care divide $f$. Nici rădăcinile, nici ordinele nu depind de vreo alegere pe parcurs, deci descompunerea nu poate arăta în două feluri. $■$

De aici decurge o tehnică de lucru extrem de utilă: dacă știi rădăcinile și gradul, știi polinomul (până la constanta $a_n$). De exemplu, singurul polinom monic de gradul $3$ cu rădăcinile $1$, $i$, $-i$ este

$$(X-1)(X-i)(X+i)=(X-1)(X^2+1)=X^3-X^2+X-1.$$

6. Descompuneri de referință

Merită să ai la îndemână câteva descompuneri peste $\mathbb{C}$, pentru că apar în aproape orice problemă.

a) $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Verificare: $(X-i)(X+i)=X^2-i^2=X^2+1$.

b) $X^2+a^2=(X-ai)(X+ai)$, pentru $a$ real. De pildă $X^2+4=(X-2i)(X+2i)$. Peste $\mathbb{R}$ această sumă de pătrate nu se descompunea; peste $\mathbb{C}$, da.

c) $X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$. Cele patru rădăcini $1,-1,i,-i$ sunt exact rădăcinile de ordinul $4$ ale unității, studiate la Rădăcinile unității și poligoanele regulate.

d) $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$. Rădăcinile trinomului $X^2+X+1$ se obțin cu discriminantul: $\Delta =1-4=-3$, deci

$$X_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

Notând $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, avem $\bar{\epsilon }=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și

$$X^3-1=(X-1)(X-\epsilon )(X-\bar{\epsilon }).$$

Un calcul exact confirmă ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$ și ${\epsilon }^3=1$; de asemenea $\epsilon +\bar{\epsilon }=-1$ și $\epsilon \bar{\epsilon }=1$, adică exact suma și produsul rădăcinilor lui $X^2+X+1$.

e) $X^4+4=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$ — identitatea lui Sophie Germain. Rădăcinile celor două trinoame sunt $1\pm i$ și $-1\pm i$, deci

$$X^4+4=(X-1-i)(X-1+i)(X+1-i)(X+1+i).$$

Control rapid: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ și într-adevăr $(1+i{)}^4+4=0$. ✓

7. Un avertisment: peste $\mathbb{R}$ lucrurile arată altfel

Toată lecția vorbește despre descompunerea peste $\mathbb{C}$, unde toți factorii au gradul $1$. Dacă însă ni se cere descompunerea în polinoame cu coeficienți reali, imaginea se schimbă: $X^2+1$ nu se mai poate sparge, pentru că factorii $X\pm i$ au coeficienți complecși. Peste $\mathbb{R}$ apar, pe lângă factorii de gradul întâi, și factori de gradul al doilea fără rădăcini reale. Acest subiect are lecția lui: Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R. Până acolo, regula de citire a enunțurilor: dacă scrie „peste $\mathbb{C}$" sau „în factori de gradul întâi", toți factorii sunt liniari.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cel mai simplu caz nou

Descompuneți peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^2+1$.

Rezolvare. Rezolvăm $X^2+1=0$, adică $X^2=-1$, cu soluțiile $X=i$ și $X=-i$. Coeficientul dominant este $1$, deci

$$f=(X-i)(X+i).$$

Verificare: $(X-i)(X+i)=X^2-i^2=X^2+1$. ✓ Peste $\mathbb{R}$, acest polinom era „indivizibil"; peste $\mathbb{C}$ se sparge în doi factori de gradul întâi.

Exemplul 2 — Un polinom de gradul al patrulea

Descompuneți peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^4-1$ și precizați toate rădăcinile.

Rezolvare. Grupăm ca diferență de pătrate, de două ori:

$$X^4-1=(X^2{)}^2-1^2=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).$$

Rădăcinile sunt $1,-1,i,-i$ — patru rădăcini distincte pentru un polinom de gradul $4$, exact cât permite teoria. Verificare: $i^4=1$, deci $i^4-1=0$. ✓

Exemplul 3 — Rădăcinile cubice ale unității

Descompuneți peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^3-1$.

