Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri; transportul de structură

Pe mulțimea numerelor reale se definesc două operații ciudate: $x\oplus y=x+y-3$ și $x\otimes y=xy-3x-3y+12$. Cerința, formulată exact cum apare într-un subiect de clasa a 12-a, sună descurajant: „arătați că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp". Verificarea directă a tuturor axiomelor — asociativitate, comutativitate, element neutru, opus, invers, distributivitate — ar umple două pagini de calcule. Există însă un drum de zece rânduri. Transportul de structură este procedeul prin care găsești o funcție bijectivă ce duce operațiile ciudate în adunarea și înmulțirea obișnuite, iar de acolo încolo toate proprietățile se mută singure.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Ideea de bază nu îți este străină: la Morfisme de grupuri și la Izomorfisme de grupuri ai învățat ce înseamnă o funcție care „respectă" o lege de compoziție. Acum avem două legi de respectat simultan, iar structura-țintă este cea de inel sau, mai bine, de corp, așa cum a fost fixată la Corpul: definiție și exemple.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești morfismul de inele prin cele trei condiții ale sale, inclusiv condiția $f(1)=1^{\prime }$, și să explici de ce a treia nu se poate sări.
• Vei ști ce se păstrează printr-un morfism: zeroul, opusul, puterile și inversul elementelor inversabile.
• Vei ști ce este un izomorfism de inele, să scrii $A\simeq A^{\prime }$ și să demonstrezi că inversa unui izomorfism este tot izomorfism.
• Vei ști să demonstrezi că orice morfism de corpuri este injectiv.
• Vei ști să aplici rețeta transportului de structură pentru legile $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a$ și să citești din ea zeroul, unitatea, opusul și inversul.
• Vei ști să argumentezi că două inele date nu sunt izomorfe, folosind cardinalul, comutativitatea, divizorii lui zero sau grupul unităților.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un morfism de inele?

La grupuri, o singură lege trebuia respectată. Un inel are două operații, deci o funcție care „respectă structura" trebuie să le respecte pe amândouă — și încă ceva pe deasupra.

Definiție. Fie $(A,+,\cdot )$ și $(A^{\prime },+,\cdot )$ două inele, cu elementele unitate $1$ și, respectiv, $1^{\prime }$. Morfismul de inele este o funcție $f:A\to A^{\prime }$ care îndeplinește, pentru orice $x,y\in A$, cele trei condiții: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1^{\prime }$. Un morfism bijectiv se numește izomorfism de inele, iar dacă între $A$ și $A^{\prime }$ există un izomorfism scriem $A\simeq A^{\prime }$.

Primele două condiții spun că $f$ transportă adunarea în adunare și înmulțirea în înmulțire. A treia spune că duce unitatea în unitate. Când ambele inele sunt corpuri, aceeași definiție se numește morfism de corpuri, respectiv izomorfism de corpuri — nu apar cerințe suplimentare, pentru că un corp este, înainte de toate, un inel.

Un exemplu imediat: funcția $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_7$, $f(k)=\hat{k}$, care asociază fiecărui întreg clasa lui de resturi. Cele trei condiții se verifică pe loc: $\widehat{k+m}=\hat{k}+\hat{m}$ și $\widehat{km}=\hat{k}\cdot \hat{m}$ sunt chiar definițiile operațiilor din Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor, iar $f(1)=\hat{1}$. Este morfism surjectiv, dar nu injectiv: toți multiplii lui $7$ merg în $\hat{0}$.

2. De ce a treia condiție, $f(1)=1^{\prime }$, nu se poate sări?

Pentru că primele două nu o implică. Iată contraexemplul-etalon, pe care merită să îl reții.

Fie $g:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $g(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. Verificăm: $$g(x)+g(y)=\left(\begin{array}{cc}x+y& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=g(x+y),g(x)\cdot g(y)=\left(\begin{array}{cc}xy& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=g(xy).$$ Așadar $g$ respectă ambele operații. Și totuși $g(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\ne I_2$, deci $g$ nu este morfism de inele. Consecința practică se vede imediat: $1$ este inversabil în $\mathbb{R}$, dar $g(1)$ nu este inversabilă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, pentru că are determinantul nul. O funcție care strică inversabilitatea nu poate fi numită „păstrătoare de structură".

Un al doilea contraexemplu, tot din materia ta: $h:{\mathbb{Z}}_2\to {\mathbb{Z}}_6$, $h(\hat{a})=\widehat{3a}$. Se verifică prin calcul direct că $h$ este aditivă și multiplicativă (de pildă $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{3}$), dar $h(\hat{1})=\hat{3}\ne \hat{1}$.

Morala: la morfismul de inele se verifică trei condiții, nu două. La un subiect de Bacalaureat M1, uitarea celei de-a treia costă puncte chiar dacă restul rezolvării e impecabil.

3. Ce se păstrează printr-un morfism de inele?

Fie $f:A\to A^{\prime }$ morfism de inele. Din prima condiție, $f$ este în particular morfism între grupurile aditive $(A,+)$ și $(A^{\prime },+)$, deci toate proprietățile demonstrate la Morfisme de grupuri rămân valabile:

• $f(0)=0^{\prime }$. Din $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, scăzând $f(0)$ obținem $f(0)=0^{\prime }$.
• $f(-x)=-f(x)$. Din $f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0^{\prime }$.
• $f(x-y)=f(x)-f(y)$, combinând cele două.

