Examenul de Bacalaureat M1: structura subiectelor, baremul și strategia de lucru

Patru ani de matematică se strâng, în iunie, într-o foaie tipărită și trei ore de ceas. Elevul de clasa a 12-a care intră în sală știe, de regulă, matematică; ce nu știe încă este cum arată foaia — câte cerințe are, cât valorează fiecare, ce se scrie ca să se ia punctele și în ce ordine merită atacate subiectele. Lecția aceasta închide exact acest gol, înainte ca unitatea să reia materia pe structura subiectelor. Proba de matematică de la Bacalaureat M1 durează trei ore și are trei subiecte a câte $30$ de puncte: Subiectul I cu șase cerințe independente, Subiectele al II-lea și al III-lea cu câte două probleme de trei subpuncte, plus $10$ puncte din oficiu.

Nu învățăm nimic nou aici. Punem în ordine ceea ce știi deja: o hartă a probei de Bacalaureat M1, regulile după care se acordă punctele, un buget de timp verificat cu ceasul și șase exemple rezolvate exact în forma în care le-ar corecta un profesor evaluator. Sinteza pe capitole a fiecărui an rămâne unde e — la sinteza aplicațiilor integralei, cu care se încheie materia clasei a XII-a, la sinteza finală a clasei a XI-a și la sinteza finală de mate-info a clasei a X-a; aici privim examenul dinspre foaia de examen, nu dinspre manual.

Ce vei învăța

• Vei ști din câte subiecte e alcătuită proba, câte cerințe are fiecare și cât valorează fiecare cerință.
• Vei ști cum se acordă punctajul pe pași și de ce o rezolvare neterminată aduce, totuși, puncte.
• Vei ști să-ți împarți cele trei ore pe subiecte, cu o rezervă de verificare la final.
• Vei ști în ce ordine să rezolvi și ce anume merită lăsat la sfârșit.
• Vei ști să-ți verifici singur răspunsurile de la Subiectul I, prin substituție și prin control de domeniu.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată proba de Bacalaureat M1?

Proba de Bacalaureat M1 este proba scrisă de matematică pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică — programa cea mai cuprinzătoare dintre cele patru programe de examen. Foaia are trei subiecte, fiecare de câte $30$ de puncte, iar cele $10$ puncte rămase până la $100$ se acordă din oficiu.

Reține numărul-cheie: fiecare cerință de la Subiectul I și fiecare subpunct de la Subiectele al II-lea și al III-lea valorează exact 5 puncte. Sunt $6+6+6=18$ bucăți a câte $5$ puncte, adică $90$ de puncte din exerciții și $10$ din oficiu. Timpul de lucru este de 3 ore, adică $180$ de minute.

Trei deosebiri de structură contează la lucru. Cerințele Subiectului I sunt independente una de alta: dacă nu-ți iese a treia, a patra rămâne perfect rezolvabilă. Subpunctele unei probleme de la Subiectele al II-lea și al III-lea nu sunt independente — b) folosește de obicei rezultatul lui a), iar c) pe amândouă; dar chiar și așa, un subpunct nerezolvat nu blochează următorul, pentru că rezultatul lui a) e de obicei scris sau ușor de reconstituit. Și, a treia: toate rezolvările se scriu pe foaia de examen, nu doar răspunsurile — nu există grile.

2. Din ce clase vine fiecare subiect?

Subiectul I este singurul care traversează tot liceul; celelalte două sunt așezate pe ani. Tabelul de mai jos spune de unde vine fiecare temă pe traseul tău de mate-info, ca să știi ce recitești.

Un detaliu care se uită des: geometria analitică ajunge în subiect din clasa a XI-a, nu din a IX-a. Tot ce ai nevoie — reperul, panta, ecuația dreptei, distanța de la un punct la o dreaptă, aria cu determinant — este acolo. Iar ceea ce unitatea aceasta reia în lecțiile următoare, începând cu numerele reale, radicalii și logaritmii, este exact conținutul Subiectului I, în formatul lui scurt.