Rezolvare. Observăm rădăcina evidentă $x=1$ și aplicăm Bézout: $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$. Pentru trinom, $\Delta =1-4=-3$, deci rădăcinile sunt

$$X_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

Notând $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, descompunerea canonică este

$$X^3-1=(X-1)(X-\epsilon )(X-\bar{\epsilon }).$$

Verificare (calcul exact, fără aproximări): ${\epsilon }^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, deci ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$ și, înmulțind cu $\epsilon -1$, obținem ${\epsilon }^3=1$. ✓

Exemplul 4 — O rădăcină reală și două complexe

Descompuneți peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^3-2X^2+X-2$.

Rezolvare. Grupăm: $X^2(X-2)+(X-2)=(X-2)(X^2+1)$. Mai departe, $X^2+1=(X-i)(X+i)$, deci

$$f=(X-2)(X-i)(X+i).$$

Rădăcinile sunt $2$, $i$, $-i$. Verificare: $f(2)=8-8+2-2=0$; $f(i)=i^3-2i^2+i-2=-i+2+i-2=0$. ✓

Exemplul 5 — O rădăcină care se repetă

Scrieți descompunerea canonică a polinomului $f=X^3-3X+2$ și precizați ordinele de multiplicitate.

Rezolvare. $f(1)=1-3+2=0$, deci $X-1$ este factor; schema lui Horner cu $a=1$ pe coeficienții $1,0,-3,2$ dă câtul $X^2+X-2=(X-1)(X+2)$. Prin urmare

$$f=(X-1{)}^2(X+2).$$

Rădăcinile distincte sunt $1$, cu ordinul de multiplicitate $2$, și $-2$, cu ordinul $1$. Control: $2+1=3=\mathrm{grad}f$. ✓ Deși $f$ are gradul $3$, are doar două rădăcini distincte — numărate însă cu multiplicități, sunt exact trei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Descompuneți peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^4+4$ și scrieți toate rădăcinile sale.

Rezolvare. Nu putem folosi direct diferența de pătrate, dar putem completa un pătrat perfect:

$$X^4+4=X^4+4X^2+4-4X^2=(X^2+2{)}^2-(2X{)}^2=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2).$$

Rezolvăm fiecare trinom. Pentru $X^2-2X+2$: $\Delta =4-8=-4$, deci $X_{1,2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$. Pentru $X^2+2X+2$: $\Delta =4-8=-4$, deci $X_{3,4}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i$.

Descompunerea canonică este

$$X^4+4=(X-(1+i))(X-(1-i))(X-(-1+i))(X-(-1-i)).$$

Verificare pe o rădăcină: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$, deci $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ și $(1+i{)}^4+4=0$. ✓ Cele patru rădăcini sunt vârfurile unui pătrat centrat în origine.

Să exersăm

La toate cerințele de mai jos, „descompuneți" înseamnă peste $\mathbb{C}$, adică până la factori de gradul întâi. Verifică fiecare descompunere înmulțind înapoi cel puțin termenul liber.

1. Scrie descompunerea canonică a polinomului $f=X^2-5X+6$.

2. Descompune peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^2+4$.

3. Determină rădăcinile polinomului $f=X^2-2X+5$ și scrie-i descompunerea.

4. Descompune peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^3-X$.

5. Descompune peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^4-16$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice polinom de gradul $n\ge 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ rădăcini, numărate cu ordinele lor de multiplicitate."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Polinomul $X^2+1$ nu are rădăcini."

8. Câte rădăcini are polinomul $f=(X-1{)}^3(X+2{)}^2(X^2+1)$, numărate cu multiplicități? Dar rădăcini distincte?

9. Scrie polinomul monic de gradul $3$ care are rădăcinile $1$, $i$ și $-i$.

10. Scrie polinomul monic de gradul $3$ care are rădăcina $2$ dublă și rădăcina $-1$ simplă.

11. (Problemă aplicată.) Comportarea unui circuit electric este descrisă de polinomul caracteristic $X^2+2X+5$. Determină rădăcinile lui complexe și explică ce înseamnă faptul că partea reală a lor este negativă, iar partea imaginară nenulă.

12. Descompune peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^4+5X^2+4$.

13. Descompune peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^3+8$.

14. Determină $a\in \mathbb{R}$ știind că polinomul $f=X^3-3X^2+aX-12$ admite rădăcina $2i$, apoi descompune-l.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f=X^4-1$. a) Descompuneți $f$ în factori de gradul întâi peste $\mathbb{C}$. b) Calculați suma rădăcinilor lui $f$.