Din a doua și a treia condiție se obțin, în plus:

• $f(x^n)=f(x{)}^n$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, prin inducție după $n$, exact ca la Metoda inducției matematice: pasul de trecere este $f(x^{n+1})=f(x^n\cdot x)=f(x^n)f(x)=f(x{)}^{n}f(x)$.
• dacă $x$ este inversabil în $A$, atunci $f(x)$ este inversabil în $A^{\prime }$ și $f(x{)}^{-1}=f(x^{-1})$. Într-adevăr, $f(x)f(x^{-1})=f(x{x}^{-1})=f(1)=1^{\prime }$, și analog în cealaltă ordine. Aici se vede la ce servește a treia condiție din definiție: fără ea, produsul ar da $f(1)$, care nu are motiv să fie unitatea lui $A^{\prime }$.

Prin urmare un morfism de inele duce grupul unităților $U(A)$ în $U(A^{\prime })$ — proprietate pe care o folosim în subsecțiunea 7 pentru a arăta că două inele nu sunt izomorfe.

Merită spus la fel de apăsat și ce nu garantează un morfism oarecare. Nu este obligatoriu injectiv: reducerea modulo $7$ duce toți multiplii lui $7$ în aceeași clasă. Nu păstrează neinversabilitatea: $2$ nu este inversabil în $\mathbb{Z}$, dar $\hat{2}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_7$, cu inversul $\hat{4}$ — implicația de mai sus merge deci într-un singur sens. Și poate crea divizori ai lui zero acolo unde nu erau: $\mathbb{Z}$ este inel integru, iar ${\mathbb{Z}}_6$, imaginea lui prin reducerea modulo $6$, nu este. Toate aceste asimetrii dispar la izomorfisme, pentru că acolo funcția e bijectivă, iar inversa ei e tot morfism.

4. Izomorfisme de inele și de corpuri

Un izomorfism este un morfism bijectiv. Valoarea lui e că funcționează în ambele sensuri.

Propoziție. Dacă $f:A\to A^{\prime }$ este izomorfism de inele, atunci $f^{-1}:A^{\prime }\to A$ este tot izomorfism de inele.

Demonstrație. Fie $u,v\in A^{\prime }$ și fie $x=f^{-1}(u)$, $y=f^{-1}(v)$. Atunci $f(x+y)=f(x)+f(y)=u+v$, deci $f^{-1}(u+v)=x+y=f^{-1}(u)+f^{-1}(v)$. La fel, din $f(xy)=uv$ rezultă $f^{-1}(uv)=f^{-1}(u)f^{-1}(v)$. În sfârșit, din $f(1)=1^{\prime }$ obținem $f^{-1}(1^{\prime })=1$. Cum $f^{-1}$ este bijectivă, este izomorfism. $■$

De aceea relația $A\simeq A^{\prime }$ este simetrică, iar „$A$ și $A^{\prime }$ sunt izomorfe" e o formulare corectă: cele două inele sunt, din punctul de vedere al algebrei, același obiect scris cu alte litere.

Propoziție (morfismele de corpuri sunt injective). Fie $K$ și $K^{\prime }$ corpuri și $f:K\to K^{\prime }$ morfism de inele. Atunci $f$ este injectivă.

Demonstrație. Fiind morfism de grupuri aditive, e destul să arătăm că singurul element dus în $0^{\prime }$ este $0$. Presupunem $f(x)=0^{\prime }$ cu $x\ne 0$. Cum $K$ e corp, $x$ este inversabil, deci $$1^{\prime }=f(1)=f(x\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=0^{\prime }\cdot f(x^{-1})=0^{\prime }.$$ Am obținut $1^{\prime }=0^{\prime }$, ceea ce contrazice definiția corpului $K^{\prime }$. Așadar $x=0$. Dacă acum $f(x_1)=f(x_2)$, atunci $f(x_1-x_2)=0^{\prime }$, deci $x_1=x_2$. $■$

Concluzie utilă: un morfism de corpuri este izomorfism dacă și numai dacă este surjectiv — injectivitatea vine gratis.

5. Cum funcționează transportul de structură?

Acum putem ataca problema din deschidere. Fixăm un număr real $a$ și definim pe $\mathbb{R}$ legile $$x\oplus y=x+y-a,x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a.$$

Pasul 1 — forma factorizată. Criteriul fixat încă de la primele lecții ale unității de legi de compoziție spune că $xy-ax-ay+b=(x-a)(y-a)+a$ exact atunci când $b=a^2+a$ — iar aici termenul liber este chiar $a^2+a$, deci forma canonică există. Grupăm primii patru termeni ai celei de-a doua legi: $$x\otimes y=(xy-ax-ay+a^2)+a=(x-a)(y-a)+a.$$ Este exact tiparul „caută $a$ cu $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$" pe care îl folosești de la lecțiile de legi de compoziție. Prima lege se scrie și ea sugestiv: $x\oplus y=(x-a)+(y-a)+a$.

