Sinteză: polinoame peste un corp — probleme de tip Bacalaureat M1

Un polinom nu e niciodată „doar un polinom": el este un polinom peste un corp, iar aproape tot ce se poate spune despre el depinde de corpul ales. Aceeași expresie $X^2+1$ este ireductibilă peste numerele reale, se descompune în doi factori peste numerele complexe, se descompune altfel peste ${\mathbb{Z}}_5$ și devine un pătrat perfect peste ${\mathbb{Z}}_2$. Un polinom peste un corp $K$ este un polinom ai cărui coeficienți aparțin lui $K$; ireductibilitatea, descompunerea în factori și numărul rădăcinilor depind de corpul ales, nu doar de expresia polinomului. Lecția aceasta de clasa a 12-a strânge la un loc toate uneltele lucrului cu polinoame peste un corp și le pune la treabă pe șase probleme redactate integral, în formatul subiectelor de Bacalaureat M1.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Ea încheie unitatea și nu introduce nimic nou: se sprijină pe inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ, pe împărțirea polinoamelor peste un corp, pe funcția polinomială și rădăcinile peste clase de resturi, pe algoritmul lui Euclid pentru polinoame și pe polinoame ireductibile și descompunerea în factori. Rețetele de determinare a parametrilor sunt în lecția precedentă a unității, polinoame în probleme de Bacalaureat M1, iar structurile în care trăiesc aceste polinoame au fost recapitulate la inele și corpuri cu structuri ascunse.

Ce vei învăța

• Vei ști exact ce depinde de corp și ce nu, în lucrul cu polinoame: împărțirea nu depinde, descompunerea depinde.
• Vei ști să descompui același polinom peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și peste ${\mathbb{Z}}_p$, cu justificarea corectă la fiecare pas.
• Vei ști să redactezi complet o problemă de polinoame în formatul de examen, cu trei subpuncte.
• Vei ști ce se schimbă peste corpurile finite: funcția polinomială, derivata formală și numărul de rădăcini.
• Vei ști care sunt greșelile pe care baremul le sancționează cel mai des la acest capitol.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „polinom peste un corp"?

Un polinom peste un corp comutativ $K$ este o expresie de forma $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ în care coeficienții $a_0,\dots ,a_n$ sunt elemente ale lui $K$, iar $X$ este o nedeterminată; mulțimea tuturor acestor expresii se notează $K[X]$ și formează, față de adunarea și înmulțirea obișnuite ale polinoamelor, un inel comutativ cu unitate.

Corpurile care apar în programă sunt patru: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim. Ele se așază într-un lanț natural — $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ — plus corpurile finite, care stau deoparte. Un polinom cu coeficienți raționali poate fi privit, la nevoie, ca polinom peste oricare dintre primele trei; ceea ce se schimbă atunci nu e polinomul, ci ce se poate spune despre el.

De aici, întrebarea pe care trebuie să ți-o pui la fiecare enunț: în ce corp lucrez? Ea nu e retorică. Cerința „descompuneți în factori ireductibili" are trei răspunsuri diferite pentru același polinom, după cum corpul e $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ sau $\mathbb{C}$, iar baremul le deosebește.

2. Cele patru unelte care nu depind de corp

Vestea bună e că mecanismele de bază funcționează identic peste orice corp comutativ, pentru că demonstrațiile lor folosesc doar axiomele de corp — în special faptul că orice element nenul e inversabil, ceea ce permite împărțirea la coeficientul dominant.

• Teorema împărțirii cu rest. Pentru $f,g\in K[X]$ cu $g\ne 0$ există unic o pereche $(q,r)$ cu $f=gq+r$ și $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$ (cu convenția că polinomul nul nu are grad). Algoritmul e cel cunoscut; singura deosebire peste ${\mathbb{Z}}_p$ e că împărțirile la coeficientul dominant se fac înmulțind cu inversul lui.
• Teorema restului și teorema lui Bézout. Restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; în particular, $X-a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$.
• Algoritmul lui Euclid. Împărțiri succesive până la rest nul; ultimul rest nenul, făcut monic, este $\mathrm{cmmdc}(f,g)$. El nu cere să știi rezolva nimic.
• Derivata formală. Definită algebric, $(X^n{)}^{\prime }=n{X}^{n-1}$, fără nicio limită. Criteriul de multiplicitate: $a$ e rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$.

Adaugă-le regula de aur a gradelor, valabilă peste orice corp: $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$. Ea e cea care face ca un polinom de gradul al doilea sau al treilea să fie reductibil dacă și numai dacă are o rădăcină în corp: un factor de grad $1$ trebuie neapărat să apară.

