Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate

Privește două polinoame de gradul al treilea: $f=X^3-6X^2+11X-6$ și $g=X^3-3X+2$. Amândouă au gradul $3$, amândouă au coeficienți întregi mici, amândouă se descompun frumos. Și totuși primul are trei rădăcini distincte, $1$, $2$ și $3$, iar al doilea are doar două: $1$ și $-2$. Unde s-a „pierdut" a treia rădăcină a lui $g$?

Nicăieri — ea este tot acolo, doar că este aceeași cu una dintre celelalte: $g=(X-1{)}^2(X+2)$. Rădăcina $1$ apare de două ori în descompunere și spunem că are ordinul de multiplicitate $2$. Această noțiune, aparent tehnică, explică o mulțime de fenomene: de ce unele grafice ating axa fără s-o traverseze, de ce o ecuație de gradul al doilea cu $\Delta =0$ „are o singură soluție" deși ar trebui să aibă două, și cum se determină parametrii atunci când enunțul cere ca un număr să fie rădăcină „dublă". Este ultima piesă care lipsea din descompunerea canonică.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești ordinul de multiplicitate al unei rădăcini și să folosești corect termenii „simplă", „dublă", „triplă".
• Vei ști să determini ordinul unei rădăcini prin împărțiri succesive cu schema lui Horner.
• Vei ști că suma ordinelor de multiplicitate ale tuturor rădăcinilor este egală cu gradul polinomului.
• Vei ști să determini parametri din condiția ca un număr dat să fie rădăcină dublă sau triplă.
• Vei ști să citești pe grafic diferența dintre o rădăcină simplă și una dublă.
• Vei ști să scrii descompunerea canonică a unui polinom cu rădăcini multiple.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția

Din Teorema lui Bézout știm că $a$ este rădăcină a lui $f$ exact atunci când $X-a$ divide $f$. Întrebarea nouă este: de câte ori se poate „scoate" factorul $X-a$?

Definiție. Fie $f$ un polinom nenul și $a\in \mathbb{C}$. Spunem că $a$ este rădăcină de ordinul $m$ (sau de multiplicitate $m$) a lui $f$, unde $m\ge 1$, dacă

$$(X-a{)}^m\mid f\text{și}(X-a{)}^{m+1}\nmid f.$$

Echivalent: $f=(X-a{)}^m\cdot q$, unde $q$ este un polinom cu $q(a)\ne 0$.

Cele două formulări spun același lucru. A doua e mai ușor de folosit: scoți factorul $X-a$ de câte ori poți, iar ordinul este numărul de extrageri; te oprești când polinomul rămas nu se mai anulează în $a$.

Vocabular: o rădăcină de ordinul $1$ se numește simplă, una de ordinul $2$ se numește dublă, una de ordinul $3$ triplă. O rădăcină de ordin $m\ge 2$ se numește, generic, rădăcină multiplă.

Exemplu. Pentru $f=(X-1{)}^2(X+2)$, rădăcina $1$ are ordinul $2$, iar rădăcina $-2$ are ordinul $1$. Într-adevăr, $f$ se divide cu $(X-1{)}^2$, dar nu cu $(X-1{)}^3$ — gradul nici nu ar permite-o.

Atenție la o capcană. Din $f(a)=0$ nu rezultă că $a$ e rădăcină dublă, oricât de „specială" ar părea. Bézout dă doar prima extragere; a doua trebuie verificată separat.

2. Cum se determină ordinul: Horner, de mai multe ori

Metoda de lucru este directă și mecanică — exact ce vrei la un examen.

Împarți la $X-a$ cu Schema lui Horner. Dacă restul e zero, reiei împărțirea pe cât, tot cu $a$. Ordinul de multiplicitate este numărul de resturi nule consecutive obținute.