Pasul 2 — candidatul. Cele două forme spun singure ce funcție trebuie încercată: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-a$. Ea este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(t)=t+a$.

Pasul 3 — cele trei condiții. Verificăm, în ordine: $$f(x\oplus y)=(x+y-a)-a=(x-a)+(y-a)=f(x)+f(y),$$ $$f(x\otimes y)=[(x-a)(y-a)+a]-a=(x-a)(y-a)=f(x)\cdot f(y),$$ iar pentru a treia condiție avem nevoie de elementul unitate al lui $(\mathbb{R},\otimes )$. Ghicim din formă: dacă $f(e)=1$, atunci $e=f^{-1}(1)=a+1$. Verificăm: $x\otimes (a+1)=(x-a)(a+1-a)+a=(x-a)\cdot 1+a=x$. Deci unitatea este $a+1$ și $f(a+1)=1$. Cele trei condiții sunt îndeplinite, deci $f$ este izomorfism de inele de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$ — cu precizarea că, deocamdată, „inel" este ceea ce urmează să demonstrăm despre structura de plecare.

Pasul 4 — transferul axiomelor. Aici este ideea întregii lecții: nu reverificăm nimic. Fiecare axiomă se mută prin $f$. Scriem în detaliu una singură, asociativitatea lui $\otimes$: $$f((x\otimes y)\otimes z)=f(x\otimes y)f(z)=(f(x)f(y))f(z)=f(x)(f(y)f(z))=f(x)f(y\otimes z)=f(x\otimes (y\otimes z)).$$ Cum $f$ este injectivă, rezultă $(x\otimes y)\otimes z=x\otimes (y\otimes z)$. La mijloc am folosit asociativitatea înmulțirii numerelor reale, adevărată din clasa a V-a. Absolut identic se transferă comutativitatea ambelor legi, asociativitatea lui $\oplus$ și distributivitatea lui $\otimes$ față de $\oplus$.

Pasul 5 — citirea elementelor remarcabile. Fiecare element special al structurii-țintă se întoarce prin $f^{-1}$:

• zeroul lui $\oplus$ este $f^{-1}(0)=a$;
• simetricul lui $x$ față de $\oplus$, notat $x^{\prime }$ după convenția pentru o lege oarecare, este $f^{-1}(-f(x))=-(x-a)+a=2a-x$;
• unitatea lui $\otimes$ este $f^{-1}(1)=a+1$;
• simetricul lui $x$ față de $\otimes$ există pentru orice $x\ne a$ și este $f^{-1}\left(\frac{1}{x-a}\right)=a+\frac{1}{x-a}$.

Ultimul punct spune că singurul element neinversabil față de $\otimes$ este chiar zeroul structurii, adică $a$. Concluzie: $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ, izomorf cu corpul $(\mathbb{R},+,\cdot )$.

Aceleași rezultate, obținute altfel. La lecția Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților ai întâlnit deja aceste legi, iar acolo elementul nul $a$ și elementul unitate $a+1$ au fost găsite direct, verificând axiomele una câte una. Transportul de structură nu contrazice nimic: dă exact aceleași două elemente, dar le citește dintr-o singură egalitate, $f^{-1}(0)=a$ și $f^{-1}(1)=a+1$. Câștigul se vede și mai bine pe elementele inversabile. Dacă lucrăm cu numere întregi, adică pe $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ cu $a\in \mathbb{Z}$, funcția $f(x)=x-a$ este tot bijectivă, deci tot izomorfism, de data aceasta către $(\mathbb{Z},+,\cdot )$. Cum un izomorfism duce elementele inversabile în elemente inversabile, $x$ este inversabil față de $\otimes$ dacă și numai dacă $f(x)=x-a$ aparține lui $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, adică dacă și numai dacă $x\in \{a-1,a+1\}$ — exact cele două elemente găsite acolo prin calcul direct. Iar pe $\mathbb{R}$, unde $U(\mathbb{R})={\mathbb{R}}^{\ast }$, condiția devine $x-a\ne 0$, adică toate elementele în afară de $a$: de aici structura de corp.

6. Rețeta completă pe exemplul din deschidere

Luăm $a=3$, adică exact legile din primul paragraf: $x\oplus y=x+y-3$ și $$x\otimes y=xy-3x-3y+3^2+3=xy-3x-3y+12=(x-3)(y-3)+3.$$ Izomorfismul este $f(x)=x-3$, iar tabelul de corespondențe se citește direct:

Verificări rapide: $x\oplus 3=x+3-3=x$; $x\oplus (6-x)=x+6-x-3=3$; $x\otimes 4=(x-3)(4-3)+3=x$.

Puterile se calculează la fel de ușor. Notăm $x^{\otimes n}=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{x\otimes x\otimes \cdots \otimes x}}$. Prin izomorfism, $f(x^{\otimes n})=f(x{)}^n=(x-3{)}^n$, deci $$x^{\otimes n}=(x-3{)}^n+3.$$ De exemplu, ecuația $x^{\otimes 3}=11$ devine $(x-3{)}^3+3=11$, adică $(x-3{)}^3=8$, de unde $x-3=2$ și $x=5$. Verificare directă: $5\otimes 5=(5-3)(5-3)+3=7$, apoi $7\otimes 5=(7-3)(5-3)+3=11$. Corect.

