Schema lui Horner

Din teorema restului știi să afli restul împărțirii la $X - a$ într-o singură linie. Rămâne însă o problemă: teorema nu spune nimic despre cât, iar câtul e cerut de fiecare dată când vrei să descompui polinomul în factori. Algoritmul împărțirii, deși îl dă, cere o pagină de scris pentru un polinom de gradul al cincilea.

Schema lui Horner rezolvă amândouă problemele deodată. Este un tabel cu două rânduri de numere, în care câtul și restul apar simultan, obținute cu o singură înmulțire și o singură adunare pe coloană — fără nicio scădere de monoame și, prin urmare, fără greșeli de semn. Metoda îi este atribuită matematicianului britanic William Horner (1819), deși apare la matematicienii chinezi cu șase secole mai devreme.

Ce vei învăța

Vei ști să completezi tabelul lui Horner și să citești din el câtul și restul împărțirii la $X - a$ .
Vei ști de ce funcționează schema, deducând-o din identificarea coeficienților în $f = (X - a) q + r$ .
Vei ști de ce coeficienții lipsă se completează obligatoriu cu $0$ și ce se întâmplă dacă îi omiți.
Vei ști să folosești Horner ca metodă rapidă de evaluare a unui polinom într-un punct.
Vei ști să lucrezi cu $a$ negativ, fracționar sau complex.
Vei ști să aplici schema de mai multe ori la rând, ca să descompui un polinom în factori de gradul întâi.

Hai să descoperim împreună

1. De ce trebuie să existe o scurtătură

Împărțim $f = 2 X^{4} - 3 X^{3} + 5 X - 7$ la $X - 2$ . Cu algoritmul clasic ai patru runde de „împarte – înmulțește – scade", fiecare cu riscul ei de semn. Observă însă că, împărțitorul fiind $X - a$ , termenul dominant se împarte mereu la $X$ : fiecare monom al câtului este coeficientul curent. Toată munca se reduce la o socoteală de coeficienți — rămâne doar regula.

2. De unde vine schema: identificarea coeficienților

Fie $f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ și fie

$f = (X - a) \cdot q + r, q = b_{n - 1} X^{n - 1} + b_{n - 2} X^{n - 2} + \dots + b_{1} X + b_{0}, r \in C .$

Desfacem produsul din dreapta, grupând după puteri:

$(X - a) q + r = b_{n - 1} X^{n} + (b_{n - 2} - a b_{n - 1}) X^{n - 1} + \dots + (b_{0} - a b_{1}) X + (r - a b_{0}) .$

Două polinoame sunt egale exact când au aceiași coeficienți. Identificăm, grad cu grad:

$a_{n} = b_{n - 1}, a_{k} = b_{k - 1} - a b_{k} (1 \leq k \leq n - 1), a_{0} = r - a b_{0} .$

Rescriem fiecare relație astfel încât în stânga să rămână necunoscuta:

$b_{n - 1} = a_{n}, b_{k - 1} = a_{k} + a \cdot b_{k}, r = a_{0} + a \cdot b_{0} .$

Aici este toată schema. Citite în cuvinte, cele trei relații spun:

primul coeficient al câtului este chiar coeficientul dominant al lui $f$ ;
fiecare următor se obține adunând coeficientul corespunzător al lui $f$ cu produsul dintre $a$ și rezultatul precedent;
restul se obține după exact aceeași regulă, aplicată termenului liber.

Frumusețea metodei: ultima relație are aceeași formă ca celelalte, deci restul se calculează exact ca toți coeficienții câtului — nimic special de ținut minte la final.

3. Tabelul

Așezăm calculul pe două rânduri. Sus, coeficienții lui $f$ în ordine descrescătoare a gradelor, toți, inclusiv zerourile. Jos, rezultatele, calculate de la stânga la dreapta cu regula „coeficientul de deasupra plus $a$ ori numărul din stânga". Ultimul număr din rândul de jos este restul; toate celelalte sunt coeficienții câtului, care are gradul cu $1$ mai mic decât $f$ .