Exemplu complet. Să determinăm ordinul rădăcinii $a=2$ pentru

$$f=X^4-5X^3+6X^2+4X-8.$$

Coeficienții sunt $1,-5,6,4,-8$. Aplicăm Horner de patru ori la rând:

Trei resturi nule, apoi un rest nenul. Deci $2$ este rădăcină de ordinul $\boxed{3}$, iar

$$f=(X-2{)}^3(X+1).$$

Verificare prin înmulțire: $(X-2{)}^3=X^3-6X^2+12X-8$, iar $(X^3-6X^2+12X-8)(X+1)=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$. ✓

Observă că ultimul cât obținut, $X+1$, este exact factorul $q$ din definiție, iar $q(2)=3\ne 0$ — chiar restul din a patra împărțire. Nu e o coincidență: restul împărțirii lui $q$ la $X-2$ este $q(2)$, prin teorema restului.

3. Suma ordinelor este gradul

Din Teorema fundamentală a algebrei. Descompunerea canonică știm că orice polinom de gradul $n$ se scrie

$$f=a_n(X-x_1{)}^{m_1}(X-x_2{)}^{m_2}\cdots (X-x_k{)}^{m_k},$$

cu $x_1,\dots ,x_k$ rădăcinile distincte. Comparând gradele celor doi membri, obținem relația de aur:

$$m_1+m_2+\cdots +m_k=n.$$

Este cel mai bun instrument de verificare pe care îl ai. Câteva consecințe imediate:

• Un polinom de gradul $3$ nu poate avea o rădăcină de ordinul $4$.
• Dacă un polinom de gradul $4$ are o rădăcină triplă, mai are exact o rădăcină, simplă.
• Dacă un polinom de gradul $n$ are $n$ rădăcini distincte, toate sunt simple.
• Un polinom de gradul $n$ cu o singură rădăcină distinctă este de forma $a_n(X-x_1{)}^n$.

Exemplu. Un polinom monic de gradul $6$ are rădăcinile $1$ (ordin $2$), $-3$ (ordin $3$) și $5$. Ordinele însumează $2+3+1=6$. ✓ Polinomul este $f=(X-1{)}^2(X+3{)}^3(X-5)$ și nu mai are alte rădăcini.

4. Determinarea parametrilor: o rădăcină dublă înseamnă două condiții

Iată tipul de cerință cel mai frecvent la examen: „determinați $a$ și $b$ astfel încât $x_0$ să fie rădăcină dublă". Ideea este simplă: fiecare extragere de factor dă o ecuație. O rădăcină dublă cere două resturi nule, deci două ecuații.

Sunt două metode, la fel de bune.

Metoda 1 (Horner cu parametri). Aplici Horner cu $x_0$, ținând parametrii în calcul, și pui restul egal cu zero. Reiei Horner pe cât și pui și al doilea rest egal cu zero. Rezolvi sistemul.

Metoda 2 (identificarea coeficienților). Scrii $f=(X-x_0{)}^2\cdot q$, cu $q$ având gradul potrivit și coeficienți necunoscuți, desfaci parantezele și identifici coeficienții.

Exemplu complet, prin metoda 1. Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $x=2$ să fie rădăcină dublă pentru $f=X^3+a{X}^2+bX-4$.

Prima aplicare a schemei lui Horner cu $a_0=2$ pe coeficienții $1,a,b,-4$ dă succesiv $1$, $a+2$, $b+2a+4$, iar restul

$$r_1=4a+2b+4.$$

Câtul este $X^2+(a+2)X+(b+2a+4)$. Aplicăm Horner din nou, cu $2$: obținem $1$, $a+4$, iar restul

$$r_2=b+4a+12.$$

Impunem $r_1=0$ și $r_2=0$:

$$\{\begin{array}{l}4a+2b+4=0\\ 4a+b+12=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2a+b=-2\\ 4a+b=-12\end{array}$$

Scăzând, $2a=-10$, deci $a=-5$ și $b=8$.

Verificare. $f=X^3-5X^2+8X-4$. Horner cu $2$: resturile sunt $0$, apoi $0$, apoi $1\ne 0$ — deci $2$ este rădăcină de ordin exact $2$. Descompunerea: $f=(X-2{)}^2(X-1)$, iar $(X^2-4X+4)(X-1)=X^3-5X^2+8X-4$. ✓

Observație importantă. Condițiile $r_1=0$ și $r_2=0$ garantează că ordinul este cel puțin $2$. Dacă enunțul cere „exact dublă", verifici la final că al treilea rest e nenul — un rând de calcul, care uneori aduce un punct.