7. Când două inele nu sunt izomorfe?

Un izomorfism păstrează tot ce se poate exprima în limbajul operațiilor. Deci, pentru a arăta că două inele nu sunt izomorfe, e destul să găsești o singură proprietate de acest fel pe care unul o are și celălalt nu. Cele patru argumente de clasă, în ordinea în care merită încercate:

1. cardinalul — un izomorfism e bijecție, deci ${\mathbb{Z}}_6$ și ${\mathbb{Z}}_7$ nu pot fi izomorfe;
2. comutativitatea înmulțirii — ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nu este izomorf cu niciun inel comutativ, pentru că din $f(xy)=f(x)f(y)$ și bijectivitate comutativitatea s-ar transporta;
3. existența divizorilor lui zero — ${\mathbb{Z}}_6$ are, $\mathbb{Z}$ nu are; dacă $ab=0$ cu $a,b\ne 0$, atunci $f(a)f(b)=0^{\prime }$ cu $f(a),f(b)\ne 0^{\prime }$;
4. grupul unităților — $\mathbb{Z}$ și $\mathbb{Q}$ nu sunt izomorfe, deși ambele sunt inele integre infinite: $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$ are două elemente, iar $U(\mathbb{Q})={\mathbb{Q}}^{\ast }$ este infinit, iar un izomorfism ar duce unul în celălalt bijectiv.

Este exact felul de raționament folosit la Când două grupuri nu sunt izomorfe, cu deosebirea că acum avem mai multe invariante la dispoziție, pentru că avem două operații. Transportul nu se oprește la legile de pe $\mathbb{R}$: la lecția următoare, Inele de matrice cu structură remarcabilă, aceeași metodă arată că anumite mulțimi de matrice sunt corpuri.

Observă asimetria de efort dintre cele două sarcini, pentru că ea îți spune ce ai de făcut într-o lucrare. Ca să arăți că două inele sunt izomorfe, trebuie să construiești o funcție și să verifici patru lucruri despre ea: cele trei condiții din definiție plus bijectivitatea. Ca să arăți că nu sunt izomorfe, e destul un singur invariant care diferă, deci o singură propoziție bine aleasă. De aceea, în fața unei cerințe de tipul „sunt izomorfe inelele $A$ și $B$?", ordinea rațională de lucru este: numeri elementele, apoi te uiți dacă amândouă sunt comutative, apoi cauți divizori ai lui zero, apoi compari grupurile unităților — și abia dacă toate patru se potrivesc începi să cauți efectiv un izomorfism. Atenție însă la o capcană logică: faptul că patru invariante coincid nu demonstrează izomorfismul; el rămâne de construit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Reducerea modulo $n$ este morfism de inele

Arătăm că $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_7$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism de inele, și stabilim dacă este izomorfism.

Cele trei condiții: $f(k+m)=\widehat{k+m}=\hat{k}+\hat{m}=f(k)+f(m)$; $f(km)=\widehat{km}=\hat{k}\cdot \hat{m}=f(k)f(m)$; $f(1)=\hat{1}$, unitatea lui ${\mathbb{Z}}_7$. Deci $f$ este morfism de inele.

Nu este însă izomorfism: $f$ este surjectivă (orice clasă $\hat{a}$ este imaginea lui $a$), dar nu injectivă, pentru că $f(0)=f(7)=\hat{0}$. De altfel nici nu avea cum să fie: $\mathbb{Z}$ este infinit, ${\mathbb{Z}}_7$ are șapte elemente. Observă și că ${\mathbb{Z}}_7$ este corp, iar $\mathbb{Z}$ nu — încă un semn că cele două inele sunt esențial diferite, deși există un morfism între ele.

Exemplul 2. Un morfism injectiv de la $\mathbb{R}$ la matrice, și unul care nu e morfism

Fie $f:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $f(x)=x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)$.

Aditivitatea și multiplicativitatea se verifică din regulile de calcul cu matrice de la Înmulțirea a două matrice: $f(x)+f(y)=(x+y)I_2=f(x+y)$ și $f(x)f(y)=xy{I}_2=f(xy)$. A treia condiție: $f(1)=I_2$. Deci $f$ este morfism de inele, iar injectivitatea e evidentă, pentru că $x{I}_2=y{I}_2$ dă $x=y$.

Prin contrast, funcția $g(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ din subsecțiunea 2 satisface primele două condiții, dar $g(1)\ne I_2$, deci nu este morfism de inele. Deosebirea dintre cele două se vede și în comportamentul față de inversabilitate: $f(2)=2I_2$ are determinantul $4\ne 0$, în timp ce $g(2)$ are determinantul $0$.

Exemplul 3. Un transport de structură cu $a=-1$

Pe $\mathbb{R}$ se definesc $x\oplus y=x+y+1$ și $x\otimes y=xy+x+y$. Arătăm că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp.