3. Cum se acordă cele cinci puncte ale unei cerințe?

Baremul oficial nu spune „5 puncte dacă e bine". El taie cele 5 puncte pe pași și acordă fiecare bucată separat, în forme de tipul $2+3$, $3+2$ sau $2+2+1$. Consecința practică e cea mai importantă regulă de examen: o rezolvare începută corect și neterminată aduce puncte, iar un răspuns corect fără calcule nu le aduce pe toate.

Ce se punctează, în ordinea în care apare pe foaie:

• pasul de pornire — scrierea condițiilor de existență, a domeniului, a formulei folosite (de obicei $1$–$2$ p);
• calculul propriu-zis — transformarea, ecuația obținută, derivata, integrala ($2$–$3$ p);
• finalizarea — soluția scrisă explicit, cu mulțimea soluțiilor sau cu concluzia în cuvinte ($1$–$2$ p).

Cele trei forme de barem care apar cel mai des, cu exemple din materia ta:

Citește tabelul invers și îl vei folosi în examen: dacă o cerință are condiții de existență, primul punct de pe foaie e domeniul; dacă are un integrand care se poate rescrie, primul punct e rescrierea. Se scriu întâi, chiar dacă în minte le-ai făcut deja.

Ce se depunctează, chiar dacă rezultatul e bun: soluții străine nerespinse (rădăcini care nu verifică domeniul), mulțimea soluțiilor scrisă greșit ca interval, lipsa condițiilor de existență la ecuațiile cu logaritmi, radicali sau numitori, folosirea unei teoreme fără verificarea ipotezelor ei, și — la Subiectele al II-lea și al III-lea — trecerea peste un subpunct pe motiv că „rezultă din a)". Fiecare subpunct se rezolvă și se scrie separat.

O notație pe care o fixăm pentru toată unitatea: în problemele de legi de compoziție simetricul unui element se scrie $x^{-1}$, cu legea notată multiplicativ, tocmai pentru că în aceeași lucrare apar și derivate, iar $x^{\prime }$ ar deveni ambiguu.

4. Cum se împart cele trei ore?

Cele $180$ de minute nu se împart egal, pentru că subiectele nu sunt egale ca dificultate. Planificarea de mai jos e orientativă, dar are avantajul că a fost verificată cu ceasul pe variante întregi.

Împărțit pe bucăți, bugetul înseamnă aproximativ $\frac{40}{6}\approx 6,7$ minute pentru o cerință de la Subiectul I, $10$ minute pentru un subpunct de la Subiectul al II-lea și $\frac{70}{6}\approx 11,7$ minute pentru unul de la Subiectul al III-lea. Regula de disciplină: dacă o cerință de la Subiectul I depășește 8 minute, o lași și treci mai departe; costul ei este de $5$ puncte, exact cât un subpunct de la subiectele lungi, care se rezolvă adesea mai repede.

5. În ce ordine se rezolvă subiectele?

Ordinea de pe foaie nu e obligatorie. Trei ordini funcționează, fiecare pentru alt profil de elev:

• I, II, III — ordinea implicită. Subiectul I încălzește și aduce repede puncte sigure. Potrivită dacă lucrezi constant.
• I, III, II — dacă analiza matematică e partea ta tare. Subiectul al III-lea are cel mai mare buget de timp și cere mintea odihnită.
• II, I, III — dacă structurile algebrice îți ies imediat. Riști însă să pierzi din vedere ceasul; folosește-o doar dacă ai exersat-o la simulări.

Indiferent de ordine, subpunctul c) al oricărei probleme se lasă la final. La Subiectele al II-lea și al III-lea, primele două subpuncte sunt aproape întotdeauna calcule directe, iar al treilea cere o idee. Este mai rentabil să iei toate subpunctele a) și b) — adică $4\times 5=20$ de puncte pe subiect — decât să te blochezi la un c) și să pierzi un b) de la problema următoare.

Ultimele $10$ minute nu sunt pentru un c) neînceput, ci pentru trei lucruri care aduc puncte mai sigur: recitirea cerințelor (ca să vezi dacă ai răspuns la ce s-a cerut, nu la ce ai citit prima dată), verificarea prin substituție a soluțiilor de la Subiectul I și adăugarea concluziilor în cuvinte acolo unde ai lăsat doar un număr. Toate trei sunt operații de un minut fiecare și fiecare poate recupera un punct pierdut degeaba.

