Sinteză finală mate-info: probleme de tip Bacalaureat M1

Până acum ai învățat capitolele unul câte unul, iar fiecare lecție ți-a spus dinainte ce unealtă să folosești. La examen nu mai primești acest ajutor. Enunțul spune „se consideră polinomul $f$ care are rădăcina $1+3i$" și atât — de la tine se așteaptă să recunoști, în trei secunde, că informația despre numere complexe este de fapt o informație despre polinoame, și că a doua rădăcină ți-a fost dăruită fără să o ceri.

Lecția aceasta nu adaugă teorie nouă — formulele adunate le găsești în cele două recapitulări dinaintea ei, puteri, exponențiale, logaritmi și numere complexe, respectiv polinoame și ecuații algebrice. Ea antrenează exact ceea ce nu se poate învăța capitol cu capitol: trecerea peste granițe. Vei vedea cele patru punți pe care le folosesc, an de an, subiectele de Bacalaureat M1 — de la numere complexe la polinoame, de la exponențiale la ecuații algebrice, de la numărare la probabilități, de la binomul lui Newton înapoi la numere complexe — și vei exersa redactarea care ia toate punctele. Un lucru trebuie spus cinstit de la început: subiectul complet de Bacalaureat M1 folosește și conținuturi din clasele a XI-a și a XII-a; ceea ce antrenăm aici este partea de algebră a clasei a X-a, exact în forma în care apare pe foaie.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști puntea dintre două capitole dintr-o singură citire a enunțului.
• Vei ști să redactezi o rezolvare pe subpuncte gradate $a)$, $b)$, $c)$, așa cum se cere și se punctează la Bacalaureat M1.
• Vei ști că fiecare pas obligatoriu se scrie: condițiile de existență, condiția $t>0$ la substituție, respingerea motivată, reducerea argumentului.
• Vei ști să treci de la o rădăcină complexă la un factor real de gradul al doilea și să cobori gradul unei ecuații.
• Vei ști să alegi între schema hipergeometrică, Bernoulli și Poisson după un singur cuvânt din enunț.
• Vei ști să folosești binomul lui Newton cu $a$ și $b$ numere complexe, pentru a calcula sume de combinări.

Hai să descoperim împreună

1. Ce punctează, de fapt, baremul

Un barem de Bacalaureat M1 nu acordă punctele pentru rezultatul final, ci pentru pași identificabili. De aceea o rezolvare corectă în cap, dar scrisă pe scurt, pierde puncte pe care le ia o rezolvare mai lentă, dar completă. Iată pașii care se punctează separat, oricât de evidenți ți s-ar părea:

Regula practică: scrie propoziția care justifică pasul, nu doar calculul. „Baza este subunitară, deci sensul inegalității se schimbă" valorează un punct; inegalitatea răsturnată fără explicație, adesea, nu.

2. Puntea întâi: de la numere complexe la polinoame

Semnalul din enunț: un polinom cu coeficienți reali are o rădăcină nereală dată.

Lanțul de deducții are trei verigi, întotdeauna aceleași. Prima: coeficienții fiind reali, și conjugata este rădăcină — teorema rădăcinilor conjugate. A doua: perechea $a\pm bi$ produce factorul real

$$(X-(a+bi))(X-(a-bi))=X^2-2aX+\left(a^2+b^2\right),$$

adică un trinom cu $\Delta =-4b^2<0$, ireductibil peste $\mathbb{R}$. A treia: împărțind polinomul la acest trinom, gradul scade cu doi și rămâne ceva ușor de rezolvat.

Exemplu de mecanism. Dacă $f=X^3+a{X}^2+bX-10$ are coeficienți reali și rădăcina $1+3i$, atunci și $1-3i$ este rădăcină. Produsul lor este $(1+3i)(1-3i)=10$, iar din relațiile lui Viète produsul tuturor rădăcinilor este $S_3=10$; prin urmare a treia rădăcină este $1$. Apoi $S_1=(1+3i)+(1-3i)+1=3=-a$, deci $a=-3$, iar $S_2=10+(1+3i)+(1-3i)=12=b$.

Observă ce s-a întâmplat: enunțul părea despre numere complexe, dar s-a rezolvat cu relațiile lui Viète, fără nicio împărțire. Aceasta este forma cea mai frecventă a punții.

3. Puntea a doua: de la exponențiale și logaritmi la ecuații algebrice

Semnalul din enunț: un exponent este dublul altuia, sau apare pătratul unui logaritm.