Merită înțeles și de ce e nevoie de un corp, nu doar de un inel, ca aceste patru unelte să funcționeze. La fiecare pas al împărțirii se micșorează gradul restului parțial, iar micșorarea se obține scăzând din el un multiplu potrivit al împărțitorului. Ca să găsești acel multiplu trebuie să împarți coeficientul dominant al restului la coeficientul dominant al împărțitorului — adică să înmulțești cu inversul celui din urmă. Dacă acel invers nu există, algoritmul se blochează. De aceea împărțirea cu rest merge fără restricții în $\mathbb{Q}[X]$, $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{C}[X]$ și ${\mathbb{Z}}_p[X]$ cu $p$ prim, dar nu și, de pildă, în $\mathbb{Z}[X]$ sau în ${\mathbb{Z}}_6[X]$, unde poți împărți doar la polinoame al căror coeficient dominant e inversabil. Regula de reținut, scurtă: peste un corp împarți la orice polinom nenul; peste un inel oarecare, numai la unul cu coeficient dominant inversabil.

Din același loc vine și unicitatea perechii cât–rest, care e mai importantă decât pare: ea garantează că restul obținut prin algoritmul lung, restul citit din teorema restului și restul ghicit prin metoda valorilor sunt unul și același polinom. Fără unicitate, cele trei metode ar putea da răspunsuri diferite, iar verificarea prin înmulțire inversă n-ar mai avea sens.

3. Cum se schimbă descompunerea când schimbi corpul?

Aici e miezul lecției. Ireductibilitatea nu e o însușire a polinomului, ci a perechii polinom–corp. Tabelul următor rezumă cele trei fapte de clasă, demonstrate la polinoame ireductibile și descompunerea în factori:

Exemplul-etalon, de urmărit pe toate cele patru corpuri, este $X^2+1$ — același polinom fixat la rădăcini în ${\mathbb{Z}}_p$ și funcția polinomială, reluat aici cu altă întrebare: acolo i s-au căutat rădăcinile în ${\mathbb{Z}}_5$, aici i se urmărește descompunerea din corp în corp. Peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$ este ireductibil, pentru că $\Delta =-4<0$. Peste $\mathbb{C}$ se descompune: $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Peste ${\mathbb{Z}}_5$ are rădăcinile $\hat{2}$ și $\hat{3}$, deci $X^2+\hat{1}=(X+\hat{2})(X+\hat{3})$. Peste ${\mathbb{Z}}_7$ redevine ireductibil, pentru că niciuna dintre cele șapte clase nu îl anulează. Iar peste ${\mathbb{Z}}_2$ el este $(X+\hat{1}{)}^2$ — un pătrat perfect.

Deosebirea dintre $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{R}$ merită și ea o propoziție. Polinomul $X^3-2$ e ireductibil peste $\mathbb{Q}$, pentru că nu are rădăcini raționale, dar peste $\mathbb{R}$ se descompune în $\left(X-\sqrt[3]{2}\right)\left(X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}\right)$, iar al doilea factor are discriminantul negativ, deci e ireductibil peste $\mathbb{R}$.

⚠️ Capcana clasică: criteriul „reductibil dacă și numai dacă are rădăcină" e valabil numai pentru gradele $2$ și $3$. Un polinom de gradul $4$ fără rădăcini poate fi produsul a două polinoame de gradul al doilea, ambele fără rădăcini — de pildă $X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2-X+1)$ peste $\mathbb{Q}$.

4. Ce este diferit peste un corp finit ${\mathbb{Z}}_p$?

Trei lucruri, și toate trei apar în subiecte.

Funcția polinomială nu mai determină polinomul. Peste $\mathbb{R}$, două polinoame care iau aceleași valori în toate punctele sunt egale — teorema din clasa a X-a are însă o ipoteză ascunsă, „corpul este infinit", pe care o scoate la lumină lecția funcția polinomială și rădăcinile peste clase de resturi. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ concluzia cade: polinomul $X^p-X$ are gradul $p$, e nenul, dar funcția lui polinomială este identic nulă. Motivul e o singură egalitate, ${\hat{a}}^p=\hat{a}$ pentru orice clasă $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_p$, demonstrată acolo din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange aplicată grupului multiplicativ cu $p-1$ elemente al claselor nenule (rezultatul e cunoscut și ca mica teoremă a lui Fermat). Pe ${\mathbb{Z}}_3$, de pildă, $X^3-X=X^3+\hat{2}X$ se anulează în toate cele trei clase. De aceea polinomul și funcția polinomială sunt, peste corpuri finite, două obiecte diferite: primul e o listă de coeficienți, a doua o regulă de asociere.

Derivata formală se poate anula fără motiv de multiplicitate. Peste ${\mathbb{Z}}_2$, derivata lui $X^4+\hat{1}$ este $\hat{4}{X}^3=\hat{0}$, pentru că $\hat{4}=\hat{0}$ modulo $2$. Criteriul $f(a)=f^{\prime }(a)=0$ rămâne o implicație corectă, dar ordinul exact al unei rădăcini multiple se stabilește prin împărțiri efective la $(X-a{)}^2$, $(X-a{)}^3$ și așa mai departe.

Căutarea rădăcinilor devine finită. Cu $p\le 7$, evaluarea în toate clasele e o metodă completă și acceptată de barem, nu o încercare. Se scriu toate valorile, se citesc zerourile, se trage concluzia.