✏️Ilustrație: tabelul lui Horner desenat cu două rânduri și o coloană de etichete în stânga; pe fiecare celulă a rândului de jos, o săgeată oblică ce vine de la celula din stânga ei (înmulțită cu a) și o săgeată verticală de la coeficientul de deasupra; ultima celulă este încadrată și etichetată „REST = f(a)"

4. Exemplul principal, complet

Împărțim $f = 2 X^{4} - 3 X^{3} + 5 X - 7$ la $X - 2$ , deci $a = 2$ . Atenție: coeficientul lui $X^{2}$ lipsește, deci scriem $0$ în locul lui. Coeficienții sunt $2, - 3, 0, 5, - 7$ .

coeficienții lui $f$	$2$	$- 3$	$0$	$5$	$- 7$
$a = 2$	$2$	$1$	$2$	$9$	$11$
ce reprezintă	coef. lui $X^{3}$	coef. lui $X^{2}$	coef. lui $X$	termen liber	restul

Iată fiecare celulă, calculată explicit:

$2 (se coboar \overset{a}{˘}); - 3 + 2 \cdot 2 = 1; 0 + 2 \cdot 1 = 2; 5 + 2 \cdot 2 = 9; - 7 + 2 \cdot 9 = 11.$

Citim rezultatul: câtul este $q = 2 X^{3} + X^{2} + 2 X + 9$ și restul este $r = 11$ .

Dubla verificare, obligatorie. Întâi prin teorema restului, după care restul trebuie să fie $f (2)$ :

$f (2) = 2 \cdot 16 - 3 \cdot 8 + 0 + 10 - 7 = 32 - 24 + 10 - 7 = 11. ✓$

Apoi prin înmulțire înapoi:

$(X - 2) (2 X^{3} + X^{2} + 2 X + 9) = 2 X^{4} + X^{3} + 2 X^{2} + 9 X - 4 X^{3} - 2 X^{2} - 4 X - 18 = 2 X^{4} - 3 X^{3} + 5 X - 18,$

iar adunând restul $11$ obținem $2 X^{4} - 3 X^{3} + 5 X - 7$ , exact deîmpărțitul. ✓

5. Coeficienții lipsă: capcana numărul unu

Împărțim $f = X^{5} - 32$ la $X - 2$ . Polinomul are gradul $5$ , deci în tabel trebuie să apară șase coeficienți: $1, 0, 0, 0, 0, - 32$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 32$
$a = 2$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$0$

Restul este $0$ , deci împărțirea este exactă și

$X^{5} - 32 = (X - 2) (X^{4} + 2 X^{3} + 4 X^{2} + 8 X + 16) .$

Ce s-ar întâmpla dacă am scrie doar coeficienții „vizibili", $1$ și $- 32$ ? Am lucra, fără să ne dăm seama, cu polinomul $X - 32$ , iar tabelul ar da restul $- 32 + 2 = - 30$ — un răspuns fără nicio legătură cu problema. Regula: numărul de coeficienți din rândul de sus este exact $grad f + 1$ . Numără-i înainte de a începe.

6. Horner ca mașină de evaluat polinoame

Din teorema restului, ultimul număr din tabel este $f (a)$ . Prin urmare schema lui Horner este și cea mai rapidă metodă de a calcula valoarea unui polinom într-un punct.

Motivul se vede rescriind polinomul în „formă cuibărită". Pentru $f = 3 X^{4} - 2 X^{3} + 5 X - 1$ și $a = 2$ :

$f (2) = (((3 \cdot 2 - 2) \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 5) \cdot 2 - 1 = ((4 \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 5) \cdot 2 - 1 = (8 \cdot 2 + 5) \cdot 2 - 1 = 41.$

Numerele intermediare $3, 4, 8, 21, 41$ sunt exact rândul de jos al tabelului. Evaluarea directă ar cere ridicări la puterile $4$ și $3$ , deci mai multe înmulțiri și mai multe ocazii de greșeală; Horner face doar $n$ înmulțiri și $n$ adunări — de aceea îl folosesc în practică și calculatoarele.

7. Când $a$ nu este un întreg pozitiv

Schema funcționează pentru orice $a$ complex; nu se schimbă absolut nimic în regulă.