O ecuație exponențială rezolvată prin substituție nu este un obiect nou; este o ecuație de gradul al doilea deghizată. Substituția o dezbracă, cu prețul unei condiții pe care baremul o cere explicit.

Deosebirea din ultimul rând este cea care se greșește cel mai des: la $t=a^x$ punem $t>0$, pentru că exponențiala ia numai valori strict pozitive; la $t={\log }_{a}x$ nu punem nicio condiție de semn pe $t$, pentru că logaritmul ia orice valoare reală. Condiția de acolo se pune asupra lui $x$, în condițiile de existență.

Puntea funcționează și invers. Ecuația $2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0$ dă $t_1=4$ și $t_2=\frac{1}{2}$; revenirea cere rezolvarea a două ecuații exponențiale elementare, $2^x=4$ și $2^x=2^{-1}$, cu soluțiile $x=2$ și $x=-1$. Nicio soluție nu se pierde dacă revenirea se face pentru fiecare valoare a lui $t$.

4. Puntea a treia: de la numărare la probabilități

Semnalul din enunț: un cuvânt care descrie modul extragerii.

Toată combinatorica învățată în bloc B se întoarce aici ca instrument de numărare a cazurilor. Alegerea schemei se face după un singur cuvânt:

Exemplu de mecanism. O urnă are $5$ bile albe și $3$ negre; se extrag $3$ bile. Dacă extragerea este simultană, probabilitatea ca exact două să fie albe este

$$\frac{C_5^2\cdot C_3^1}{C_8^3}=\frac{10\cdot 3}{56}=\frac{15}{28}.$$

Dacă extragerea se face cu revenire, fiecare probă are aceeași probabilitate de succes $p=\frac{5}{8}$, iar

$$P(2)=C_3^2{\left(\frac{5}{8}\right)}^2\cdot \frac{3}{8}=3\cdot \frac{25}{64}\cdot \frac{3}{8}=\frac{225}{512}.$$

Cele două rezultate sunt diferite ($\frac{15}{28}\approx 0,536$ față de $\frac{225}{512}\approx 0,439$), deși enunțurile diferă printr-un singur cuvânt. Regula de aur rămâne: cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model.

Cel mai bun control al oricărui răspuns: suma probabilităților peste toate valorile lui $k$ trebuie să dea $1$ — la Bernoulli pentru că $\sum C_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1$, la Poisson pentru că $\prod (p_i+q_i)=1$.

5. Puntea a patra: de la binomul lui Newton înapoi la numere complexe

Semnalul din enunț: se cere o sumă alternantă de combinări.

Formula binomului lui Newton este o identitate: rămâne adevărată pentru orice $a$ și $b$, inclusiv pentru numere complexe. Alegerea $a=1$, $b=i$ produce o legătură spectaculoasă, pentru că puterile lui $i$ sunt periodice.

Din dezvoltarea $(1+i{)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{i}^k$ și din faptul că $i^k$ ia, ciclic, valorile $1,i,-1,-i$, obținem separând părțile:

$$\mathrm{Re}\left[(1+i{)}^{10}\right]=C_{10}^0-C_{10}^2+C_{10}^4-C_{10}^6+C_{10}^8-C_{10}^{10},$$ $$\mathrm{Im}\left[(1+i{)}^{10}\right]=C_{10}^1-C_{10}^3+C_{10}^5-C_{10}^7+C_{10}^9.$$

Pe de altă parte, $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^{10}=(2i{)}^5=32i^5=32i$. Prin identificare, prima sumă este $0$, iar a doua este $32$. Control direct: $1-45+210-210+45-1=0$ ✓ și $10-120+252-120+10=32$ ✓.

Aceeași idee, cu $a=b=1$, dă identitatea fundamentală $\sum C_n^k=2^n$; cu $a=1$, $b=-1$, dă suma alternantă nulă, din care rezultă că termenii de rang par și cei de rang impar au aceeași sumă, $2^{n-1}$.

6. Pașii care se uită și costă

Trei pași sunt punctați separat în barem și, tocmai fiindcă par formalități, se sar.

Condițiile de existență, scrise întâi. La ${\log }_3(x+6)+{\log }_3(x-2)=2$ condiția este $x>2$. Restrângerea dă $(x+6)(x-2)=9$, adică $x^2+4x-21=0$, cu rădăcinile $3$ și $-7$. Valoarea $-7$ nu respectă condiția și se respinge motivat. Fără propoziția de respingere, rezolvarea rămâne incompletă chiar dacă răspunsul final este corect.