16. Arată că numărul $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ verifică ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$ și deduce că ${\epsilon }^3=1$.

17. Un polinom monic de gradul $5$ are rădăcina $1$ de ordin $2$ și rădăcina $-1$ de ordin $3$. Scrie-l sub formă canonică, apoi desfă parantezele.

18. (Provocare.) Descompune peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^6-1$, grupând întâi ca diferență de pătrate, și precizează toate cele șase rădăcini.

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =25-24=1$, rădăcinile $2$ și $3$, deci $f=(X-2)(X-3)$. Ambele au ordinul $1$; suma ordinelor este $2=\mathrm{grad}f$. ✓

2. $X^2=-4$ dă $X=\pm 2i$, deci $f=(X-2i)(X+2i)$. Verificare: $(X-2i)(X+2i)=X^2-4i^2=X^2+4$.

3. $\Delta =4-20=-16$, deci $X_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$ și $f=(X-(1+2i))(X-(1-2i))$. Verificare: suma rădăcinilor $2$ și produsul $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$, adică exact coeficienții. ✓

4. $X^3-X=X(X^2-1)=X(X-1)(X+1)$. Rădăcinile sunt $0$, $1$, $-1$, toate simple.

5. $X^4-16=(X^2-4)(X^2+4)=(X-2)(X+2)(X-2i)(X+2i)$. Rădăcinile: $2$, $-2$, $2i$, $-2i$.

6. Adevărat. Din corolarul teoremei fundamentale, $f=a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$: sunt exact $n$ factori, deci exact $n$ rădăcini numărate cu repetiție.

7. Fals. Nu are rădăcini reale, dar are două rădăcini complexe, $i$ și $-i$. Enunțul „nu are rădăcini" este corect doar dacă precizăm mulțimea în care le căutăm.

8. Gradul lui $f$ este $3+2+2=7$, deci are $7$ rădăcini numărate cu multiplicități. Rădăcinile distincte sunt $1$, $-2$, $i$, $-i$, adică patru.

9. $(X-1)(X-i)(X+i)=(X-1)(X^2+1)=X^3-X^2+X-1$.

10. $(X-2{)}^2(X+1)=(X^2-4X+4)(X+1)=X^3-3X^2+4$. (Termenul în $X$ lipsește — coeficientul lui este $0$.)

11. $\Delta =4-20=-16$, deci rădăcinile sunt $\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$. Partea reală negativă arată că amplitudinea oscilației scade în timp (regim amortizat, circuitul se stinge), iar partea imaginară nenulă arată că mișcarea este oscilatorie, nu o simplă descreștere. Cele două informații se citesc separat: partea reală dă amortizarea, partea imaginară dă pulsația.

12. Cu substituția $Y=X^2$: $Y^2+5Y+4=(Y+1)(Y+4)$, deci $f=(X^2+1)(X^2+4)=(X-i)(X+i)(X-2i)(X+2i)$. Rădăcinile: $\pm i$, $\pm 2i$.

13. $X^3+8=(X+2)(X^2-2X+4)$ (suma de cuburi). Pentru trinom, $\Delta =4-16=-12$, deci $X_{1,2}=\frac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}$. Așadar $f=(X+2)(X-1-i\sqrt{3})(X-1+i\sqrt{3})$.

14. Impunem $f(2i)=0$. Calculăm: $(2i{)}^3=-8i$, $(2i{)}^2=-4$, deci $f(2i)=-8i+12+2ai-12=(2a-8)i$. Condiția $f(2i)=0$ dă $a=4$. Atunci $f=X^3-3X^2+4X-12=(X^2+4)(X-3)=(X-2i)(X+2i)(X-3)$.

15. a) $X^4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$. b) Suma rădăcinilor: $1+(-1)+i+(-i)=0$. (Se citește direct și din coeficienți: suma este $-\frac{a_3}{a_4}=0$, pentru că termenul în $X^3$ lipsește.)

16. ${\epsilon }^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Adunând, ${\epsilon }^2+\epsilon +1=\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\right)+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i=0$. ✓ Înmulțind egalitatea ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$ cu $\epsilon -1$, obținem ${\epsilon }^3-1=0$, adică ${\epsilon }^3=1$.