6. Cum îți verifici singur un răspuns de la Subiectul I?

Cerințele Subiectului I au un mare avantaj: sunt scurte și aproape toate se verifică prin substituție, în mai puțin de un minut. Trei controale, în ordinea aceasta:

• substituția — pui soluția găsită înapoi în ecuație. Dacă ai rezolvat ${\log }_2(x+1)=3$ și ai obținut $x=7$, calculezi ${\log }_{2}8=3$ și ai terminat verificarea;
• domeniul — orice ecuație cu logaritmi, radicali sau numitori cere condiții de existență; soluțiile care nu le respectă se resping explicit, cu o propoziție scrisă;
• ordinul de mărime — un răspuns absurd (o probabilitate mai mare decât $1$, o arie negativă, un termen de progresie care nu se potrivește cu rația) semnalează greșeala fără să reiei calculul.

Controlul de ordin de mărime merită un exemplu, pentru că se învață greu. Dacă la o cerință de progresii ai obținut $a_1=3$ și rația $q=2$, iar enunțul spunea că al patrulea termen este $24$, refacerea mentală e imediată: $3,6,12,24$ — se potrivește. Dacă ai fi obținut $a_1=6$, șirul ar fi fost $6,12,24,48$, iar al patrulea termen n-ar mai fi fost $24$; greșeala se vede fără să reiei un singur calcul.

Verificarea nu se scrie pe foaie decât dacă cerința o cere; se face în minte sau pe ciornă. Cele $10$ minute de la final sunt exact pentru asta.

7. Cum se redactează ca să iei toate punctele?

Patru reguli de scriere, care nu cer niciun calcul în plus și care se regăsesc, cuvânt cu cuvânt, în bareme:

• scrie domeniul sau condițiile de existență înainte de orice transformare — sunt puncte acordate separat;
• enunță complet ipotezele teoremei pe care o folosești — „$f$ este continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$", nu doar numele teoremei;
• numește consecința împreună cu teorema ei — Consecința 1 a teoremei lui Lagrange nu e același lucru cu Consecința 1 a teoremei lui Darboux;
• încheie fiecare punct cu o concluzie în cuvinte, nu cu un număr încercuit: „așadar mulțimea soluțiilor este $S=\{2\}$".

Un exemplu de concluzie care aduce punctul de finalizare: în loc de „$x=3$" subliniat de două ori, scrii „prin urmare singura soluție reală a ecuației este $x=3$, deci $S=\{3\}$". Costă cinci secunde și este exact formularea pe care baremul o caută la ultimul pas.

La ecuațiile și inecuațiile de la Subiectul I, concluzia în cuvinte are o formă fixă: ecuațiile se încheie cu mulțimea soluțiilor, inecuațiile cu intervalul sau reuniunea de intervale, scrise cu paranteze corecte.

8. Ce programă se dă la Bacalaureat M1 în 2027?

Aici merită spus adevărul, pentru că influențează ce recitești. Programa nouă de clasa a XII-a, aprobată prin planurile-cadru din 2025, se aplică progresiv: elevii care dau examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 îl dau pe programa veche, care conține inelele, corpurile și polinoamele peste un corp. Începând cu sesiunea 2030, examenul se dă pe programa nouă, în care aceste capitole nu mai apar, în schimb apar conicele.

MatePolis le acoperă pe amândouă. De aceea unitatea „Inele, corpuri și polinoame" este marcată în manifest ca supliment: pentru tine, dacă dai examenul până în 2029, ea este materie de examen și se învață integral; pentru colegii de peste câțiva ani, ea rămâne lectură utilă, iar conicele intră în locul ei. Restul lecțiilor — legi de compoziție, grupuri, asimptote, primitive, integrale, arii și volume — sunt materie de examen în ambele variante, ca și tot ce reia Subiectul I.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O cerință de Subiectul I, cu baremul alături

Cerință. Arătați că numărul $n={\left(\sqrt{5}-1\right)}^2+2\sqrt{5}$ este natural.

Rezolvare. Dezvoltăm pătratul: $${\left(\sqrt{5}-1\right)}^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}.$$ Adunăm al doilea termen: $n=6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6$. Cum $6\in \mathbb{N}$, cerința e rezolvată.