Recunoaștem tiparul cu $a=-1$: într-adevăr, $x+y-a=x+y+1$, iar $$(x-a)(y-a)+a=(x+1)(y+1)-1=xy+x+y+1-1=xy+x+y.$$ Izomorfismul este $f(x)=x-a=x+1$, bijectiv, cu $f^{-1}(t)=t-1$. Verificările: $f(x\oplus y)=x+y+2=(x+1)+(y+1)=f(x)+f(y)$ și $f(x\otimes y)=xy+x+y+1=(x+1)(y+1)=f(x)f(y)$.

Elementele remarcabile: zeroul lui $\oplus$ este $a=-1$; unitatea lui $\otimes$ este $a+1=0$ — da, chiar numărul zero se comportă aici ca „unu", ceea ce se verifică pe loc: $x\otimes 0=0+x+0=x$. Simetricul lui $x$ față de $\oplus$ este $2a-x=-2-x$, iar simetricul față de $\otimes$, pentru $x\ne -1$, este $-1+\frac{1}{x+1}$. Prin transport, $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp izomorf cu $(\mathbb{R},+,\cdot )$.

Exemplul 4. Singurul morfism de inele de la $\mathbb{Z}$ la $\mathbb{Z}$

Arătăm că dacă $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ este morfism de inele, atunci $f(k)=k$ pentru orice $k$.

Din a treia condiție, $f(1)=1$. Din aditivitate, prin inducție, $f(n)=f(1+1+\cdots +1)=nf(1)=n$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Apoi $f(0)=0$ și $f(-n)=-f(n)=-n$. Așadar $f$ este funcția identică.

Consecință: inelul $\mathbb{Z}$ nu admite decât un singur morfism către el însuși, deci și un singur izomorfism. Este un fenomen tipic pentru inelele „rigide" și explică de ce, în probleme, condiția $f(1)=1$ determină adesea complet funcția.

Exemplul 5. Conjugarea complexă este izomorfism de corpuri

Fie $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $f(z)=\bar{z}$. Arătăm că este izomorfism de corpuri.

Proprietățile conjugatului sunt cele stabilite la Conjugatul unui număr complex: $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ și $\overline{zw}=\bar{z}\cdot \bar{w}$. A treia condiție: $\bar{1}=1$. Deci $f$ este morfism de inele. Bijectivitatea: $f\circ f$ este funcția identică, pentru că $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$, deci $f$ este propria ei inversă, în particular bijectivă.

Prin urmare $f$ este izomorfism de corpuri de la $\mathbb{C}$ la $\mathbb{C}$. Un asemenea izomorfism al unui corp cu el însuși este util pentru că păstrează toate ecuațiile: dacă $z_0$ verifică o ecuație cu coeficienți reali, atunci și $\overline{z_0}$ o verifică — regula rădăcinilor complexe conjugate, văzută în clasa a X-a, este exact acest fapt.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție $x\oplus y=x+y-2$ și $x\otimes y=xy-2x-2y+6$.

a) Arătați că $x\otimes y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

Dezvoltăm membrul drept: $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$, adică exact $x\otimes y$.

b) Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$, este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$.

Funcția este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(t)=t+2$. Verificăm cele trei condiții: $$f(x\oplus y)=x+y-4=(x-2)+(y-2)=f(x)+f(y);$$ $$f(x\otimes y)=(x-2)(y-2)+2-2=(x-2)(y-2)=f(x)f(y);$$ unitatea lui $\otimes$ este $3$, pentru că $x\otimes 3=(x-2)(3-2)+2=x$, iar $f(3)=1$. Deci $f$ este izomorfism de inele.

c) Deduceți că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp și rezolvați ecuația $x\otimes x\otimes x=10$.

Prin transport de structură, toate axiomele corpului $(\mathbb{R},+,\cdot )$ se mută în $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$: zeroul este $f^{-1}(0)=2$, unitatea este $f^{-1}(1)=3$, iar orice $x\ne 2$ are simetric față de $\otimes$, anume $2+\frac{1}{x-2}$. Așadar $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp.

Pentru ecuație aplicăm $f$: $f(x\otimes x\otimes x)=f(x{)}^3=(x-2{)}^3$, iar $f(10)=8$. Obținem $(x-2{)}^3=8$, deci $x-2=2$ și $x=4$. Verificare: $4\otimes 4=(4-2)(4-2)+2=6$, apoi $6\otimes 4=(6-2)(4-2)+2=10$. Este structura tipică a unei probleme din Subiectul al II-lea la Bacalaureat M1: două subpuncte de verificare și unul de aplicare.

Să exersăm

La fiecare problemă cu $\oplus$ și $\otimes$, primul gest este să scrii forma factorizată; ea îți dă pe loc valoarea lui $a$, deci și funcția $f$.

1. Verifică dacă $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_5$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism de inele. Este izomorfism?

2. Arată că $f:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $f(x)=x{I}_2$, este morfism injectiv de inele.

3. Arată că $g:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $g(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, verifică primele două condiții din definiție, dar nu pe a treia.

4. Pentru legile $x\oplus y=x+y-5$ și $x\otimes y=xy-5x-5y+30$, determină valoarea lui $a$ și scrie forma factorizată a celei de-a doua legi.