5. Ce se vede pe grafic

Pentru polinoame cu coeficienți reali, ordinul de multiplicitate al unei rădăcini reale are o traducere vizuală imediată, pe graficul funcției polinomiale (vezi Valoarea unui polinom. Funcția polinomială):

• Ordin impar ($1$, $3$, …): graficul traversează axa $Ox$ în acel punct — semnul funcției se schimbă.
• Ordin par ($2$, $4$, …): graficul atinge axa și se întoarce — semnul nu se schimbă.

Explicația e la îndemână. Scriem $f=(X-a{)}^{m}q$, cu $q(a)\ne 0$. În apropierea lui $a$, factorul $q$ păstrează semnul lui $q(a)$, iar semnul lui $f$ îl dă $(x-a{)}^m$: dacă $m$ e par, $(x-a{)}^m>0$ de ambele părți; dacă $m$ e impar, își schimbă semnul odată cu $x-a$.

Verificare numerică. Pentru $f=X^3-3X+2=(X-1{)}^2(X+2)$, rădăcina $1$ este dublă. Calculăm în două puncte vecine:

$$f(0,9)=0,029>0,f(1)=0,f(1,1)=0,031>0.$$

Graficul coboară până la axă, o atinge în $(1,0)$ și urcă înapoi, fără să treacă în semiplanul negativ.

6. Rădăcini multiple în ecuațiile cunoscute

Noțiunea nu e nouă, doar numele este. La ecuația de gradul al doilea $a{x}^2+bx+c=0$ cu $\Delta =0$ obțineai „o soluție dublă" $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$. Acum știm exact ce înseamnă:

$$a{x}^2+bx+c=a{\left(X+\frac{b}{2a}\right)}^2,$$

deci rădăcina are ordinul $2$ și, într-adevăr, ordinele însumează $2=\mathrm{grad}f$. Așa se împacă „o singură soluție" cu „un polinom de gradul $2$ are două rădăcini": ele sunt două, dar egale.

La fel, $X^n=0$ are rădăcina $0$ de ordinul $n$, iar $(X-2{)}^3=X^3-6X^2+12X-8$ are rădăcina $2$ de ordinul $3$ și nicio alta.

7. La ce ne va folosi mai departe

Ordinul de multiplicitate intervine în trei locuri esențiale ale capitolului:

1. La relațiile lui Viète — sumele și produsele se scriu cu rădăcinile numărate cu multiplicități. Dacă un polinom de gradul $3$ are rădăcina $1$ dublă și rădăcina $2$, atunci $x_1+x_2+x_3=1+1+2=4$, nu $1+2$. Vezi Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al treilea.
2. La descompunerea în factori ireductibili, unde exponenții din descompunerea canonică sunt tocmai ordinele de multiplicitate.
3. La rezolvarea ecuațiilor algebrice, unde o rădăcină multiplă „consumă" mai multe grade și reduce numărul de soluții distincte pe care le mai ai de căutat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ordinul unei rădăcini, prin Horner repetat

Arătați că $2$ este rădăcină de ordinul $3$ pentru $f=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$ și scrieți descompunerea canonică.

Rezolvare. Aplicăm Horner cu $a=2$, pornind de la coeficienții $1,-5,6,4,-8$:

• prima împărțire: câtul $X^3-3X^2+4$, restul $0$;
• a doua: câtul $X^2-X-2$, restul $0$;
• a treia: câtul $X+1$, restul $0$;
• a patra: restul $3\ne 0$ — ne oprim.

Trei resturi nule consecutive înseamnă ordinul $3$. Descompunerea:

$$f=(X-2{)}^3(X+1).$$

Verificare: $(X-2{)}^3(X+1)=(X^3-6X^2+12X-8)(X+1)=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$. ✓ Control al ordinelor: $3+1=4=\mathrm{grad}f$. ✓

Exemplul 2 — Două rădăcini, ordine diferite

Determinați ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $1$ și $-1$ pentru $f=X^4-2X^3+2X-1$.

Rezolvare. Pentru $a=1$, coeficienții sunt $1,-2,0,2,-1$. Horner dă, pe rând: câtul $X^3-X^2-X+1$ cu rest $0$; apoi $X^2-1$ cu rest $0$; apoi $X+1$ cu rest $0$; apoi rest $2\ne 0$. Deci $1$ are ordinul $3$.