Rămâne însă neschimbat faptul esențial, revendicat de lecția împărțirea polinoamelor peste un corp: un polinom nenul de grad $n$ din $K[X]$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $K$, oricare ar fi corpul $K$. Demonstrația de acolo, prin inducție și teorema lui Bézout, folosește într-un punct decisiv faptul că un corp nu are divizori ai lui zero — iar ipoteza aceasta nu e decorativă.

Contraexemplul canonic, de reținut, arată ce se întâmplă când modulul nu e prim: în ${\mathbb{Z}}_8$, care este inel dar nu corp, polinomul $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini distincte, $\hat{1}$, $\hat{3}$, $\hat{5}$ și $\hat{7}$, deși are gradul $2$. Mai mult, el admite două descompuneri diferite în factori de gradul întâi, $(X-\hat{1})(X-\hat{7})$ și $(X-\hat{3})(X-\hat{5})$, ambele corecte modulo $8$. Într-un corp așa ceva nu se poate întâmpla.

5. Cum arată o rezolvare completă la examen?

Trei reguli de redactare care aduc puncte fără calcul suplimentar:

• Spune în ce corp lucrezi, în prima propoziție a rezolvării, mai ales când problema trece de la $\mathbb{R}$ la ${\mathbb{Z}}_p$ între subpuncte.
• Verifică orice împărțire înmulțind înapoi. Egalitatea $f=gq+r$ se scrie explicit; ea e și forma cerută de teorema împărțirii cu rest.
• Justifică ireductibilitatea, nu o afirma. Pentru grad $2$ sau $3$: „nu are rădăcini în $K$, deci, fiind de gradul $\le 3$, este ireductibil". Pentru grad $4$: se cercetează și factorizările în două polinoame de gradul al doilea.

Capcanele de barem, adunate din tot capitolul: descompunere peste $\mathbb{C}$ oferită când se cerea peste $\mathbb{R}$ (sau invers); afirmarea ireductibilității unui polinom de gradul $4$ doar din lipsa rădăcinilor; scrierea rezultatelor din ${\mathbb{Z}}_p$ ca numere întregi nereduse; folosirea împărțirii la un coeficient neinversabil; uitarea rădăcinii conjugate atunci când coeficienții sunt reali.

Despre ordinea subpunctelor mai trebuie spus ceva, pentru că mulți elevi pierd puncte tocmai aici. Cele trei cerințe ale unei probleme din Subiectul al II-lea sunt aproape întotdeauna legate între ele: rezultatul de la a) se folosește la b), iar b) la c). Dacă nu-ți iese primul subpunct, nu abandona problema — scrie explicit „presupunem rezultatul de la a)" și continuă, pentru că baremul punctează separat fiecare subpunct și acordă punctajul pe raționament corect, chiar pornit dintr-o valoare greșită. Invers, dacă ai terminat repede subpunctele a) și b), folosește minutele rămase ca să refaci verificarea prin înmulțire inversă, nu ca să rescrii frumos.

Un ultim sfat de redactare, care nu costă nimic: încheie fiecare subpunct cu o propoziție de concluzie, nu cu un șir de egalități. „Prin urmare descompunerea peste numerele reale este $f=(X-1{)}^2(X^2+1)$" spune corectorului exact ce a fost cerut; o ultimă linie de calcul, oricât de corectă, îl obligă să ghicească ce ai vrut să spui.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Problemă model peste $\mathbb{Q}$: împărțire, descompunere, Viète

Se consideră $f=X^4-3X^3+3X^2-3X+2\in \mathbb{Q}[X]$. a) Determinați câtul și restul împărțirii lui $f$ la $g=X^2+1$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$. c) Calculați suma pătratelor rădăcinilor lui $f$.

Rezolvare. a) Împărțind, obținem câtul $q=X^2-3X+2$ și restul $r=0$, adică $$X^4-3X^3+3X^2-3X+2=(X^2+1)(X^2-3X+2).$$ Verificare înmulțind înapoi: $(X^2+1)(X^2-3X+2)=X^4-3X^3+2X^2+X^2-3X+2=f$. ✓

b) Al doilea factor are rădăcinile $1$ și $2$, deci $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$. Factorul $X^2+1$ are $\Delta =-4<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$ și cu atât mai mult peste $\mathbb{Q}$. Prin urmare, peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$: $$f=(X-1)(X-2)(X^2+1).$$ Peste $\mathbb{C}$, ultimul factor se rupe: $f=(X-1)(X-2)(X-i)(X+i)$.

c) Din relațiile lui Viète pentru gradul al patrulea, $S_1=3$ și $S_2=3$, deci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=S_1^2-2S_2=9-6=3.$$ Control direct cu rădăcinile $1,2,i,-i$: $1+4+(-1)+(-1)=3$. ✓