Baremul. $3$ p pentru dezvoltarea corectă a pătratului; $2$ p pentru reducerea termenilor cu radical și pentru concluzia $n=6\in \mathbb{N}$. Observă că simpla scriere „$n=6$" fără dezvoltarea pătratului nu ia decât o parte din puncte.

Exemplul 2 — O cerință de Subiectul I verificată prin substituție

Cerință. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x+1)=3$.

Rezolvare. Condiția de existență: $x+1>0$, adică $x\in (-1,+\infty )$. Din definiția logaritmului, $x+1=2^3=8$, deci $x=7$. Cum $7\in (-1,+\infty )$, soluția se acceptă.

Verificare prin substituție: ${\log }_2(7+1)={\log }_{2}8=3$. Așadar $S=\{7\}$.

Baremul. $2$ p pentru condiția de existență; $2$ p pentru trecerea la forma exponențială și obținerea lui $x=7$; $1$ p pentru verificarea apartenenței la domeniu și pentru scrierea mulțimii soluțiilor.

Exemplul 3 — O problemă de Subiectul al II-lea, cu cele trei subpuncte

Problemă. Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-2xy$.

a) Calculați $2\ast 3$. b) Arătați că $1-2(x\ast y)=(1-2x)(1-2y)$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. c) Determinați elementul neutru al legii $\ast$.

a) $2\ast 3=2+3-2\cdot 2\cdot 3=5-12=-7$. (Barem: $3$ p înlocuirea în formulă, $2$ p rezultatul.)

b) Calculăm membrul stâng: $1-2(x+y-2xy)=1-2x-2y+4xy$. Calculăm membrul drept: $(1-2x)(1-2y)=1-2y-2x+4xy$. Cele două expresii coincid, deci identitatea este adevărată. (Barem: $2$ p pentru un membru, $3$ p pentru celălalt și concluzie.)

c) Căutăm $e\in \mathbb{R}$ cu $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$. Din $x+e-2xe=x$ obținem $e(1-2x)=0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, de unde $e=0$. Verificăm: $x\ast 0=x+0-0=x$ și $0\ast x=x$, deci elementul neutru este $e=0$. (Barem: $3$ p pentru ecuația $e(1-2x)=0$, $2$ p pentru $e=0$ și verificare.)

Exemplul 4 — O problemă de Subiectul al III-lea, cu cele trei subpuncte

Problemă. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$. c) Determinați punctul de maxim local al funcției $f$ și valoarea maximului.

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. (Barem: $3$ p derivata, $2$ p forma factorizată.)

b) Trinomul $3(x-1)(x-3)$ este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Așadar $f^{\prime }>0$ pe $(-\infty ,1)$ și pe $(3,+\infty )$, iar $f^{\prime }<0$ pe $(1,3)$: funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[1,3]$. (Barem: $2$ p semnul derivatei, $3$ p intervalele.)

c) Derivata schimbă semnul din $+$ în $-$ în $x=1$, deci $x=1$ este punct de maxim local, iar valoarea maximului este $f(1)=1-6+9=4$. (Barem: $2$ p identificarea punctului, $3$ p valoarea și concluzia.)

Exemplul 5 — Aceeași cerință, două redactări: 5 puncte și 3 puncte

Cerință. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=3$.

Redactarea de $5$ puncte. Condiții de existență: $x-1>0$ și $x+1>0$, deci $x\in (1,+\infty )$. Ecuația devine ${\log }_2((x-1)(x+1))=3$, adică $x^2-1=8$, deci $x^2=9$ și $x\in \{-3,3\}$. Cum $-3\notin (1,+\infty )$, soluția $-3$ se respinge; rămâne $S=\{3\}$.