$a$ negativ. Împărțind la $X + 2$ lucrezi cu $a = - 2$ . Pentru $f = X^{3} + 4 X^{2} - 3 X + 1$ : coborâm $1$ ; apoi $4 + (- 2) \cdot 1 = 2$ ; apoi $- 3 + (- 2) \cdot 2 = - 7$ ; apoi $1 + (- 2) \cdot (- 7) = 15$ . Deci $q = X^{2} + 2 X - 7$ și $r = 15$ ; verificare: $f (- 2) = - 8 + 16 + 6 + 1 = 15$ ✓.

$a$ fracționar. Pentru $f = 2 X^{3} - X^{2} + 4 X - 3$ și $a = \frac{1}{2}$ : coborâm $2$ ; apoi $- 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 0$ ; apoi $4 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 4$ ; apoi $- 3 + \frac{1}{2} \cdot 4 = - 1$ . Deci $q = 2 X^{2} + 4$ și $r = - 1$ .

$a$ complex. Pentru $f = X^{3} - X^{2} + X - 1$ și $a = i$ : coborâm $1$ ; apoi $- 1 + i \cdot 1 = - 1 + i$ ; apoi $1 + i (- 1 + i) = 1 - i - 1 = - i$ ; apoi $- 1 + i \cdot (- i) = - 1 + 1 = 0$ . Restul este $0$ , deci $i$ este rădăcină și

$X^{3} - X^{2} + X - 1 = (X - i) (X^{2} + (i - 1) X - i) .$

8. Schema aplicată de mai multe ori

Dacă restul iese $0$ , ai găsit un factor și îți rămâne câtul — un polinom de grad mai mic, pe care poți aplica din nou schema. Așa se descompune un polinom în factori de gradul întâi, tabel după tabel.

Pentru $f = X^{3} - 3 X^{2} + 4$ și $a = - 1$ obținem rândul $1, - 4, 4, 0$ : restul este $0$ , deci $f = (X + 1) (X^{2} - 4 X + 4)$ . Aplicăm schema pe cât, cu $a = 2$ : rândul este $1, - 2, 0$ , deci $X^{2} - 4 X + 4 = (X - 2) (X - 2)$ . Aplicând-o încă o dată pe $X - 2$ , cu același $a = 2$ , restul iese iar $0$ — semn că factorul $X - 2$ apare de mai multe ori. Cât de multe, și ce înseamnă exact, vei studia în Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate.

Limita metodei. Schema funcționează numai pentru împărțitori de forma $X - a$ . Pentru $2 X - 1$ o poți folosi indirect (împărțind la $X - \frac{1}{2}$ și corectând câtul), iar pentru împărțitori de grad cel puțin $2$ nu se aplică deloc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet

Folosind schema lui Horner, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 5$ la $X - 2$ .

Rezolvare. Coeficienții lui $f$ sunt $1, - 2, 3, - 5$ , iar $a = 2$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$- 2$	$3$	$- 5$
$a = 2$	$1$	$0$	$3$	$1$

Calculele: $1$ ; $- 2 + 2 \cdot 1 = 0$ ; $3 + 2 \cdot 0 = 3$ ; $- 5 + 2 \cdot 3 = 1$ .

Deci $q = X^{2} + 0 \cdot X + 3 = X^{2} + 3$ și $r = 1$ . Verificare: $f (2) = 8 - 8 + 6 - 5 = 1$ ✓, iar $(X - 2) (X^{2} + 3) + 1 = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 6 + 1 = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 5$ ✓.

Exemplul 2 — Coeficienți lipsă și $a$ negativ

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 3 X^{3} - 2 X + 5$ la $X + 2$ .

Rezolvare. Lipsește termenul în $X^{2}$ , deci coeficienții sunt $3, 0, - 2, 5$ . Împărțitorul este $X - (- 2)$ , deci $a = - 2$ .

coeficienții lui $f$	$3$	$0$	$- 2$	$5$
$a = - 2$	$3$	$- 6$	$10$	$- 15$

Calculele: $3$ ; $0 + (- 2) \cdot 3 = - 6$ ; $- 2 + (- 2) (- 6) = 10$ ; $5 + (- 2) \cdot 10 = - 15$ .

Deci $q = 3 X^{2} - 6 X + 10$ și $r = - 15$ . Verificare: $f (- 2) = - 24 + 4 + 5 = - 15$ ✓.

Exemplul 3 — Împărțire exactă și descompunere

Arătați, folosind schema lui Horner, că $- 1$ este rădăcină a polinomului $f = X^{3} + X^{2} - 4 X - 4$ și descompuneți $f$ în factori de gradul întâi.