Exemplul 2 — Problemă model peste $\mathbb{R}$: rădăcini conjugate

Se consideră $f=X^3-4X^2+6X-4\in \mathbb{R}[X]$. a) Arătați că $1+i$ este rădăcină a lui $f$. b) Determinați celelalte două rădăcini. c) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. a) Calculăm puterile: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$ și $(1+i{)}^3=(1+i)\cdot 2i=2i+2i^2=-2+2i$. Atunci $$f(1+i)=(-2+2i)-4\cdot 2i+6(1+i)-4=-2+2i-8i+6+6i-4=0.$$

b) Coeficienții lui $f$ sunt reali, deci rădăcinile nereale vin în perechi conjugate: $1-i$ este și ea rădăcină. A treia se citește din prima relație a lui Viète: $x_1+x_2+x_3=4$, iar $(1+i)+(1-i)=2$, deci $x_3=2$. Verificare: $f(2)=8-16+12-4=0$. ✓

c) Perechea conjugată dă factorul real $(X-(1+i))(X-(1-i))=X^2-2X+2$, cu $\Delta =4-8=-4<0$, deci ireductibil peste $\mathbb{R}$. Prin urmare $$f=(X-2)(X^2-2X+2)\text{peste }\mathbb{R},f=(X-2)(X-1-i)(X-1+i)\text{peste }\mathbb{C}.$$ Verificare: $(X-2)(X^2-2X+2)=X^3-2X^2+2X-2X^2+4X-4=X^3-4X^2+6X-4$. ✓

Exemplul 3 — Problemă model peste ${\mathbb{Z}}_5$

Se consideră $f=X^3+\hat{4}{X}^2+X+\hat{4}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$. a) Determinați rădăcinile lui $f$ în ${\mathbb{Z}}_5$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili în ${\mathbb{Z}}_5[X]$. c) Arătați că $g=X^2+X+\hat{2}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$.

Rezolvare. a) Evaluăm în toate cele cinci clase — metodă completă, pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ are cinci elemente:

Calculele, făcute cu clase reduse la fiecare pas: $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{4}+\hat{1}+\hat{4}=\widehat{10}=\hat{0}$; $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{4}\cdot \hat{4}+\hat{2}+\hat{4}=\hat{3}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{4}=\widehat{10}=\hat{0}$; $f(\hat{3})=\widehat{27}+\hat{4}\cdot \hat{9}+\hat{3}+\hat{4}=\hat{2}+\hat{1}+\hat{3}+\hat{4}=\widehat{10}=\hat{0}$; $f(\hat{4})=\widehat{64}+\hat{4}\cdot \widehat{16}+\hat{4}+\hat{4}=\hat{4}+\hat{4}+\hat{4}+\hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$. Rădăcinile sunt așadar $\hat{1}$, $\hat{2}$ și $\hat{3}$.

b) Trei rădăcini distincte pentru un polinom monic de gradul al treilea înseamnă descompunere completă în factori de gradul întâi: $$f=(X-\hat{1})(X-\hat{2})(X-\hat{3})=(X+\hat{4})(X+\hat{3})(X+\hat{2}).$$ Verificare prin înmulțire modulo $5$: $(X+\hat{4})(X+\hat{3})=X^2+\hat{7}X+\widehat{12}=X^2+\hat{2}X+\hat{2}$, iar $(X^2+\hat{2}X+\hat{2})(X+\hat{2})=X^3+\hat{4}{X}^2+X+\hat{4}$. ✓

c) Evaluăm $g$ în toate clasele: $g(\hat{0})=\hat{2}$, $g(\hat{1})=\hat{4}$, $g(\hat{2})=\hat{4}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{3}$, $g(\hat{3})=\hat{4}+\hat{3}+\hat{2}=\hat{4}$, $g(\hat{4})=\hat{1}+\hat{4}+\hat{2}=\hat{2}$. Niciun zero, deci $g$ nu are rădăcini; fiind de gradul al doilea, el este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$.

Exemplul 4 — Problemă model peste ${\mathbb{Z}}_3$: polinom și funcție polinomială

Se consideră $f=X^3+\hat{2}X\in {\mathbb{Z}}_3[X]$. a) Arătați că funcția polinomială asociată lui $f$ este funcția nulă, deși $f$ nu este polinomul nul, și puneți rezultatul în legătură cu egalitatea ${\hat{a}}^3=\hat{a}$ din ${\mathbb{Z}}_3$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili în ${\mathbb{Z}}_3[X]$. c) Calculați derivata formală a lui $f$ și explicați ce spune ea despre rădăcinile multiple.

Rezolvare. a) Observăm întâi că $f=X^3-X$, pentru că $-\hat{1}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Evaluăm: $f(\hat{0})=\hat{0}$; $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$; $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{4}=\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$. Deci valoarea lui $f$ este $\hat{0}$ în toate cele trei clase, adică funcția polinomială asociată lui $f$ este funcția nulă. Polinomul însă nu e nul: coeficientul lui $X^3$ este $\hat{1}\ne \hat{0}$, iar gradul lui e $3$.