17. $f=(X-1{)}^2(X+1{)}^3$. Desfășurat: $(X^2-2X+1)(X^3+3X^2+3X+1)=X^5+X^4-2X^3-2X^2+X+1$. Control: suma ordinelor $2+3=5=\mathrm{grad}f$. ✓

18. $X^6-1=(X^3{)}^2-1=(X^3-1)(X^3+1)=(X-1)(X^2+X+1)(X+1)(X^2-X+1)$. Rădăcinile trinoamelor: pentru $X^2+X+1$, $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$; pentru $X^2-X+1$, $\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$. Cele șase rădăcini sunt deci $$1,-1,\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$$ — exact rădăcinile de ordinul $6$ ale unității, vârfurile unui hexagon regulat înscris în cercul unitate. Control: ${\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^6=1$, calculat exact prin ridicări succesive la pătrat.

De reținut

• Teorema fundamentală a algebrei: orice polinom cu coeficienți complecși, de grad cel puțin $1$, are cel puțin o rădăcină complexă. Se admite fără demonstrație.
• Corolarul: orice polinom de gradul $n$ se scrie $f=a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$; se demonstrează prin inducție, folosind teorema fundamentală și teorema lui Bézout.
• Descompunerea canonică grupează rădăcinile egale: $f=a_n(X-x_1{)}^{m_1}\cdots (X-x_k{)}^{m_k}$, cu $m_1+\cdots +m_k=n$ — cel mai bun control al unei descompuneri.
• Un polinom de gradul $n$ are exact $n$ rădăcini cu multiplicități și cel mult $n$ rădăcini distincte.
• Descompunerea este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor; de aceea rădăcinile și gradul determină polinomul, până la coeficientul dominant.

Greșeli frecvente

• „Polinomul nu are rădăcini." Formulare incompletă. Corect: nu are rădăcini reale. Peste $\mathbb{C}$, orice polinom neconstant are rădăcini — asta spune chiar teorema lecției.
• Uitarea coeficientului dominant. Dacă $f=2X^2-6X+4$, descompunerea este $2(X-1)(X-2)$, nu $(X-1)(X-2)$. Verifică întotdeauna termenul dominant și pe cel liber.
• Confundarea numărului de rădăcini distincte cu gradul. $X^3-3X+2$ are gradul $3$, dar doar două rădăcini distincte. Egalitatea cu gradul are loc doar când numeri cu multiplicități.
• Amestecarea descompunerii peste $\mathbb{C}$ cu cea peste $\mathbb{R}$. Peste $\mathbb{C}$ toți factorii au gradul $1$; peste $\mathbb{R}$ pot rămâne trinoame cu $\Delta <0$. Citește cu atenție ce cere enunțul.
• Așteptarea unei formule de rezolvare. Teorema garantează existența rădăcinilor, nu oferă o metodă de calcul. Pentru gradul $\ge 5$ s-a demonstrat că nici nu poate exista o formulă generală cu radicali.

Aplică acasă

1. Hexagonul din caiet. Desenează un cerc de rază $1$ și marchează pe el cele șase rădăcini ale lui $X^6-1$, calculate la exercițiul 18. Unește-le: obții un hexagon regulat. Repetă pentru $X^4-1$ (pătrat) și $X^3-1$ (triunghi echilateral). Vei vedea, desenând, de ce descompunerea peste $\mathbb{C}$ are întotdeauna o simetrie ascunsă.

2. Detectivul de coeficienți. Alege trei numere complexe simple, de exemplu $2$, $1+i$, $1-i$, și construiește polinomul monic care le are ca rădăcini, înmulțind factorii. Observă că, deși ai pornit de la numere complexe, coeficienții obținuți sunt reali — pentru că ai luat rădăcinile complexe în pereche conjugată. Este exact fenomenul studiat la lecția despre rădăcini conjugate.

3. Istoria pe scurt. Caută anul în care Gauss a publicat prima demonstrație a teoremei fundamentale (1799) și verifică ce vârstă avea. Scrie apoi, în trei rânduri, de ce numele teoremei este parțial nepotrivit — și anume, de ce nicio demonstrație a ei nu este „doar algebrică".