5. Pentru legile de la exercițiul $4$, determină elementul neutru al lui $\oplus$ și elementul neutru al lui $\otimes$.

6. Pentru aceleași legi, determină simetricul lui $x$ față de $\oplus$ și verifică rezultatul prin calcul direct.

7. Tot pentru legile de la exercițiul $4$, determină simetricul față de $\otimes$ al unui element $x\ne 5$ și precizează singurul element care nu are simetric.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice morfism de inele este injectiv."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice morfism de corpuri este injectiv."

10. Demonstrează că singurul morfism de inele $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ este funcția identică.

11. Arată că $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $f(z)=\bar{z}$, este izomorfism de corpuri.

12. Cu legile de la exercițiul $4$, rezolvă ecuația $x\otimes x=14$.

13. Pentru $x\oplus y=x+y-3$, calculează $x\oplus x\oplus x$ și verifică rezultatul pentru $x=5$.

14. (Problemă aplicată.) Un contor afișează, în loc de valoarea reală $t$, valoarea $t+3$. Definește pe ecranul contorului două operații care să corespundă adunării și înmulțirii valorilor reale, și arată că ele sunt exact legile $\oplus$ și $\otimes$ cu $a=3$.

15. Arată că inelele $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ și $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ nu sunt izomorfe.

16. Arată că $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+,\cdot )$ nu este izomorf cu niciun inel comutativ.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definesc $x\oplus y=x+y+1$ și $x\otimes y=xy+x+y$. a) Arată că $x\otimes y=(x+1)(y+1)-1$. b) Arată că $f(x)=x+1$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$. c) Rezolvă ecuația $x\otimes x\otimes x=7$.

18. (Provocare.) Demonstrează că nu există niciun morfism de inele $f:{\mathbb{Z}}_5\to {\mathbb{Z}}_7$.

Răspunsuri și explicații

1. Da, este morfism: $\widehat{k+m}=\hat{k}+\hat{m}$, $\widehat{km}=\hat{k}\hat{m}$ și $f(1)=\hat{1}$. Nu este izomorfism, pentru că nu este injectiv ($f(0)=f(5)=\hat{0}$); este însă surjectiv.

2. $f(x)+f(y)=(x+y)I_2=f(x+y)$; $f(x)f(y)=(x{I}_2)(y{I}_2)=xy{I}_2=f(xy)$; $f(1)=I_2$. Injectivitatea: dacă $x{I}_2=y{I}_2$, comparând elementele de pe poziția $(1,1)$ obținem $x=y$.

3. $g(x)+g(y)=g(x+y)$ și $g(x)g(y)=\left(\begin{array}{cc}xy& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=g(xy)$ se verifică direct. Dar $g(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\ne I_2$, deci a treia condiție nu e îndeplinită și $g$ nu este morfism de inele.

4. Aici $a=5$: din $x\oplus y=x+y-a$ citim $a=5$, iar $(x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30$. Deci $x\otimes y=(x-5)(y-5)+5$.

5. Neutrul lui $\oplus$ este $a=5$: $x\oplus 5=x+5-5=x$. Neutrul lui $\otimes$ este $a+1=6$: $x\otimes 6=(x-5)(6-5)+5=x$.

6. Simetricul este $x^{\prime }=2a-x=10-x$. Verificare: $x\oplus (10-x)=x+10-x-5=5$, adică exact neutrul lui $\oplus$.

7. Simetricul față de $\otimes$ este $5+\frac{1}{x-5}$. Verificare: $x\otimes \left(5+\frac{1}{x-5}\right)=(x-5)\cdot \frac{1}{x-5}+5=6$, adică neutrul lui $\otimes$. Singurul element fără simetric este $x=5$, adică zeroul structurii.

8. Fals. Contraexemplul din lecție: $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_5$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism de inele și nu este injectiv, pentru că toți multiplii lui $5$ merg în $\hat{0}$.

9. Adevărat. Dacă $f(x)=0^{\prime }$ cu $x\ne 0$, atunci $1^{\prime }=f(x{x}^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0^{\prime }$, ceea ce contrazice $1^{\prime }\ne 0^{\prime }$ din definiția corpului. Deci nucleul se reduce la $\{0\}$ și $f$ e injectivă.

10. Din $f(1)=1$ și aditivitate rezultă, prin inducție, $f(n)=n$ pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; apoi $f(0)=0$ și $f(-n)=-f(n)=-n$. Deci $f(k)=k$ pentru orice $k\in \mathbb{Z}$.

11. $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$, $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$ și $\bar{1}=1$ dau cele trei condiții. Cum $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$, funcția este propria ei inversă, deci bijectivă. Prin urmare este izomorfism de corpuri.

12. Aplicăm $f(x)=x-5$: ecuația devine $(x-5{)}^2=14-5=9$, deci $x-5=3$ sau $x-5=-3$, adică $x=8$ sau $x=2$. Verificare pentru $x=8$: $8\otimes 8=(8-5)(8-5)+5=14$.

13. $x\oplus x=2x-3$, apoi $(2x-3)\oplus x=2x-3+x-3=3x-6$. Pentru $x=5$: $3\cdot 5-6=9$; verificare directă: $5\oplus 5=7$, iar $7\oplus 5=9$.