Ultimul cât fiind $X+1$, rezultă imediat

$$f=(X-1{)}^3(X+1),$$

deci $-1$ are ordinul $1$ (este rădăcină simplă). Control: $3+1=4$. ✓

Exemplul 3 — Cu rădăcina zero în joc

Scrieți descompunerea canonică a polinomului $f=X^4-4X^3+5X^2-2X$ și precizați ordinele.

Rezolvare. Dăm factor comun $X$: $f=X(X^3-4X^2+5X-2)$. Pentru paranteză, $1$ este rădăcină ($1-4+5-2=0$); Horner cu $1$ dă câtul $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$. Prin urmare

$$f=X(X-1{)}^2(X-2).$$

Ordinele: $0$ are ordinul $1$, $1$ are ordinul $2$, $2$ are ordinul $1$. Control: $1+2+1=4$. ✓

Exemplul 4 — Determinarea a doi parametri

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $x=2$ să fie rădăcină dublă pentru $f=X^3+a{X}^2+bX-4$.

Rezolvare. Aplicăm Horner cu $2$, păstrând parametrii. Primul rest este $r_1=4a+2b+4$; câtul este $X^2+(a+2)X+(b+2a+4)$. A doua aplicare a schemei dă restul $r_2=4a+b+12$.

Sistemul $r_1=0$, $r_2=0$ se scrie $2a+b=-2$ și $4a+b=-12$; scăzând, $a=-5$, apoi $b=8$.

Verificare: $f=X^3-5X^2+8X-4=(X-2{)}^2(X-1)$; al treilea rest al schemei este $1\ne 0$, deci ordinul este exact $2$. ✓

Exemplul 5 — Ce ne spune graficul

Funcția polinomială $f(x)=x^3-3x+2$ are rădăcinile $1$ (dublă) și $-2$ (simplă). Explicați comportarea graficului în vecinătatea fiecărei rădăcini.

Rezolvare. Scriem $f=(x-1{)}^2(x+2)$.

În jurul lui $x=1$: factorul $(x-1{)}^2$ este pozitiv de ambele părți, iar $x+2$ este pozitiv (aproape de $3$). Deci $f>0$ și la stânga, și la dreapta lui $1$ — graficul atinge axa și se întoarce. Numeric: $f(0,9)=0,029$ și $f(1,1)=0,031$, ambele pozitive.

În jurul lui $x=-2$: factorul $(x-1{)}^2$ este pozitiv (aproape de $9$), iar $x+2$ își schimbă semnul. Deci $f$ trece de la negativ la pozitiv — graficul traversează axa.

Regula generală: ordin par înseamnă atingere, ordin impar înseamnă traversare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât polinomul $f=X^3+mX+2$ să admită o rădăcină dublă, apoi scrieți descompunerea canonică a lui $f$.

Rezolvare. Fie $a$ rădăcina dublă și $b$ cea de-a treia (ordinele trebuie să însumeze $3$). Atunci

$$f=(X-a{)}^2(X-b)=X^3-(2a+b)X^2+(a^2+2ab)X-a^{2}b.$$

Identificăm coeficienții cu cei ai lui $f=X^3+0\cdot X^2+mX+2$:

$$\{\begin{array}{l}2a+b=0\\ a^2+2ab=m\\ -a^{2}b=2\end{array}$$

Din prima, $b=-2a$. Înlocuim în a treia: $-a^2(-2a)=2a^3=2$, deci $a^3=1$ și, căutând soluția reală, $a=1$. Atunci $b=-2$ și

$$m=a^2+2ab=1+2\cdot 1\cdot (-2)=-3.$$

Așadar $\boxed{m=-3}$ și $f=X^3-3X+2=(X-1{)}^2(X+2)$.

Verificare: $f(1)=1-3+2=0$; Horner cu $1$ dă câtul $X^2+X-2$, care se anulează tot în $1$ — deci ordinul este cel puțin $2$; al treilea cât, $X+2$, nu se anulează în $1$, deci ordinul este exact $2$. ✓

Să exersăm

Pentru fiecare cerință de ordin de multiplicitate, scrie tabelul Horner complet, inclusiv împărțirea care dă rest nenul — ea este dovada că te-ai oprit unde trebuie.