Redactarea de $3$ puncte. „$x^2-1=8\Rightarrow x=\pm 3$." Rezultatul $3$ apare, dar lipsesc condițiile de existență și respingerea scrisă a lui $-3$; baremul acordă pașii de calcul și reține punctele de la pornire și de la finalizare. Diferența dintre cele două redactări nu este matematică, ci de scriere — și costă $2$ puncte la fiecare cerință de acest tip.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Câte o cerință din fiecare subiect, rezolvată cu baremul alături.

a) (Subiectul I, $5$ p) Calculați ${\log }_{3}45-{\log }_{3}5$. Din proprietatea logaritmului câtului, ${\log }_{3}45-{\log }_{3}5={\log }_3\frac{45}{5}={\log }_{3}9=2$. (Barem: $3$ p aplicarea proprietății, $2$ p valoarea $2$.)

b) (Subiectul al II-lea, $5$ p) Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=x+y-2xy$. Determinați simetricul elementului $x=1$ față de legea $\ast$, știind că elementul neutru este $0$. Căutăm $1^{-1}\in \mathbb{R}$ cu $1\ast 1^{-1}=0$: din $1+1^{-1}-2\cdot 1\cdot 1^{-1}=0$ obținem $1-1^{-1}=0$, deci $1^{-1}=1$. Verificare: $1\ast 1=1+1-2=0$. (Barem: $3$ p ecuația simetricului, $2$ p rezultatul și verificarea.)

c) (Subiectul al III-lea, $5$ p) Calculați ${\int }_1^2\frac{2x+3}{x}dx$. Rescriem integrandul: $\frac{2x+3}{x}=2+\frac{3}{x}$ pe intervalul $[1,2]$, unde funcția este continuă. Atunci $${\int }_1^2\frac{2x+3}{x}dx=\left(2x+3\ln |x|\right){|}_1^2=(4+3\ln 2)-(2+0)=2+3\ln 2.$$ (Barem: $2$ p rescrierea integrandului, $3$ p primitiva și evaluarea între limite. Valoarea aproximativă este $4,08$.)

Să exersăm

1. Câte puncte însumează cele trei subiecte, fără cele acordate din oficiu? Din câte cerințe și subpuncte de câte $5$ puncte se adună ele?

2. Calculați $\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$.

3. Arătați că numărul $\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)$ este natural.

4. Calculați ${\log }_{2}24-{\log }_{2}3$.

5. Determinați numărul real $x$ pentru care $3^{x+1}=81$.

6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $2x-5\le 1$ și scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval.

7. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2-5x+6=0$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) La Subiectul I, fiecare cerință valorează $5$ puncte, iar la Subiectele al II-lea și al III-lea fiecare problemă valorează $5$ puncte.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctajul unei cerințe se acordă numai dacă rezultatul final este corect.

10. Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $x^2-6x+m=0$ are două rădăcini reale egale.

11. Calculați suma primilor $20$ de termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1=3$ și rația $r=4$.

12. Calculați ${\int }_0^1\left(4x^3+1\right)dx$.

13. Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=x+y-2xy$. Calculați $2\ast 3$.

14. (Problemă aplicată.) Dacă aloci $40$ de minute Subiectului I, câte minute revin, în medie, unei cerințe? Comparați rezultatul cu cele $10$ minute pe subpunct de la Subiectul al II-lea.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Subiectele trebuie rezolvate obligatoriu în ordinea în care apar pe foaie.

16. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $|2x-1|=5$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați primul termen al progresiei geometrice cu rația $q=2$, știind că al patrulea termen este $24$.

18. (Provocare.) Un elev rezolvă corect $5$ dintre cele $6$ cerințe ale Subiectului I și subpunctele a) și b) ale fiecăreia dintre cele patru probleme, dar niciun subpunct c). Ce notă obține?

Răspunsuri și explicații

1. $90$ de puncte, adică $6\times 5=30$ de la Subiectul I, $2\times 15=30$ de la al II-lea și $2\times 15=30$ de la al III-lea; sunt $18$ bucăți a câte $5$ puncte. Cu cele $10$ din oficiu se ajunge la $100$.

2. $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci suma este $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

3. Produsul expresiilor conjugate: ${\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=7-3=4\in \mathbb{N}$.

4. ${\log }_{2}24-{\log }_{2}3={\log }_{2}8=3$.

5. $81=3^4$, deci $x+1=4$ și $x=3$.

6. $2x\le 6$, deci $x\le 3$ și $S=(-\infty ,3]$. Concluzia se scrie ca interval, nu ca inegalitate.

7. $\Delta =25-24=1$, deci $x_1=2$ și $x_2=3$; $S=\{2,3\}$.