Condiția $t>0$ la substituție. La $4^x-2^x-2=0$ obții $t^2-t-2=0$, cu $t=2$ și $t=-1$. A doua se respinge, pentru că $2^x>0$ pentru orice $x$ real; rămâne $2^x=2$, deci $x=1$.

Reducerea argumentului. După orice aplicare a formulei lui Moivre, argumentul obținut se aduce în $[0,2\pi )$. Pentru $z=1-i\sqrt{3}$, care are $r=2$ și $\phi =\frac{5\pi }{3}$ (cadranul IV), puterea a șasea are argumentul $6\cdot \frac{5\pi }{3}=10\pi$, redus la $0$; deci $z^6=2^6=64$.

7. Trusa de control final

Înainte de a preda foaia, patru întrebări de câte zece secunde:

1. Am scris condițiile? Fiecare argument de logaritm, fiecare numitor, fiecare radical de ordin par.
2. Am verificat soluțiile în forma inițială? Nu în cea transformată.
3. Probabilitățile sunt între $0$ și $1$, iar sumele pe toate cazurile dau $1$?
4. Argumentele sunt reduse, gradele câtului și restului se potrivesc, iar suma ordinelor de multiplicitate dă gradul?

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Complexe și polinoame, într-un singur exercițiu

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2+bX-10$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, care are rădăcina $x_1=1+3i$. a) Arătați că $1-3i$ este rădăcină a lui $f$. b) Determinați $a$ și $b$. c) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Rezolvare. a) Polinomul are coeficienți reali, deci se aplică teorema rădăcinilor complexe conjugate: dacă $z$ este rădăcină, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină. Cum $x_1=1+3i$ este rădăcină, rezultă că $x_2=\overline{x_1}=1-3i$ este rădăcină.

b) Fie $x_3$ a treia rădăcină. Din relațiile lui Viète, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{-10}{1}=10$. Cum $x_1{x}_2=(1+3i)(1-3i)=1+9=10$, obținem $x_3=1$.

Tot din Viète: $x_1+x_2+x_3=-a$, deci $(1+3i)+(1-3i)+1=3=-a$ și $a=-3$. Apoi $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, adică $10+(1+3i)+(1-3i)=12=b$.

Așadar $f=X^3-3X^2+12X-10$. Verificare: $f(1)=1-3+12-10=0$ ✓.

c) Perechea conjugată dă factorul real $X^2-2\cdot 1\cdot X+\left(1^2+3^2\right)=X^2-2X+10$, cu $\Delta =4-40=-36<0$, deci ireductibil peste $\mathbb{R}$. Împărțind, obținem

$$f=\left(X^2-2X+10\right)(X-1).$$

Verificare prin înmulțire înapoi: $\left(X^2-2X+10\right)(X-1)=X^3-X^2-2X^2+2X+10X-10=X^3-3X^2+12X-10$ ✓.

Exemplul 2 — Substituție, cu revenire completă

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0$.

Rezolvare. Descompunem exponentul compus: $2^{2x+1}=2\cdot 2^{2x}=2{\left(2^x\right)}^2$. Ecuația devine

$$2{\left(2^x\right)}^2-9\cdot 2^x+4=0.$$

Notăm $t=2^x$, cu condiția $t>0$ (funcția exponențială ia numai valori strict pozitive). Obținem $2t^2-9t+4=0$, cu $\Delta =81-32=49$, deci $t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}$, adică $t_1=4$ și $t_2=\frac{1}{2}$. Ambele sunt strict pozitive, deci ambele se păstrează.

Revenim pentru fiecare valoare: din $2^x=4=2^2$ rezultă $x=2$; din $2^x=\frac{1}{2}=2^{-1}$ rezultă $x=-1$.

Verificare în ecuația inițială: pentru $x=2$, $2^5-9\cdot 4+4=32-36+4=0$ ✓; pentru $x=-1$, $2^{-1}-9\cdot \frac{1}{2}+4=\frac{1}{2}-\frac{9}{2}+4=0$ ✓. Soluțiile sunt $x\in \{-1,2\}$.

Exemplul 3 — Ecuație logaritmică, redactare de barem

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_3(x+6)+{\log }_3(x-2)=2$.

Rezolvare. Condiții de existență: $x+6>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$.

Rezolvare: restrângem suma, ${\log }_3[(x+6)(x-2)]=2$, de unde $(x+6)(x-2)=3^2=9$, adică $x^2+4x-12=9$ și $x^2+4x-21=0$. Discriminantul este $\Delta =16+84=100$, deci $x_{1,2}=\frac{-4\pm 10}{2}$, adică $x_1=3$ și $x_2=-7$.