1. Arată că $1$ este rădăcină dublă pentru $f=X^3-X^2-X+1$ și găsește a treia rădăcină.

2. Determină ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $0$ și $-1$ pentru $f=X^4+3X^3+3X^2+X$.

3. Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $2$ pentru $f=X^3-6X^2+12X-8$.

4. Fie $f=(X-1{)}^2(X+3{)}^3(X-5)$. Precizează gradul lui $f$, rădăcinile sale distincte și ordinul fiecăreia.

5. Scrie polinomul monic de gradul $4$ care are rădăcina $3$ de ordinul $2$ și rădăcinile $0$ și $-1$ simple, apoi desfă parantezele.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un polinom de gradul $5$ poate avea o rădăcină de ordinul $6$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a$ este rădăcină dublă a lui $f$, atunci $(X-a{)}^2$ divide $f$."

8. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $-2$ să fie rădăcină dublă pentru $f=X^3+a{X}^2+bX+4$.

9. Determină ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $1$ și $2$ pentru $f=X^3-4X^2+5X-2$.

10. Scrie descompunerea canonică a polinomului $f=X^4-2X^2+1$ și precizează ordinele.

11. (Problemă aplicată.) Înălțimea (în metri, față de un reper) a unui obiect aflat în mișcare este $h(t)=t^3-3t+2$, unde $t\ge 0$ este timpul în secunde. Arată că obiectul atinge reperul la $t=1$ s, dar nu coboară sub el, și explică fenomenul prin ordinul de multiplicitate al rădăcinii.

12. Un polinom de gradul $7$ are rădăcinile $2$ (ordin $3$), $-1$ (ordin $2$), $i$ și $-i$. Verifică relația dintre ordine și grad și scrie polinomul monic corespunzător (fără a desface parantezele).

13. Arată că $f=X^4-4X^3+6X^2-4X+1$ are o singură rădăcină distinctă și precizează-i ordinul.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă prima împărțire la $X-a$ dă rest zero, iar a doua rest nenul, atunci $a$ este rădăcină simplă."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $x=1$ să fie rădăcină dublă a polinomului $f=X^4+a{X}^3+b{X}^2+X-3$, apoi scrieți $f$ ca produs dintre $(X-1{)}^2$ și un polinom de gradul al doilea.

16. Arată, grupând termenii, că $f=X^5-X^4-X+1$ are rădăcina $1$ de ordinul $2$ și scrie descompunerea completă peste $\mathbb{C}$.

17. Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $0$ pentru $f=X^5-3X^4+2X^3$ și scrie descompunerea lui $f$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $n\ge 2$, polinomul $f=X^n-nX+n-1$ are rădăcina $1$ de ordin cel puțin $2$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(1)=1-1-1+1=0$. Horner cu $1$ pe $1,-1,-1,1$ dă câtul $X^2-1$ cu rest $0$; a doua aplicare, pe $1,0,-1$, dă câtul $X+1$ cu rest $0$; a treia dă rest $2\ne 0$. Deci ordinul lui $1$ este $2$, iar $f=(X-1{)}^2(X+1)$ — a treia rădăcină este $-1$.

2. $f=X(X^3+3X^2+3X+1)=X(X+1{)}^3$. Așadar $0$ are ordinul $1$, iar $-1$ ordinul $3$. Control: $1+3=4$. ✓

3. $f=(X-2{)}^3$ (cubul binomului). Horner cu $2$ dă trei resturi nule, iar a patra împărțire dă restul $1\ne 0$. Ordinul este $3$, iar $2$ este singura rădăcină.

4. Gradul este $2+3+1=6$. Rădăcini distincte: $1$ (ordin $2$), $-3$ (ordin $3$), $5$ (ordin $1$). Alte rădăcini nu există, pentru că ordinele epuizează deja gradul.

5. $f=X(X+1)(X-3{)}^2=X^4-5X^3+3X^2+9X$. (Verificare: coeficientul lui $X$ este $9$, iar termenul liber $0$, pentru că $0$ e rădăcină.)