8. Fals. Fiecare subpunct al unei probleme valorează $5$ puncte, deci o problemă întreagă valorează $15$ puncte.

9. Fals. Baremul acordă punctele pe pași: condițiile de existență, calculul și finalizarea se punctează separat, deci o rezolvare neterminată aduce puncte. Reciproc, un rezultat corect scris fără calcule pierde punctele pașilor nescriși.

10. Rădăcini egale înseamnă $\Delta =0$: $36-4m=0$, deci $m=9$.

11. $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2\cdot 3+19\cdot 4\right)=10\cdot 82=820$.

12. O primitivă a funcției $4x^3+1$ este $x^4+x$, deci integrala este $(1+1)-0=2$.

13. $2\ast 3=2+3-2\cdot 2\cdot 3=-7$.

14. $\frac{40}{6}\approx 6,7$ minute pe cerință, față de $10$ minute pe subpunct la Subiectul al II-lea. Cerințele Subiectului I sunt scurte, dar valorează la fel de mult ca un subpunct — de aceea nu se sar.

15. Fals. Ordinea e liberă, iar rezolvările se pot scrie în orice ordine pe foaie, cu condiția să fie numerotate limpede. Se recomandă doar ca subpunctele c) să fie lăsate la final, pentru că ele cer o idee, nu un calcul.

16. $2x-1=5$ dă $x=3$; $2x-1=-5$ dă $x=-2$. Deci $S=\{-2,3\}$.

17. $a_4=a_1{q}^3$, deci $24=a_1\cdot 8$ și $a_1=3$.

18. Subiectul I aduce $5\times 5=25$ de puncte; subpunctele a) și b) ale celor patru probleme aduc $4\times 2\times 5=40$ de puncte. Cu cele $10$ din oficiu, totalul este $25+40+10=75$, adică nota $7,50$.

De reținut

• Proba de Bacalaureat M1 are trei subiecte de câte $30$ de puncte, plus $10$ puncte din oficiu, și durează $3$ ore.
• Fiecare cerință de la Subiectul I și fiecare subpunct de la Subiectele al II-lea și al III-lea valorează exact $5$ puncte, deci $18$ bucăți a câte $5$ puncte dau cele $90$ de puncte din exerciții.
• Baremul acordă punctele pe pași, în forme de tipul $2+3$ sau $2+2+1$, deci o rezolvare începută corect aduce puncte chiar dacă nu e dusă până la capăt.
• Bugetul de timp recomandat este $40$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru al II-lea, $70$ pentru al III-lea și $10$ minute de verificare finală.
• Condițiile de existență, respingerea scrisă a soluțiilor străine și concluzia în cuvinte sunt pași punctați separat, nu simple formalități.

Greșeli frecvente

• A crede că o problemă de la Subiectul al II-lea valorează $5$ puncte. Problema valorează $15$ puncte, câte $5$ pe fiecare dintre subpunctele a), b), c).
• A sări peste subpunctul b) pentru că „rezultă din a)". Fiecare subpunct se rezolvă și se redactează separat; baremul nu transferă puncte de la unul la altul.
• A da răspunsul unei inecuații sub formă de inegalitate. Concluzia se scrie ca interval sau reuniune de intervale, cu paranteze corecte: $S=(-\infty ,3]$, nu doar „$x\le 3$".
• A pierde soluțiile prin lipsa condițiilor de existență. La ecuațiile cu logaritmi, radicali sau numitori, domeniul se scrie înainte de transformări, iar soluțiile străine se resping explicit.
• A rămâne blocat la o cerință de la Subiectul I. Peste $8$ minute, cerința se lasă și se revine la final; costul ei este cât un subpunct de la subiectele lungi.