Rezolvare. Coeficienții: $1, 1, - 4, - 4$ ; luăm $a = - 1$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$1$	$- 4$	$- 4$
$a = - 1$	$1$	$0$	$- 4$	$0$

Restul este $0$ , deci $- 1$ este rădăcină, iar $q = X^{2} - 4$ . Prin urmare

$f = (X + 1) (X^{2} - 4) = (X + 1) (X - 2) (X + 2),$

deci rădăcinile lui $f$ sunt $- 1$ , $2$ și $- 2$ . Verificare prin desfacere: $(X + 1) (X^{2} - 4) = X^{3} - 4 X + X^{2} - 4 = X^{3} + X^{2} - 4 X - 4$ ✓.

Exemplul 4 — Un $a$ fracționar

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 4 X^{3} - 4 X^{2} + 3 X - 1$ la $X - \frac{1}{2}$ .

Rezolvare. Coeficienții: $4, - 4, 3, - 1$ ; $a = \frac{1}{2}$ .

coeficienții lui $f$	$4$	$- 4$	$3$	$- 1$
$a = \frac{1}{2}$	$4$	$- 2$	$2$	$0$

Calculele: $4$ ; $- 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = - 2$ ; $3 + \frac{1}{2} (- 2) = 2$ ; $- 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 0$ .

Restul este $0$ , deci $\frac{1}{2}$ este rădăcină și $q = 4 X^{2} - 2 X + 2$ . Observație utilă: scoțând factorul $2$ din cât, obținem $f = 2 (X - \frac{1}{2}) (2 X^{2} - X + 1) = (2 X - 1) (2 X^{2} - X + 1)$ — o descompunere cu coeficienți întregi.

Exemplul 5 — Un $a$ complex

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = X^{4} + 2 X^{2} - 3$ la $X - i$ .

Rezolvare. Coeficienții: $1, 0, 2, 0, - 3$ ; $a = i$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$0$	$2$	$0$	$- 3$
$a = i$	$1$	$i$	$1$	$i$	$- 4$

Calculele: $1$ ; $0 + i \cdot 1 = i$ ; $2 + i \cdot i = 2 - 1 = 1$ ; $0 + i \cdot 1 = i$ ; $- 3 + i \cdot i = - 3 - 1 = - 4$ .

Deci $q = X^{3} + i X^{2} + X + i$ și $r = - 4$ . Verificare prin teorema restului: $f (i) = i^{4} + 2 i^{2} - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f = X^{4} - 2 X^{3} + a X^{2} + X - 2$ , cu $a \in R$ . a) Determinați $a$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este egal cu $4$ . b) Pentru valoarea găsită, determinați câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ , folosind schema lui Horner.

Rezolvare. a) Din teorema restului, condiția este $f (2) = 4$ :

$16 - 16 + 4 a + 2 - 2 = 4 a ⟹ 4 a = 4 ⟹ a = 1.$

b) Pentru $a = 1$ avem $f = X^{4} - 2 X^{3} + X^{2} + X - 2$ , cu coeficienții $1, - 2, 1, 1, - 2$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$- 2$	$1$	$1$	$- 2$
$a = 2$	$1$	$0$	$1$	$3$	$4$

Calculele: $1$ ; $- 2 + 2 = 0$ ; $1 + 0 = 1$ ; $1 + 2 = 3$ ; $- 2 + 6 = 4$ .

Câtul este $q = X^{3} + X + 3$ , iar restul $4$ — exact valoarea cerută, ceea ce confirmă și punctul a). Verificare: $(X - 2) (X^{3} + X + 3) + 4 = X^{4} + X^{2} + 3 X - 2 X^{3} - 2 X - 6 + 4 = X^{4} - 2 X^{3} + X^{2} + X - 2$ ✓.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi coeficienții lui $f$ și numără-i: trebuie să fie $grad f + 1$ . Verifică apoi restul prin teorema restului, calculând $f (a)$ direct.

1. Folosind schema lui Horner, determină câtul și restul împărțirii lui $X^{3} + 4 X^{2} - X + 2$ la $X - 3$ .

2. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{4} + X^{3} - 3 X + 1$ la $X - 1$ .

3. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{4} - 16$ la $X - 2$ , având grijă la coeficienții lipsă.

4. Arată, cu schema lui Horner, că $- 1$ este rădăcină a polinomului $X^{3} + 2 X^{2} - 5 X - 6$ și scrie câtul obținut.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În rândul de sus al schemei lui Horner se scriu numai coeficienții nenuli ai polinomului."

6. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{3} + X - 4$ la $X + 1$ .

7. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{5} - 1$ la $X - 1$ și scrie descompunerea obținută.

8. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{3} + 3 X^{2} - 8 X + 3$ la $X - \frac{1}{2}$ , apoi scrie descompunerea lui $f$ în trei factori de gradul întâi.

9. Determină $m \in R$ astfel încât restul împărțirii lui $X^{3} + m X^{2} - 4 X + 1$ la $X - 1$ să fie $3$ , apoi determină câtul cu schema lui Horner.

10. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{4} - 3 X^{2} + 2 X + 5$ la $X - i$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ultimul număr din rândul de jos al schemei lui Horner este egal cu $f (a)$ ."

12. (Problemă aplicată.) Consumul de energie al unei clădiri, în MWh, la $x$ ani de la renovare, este modelat de $f = X^{4} - 3 X^{3} + 2 X^{2} - X + 7$ . Calculează, folosind schema lui Horner, consumul la $5$ ani de la renovare.

13. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{4} - 3 X^{3} + X - 5$ la $X - 3$ .

14. Explică, în două-trei fraze, de ce primul număr din rândul de jos al schemei este întotdeauna egal cu coeficientul dominant al lui $f$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f = X^{4} + a X^{3} - 3 X^{2} + 2 X + 1$ , cu $a \in R$ . a) Determinați $a$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 3$ este $7$ . b) Determinați câtul acestei împărțiri, folosind schema lui Horner.

16. Aplică schema lui Horner cu $a = 2$ pe polinomul $X^{4} - 5 X^{3} + 6 X^{2} + 4 X - 8$ , apoi din nou pe câtul obținut, și tot așa cât timp restul iese $0$ . De câte ori se poate repeta și ce descompunere obții?

17. Determină restul împărțirii lui $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ la $X - 4$ folosind schema lui Horner, apoi verifică rezultatul calculând direct $f (4)$ .

18. (Provocare.) Scrie polinomul $f = 3 X^{4} - 2 X^{3} + 5 X - 1$ în „formă cuibărită", adică sub forma $(((3 X - 2) X + 0) X + 5) X - 1$ , și calculează astfel $f (2)$ . Compară numerele care apar pe drum cu rândul de jos al schemei lui Horner pentru $a = 2$ . Câte înmulțiri ai făcut, față de evaluarea directă?

Răspunsuri și explicații

1. Coeficienți $1, 4, - 1, 2$ ; cu $a = 3$ , rândul de jos: $1$ , $4 + 3 = 7$ , $- 1 + 21 = 20$ , $2 + 60 = 62$ . Deci $q = X^{2} + 7 X + 20$ și $r = 62$ . Control: $f (3) = 27 + 36 - 3 + 2 = 62$ ✓.

2. Coeficienți $2, 1, 0, - 3, 1$ (lipsește $X^{2}$ ); cu $a = 1$ : $2$ , $1 + 2 = 3$ , $0 + 3 = 3$ , $- 3 + 3 = 0$ , $1 + 0 = 1$ . Deci $q = 2 X^{3} + 3 X^{2} + 3 X$ și $r = 1$ . Control: $f (1) = 2 + 1 - 3 + 1 = 1$ ✓.

3. Coeficienți $1, 0, 0, 0, - 16$ ; cu $a = 2$ : $1, 2, 4, 8, 0$ . Deci $q = X^{3} + 2 X^{2} + 4 X + 8$ și $r = 0$ , adică $X^{4} - 16 = (X - 2) (X^{3} + 2 X^{2} + 4 X + 8)$ .

4. Coeficienți $1, 2, - 5, - 6$ ; cu $a = - 1$ : $1$ , $2 - 1 = 1$ , $- 5 - 1 = - 6$ , $- 6 + 6 = 0$ . Restul $0$ confirmă că $- 1$ este rădăcină, iar $q = X^{2} + X - 6 = (X - 2) (X + 3)$ . Deci $f = (X + 1) (X - 2) (X + 3)$ .