Pentru părinți și profesori

Lecția are un rol dublu: unul conceptual (răspunde întrebării „este $\mathbb{C}$ suficient?") și unul instrumental (dă forma standard în care va fi scris orice polinom de aici încolo). Programa cere explicit teorema fără demonstrație, ceea ce nu înseamnă „fără înțelegere": elevul trebuie să știe ce garantează enunțul, ce nu garantează (nu dă rădăcinile, doar existența lor) și cum se obține din el corolarul descompunerii, a cărui demonstrație prin inducție este accesibilă și punctată la barem.

Ce verifică lecția: (1) elevul distinge între „rădăcini distincte" și „rădăcini numărate cu multiplicități"; (2) folosește controlul $m_1+\cdots +m_k=n$; (3) nu uită coeficientul dominant; (4) știe că descompunerea peste $\mathbb{R}$ este altă poveste. Întrebări bune de control: „Câte rădăcini distincte poate avea un polinom de gradul $4$?" (între $1$ și $4$); „De ce nu se cere demonstrația teoremei?" (folosește instrumente de analiză); „Dacă îți dau rădăcinile și gradul, îmi poți spune polinomul?" (da, până la o constantă).

La Bacalaureat M1, teorema apare rareori ca enunț de sine stătător, dar corolarul ei este folosit permanent: „descompuneți în factori", „scrieți polinomul cu rădăcinile date", „determinați parametrul știind că polinomul admite rădăcina $2i$". Semne că elevul a înțeles: acceptă natural că un polinom cu coeficienți reali poate avea rădăcini complexe, verifică suma ordinelor de multiplicitate și nu confundă „nu se descompune peste $\mathbb{R}$" cu „nu are rădăcini".

Întrebări frecvente

Ce spune teorema fundamentală a algebrei? Că orice polinom cu coeficienți complecși, de grad cel puțin $1$, are cel puțin o rădăcină în mulțimea numerelor complexe. Consecința ei imediată este că un polinom de gradul $n$ se descompune în exact $n$ factori de gradul întâi.

De ce nu se demonstrează teorema fundamentală a algebrei la liceu? Pentru că toate demonstrațiile cunoscute folosesc rezultate de analiză matematică sau de topologie, care depășesc programa clasei a X-a. Programa cere explicit ca teorema să fie admisă fără demonstrație; ceea ce se demonstrează este corolarul descompunerii, prin inducție.

Câte rădăcini are un polinom de gradul n? Exact $n$, dacă le numeri cu ordinele lor de multiplicitate, și cel mult $n$ dacă numeri doar rădăcinile distincte. De exemplu $X^3-3X+2=(X-1{)}^2(X+2)$ are trei rădăcini cu multiplicități, dar numai două distincte.

Ce este descompunerea canonică a unui polinom? Scrierea $f=a_n(X-x_1{)}^{m_1}\cdots (X-x_k{)}^{m_k}$, în care $x_1,\dots ,x_k$ sunt rădăcinile distincte, $m_1,\dots ,m_k$ ordinele lor de multiplicitate, iar $a_n$ coeficientul dominant. Suma exponenților este mereu egală cu gradul polinomului.

Descompunerea unui polinom este unică? Da, abstracție făcând de ordinea factorilor. Rădăcinile sunt determinate de polinom, iar ordinele de multiplicitate la fel, deci nu există două descompuneri esențial diferite ale aceluiași polinom.

Cum descompun $X^2+1$ peste numerele complexe? Rezolvi $X^2=-1$, obții $X=\pm i$ și scrii $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Peste numerele reale acest polinom nu se poate descompune, pentru că are discriminantul negativ.

Ce înseamnă că un polinom are rădăcini complexe dacă are coeficienți reali? Este perfect posibil: $X^2+1$ are coeficienți reali și rădăcini complexe. În acest caz rădăcinile complexe apar întotdeauna în perechi conjugate, adică odată cu $a+bi$ apare și $a-bi$ — proprietate studiată în lecția despre ecuațiile algebrice cu coeficienți reali.

Există formule de rezolvare pentru orice ecuație algebrică? Nu. Există pentru gradele $1$, $2$, $3$ și $4$ (ultimele două, complicate), dar s-a demonstrat că, pentru gradul $5$ și mai mare, nu există o formulă generală cu radicali. Teorema fundamentală garantează doar că rădăcinile există, nu că le putem scrie cu radicali.