Rezultatul nu e o coincidență de calcul: el este exact egalitatea ${\hat{a}}^3=\hat{a}$, valabilă pentru orice clasă din ${\mathbb{Z}}_3$ prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, scrisă sub forma ${\hat{a}}^3-\hat{a}=\hat{0}$. Aceasta este deosebirea fundamentală față de polinoamele cu coeficienți reali, unde funcția determină polinomul. Consecința practică: peste un corp finit, două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială — aici $X^3$ și $X$ o au.

b) Cele trei clase sunt rădăcini, deci $$f=X(X-\hat{1})(X-\hat{2})=X(X+\hat{2})(X+\hat{1}).$$ Verificare: $(X+\hat{2})(X+\hat{1})=X^2+\hat{3}X+\hat{2}=X^2+\hat{2}$, iar $X(X^2+\hat{2})=X^3+\hat{2}X$. ✓

c) Derivând formal, $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{2}=\hat{2}$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Derivata este o constantă nenulă, deci nu se anulează nicăieri: $f$ nu are rădăcini multiple. Rezultatul e coerent cu descompunerea de la b), în care cei trei factori sunt distincți.

Exemplul 5 — Problemă model: algoritmul lui Euclid și rădăcina comună

Se consideră $f=X^4-2X^2-3X-2$ și $g=X^2+X-6$, polinoame din $\mathbb{R}[X]$. a) Determinați $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ cu algoritmul lui Euclid. b) Deduceți rădăcina comună a celor două polinoame. c) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Rezolvare. a) Împărțim $f$ la $g$: $$X^4-2X^2-3X-2=(X^2+X-6)(X^2-X+5)+(-14X+28).$$ Verificare, termen cu termen: $X^2(X^2-X+5)=X^4-X^3+5X^2$, apoi $X(X^2-X+5)=X^3-X^2+5X$, apoi $-6(X^2-X+5)=-6X^2+6X-30$. Adunându-le, produsul este $X^4-2X^2+11X-30$; adăugând restul $-14X+28$ obținem exact $X^4-2X^2-3X-2=f$. ✓

Al doilea pas: împărțim $g$ la restul $-14X+28=-14(X-2)$; constanta nenulă nu schimbă divizorii, deci împărțim la $X-2$: $$X^2+X-6=(X-2)(X+3),\text{rest }0.$$ Ultimul rest nenul, făcut monic, este $X-2$, deci $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X-2$.

b) Cel mai mare divizor comun are gradul $1$ și rădăcina $2$, care este element al lui $\mathbb{R}$. Deci singura rădăcină comună este $2$. Verificare: $f(2)=16-8-6-2=0$ și $g(2)=4+2-6=0$. ✓

c) Împărțind $f$ la $X-2$ obținem $X^3+2X^2+2X+1$, care are rădăcina $-1$; împărțind încă o dată, rămâne $X^2+X+1$, cu $\Delta =1-4=-3<0$, deci ireductibil peste $\mathbb{R}$. Prin urmare $$f=(X-2)(X+1)(X^2+X+1).$$ Verificare: $(X-2)(X+1)=X^2-X-2$, iar $(X^2-X-2)(X^2+X+1)=X^4-2X^2-3X-2$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al problemei a doua din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte. Structura este aceeași și la problemele din Subiectul al III-lea, doar materia diferă.

Se consideră polinomul $f=X^4-2X^3+a{X}^2+bX+1$, cu $a,b\in \mathbb{R}$.

a) Determinați $a$ și $b$ știind că $1$ este rădăcină dublă a lui $f$. b) Pentru valorile găsite, descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$. c) Descompuneți în factori ireductibili polinomul $h=X^4+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_2[X]$ și comparați rezultatul cu cel de la punctul b).

Rezolvare.

a) Rădăcină dublă înseamnă $f(1)=0$ și $f^{\prime }(1)=0$, unde $f^{\prime }$ este derivata formală $$f^{\prime }=4X^3-6X^2+2aX+b.$$ Din $f(1)=1-2+a+b+1=a+b=0$ și $f^{\prime }(1)=4-6+2a+b=2a+b-2=0$, scăzând prima ecuație din a doua obținem $a=2$, deci $b=-2$. Polinomul este $f=X^4-2X^3+2X^2-2X+1$.

b) Împărțim la $(X-1{)}^2=X^2-2X+1$ și obținem câtul $X^2+1$, cu rest nul: $$f=(X-1{)}^2(X^2+1).$$ Verificare: $(X^2-2X+1)(X^2+1)=X^4-2X^3+X^2+X^2-2X+1=X^4-2X^3+2X^2-2X+1$. ✓

Factorul $X^2+1$ are $\Delta =-4<0$, deci descompunerea de mai sus este cea peste $\mathbb{R}$. Peste $\mathbb{C}$: $$f=(X-1{)}^2(X-i)(X+i).$$

Observăm în plus că $1$ este rădăcină exact dublă, nu triplă: $f^{\prime \prime }=12X^2-12X+4$, iar $f^{\prime \prime }(1)=4\ne 0$.

c) Peste ${\mathbb{Z}}_2$ avem $\hat{2}=\hat{0}$ și $\hat{4}=\hat{0}$, deci $$(X+\hat{1}{)}^4=X^4+\hat{4}{X}^3+\hat{6}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}=X^4+\hat{1}=h.$$ Verificare prin înmulțiri succesive modulo $2$: $(X+\hat{1}{)}^2=X^2+\hat{1}$, apoi $(X^2+\hat{1}{)}^2=X^4+\hat{1}$. ✓

Comparația cerută: peste $\mathbb{R}$, factorul $X^2+1$ era ireductibil; peste ${\mathbb{Z}}_2$, el devine $(X+\hat{1}{)}^2$, iar întregul polinom devine puterea a patra a unui singur factor de gradul întâi. Se vede și de ce criteriul cu derivata trebuie folosit cu grijă aici: derivata formală a lui $h$ este $\hat{4}{X}^3=\hat{0}$, identic nulă, deși $h$ nu este constant.