5. Fals. Se scriu toți coeficienții, de la cel dominant până la termenul liber, inclusiv zerourile din locurile în care lipsesc termeni. Numărul lor trebuie să fie $grad f + 1$ ; altfel schema calculează pentru cu totul alt polinom.

6. Coeficienți $2, 0, 1, - 4$ (lipsește $X^{2}$ ); cu $a = - 1$ : $2$ , $0 - 2 = - 2$ , $1 + 2 = 3$ , $- 4 - 3 = - 7$ . Deci $q = 2 X^{2} - 2 X + 3$ și $r = - 7$ . Control: $f (- 1) = - 2 - 1 - 4 = - 7$ ✓.

7. Coeficienți $1, 0, 0, 0, 0, - 1$ ; cu $a = 1$ : $1, 1, 1, 1, 1, 0$ . Deci $q = X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1$ și $r = 0$ , adică $X^{5} - 1 = (X - 1) (X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1)$ .

8. Coeficienți $2, 3, - 8, 3$ ; cu $a = \frac{1}{2}$ : $2$ , $3 + 1 = 4$ , $- 8 + 2 = - 6$ , $3 - 3 = 0$ . Deci $q = 2 X^{2} + 4 X - 6$ și $r = 0$ : numărul $\frac{1}{2}$ este rădăcină. Cum $f = (X - \frac{1}{2}) (2 X^{2} + 4 X - 6) = (2 X - 1) (X^{2} + 2 X - 3)$ , iar $X^{2} + 2 X - 3 = (X - 1) (X + 3)$ , obținem $f = (2 X - 1) (X - 1) (X + 3)$ .

9. $f (1) = 1 + m - 4 + 1 = m - 2$ ; condiția $m - 2 = 3$ dă $m = 5$ . Cu $f = X^{3} + 5 X^{2} - 4 X + 1$ și $a = 1$ , rândul de jos este $1, 6, 2, 3$ , deci $q = X^{2} + 6 X + 2$ și $r = 3$ ✓.

10. Coeficienți $1, 0, - 3, 2, 5$ ; cu $a = i$ : $1$ , $0 + i = i$ , $- 3 + i \cdot i = - 4$ , $2 + i (- 4) = 2 - 4 i$ , $5 + i (2 - 4 i) = 9 + 2 i$ . Deci $q = X^{3} + i X^{2} - 4 X + (2 - 4 i)$ și $r = 9 + 2 i$ . Control: $f (i) = i^{4} - 3 i^{2} + 2 i + 5 = 1 + 3 + 2 i + 5 = 9 + 2 i$ ✓.

11. Adevărat. Ultimul număr este restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ , iar teorema restului spune că acest rest este $f (a)$ . De aceea schema lui Horner se folosește și ca metodă de evaluare a polinoamelor.

12. Coeficienți $1, - 3, 2, - 1, 7$ ; cu $a = 5$ : $1$ , $- 3 + 5 = 2$ , $2 + 10 = 12$ , $- 1 + 60 = 59$ , $7 + 295 = 302$ . Deci $f (5) = 302$ MWh. (Evaluarea directă dă $625 - 375 + 50 - 5 + 7 = 302$ ✓.)

13. Coeficienți $2, - 3, 0, 1, - 5$ ; cu $a = 3$ : $2$ , $- 3 + 6 = 3$ , $0 + 9 = 9$ , $1 + 27 = 28$ , $- 5 + 84 = 79$ . Deci $q = 2 X^{3} + 3 X^{2} + 9 X + 28$ și $r = 79$ . Control: $f (3) = 162 - 81 + 3 - 5 = 79$ ✓.

14. Pentru că relația de identificare a coeficienților de grad maxim este $a_{n} = b_{n - 1}$ : termenul de grad $n$ al produsului $(X - a) q$ provine exclusiv din $X \cdot b_{n - 1} X^{n - 1}$ , deci coeficientul dominant al câtului este chiar cel al lui $f$ . De aceea primul număr se „coboară" fără niciun calcul.