Confruntarea cu condițiile: $x_2=-7$ nu verifică $x>2$, deci se respinge; $x_1=3$ verifică.

Verificare în ecuația inițială: ${\log }_{3}9+{\log }_{3}1=2+0=2$ ✓. Soluția este $x=3$.

Exemplul 4 — Numărare și scheme de probabilitate

O urnă conține $5$ bile albe și $3$ bile negre. a) Se extrag simultan $3$ bile. Calculați probabilitatea ca exact două să fie albe. b) Se extrag $3$ bile, una câte una, cu revenire. Calculați aceeași probabilitate. c) Calculați, pentru situația de la a), probabilitatea de a extrage cel puțin o bilă albă.

Rezolvare. a) Extragerea este simultană, deci fără revenire: se aplică schema hipergeometrică. Cazurile posibile sunt $C_8^3=56$. Cazurile favorabile: alegem $2$ albe din $5$ și $1$ neagră din $3$, adică $C_5^2\cdot C_3^1=10\cdot 3=30$. Prin urmare

$$P=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\approx 0,536.$$

b) Extragerile cu revenire sunt probe independente, cu aceeași probabilitate de succes $p=\frac{5}{8}$ (și $q=\frac{3}{8}$): se aplică schema lui Bernoulli, cu $n=3$ și $k=2$:

$$P=C_3^2{\left(\frac{5}{8}\right)}^2{\left(\frac{3}{8}\right)}^1=3\cdot \frac{25}{64}\cdot \frac{3}{8}=\frac{225}{512}\approx 0,439.$$

c) Folosim evenimentul contrar: „cel puțin o albă" are drept contrar „nicio albă", adică toate trei negre. Cum sunt exact $3$ bile negre, avem $C_3^3=1$ caz favorabil contrarului, deci

$$P(\text{cel puțin o alba˘})=1-\frac{1}{56}=\frac{55}{56}.$$

Observație de control: rezultatele de la a) și b) sunt diferite, deși enunțurile diferă printr-un singur cuvânt — modelul de extragere schimbă complet numărarea.

Exemplul 5 — Binomul lui Newton cu $b=i$

Calculați suma $S=C_{10}^0-C_{10}^2+C_{10}^4-C_{10}^6+C_{10}^8-C_{10}^{10}$.

Rezolvare. Recunoaștem în $S$ partea reală a unei dezvoltări binomiale în care $b=i$. Într-adevăr,

$$(1+i{)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{i}^k,$$

iar $i^k$ este $1$ pentru $k$ multiplu de $4$, $i$ pentru $k\equiv 1$, $-1$ pentru $k\equiv 2$ și $-i$ pentru $k\equiv 3$ (modulo $4$). Grupând termenii cu $k$ par obținem exact $S$ ca parte reală.

Pe de altă parte, calculăm direct: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$, deci

$$(1+i{)}^{10}={\left[(1+i{)}^2\right]}^5=(2i{)}^5=32i^5=32i.$$

Partea reală a lui $32i$ este $0$, deci $S=0$.

Control direct: $1-45+210-210+45-1=0$ ✓. (Partea imaginară dă, în același fel, $C_{10}^1-C_{10}^3+C_{10}^5-C_{10}^7+C_{10}^9=32$; verificare: $10-120+252-120+10=32$ ✓.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=1-i\sqrt{3}$. a) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. b) Calculați $z^6$. c) Determinați cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $z^n$ este număr real.

Rezolvare. a) Modulul: $r=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4}=2$. Semnele părților, $(+,-)$, arată că imaginea lui $z$ este în cadranul IV, deci $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Din $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ rezultă $\phi =\frac{5\pi }{3}$, deci

$$z=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right).$$

b) Aplicăm formula lui Moivre: modulul devine $2^6=64$, iar argumentul devine $6\cdot \frac{5\pi }{3}=10\pi$, care este multiplu de $2\pi$ și se reduce la $0$. Prin urmare

$$z^6=64(\cos 0+i\sin 0)=64.$$

Verificare pe altă cale: $z^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}$, iar $z^3=z^2\cdot z=\left(-2-2i\sqrt{3}\right)\left(1-i\sqrt{3}\right)=-2+2i\sqrt{3}-2i\sqrt{3}-6=-8$; atunci $z^6=(-8{)}^2=64$ ✓.

c) $z^n=2^n\left(\cos \frac{5n\pi }{3}+i\sin \frac{5n\pi }{3}\right)$ este real exact când partea imaginară se anulează, adică atunci când $\frac{5n\pi }{3}$ este multiplu de $\pi$: condiția devine $\frac{5n}{3}\in \mathbb{Z}$, adică $n$ multiplu de $3$ (deoarece $5$ și $3$ sunt prime între ele).