14. Dacă valorile reale sunt $u$ și $v$, pe ecran apar $x=u+3$ și $y=v+3$. Suma reală $u+v$ apare pe ecran ca $u+v+3=(x-3)+(y-3)+3=x+y-3$, deci operația „adunare citită pe ecran" este $x\oplus y=x+y-3$. Produsul $uv$ apare ca $uv+3=(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+12$, adică $x\otimes y$. Funcția $f(x)=x-3$ este chiar trecerea de la citirea de pe ecran la valoarea reală.

15. Un izomorfism duce elementele inversabile în elemente inversabile, bijectiv, deci ar da o bijecție între $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$ și $U(\mathbb{Q})={\mathbb{Q}}^{\ast }$. Prima mulțime are două elemente, a doua este infinită — imposibil. Deci cele două inele nu sunt izomorfe.

16. Presupunem că există un izomorfism $f:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to A^{\prime }$ cu $A^{\prime }$ comutativ. Atunci, pentru orice $X,Y$, avem $f(XY)=f(X)f(Y)=f(Y)f(X)=f(YX)$, iar din injectivitate $XY=YX$. Fals: $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar produsul în ordine inversă este $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

17. a) $(x+1)(y+1)-1=xy+x+y+1-1=xy+x+y$. b) $f(x\oplus y)=x+y+2=(x+1)+(y+1)=f(x)+f(y)$; $f(x\otimes y)=xy+x+y+1=(x+1)(y+1)=f(x)f(y)$; unitatea lui $\otimes$ este $0$, iar $f(0)=1$. Funcția e bijectivă, deci izomorfism. c) $f(x{)}^3=(x+1{)}^3$ și $f(7)=8$, deci $(x+1{)}^3=8$, $x+1=2$, $x=1$. Verificare: $1\otimes 1=1+1+1=3$, apoi $3\otimes 1=3+3+1=7$.

18. Presupunem că există un asemenea morfism $f$. Din $f(\hat{1})=\hat{1}$ și aditivitate obținem $f(\hat{k})=\hat{k}$ pentru $k=1,2,3,4$, unde clasele din dreapta sunt luate modulo $7$. Dar în ${\mathbb{Z}}_5$ avem $\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$, deci $f(\hat{0})=\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_7$. Pe de altă parte, orice morfism duce zeroul în zero, deci $f(\hat{0})=\hat{0}$. Am obținut $\hat{5}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_7$, fals. Deci un asemenea morfism nu există.

De reținut

• Morfismul de inele are trei condiții, nu două: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1^{\prime }$; fără a treia, funcția poate strica inversabilitatea.
• Un morfism de inele păstrează zeroul, opusul, puterile și inversele, deci duce grupul unităților $U(A)$ în $U(A^{\prime })$.
• Orice morfism de corpuri este injectiv, prin urmare devine izomorfism de îndată ce este surjectiv.
• Transportul de structură înseamnă: găsești un izomorfism către o structură cunoscută și atunci toate axiomele se mută prin el, în loc să fie verificate una câte una.
• Pentru legile $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, funcția $f(x)=x-a$ este izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$, zeroul este $a$, unitatea este $a+1$, simetricul față de $\oplus$ este $2a-x$, iar cel față de $\otimes$ este $a+\frac{1}{x-a}$.

Greșeli frecvente

• Verificarea a doar două condiții. Se scrie „$f$ respectă ambele operații, deci e morfism de inele" și se sare peste $f(1)=1^{\prime }$. Contraexemplul cu matricea $\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ arată că cele două condiții nu o implică pe a treia.
• Confuzia dintre neutrul lui $\oplus$ și neutrul lui $\otimes$. Zeroul structurii este $a$, unitatea este $a+1$; sunt două elemente diferite și se folosesc în locuri diferite. Cine le confundă obține un simetric greșit la fiecare pas următor.
• Reverificarea axiomelor după ce s-a stabilit izomorfismul. Odată demonstrat că $f$ este izomorfism, asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea nu se mai verifică prin calcul: se transferă. Calculul lung nu e greșit, dar consumă timpul de examen.
• Uitarea bijectivității. O funcție care respectă cele trei condiții este morfism; pentru izomorfism trebuie și bijectivitate, cel mai simplu prin scrierea explicită a inversei $f^{-1}(t)=t+a$.
• Presupunerea că simetricul față de $\oplus$ ar fi $-x$. Simetricul se notează $x^{\prime }$ și este $2a-x$; numai pentru $a=0$ el coincide cu opusul obișnuit. La fel, simetricul față de $\otimes$ nu este $\frac{1}{x}$.

Aplică acasă

1. Fabrica de legi. Alege trei valori pentru $a$ (de exemplu $a=4$, $a=-2$ și $a=\frac{1}{2}$) și scrie de fiecare dată legile $\oplus$ și $\otimes$ în formă dezvoltată. Apoi determină, pentru fiecare, zeroul, unitatea și cele două tipuri de simetric, și verifică-le prin calcul direct.