15. a) $f (3) = 81 + 27 a - 27 + 6 + 1 = 27 a + 61$ ; condiția $27 a + 61 = 7$ dă $27 a = - 54$ , deci $a = - 2$ . b) Cu $f = X^{4} - 2 X^{3} - 3 X^{2} + 2 X + 1$ și $a = 3$ , rândul de jos este $1, 1, 0, 2, 7$ , deci $q = X^{3} + X^{2} + 2$ și $r = 7$ ✓.

16. Primul tabel ( $1, - 5, 6, 4, - 8$ cu $a = 2$ ) dă $1, - 3, 0, 4, 0$ : rest $0$ , cât $X^{3} - 3 X^{2} + 4$ . Al doilea dă $1, - 1, - 2, 0$ : rest $0$ , cât $X^{2} - X - 2$ . Al treilea dă $1, 1, 0$ : rest $0$ , cât $X + 1$ . Al patrulea dă restul $3 \neq = 0$ , deci ne oprim. Am aplicat schema de trei ori cu succes, iar descompunerea este $f = (X - 2)^{3} (X + 1)$ .

17. Coeficienți $1, - 6, 11, - 6$ ; cu $a = 4$ : $1$ , $- 6 + 4 = - 2$ , $11 - 8 = 3$ , $- 6 + 12 = 6$ . Restul este $6$ , iar câtul $X^{2} - 2 X + 3$ . Verificare directă: $f (4) = 64 - 96 + 44 - 6 = 6$ ✓ — deci $4$ nu este rădăcină a lui $f$ .

18. $(((3 \cdot 2 - 2) \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 5) \cdot 2 - 1$ : pe rând obținem $3$ , $3 \cdot 2 - 2 = 4$ , $4 \cdot 2 + 0 = 8$ , $8 \cdot 2 + 5 = 21$ , $21 \cdot 2 - 1 = 41$ . Numerele $3, 4, 8, 21, 41$ sunt exact rândul de jos al schemei lui Horner. Am făcut $4$ înmulțiri și $4$ adunări; evaluarea directă ar cere calculul lui $2^{4}$ , $2^{3}$ și al produselor cu coeficienții, adică vizibil mai multe operații — de aici avantajul metodei.

De reținut

Regula schemei: primul coeficient se coboară; fiecare număr următor $=$ coeficientul de deasupra $+ a \times$ numărul din stânga. Ultimul număr este restul, celelalte sunt coeficienții câtului.
De ce funcționează: relațiile $b_{n - 1} = a_{n}$ , $b_{k - 1} = a_{k} + a b_{k}$ și $r = a_{0} + a b_{0}$ se obțin identificând coeficienții în $f = (X - a) q + r$ .
Coeficienții lipsă se scriu cu $0$ . În rândul de sus trebuie să fie exact $grad f + 1$ numere; numără-le înainte de a calcula.
Ultimul număr este $f (a)$ , deci schema este totodată cea mai rapidă metodă de evaluare a unui polinom într-un punct.
Se aplică numai la împărțitori de forma $X - a$ . Pentru împărțitori de grad mai mare folosești algoritmul clasic.

Greșeli frecvente

Omiterea zerourilor. Cea mai costisitoare greșeală: dacă lipsește o coloană, tot tabelul calculează pentru alt polinom. Verifică numărul de coeficienți: $grad f + 1$ .
Semnul lui $a$ . La împărțirea cu $X + 3$ , în schemă intră $a = - 3$ , nu $3$ . Rescrie împărțitorul ca $X - (\dots)$ înainte de a completa tabelul.
Confuzia dintre cât și rest. Ultimul număr din rândul de jos este restul; câtul este format din toate celelalte și are gradul $grad f - 1$ . Dacă îl scrii cu un termen prea mult, ai inclus restul în cât.
Adunare în loc de „coeficient $+ a \times$ precedent". Nu aduni pur și simplu numerele vecine: se adună coeficientul de sus cu produsul dintre $a$ și rezultatul precedent.
Folosirea schemei pentru împărțitori de gradul al doilea. Schema nu se aplică la $X^{2} + 1$ sau la $2 X - 1$ direct. Pentru $a X + b$ poți lucra cu $X + \frac{b}{a}$ , dar trebuie apoi să corectezi câtul; pentru grade mai mari nu există variantă.