Să exersăm

1. Arătați că $X^3+X+\hat{1}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$.

2. Arătați că $X^2+X+\hat{1}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$.

3. Arătați că, în ${\mathbb{Z}}_2[X]$, are loc egalitatea $X^4+X^2+\hat{1}=(X^2+X+\hat{1}{)}^2$.

4. Descompuneți $X^4+X^2+1$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$.

5. Arătați că $X^3-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$ și scrieți descompunerea lui peste $\mathbb{R}$.

6. Determinați restul împărțirii polinomului $X^{100}$ la $X^2-1$.

7. Determinați restul împărțirii polinomului $X^{101}$ la $X^2-1$.

8. Câte polinoame monice de gradul al doilea există în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ și câte dintre ele sunt ireductibile?

9. Arătați că $X^2+\hat{2}X+\hat{3}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$.

10. Determinați rădăcinile polinomului $X^2+\hat{2}X+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_5$.

11. Determinați $\mathrm{cmmdc}(X^4-1,X^3-1)$.

12. Arătați că $X^2+X+1$ divide $X^3-1$.

13. Determinați restul împărțirii polinomului $X^7+X^3+1$ la $X^2+1$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un polinom de gradul al patrulea care nu are rădăcini în corpul $K$ este ireductibil peste $K$.

15. (Problemă aplicată.) Verificați că $3$ este rădăcină triplă a polinomului $X^3-9X^2+27X-27$, folosind derivata formală și apoi împărțirea efectivă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că polinomul $f=X^3+\hat{2}X+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_3[X]$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_3$.

17. Arătați că $X^4+X^3+\hat{1}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$, cercetând și factorizările în două polinoame de gradul al doilea.

18. (Provocare.) Descompuneți $X^4-16$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Răspunsuri și explicații

1. Evaluăm în cele două clase: valoarea în $\hat{0}$ este $\hat{1}$, iar în $\hat{1}$ este $\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{1}$. Nu are rădăcini, iar gradul e $3$, deci este ireductibil.

2. Valorile sunt $\hat{1}$ în $\hat{0}$ și $\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{1}$ în $\hat{1}$. Fără rădăcini, grad $2$, deci ireductibil.

3. $(X^2+X+\hat{1}{)}^2=X^4+X^2+\hat{1}+\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X$, iar $\hat{2}=\hat{0}$, deci rămâne $X^4+X^2+\hat{1}$. Peste ${\mathbb{Z}}_2$, ridicarea la pătrat „împrăștie" exponenții, pentru că dublele dispar.

4. $X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2-X+1)$. Verificare: produsul dă $X^4-X^3+X^2+X^3-X^2+X+X^2-X+1=X^4+X^2+1$. Ambii factori au discriminantul $-3<0$, deci sunt ireductibili peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$.

5. Rădăcinile raționale ar trebui să fie divizori ai lui $2$, adică $\pm 1$ și $\pm 2$; valorile polinomului în ele sunt $-1$, $-3$, $6$ și $-10$, deci niciuna nu este rădăcină. Grad $3$ fără rădăcini în corp înseamnă ireductibil peste $\mathbb{Q}$. Peste $\mathbb{R}$: $X^3-2=\left(X-\sqrt[3]{2}\right)\left(X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}\right)$, al doilea factor având discriminantul $\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{4}<0$.

6. Restul este $1$. Cu $r=cX+d$: $r(1)=1$ și $r(-1)=(-1{)}^{100}=1$, deci $c=0$ și $d=1$.

7. Restul este $X$. Aici $r(1)=1$ și $r(-1)=-1$, deci $c=1$, $d=0$.

8. Sunt $3\cdot 3=9$ polinoame monice de gradul al doilea (câte trei alegeri pentru fiecare dintre cei doi coeficienți) și exact $3$ ireductibile: $X^2+\hat{1}$, $X^2+X+\hat{2}$ și $X^2+\hat{2}X+\hat{2}$. Celelalte șase au cel puțin o rădăcină în ${\mathbb{Z}}_3$.

9. Valorile în $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$ sunt $\hat{3},\hat{1},\hat{1},\hat{3},\hat{2}$. Nu apare $\hat{0}$, deci polinomul nu are rădăcini; fiind de gradul al doilea, este ireductibil.

10. Rădăcinile sunt $\hat{1}$ și $\hat{2}$: $\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{0}$ și $\hat{4}+\hat{4}+\hat{2}=\widehat{10}=\hat{0}$. Descompunerea este $(X+\hat{4})(X+\hat{3})$.