6. Fals. Suma ordinelor tuturor rădăcinilor este egală cu gradul; un singur ordin nu poate depăși gradul. Din $(X-a{)}^6\mid f$ ar rezulta $\mathrm{grad}f\ge 6>5$.

7. Adevărat. Este chiar definiția: $a$ e rădăcină dublă înseamnă $(X-a{)}^2\mid f$ și $(X-a{)}^3\nmid f$. (Reciproca nu e adevărată: divizibilitatea cu $(X-a{)}^2$ singură nu exclude un ordin mai mare.)

8. Horner cu $-2$ pe coeficienții $1,a,b,4$ dă câtul $X^2+(a-2)X+(b-2a+4)$ și restul $r_1=4a-2b-4$; a doua aplicare dă restul $r_2=-4a+b+12$. Sistemul $r_1=0$, $r_2=0$ se scrie $2a-b=2$ și $4a-b=12$; scăzând, $a=5$, apoi $b=8$. Verificare: $f=X^3+5X^2+8X+4=(X+2{)}^2(X+1)$, iar al treilea rest al schemei este $-1\ne 0$, deci ordinul este exact $2$. ✓

9. $f(1)=1-4+5-2=0$; Horner cu $1$ dă câtul $X^2-3X+2$ și rest $0$; a doua aplicare dă câtul $X-2$ și rest $0$; a treia dă rest $-1\ne 0$. Deci $1$ are ordinul $2$, iar $f=(X-1{)}^2(X-2)$: rădăcina $2$ este simplă.

10. $f=(X^2-1{)}^2=(X-1{)}^2(X+1{)}^2$. Ordinele sunt $2$ și $2$, iar suma lor este $4=\mathrm{grad}f$. ✓

11. $h(t)=(t-1{)}^2(t+2)$, deci $h(1)=0$: obiectul atinge reperul la $t=1$ s. Rădăcina $1$ are ordinul $2$, deci graficul atinge axa fără s-o traverseze; într-adevăr, pentru $t\ge 0$ avem $(t-1{)}^2\ge 0$ și $t+2>0$, deci $h(t)\ge 0$ mereu. Numeric: $h(0,9)=0,029$ și $h(1,1)=0,031$ — obiectul coboară până la reper și urcă înapoi, fără să treacă sub el.

12. Ordinele: $3+2+1+1=7=\mathrm{grad}f$. ✓ Polinomul monic este $f=(X-2{)}^3(X+1{)}^2(X-i)(X+i)$, sau echivalent $f=(X-2{)}^3(X+1{)}^2(X^2+1)$.

13. $f=(X-1{)}^4$, pentru că $(X-1{)}^4=X^4-4X^3+6X^2-4X+1$ (coeficienții sunt cei din triunghiul lui Pascal, cu semne alternante). Singura rădăcină distinctă este $1$, de ordinul $4$.

14. Adevărat. Primul rest nul înseamnă $(X-a)\mid f$, deci $f=(X-a)q$; al doilea rest este $q(a)$, iar dacă e nenul, factorul $X-a$ nu se mai poate extrage. Este exact definiția ordinului $1$.

15. Scriem $f=(X-1{)}^2(X^2+cX+d)=X^4+(c-2)X^3+(d-2c+1)X^2+(c-2d)X+d$. Identificăm coeficientul lui $X$ și termenul liber: $d=-3$ și $c-2d=1$, deci $c=1+2(-3)=-5$. Atunci $a=c-2=-7$ și $b=d-2c+1=-3+10+1=8$. Prin urmare $f=X^4-7X^3+8X^2+X-3=(X-1{)}^2(X^2-5X-3)$.

16. $f=X^4(X-1)-(X-1)=(X-1)(X^4-1)=(X-1)(X-1)(X+1)(X^2+1)$, deci $f=(X-1{)}^2(X+1)(X^2+1)$ și rădăcina $1$ are ordinul $2$. Peste $\mathbb{C}$: $f=(X-1{)}^2(X+1)(X-i)(X+i)$. Control: $2+1+1+1=5$. ✓

17. $f=X^3(X^2-3X+2)=X^3(X-1)(X-2)$. Ordinul lui $0$ este $3$ (mai mult nu se poate extrage, pentru că $X^2-3X+2$ nu se anulează în $0$: valoarea este $2$). Rădăcinile $1$ și $2$ sunt simple; control: $3+1+1=5$. ✓