Aplică acasă

Cronometrul comparativ. Ia un polinom de gradul al cincilea și împarte-l la $X - 3$ o dată cu algoritmul clasic și o dată cu Horner, cronometrând ambele metode. Diferența explică de ce schema merită învățată pe de rost.
Tabelul de valori. Pentru $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ , calculează cu Horner valorile în $0, 1, 2, 3, 4$ . Din resturi citești care numere sunt rădăcini, iar din câturi obții descompunerea completă.
Horner în foaia de calcul. Pune coeficienții lui $f$ pe prima linie și, pe a doua, formula lui Horner (fiecare celulă $=$ coeficientul de deasupra $+ a \times$ celula din stânga). Schimbând valoarea lui $a$ , obții instantaneu câtul și restul.

Pentru părinți și profesori

Schema lui Horner este, alături de teorema restului, cea mai folosită unealtă din capitol. Lecția are două componente: una de tehnică (completarea tabelului) și una de înțelegere (de unde vine regula). A doua nu trebuie sărită: elevii care știu de unde vine schema nu mai confundă câtul cu restul și nu mai uită zerourile.

De verificat în caiet: (1) rândul de sus are exact $grad f + 1$ coeficienți; (2) semnul lui $a$ e corect când împărțitorul este $X + c$ ; (3) câtul are gradul cu unu mai mic decât $f$ ; (4) restul e confirmat prin calculul direct al lui $f (a)$ . Întrebări de control: „Câți coeficienți scrii sus?"; „Ce reprezintă ultimul număr?"; „Ce grad are câtul?"; „Poți folosi Horner la $X^{2} - 1$ ?".

La Bacalaureat M1 schema apare foarte des, chiar și când nu e cerută explicit: la determinarea câtului, la descompunerea unui polinom după găsirea unei rădăcini, la evaluarea într-un punct. Semn că elevul a înțeles: alege singur Horner ori de câte ori împărțitorul are forma $X - a$ și verifică restul prin evaluare directă.

Întrebări frecvente

Cum se completează schema lui Horner? În rândul de sus scrii toți coeficienții polinomului, în ordine descrescătoare a gradelor, inclusiv zerourile. În rândul de jos, primul număr este chiar coeficientul dominant, iar fiecare număr următor se obține adunând coeficientul de deasupra cu produsul dintre $a$ și numărul din stânga.

Ce reprezintă ultimul număr din schema lui Horner? Este restul împărțirii polinomului la $X - a$ și, conform teoremei restului, este egal cu $f (a)$ . Toate celelalte numere din rândul de jos sunt coeficienții câtului.

De ce funcționează schema lui Horner? Pentru că relațiile ei se obțin identificând coeficienții în egalitatea $f = (X - a) q + r$ : coeficientul dominant al câtului este cel al lui $f$ , iar fiecare coeficient următor satisface $b_{k - 1} = a_{k} + a b_{k}$ . Aceeași formulă dă și restul, aplicată termenului liber.

Ce fac dacă polinomului îi lipsesc unii termeni? Îi scrii cu coeficientul $0$ . Rândul de sus trebuie să conțină exact $grad f + 1$ numere; dacă sari o coloană, schema calculează pentru alt polinom și tot rezultatul e greșit.

Cum aplic schema când împărțitorul este $X + 3$ ? Rescrii împărțitorul ca $X - (- 3)$ și lucrezi cu $a = - 3$ . Semnul se schimbă întotdeauna — este greșeala cea mai frecventă la această temă.

Pot folosi schema lui Horner pentru împărțirea la un polinom de gradul al doilea? Nu. Schema este construită special pentru împărțitori de forma $X - a$ . Pentru $X^{2} + 1$ , $X^{2} - 3 X + 2$ sau orice alt împărțitor de grad mai mare folosești algoritmul clasic al împărțirii.

La ce mai folosește schema lui Horner, în afară de împărțire? La evaluarea rapidă a unui polinom într-un punct (ultimul număr este $f (a)$ ), la verificarea faptului că un număr este rădăcină și la descompunerea în factori, aplicând-o de mai multe ori la rând.

Cum apare schema lui Horner la Bacalaureat M1? Aproape întotdeauna ca instrument, nu ca subiect: „determinați câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ ", „arătați că $a$ este rădăcină și descompuneți polinomul", „calculați $f (3)$ " — în toate, este cea mai rapidă și mai sigură cale.