11. $X-1$. Prin Euclid: $X^4-1=(X^3-1)X+(X-1)$, apoi $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ cu rest nul.

12. $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$, deci împărțirea are rest nul. Se poate vedea și prin verificare: produsul din dreapta dă $X^3+X^2+X-X^2-X-1=X^3-1$.

13. Restul este $-2X+1$. Cu $r=cX+d$ și $X=i$: $i^7=-i$, $i^3=-i$, deci $f(i)=-i-i+1=1-2i$. Din $ci+d=1-2i$ rezultă $c=-2$ și $d=1$.

14. Fals. Criteriul „reductibil dacă și numai dacă are rădăcină" e valabil doar pentru gradele $2$ și $3$. Contraexemplu: $X^4+X^2+1$ nu are rădăcini raționale, dar se descompune în $(X^2+X+1)(X^2-X+1)$ peste $\mathbb{Q}$.

15. Fie $f=X^3-9X^2+27X-27$. Atunci $f(3)=27-81+81-27=0$; $f^{\prime }=3X^2-18X+27$, cu $f^{\prime }(3)=27-54+27=0$; $f^{\prime \prime }=6X-18$, cu $f^{\prime \prime }(3)=0$. Împărțirea confirmă: $f=(X-3{)}^3$.

16. Evaluăm în cele trei clase: $f(\hat{0})=\hat{1}$, $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{1}=\hat{4}=\hat{1}$, $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{4}+\hat{1}=\hat{2}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{1}$. Nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_3$; fiind de gradul al treilea, este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_3$.

17. Rădăcini nu are: valoarea în $\hat{0}$ este $\hat{1}$, iar în $\hat{1}$ este $\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{1}$. Rămâne de exclus factorizarea în două polinoame monice de gradul al doilea. Cele patru candidate sunt $X^2$, $X^2+\hat{1}$, $X^2+X$ și $X^2+X+\hat{1}$; primele trei au rădăcini, deci un produs care le conține ar avea și el rădăcini, iar singurul produs rămas este $(X^2+X+\hat{1}{)}^2=X^4+X^2+\hat{1}\ne X^4+X^3+\hat{1}$. Deci polinomul e ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$.

18. $X^4-16=(X^2-4)(X^2+4)=(X-2)(X+2)(X^2+4)$. Peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$ aceasta e descompunerea finală, pentru că $X^2+4$ are $\Delta =-16<0$. Peste $\mathbb{C}$: $X^4-16=(X-2)(X+2)(X-2i)(X+2i)$.

De reținut

• Teorema împărțirii cu rest, teorema restului, algoritmul lui Euclid și derivata formală funcționează identic peste orice corp comutativ, pentru că demonstrațiile lor folosesc numai axiomele de corp.
• Ireductibilitatea nu este o proprietate a polinomului singur, ci a perechii formate din polinom și corpul peste care este privit.
• Peste numerele complexe sunt ireductibile exact polinoamele de gradul întâi, iar peste numerele reale doar cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu discriminantul negativ.
• Criteriul „reductibil dacă și numai dacă are rădăcină în corp" este valabil numai pentru polinoamele de gradul al doilea și al treilea, niciodată de la gradul al patrulea în sus.
• Peste un corp finit, două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială, iar derivata formală se poate anula identic fără ca polinomul să fie constant.

Greșeli frecvente

• Greșeala: a da descompunerea peste $\mathbb{C}$ atunci când enunțul cere descompunerea peste $\mathbb{R}$. Corect: peste numerele reale, factorii de gradul al doilea cu discriminant negativ rămân întregi; se lasă $X^2+1$, nu se scrie $(X-i)(X+i)$.
• Greșeala: a declara ireductibil un polinom de gradul al patrulea doar pentru că nu are rădăcini. Corect: trebuie cercetate și factorizările în două polinoame de gradul al doilea; contraexemplul standard este $X^4+X^2+1$.
• Greșeala: a scrie rezultatul unui calcul din ${\mathbb{Z}}_5$ ca număr întreg oarecare, de pildă $\widehat{16}$. Corect: clasele se reduc mereu în intervalul de la $\hat{0}$ la $\hat{4}$, deci $\widehat{16}=\hat{1}$.
• Greșeala: a împărți un polinom din ${\mathbb{Z}}_n[X]$ la un coeficient dominant neinversabil. Corect: algoritmul împărțirii cere ca acel coeficient să fie inversabil; în ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim orice coeficient nenul este, în alte inele nu.
• Greșeala: a uita rădăcina conjugată atunci când polinomul are coeficienți reali și se dă o rădăcină nereală. Corect: rădăcinile nereale ale unui polinom cu coeficienți reali apar întotdeauna în perechi conjugate, iar produsul lor dă un factor real de gradul al doilea.

