Sinteză: polinoame peste un corp: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Sinteza capitolului separă limpede ce nu depinde de corp de ce depinde. Nu depind de corp: teorema împărțirii cu rest, teorema restului împreună cu schema lui Horner, algoritmul lui Euclid pentru $\mathrm{cmmdc}$ și regulile derivatei formale — demonstrațiile lor folosesc numai axiomele de corp. Depinde de corp descompunerea: peste $\mathbb{C}$ sunt ireductibile exact polinoamele de gradul întâi, peste $\mathbb{R}$ cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu discriminantul negativ, iar peste $\mathbb{Q}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ există ireductibile de orice grad. Criteriul „reductibil dacă și numai dacă are rădăcină în corp” este valabil numai la gradele $2$ și $3$. Peste un corp finit apar trei diferențe pe care baremul le urmărește: două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială, derivata formală se poate anula identic fără ca polinomul să fie constant, iar rezultatele se scriu ca clase reduse. Când polinomul are coeficienți reali și se dă o rădăcină nereală, rădăcina conjugată vine automat, iar produsul celor două dă un factor real de gradul al doilea — mișcarea cea mai des cerută la Bacalaureat M1.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre proprietățile de mai jos depinde de corpul peste care se lucrează?

   • a) teorema împărțirii cu rest
   • b) ireductibilitatea unui polinom
   • c) teorema restului
   • d) regulile de calcul cu derivata formală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) ireductibilitatea unui polinom

   Ireductibilitatea nu este o proprietate a polinomului singur, ci a perechii polinom–corp: $X^2-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$ și reductibil peste $\mathbb{R}$. Celelalte trei funcționează identic peste orice corp comutativ, fiindcă demonstrațiile lor folosesc numai axiomele de corp — în particular faptul că orice element nenul este inversabil.

2. Descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$ a polinomului $X^4-5X^2+6$ este:

   • a) $\left(X^2-2\right)\left(X^2-3\right)$
   • b) $\left(X-\sqrt{2}\right)\left(X+\sqrt{2}\right)\left(X-\sqrt{3}\right)\left(X+\sqrt{3}\right)$
   • c) $\left(X^2-6\right)\left(X^2+1\right)$
   • d) polinomul este ireductibil peste $\mathbb{Q}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(X^2-2\right)\left(X^2-3\right)$

   Notăm $t=X^2$ și rezolvăm $t^2-5t+6=0$, cu soluțiile $2$ și $3$, deci $X^4-5X^2+6=\left(X^2-2\right)\left(X^2-3\right)$. Peste $\mathbb{Q}$ cei doi factori sunt ireductibili, fiindcă $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt raționale. Varianta b este descompunerea peste $\mathbb{R}$ — greșeala de a da răspunsul pentru alt corp decât cel cerut.

3. Care afirmație despre polinoamele peste un corp finit este adevărată?

   • a) un polinom de gradul $n$ are exact $n$ rădăcini în corp
   • b) derivata formală a unui polinom neconstant este întotdeauna nenulă
   • c) un polinom de gradul al patrulea fără rădăcini este ireductibil
   • d) două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială

   Peste ${\mathbb{Z}}_p$, polinomul $X^p-X$ are funcția polinomială nulă fără a fi polinomul nul, deci egalitatea funcțiilor nu implică egalitatea polinoamelor. Varianta a confundă „cel mult $n$ rădăcini distincte” cu „exact $n$”; varianta b este contrazisă de $X^2+\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$, cu derivata nulă; varianta c este capcana gradului al patrulea.