2. Drumul invers. Ți se dă legea $x\otimes y=xy-7x-7y+56$. Determină $a$ punând condiția $a^2+a=56$ și verifică apoi că $-a$ este chiar coeficientul lui $x$. Scrie legea $\oplus$ potrivită și izomorfismul.

3. Colecția de morfisme. Notează pe o foaie cinci funcții din lecție și, pentru fiecare, bifează care dintre cele trei condiții sunt îndeplinite. Adaugă o a șasea funcție inventată de tine, care să respecte doar prima condiție, și explică de ce nu e morfism de inele.

Pentru părinți și profesori

Lecția are două jumătăți cu roluri foarte diferite. Prima, teoretică, fixează definiția morfismului de inele cu cele trei condiții și proprietățile care decurg din ea; a doua este pur instrumentală și pregătește tipul de problemă care apare cel mai des în Subiectul al II-lea: legi de compoziție „ciudate" pe $\mathbb{R}$, despre care se cere să se arate că formează corp. Cheia întregii lecții e ideea că un izomorfism nu doar traduce, ci mută demonstrațiile: nu mai verifici axiomele, le transporți.

De verificat în caiet: (1) la fiecare morfism sunt scrise toate trei condițiile; (2) forma factorizată $(x-a)(y-a)+a$ apare înaintea oricărui calcul; (3) bijectivitatea lui $f$ e justificată prin inversa explicită; (4) zeroul $a$ și unitatea $a+1$ nu sunt confundate. Întrebări de control: „Care sunt cele trei condiții din definiția morfismului de inele?"; „De ce a treia nu rezultă din primele două?"; „Ce înseamnă transport de structură?"; „Cum arăți că două inele nu sunt izomorfe?".

La BAC, pe programa veche, acest tip de problemă valorează de regulă un subiect întreg de 15 puncte, cu trei subpuncte: forma factorizată, verificarea izomorfismului, apoi o ecuație rezolvată prin transport. Semn că elevul a înțeles: primind o lege nouă, scrie imediat forma factorizată și numește $a$, fără să înceapă calcule de asociativitate.

Întrebări frecvente

Ce este un morfism de inele? Este o funcție $f$ între două inele care respectă ambele operații și duce unitatea în unitate: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1^{\prime }$. Un morfism bijectiv se numește izomorfism, iar existența unui izomorfism înseamnă că cele două inele sunt, algebric vorbind, identice.

De ce se cere condiția $f(1)=1^{\prime }$ în definiție? Pentru că primele două condiții nu o implică. Funcția care duce $x$ în matricea cu $x$ pe poziția $(1,1)$ și zerouri în rest respectă adunarea și înmulțirea, dar duce unitatea într-o matrice neinversabilă. Fără a treia condiție, morfismul ar putea distruge inversabilitatea, iar proprietățile nu s-ar mai transporta.

Ce înseamnă transportul de structură? Înseamnă să demonstrezi că o mulțime cu operații neobișnuite are o anumită structură, arătând că este izomorfă cu o structură deja cunoscută. Fiecare axiomă se mută prin izomorfism: dacă $f$ este bijectivă și respectă operațiile, atunci asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea din structura-țintă se traduc automat în structura de plecare.

Cum arăt că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp la Bacalaureat M1? Scrii legile în forma $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, apoi verifici că $f(x)=x-a$ este izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$: cele trei condiții plus bijectivitatea. De aici, structura de corp se transferă, iar zeroul este $a$ și unitatea este $a+1$.

Care este elementul neutru la înmulțirea transportată? Este $a+1$, adică $f^{-1}(1)$. Verificarea directă confirmă: $x\otimes (a+1)=(x-a)(a+1-a)+a=x$. Atenție, elementul neutru pentru $\oplus$ este alt număr, anume $a$; confuzia dintre cele două este cea mai frecventă greșeală la acest tip de problemă.

Cum se rezolvă o ecuație cu legile transportate? Aplici izomorfismul ambilor membri. De exemplu, pentru $a=2$, ecuația $x\otimes x\otimes x=10$ devine $(x-2{)}^3=8$, de unde $x=4$. Metoda funcționează pentru orice ecuație scrisă doar cu $\oplus$ și $\otimes$, pentru că $f$ traduce fiecare operație în corespondenta ei uzuală.

Când sunt două inele izomorfe? Când există între ele o funcție bijectivă care respectă cele trei condiții. Pentru a arăta că nu sunt izomorfe, e destul un invariant care diferă: cardinalul, comutativitatea înmulțirii, existența divizorilor lui zero sau mărimea grupului unităților. De exemplu $\mathbb{Z}$ și $\mathbb{Q}$ nu sunt izomorfe, pentru că $U(\mathbb{Z})$ are două elemente.

De ce orice morfism de corpuri este injectiv? Pentru că un element nenul dus în zero ar da o contradicție. Dacă $f(x)=0^{\prime }$ cu $x\ne 0$, atunci $1^{\prime }=f(x\cdot x^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0^{\prime }$, ceea ce contrazice condiția $1^{\prime }\ne 0^{\prime }$ din definiția corpului. Deci singurul element dus în zero este zeroul, iar funcția este injectivă.