Aplică acasă

1. Ia polinomul $X^4-1$ și descompune-l, pe rând, peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$, peste $\mathbb{C}$, peste ${\mathbb{Z}}_3$ și peste ${\mathbb{Z}}_5$. Scrie cele cinci rezultate unul sub altul și notează, lângă fiecare, câți factori ireductibili au apărut. Vei vedea numărul crescând pe măsură ce corpul „are mai multe rădăcini".
2. Alcătuiește tabelul complet al valorilor pentru toate cele nouă polinoame monice de gradul al doilea din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ și marchează-le pe cele fără rădăcini. Compară lista obținută cu răspunsul de la exercițiul 8 și explică-ți de ce sunt exact trei.
3. Reia cele șase probleme rezolvate din lecție și cronometrează-te la fiecare, ca la examen: zece minute de problemă înseamnă ritmul corect pentru cele două probleme din Subiectul al II-lea. Notează la care subpunct ai pierdut timp și de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul întreabă întâi în ce corp lucrează și abia apoi calculează. Ea este scrisă pentru traseul de matematică-informatică (mate-info), singurul care studiază polinoamele peste un corp oarecare. Ea încheie suplimentul pentru Bacalaureat M1, adică materia cerută de sesiunile 2027–2029, chiar dacă programa nouă a clasei a XII-a nu mai conține inele, corpuri și polinoame.

Întrebări de control: Ce se schimbă în descompunerea lui $X^2+1$ când treci de la numerele reale la ${\mathbb{Z}}_5$? De ce criteriul cu rădăcini nu funcționează la gradul al patrulea? Cum arăți că două polinoame nu au rădăcini comune? Poate un polinom nenul să aibă funcția polinomială identic nulă?

Semne că a înțeles: scrie corpul în prima propoziție a rezolvării; verifică fiecare împărțire prin înmulțire inversă; nu confundă descompunerea peste numerele reale cu cea peste numerele complexe; la corpuri finite, reduce clasele înainte de a scrie rezultatul.

La BAC, cele șase probleme din lecție sunt calibrate exact ca problema a doua din Subiectul al II-lea: 15 puncte, trei subpuncte a câte 5. Un exercițiu util acasă este ca elevul să-și acorde singur punctele, pe pași, comparând cu baremele oficiale publicate de minister.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un polinom este ireductibil peste un corp? Înseamnă că are gradul cel puțin $1$ și nu se poate scrie ca produs de două polinoame din același inel de polinoame, ambele de grad cel puțin $1$. Ireductibilitatea depinde de corp: același polinom poate fi ireductibil peste numerele reale și reductibil peste numerele complexe sau peste clasele de resturi.

Cum descompun un polinom în factori ireductibili peste numerele reale? Îi cauți întâi rădăcinile reale, care dau factori de gradul întâi, apoi grupezi rădăcinile complexe conjugate în factori de gradul al doilea cu discriminant negativ. Descompunerea peste numerele reale conține numai factori de gradul întâi și factori de gradul al doilea cu discriminant strict negativ, niciodată factori de grad mai mare.

Când este valabil criteriul „are rădăcină, deci e reductibil"? Criteriul în ambele sensuri este valabil numai pentru polinoamele de gradul al doilea și al treilea. Într-un sens, el rămâne adevărat oricând: dacă un polinom are o rădăcină în corp, atunci se divide cu un factor de gradul întâi, deci e reductibil. Reciproca cade de la gradul al patrulea în sus.

De ce derivata formală poate fi nulă peste ${\mathbb{Z}}_p$? Pentru că la derivare apar coeficienți de forma $k\cdot a_k$, iar în ${\mathbb{Z}}_p$ un întreg $k$ multiplu de $p$ devine clasa nulă. De exemplu, derivata lui $X^4+\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$ este $\hat{4}{X}^3=\hat{0}$. Criteriul rădăcinilor multiple rămâne o implicație corectă, dar ordinul se stabilește prin împărțiri.

Cum verific dacă un polinom de gradul al patrulea este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$? Verifici întâi că nu are rădăcini, evaluându-l în $\hat{0}$ și $\hat{1}$. Apoi cercetezi factorizările în două polinoame monice de gradul al doilea: peste ${\mathbb{Z}}_2$ există doar patru astfel de polinoame, deci încercările sunt puține. Dacă niciuna dintre împărțiri nu dă rest nul, polinomul este ireductibil.

Poate un polinom nenul să aibă funcția polinomială identic nulă? Da, dar numai peste un corp finit. Peste ${\mathbb{Z}}_p$, polinomul $X^p-X$ se anulează în toate cele $p$ clase, pentru că ${\hat{a}}^p=\hat{a}$ prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, deși are gradul $p$ și coeficientul dominant $\hat{1}$. Peste numerele raționale, reale sau complexe acest lucru este imposibil, pentru că un polinom nenul are cel mult atâtea rădăcini distincte cât gradul.

Cât valorează la Bacalaureat M1 o problemă cu polinoame peste un corp? Ea apare ca problema a doua din Subiectul al II-lea și valorează 15 puncte, împărțite în trei subpuncte a câte 5 puncte. Primul subpunct cere de obicei o împărțire sau o evaluare, al doilea o descompunere, iar al treilea o comparație între corpuri sau o consecință. Baremul acordă puncte pe pași intermediari.