18. Întâi, $f(1)=1-n+n-1=0$, deci $X-1$ divide $f$ (Bézout). Împărțind, câtul este $$q=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X-(n-1),$$ pentru că $X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +1)$ și $-nX+n=-n(X-1)$, deci $f=(X-1)\left(X^{n-1}+\cdots +X+1-n\right)$. Acum $q(1)=\underset{n-1\text{ termeni}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}+1-n=n-n=0$, deci $X-1$ divide și câtul: rădăcina $1$ are ordinul cel puțin $2$. $■$ (Pentru $n=2$, $f=X^2-2X+1=(X-1{)}^2$, ordinul fiind exact $2$.)

De reținut

• Definiție: $a$ este rădăcină de ordinul $m$ dacă $(X-a{)}^m\mid f$ și $(X-a{)}^{m+1}\nmid f$; echivalent, $f=(X-a{)}^{m}q$ cu $q(a)\ne 0$.
• Metoda de determinare: aplici schema lui Horner cu $a$, de mai multe ori la rând; ordinul este numărul de resturi nule consecutive, iar oprirea o dă primul rest nenul.
• Suma ordinelor tuturor rădăcinilor este egală cu gradul — controlul obligatoriu al oricărei descompuneri canonice.
• O rădăcină dublă înseamnă două condiții, o rădăcină triplă înseamnă trei. De aceea problemele cu rădăcină dublă au, tipic, doi parametri.
• Pe grafic: ordin par $\Rightarrow$ graficul atinge axa și se întoarce; ordin impar $\Rightarrow$ graficul traversează axa.

Greșeli frecvente

• „$f(a)=0$, deci $a$ e rădăcină dublă." Fals. Din $f(a)=0$ rezultă doar ordinul $\ge 1$. Pentru ordinul $2$ trebuie și ca al doilea rest, adică $q(a)$, să fie zero.
• Oprirea prea devreme la Horner. Dacă te oprești după al doilea rest nul, nu știi dacă ordinul e $2$ sau mai mare. Fă întotdeauna și împărțirea care dă rest nenul — ea încheie demonstrația.
• Punerea unei singure condiții pentru rădăcină dublă. Cu o singură ecuație obții o infinitate de perechi de parametri, dintre care aproape toate dau doar rădăcină simplă.
• Numărarea greșită a rădăcinilor. Un polinom de gradul $4$ cu rădăcinile $1$ (dublă) și $2$ (dublă) are patru rădăcini, nu două. Formulările „are $n$ rădăcini" se referă mereu la numărarea cu multiplicități.
• Uitarea rădăcinii $0$. La $f=X^5-3X^4+2X^3$, mulți încep să caute rădăcini întregi și trec pe lângă $0$, care are chiar ordinul $3$. Dacă termenul liber lipsește, dă factor comun $X$ din primul pas.

Aplică acasă

1. Grafice pe hârtie milimetrică. Trasează, cu tabel de valori din $0,5$ în $0,5$, graficele funcțiilor $f(x)=(x-1)(x+2)$, $g(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ și $h(x)=(x-1{)}^3(x+2)$ pe intervalul $[-3,3]$. Compară ce se întâmplă în punctul $x=1$ în cele trei cazuri și formulează singur regula „par–impar".

2. Fabrica de probleme cu rădăcină dublă. Alege un număr $a$ și un număr $b$, construiește polinomul $(X-a{)}^2(X-b)$ și desfă parantezele. Șterge doi coeficienți, înlocuiește-i cu litere și dă enunțul unui coleg sub forma „determină parametrii știind că $a$ este rădăcină dublă". Compară apoi rezolvarea lui cu polinomul de la care ai pornit.

3. Multiplicitatea în viața reală. Caută pe internet imaginea unui grafic de temperatură zilnică, dintre cele publicate de institutele de meteorologie, și identifică momentele în care curba atinge o valoare de prag și se întoarce, față de cele în care o traversează. Deși curba nu e polinomială, distincția vizuală este exact aceea dintre ordin par și ordin impar.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează descompunerea canonică cu noțiunea care o face precisă. Fără ordinul de multiplicitate, afirmația „un polinom de gradul $n$ are $n$ rădăcini" ar fi pur și simplu falsă; cu el, devine exactă. Elevul are deja intuiția din clasa a IX-a, de la ecuația de gradul al doilea cu $\Delta =0$ („soluție dublă"), și merită pornit de acolo — recunoașterea că a mai întâlnit fenomenul reduce mult senzația de noutate.