Aplică acasă

1. Descarcă un model oficial de subiect de Bacalaureat M1 și numără, fără să rezolvi nimic: câte cerințe are Subiectul I, câte subpuncte are fiecare problemă și cât însumează totul. Compară cu tabelul din lecție.
2. Cronometrează-te pe un singur Subiect I complet, cu ceasul pornit. Notează câte minute ai folosit pe fiecare cerință și identifică cerința care ți-a mâncat cel mai mult timp.
3. Ia o rezolvare proprie mai veche la o ecuație cu logaritmi și rescrie-o „de barem": condiții de existență, calcul, respingerea soluțiilor străine, mulțimea soluțiilor. Compară lungimea celor două variante.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul cunoaște arhitectura probei scrise de matematică M1: trei subiecte a câte $30$ de puncte, $18$ cerințe și subpuncte a câte $5$ puncte, $10$ puncte din oficiu, trei ore de lucru. Întrebări de control: „Cât valorează un subpunct?", „Ce se întâmplă cu punctele dacă nu termini o rezolvare?", „De ce se scrie domeniul înainte de calcul?". Semnele că a înțeles: începe orice ecuație cu logaritmi prin condiții de existență, își împarte singur timpul pe subiecte la simulări și nu abandonează o cerință pentru că nu vede finalul.

O precizare de calendar, utilă în discuțiile despre manuale: sesiunile 2027–2029 se susțin pe programa anterioară, care cuprinde inelele, corpurile și polinoamele peste un corp; din 2030, examenul urmează programa nouă, în care apar conicele. Lecțiile MatePolis acoperă ambele variante, iar unitatea de inele și polinoame e marcată ca supliment tocmai din acest motiv. Lecția de față se reia, ca pregătire de BAC, înaintea fiecărei simulări.

Întrebări frecvente

Cât durează proba de matematică de la Bacalaureat M1?

Timpul de lucru este de trei ore, adică $180$ de minute, din momentul în care se încheie distribuirea subiectelor. O împărțire care funcționează bine este $40$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru Subiectul al II-lea, $70$ pentru Subiectul al III-lea și $10$ minute de verificare finală. Bugetul se exersează la simulări, nu se improvizează în ziua examenului.

Câte puncte are fiecare subiect la Bacalaureat M1?

Fiecare dintre cele trei subiecte valorează $30$ de puncte, deci în total $90$ de puncte din rezolvări, la care se adaugă $10$ puncte acordate din oficiu, pentru un maxim de $100$. Nota se obține împărțind punctajul la zece: $75$ de puncte înseamnă nota $7,50$. Subiectul I are $6$ cerințe, iar celelalte două au câte două probleme cu trei subpuncte.

Cât valorează o cerință de la Subiectul I?

Exact $5$ puncte, la fel ca fiecare subpunct de la Subiectele al II-lea și al III-lea. De aceea o cerință scurtă de la Subiectul I aduce tot atâtea puncte cât un subpunct de analiză matematică, iar sărirea ei costă la fel de mult. Sunt $18$ astfel de bucăți în toată lucrarea, câte șase pe fiecare subiect.

Iau puncte dacă nu termin o rezolvare?

Da. Baremul taie cele $5$ puncte pe pași, în forme de tipul $2+3$ sau $2+2+1$, și acordă fiecare pas separat. O rezolvare care ajunge corect până la ecuația finală, dar nu o rezolvă, primește punctele pașilor parcurși. Din același motiv, un rezultat corect scris fără calcule nu primește punctajul întreg.

De ce trebuie scris domeniul înainte de calcul?

Pentru că este un pas punctat separat în barem și pentru că fără el apar soluții străine. La ecuațiile cu logaritmi, cu radicali de ordin par sau cu numitori, condițiile de existență decid care dintre rădăcinile găsite se acceptă. Respingerea soluțiilor care nu aparțin domeniului se scrie explicit, cu o propoziție.

În ce ordine e mai bine să rezolv subiectele?

Ordinea de pe foaie nu este obligatorie. Varianta implicită I, II, III funcționează pentru majoritatea elevilor; dacă analiza matematică e partea ta tare, ordinea I, III, II îți dă mintea odihnită pentru subiectul cel mai lung. În orice variantă, subpunctele c) se lasă la final, pentru că ele cer o idee, nu un calcul.

Ce se schimbă la examenul de Bacalaureat M1 din 2030?

Programa nouă a clasei a XII-a se aplică progresiv, deci sesiunile 2027, 2028 și 2029 se dau pe programa anterioară, cu inele, corpuri și polinoame peste un corp. Din 2030, aceste capitole ies din programa de examen, iar conicele intră. Restul materiei — legi de compoziție, grupuri, asimptote, primitive, integrale, arii și volume — rămâne neschimbată în ambele variante.