Ce verifică lecția: (1) elevul aplică Horner de mai multe ori la rând, fără să se piardă în tabele; (2) merge cu o împărțire mai departe, ca să dovedească oprirea; (3) folosește controlul „suma ordinelor = gradul"; (4) pune două condiții pentru o rădăcină dublă. Întrebări bune de control: „Câte ecuații îți trebuie ca un număr să fie rădăcină triplă?" (trei); „Poate un polinom de gradul $4$ să aibă o rădăcină de ordinul $2$ și una de ordinul $3$?" (nu, ar da grad $5$); „Cum arată graficul lângă o rădăcină dublă?".

La Bacalaureat M1, cerințele tipice sunt „determinați $a$ și $b$ astfel încât $x_0$ să fie rădăcină dublă", „arătați că polinomul are o rădăcină multiplă" sau „scrieți descompunerea canonică". Baremul punctează separat fiecare rest nul obținut, deci tabelul Horner scris complet aduce puncte chiar și când rezolvarea sistemului final se poticnește. Semne că elevul a înțeles: nu confundă numărul de rădăcini distincte cu gradul, verifică singur ordinele prin însumare și explică diferența dintre „cel puțin dublă" și „exact dublă".

Întrebări frecvente

Ce este ordinul de multiplicitate al unei rădăcini? Este numărul de câte ori se poate scoate factorul $X-a$ din polinom. Formal, $a$ are ordinul $m$ dacă $(X-a{)}^m$ divide $f$, iar $(X-a{)}^{m+1}$ nu îl mai divide.

Ce înseamnă rădăcină dublă? O rădăcină de ordinul $2$: polinomul se divide cu $(X-a{)}^2$, dar nu cu $(X-a{)}^3$. În descompunerea canonică ea apare ridicată la puterea a doua, iar la numărarea rădăcinilor se socotește de două ori.

Cum determin ordinul de multiplicitate al unei rădăcini? Aplici schema lui Horner cu acea rădăcină, apoi o aplici din nou pe câtul obținut, și tot așa. Ordinul este numărul de resturi nule consecutive; te oprești la primul rest nenul, care trebuie și el scris, ca dovadă.

Cum aflu parametrii ca un număr să fie rădăcină dublă? Pui două condiții: primul rest al schemei lui Horner să fie zero și al doilea rest, de asemenea. Obții un sistem cu tot atâtea ecuații câte condiții, îl rezolvi și verifici la final că al treilea rest este nenul, dacă enunțul cere „exact dublă".

De ce suma ordinelor de multiplicitate este egală cu gradul? Pentru că, în descompunerea canonică $f=a_n(X-x_1{)}^{m_1}\cdots (X-x_k{)}^{m_k}$, gradul produsului este suma gradelor factorilor, adică $m_1+\cdots +m_k$. Această sumă trebuie să fie egală cu gradul lui $f$.

Cum se vede pe grafic o rădăcină dublă? Graficul funcției polinomiale atinge axa $Ox$ în acel punct și se întoarce, fără să schimbe semnul. La o rădăcină simplă (sau, în general, de ordin impar), graficul traversează axa, iar funcția își schimbă semnul.

Se poate ca o rădăcină complexă să fie multiplă? Da, definiția nu face nicio deosebire între rădăcini reale și complexe. De exemplu $(X^2+1{)}^2=X^4+2X^2+1$ are rădăcinile $i$ și $-i$, fiecare de ordinul $2$.

Unde apar rădăcinile multiple la Bacalaureat M1? La proba M1, în subiectul de algebră: determinarea unor parametri din condiția de rădăcină dublă, scrierea descompunerii canonice, sau justificarea numărului de soluții distincte ale unei ecuații algebrice. Apar și indirect, la relațiile lui Viète, unde rădăcinile se numără cu multiplicitățile lor.