Cel mai mic număr natural nenul cu această proprietate este $n=3$, iar $z^3=-8$, într-adevăr real. Pentru $n\in \{1,2\}$ verificarea directă arată că $z$ și $z^2=-2-2i\sqrt{3}$ nu sunt reale, deci $3$ este chiar minimul.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare de examen: scrie condițiile înainte de calcul, justifică fiecare respingere și verifică rezultatul în forma inițială.

1. Calculează $(1+i{)}^2$ și deduce de aici valoarea lui $(1+i{)}^{10}$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-5\cdot 2^x+4=0$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_3(x+6)+{\log }_3(x-2)=2$.

4. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care polinomul $f=X^3+a{X}^2+bX-10$ are rădăcina $1+3i$.

5. O urnă are $5$ bile albe și $3$ negre. Se extrag simultan $3$ bile. Calculează probabilitatea ca exact două să fie albe.

6. Aceeași urnă; se extrag $3$ bile, una câte una, cu revenire. Calculează probabilitatea ca exact două să fie albe.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Probabilitățile obținute la exercițiile 5 și 6 sunt egale, pentru că urna și numărul de extrageri sunt aceleași."

8. Calculează $C_{10}^0-C_{10}^2+C_{10}^4-C_{10}^6+C_{10}^8-C_{10}^{10}$.

9. Determină termenul care îl conține pe $x^5$ în dezvoltarea ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^9$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dezvoltarea ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^9$ are termen liber."

11. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4=-4$.

12. Arată că polinomul $X^2+X+1$ divide polinomul $X^4+X^2+1$.

13. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-2^x-2=0$, precizând ce valoare se respinge și de ce.

14. Trei trăgători trag, fiecare o dată, cu probabilitățile de a nimeri ținta $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$ și, respectiv, $\frac{3}{5}$. Calculează probabilitatea ca exact doi să nimerească ținta.

15. (Problemă aplicată.) Urna $U_1$ are $4$ bile albe și $2$ negre, urna $U_2$ are $3$ albe și $5$ negre. Se alege la întâmplare o urnă (cu probabilități egale) și se extrage o bilă. a) Care este probabilitatea de a extrage o bilă albă? b) Știind că bila extrasă este albă, care este probabilitatea să provină din $U_1$?

16. Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-3x^2+12x-10=0$. Calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=1-i\sqrt{3}$. a) Scrie $z$ sub formă trigonometrică. b) Calculează $z^6$. c) Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $z^n$ este real.

18. (Provocare.) Folosind binomul lui Newton pentru $(1+1{)}^n$ și $(1-1{)}^n$, arată că $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots =2^{n-1}$ pentru orice $n\ge 1$, apoi verifică formula pentru $n=10$.

Răspunsuri și explicații

1. $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$. Atunci $(1+i{)}^{10}={\left[(1+i{)}^2\right]}^5=(2i{)}^5=32i^5=32i$, pentru că $i^5=i^4\cdot i=i$.

2. Cu $t=2^x$, $t>0$: $t^2-5t+4=0$, cu $t_1=1$ și $t_2=4$, ambele pozitive. Revenim: $2^x=1\Rightarrow x=0$ și $2^x=4\Rightarrow x=2$. Verificare: pentru $x=0$, $1-5+4=0$ ✓; pentru $x=2$, $16-20+4=0$ ✓.

3. Condiții: $x>2$. Restrângând, $(x+6)(x-2)=9$, deci $x^2+4x-21=0$, cu rădăcinile $3$ și $-7$. Valoarea $-7$ se respinge (nu respectă $x>2$). Soluția este $x=3$; verificare: ${\log }_{3}9+{\log }_{3}1=2$ ✓.

4. Coeficienții sunt reali, deci și $1-3i$ este rădăcină. Produsul lor este $10$, iar din Viète produsul tuturor rădăcinilor este $10$, deci a treia rădăcină este $1$. Atunci $-a=(1+3i)+(1-3i)+1=3$, adică $a=-3$, iar $b=10+(1+3i)+(1-3i)=12$. Verificare: $f=X^3-3X^2+12X-10$ și $f(1)=0$ ✓.

5. Model fără revenire (schema hipergeometrică): $P=\frac{C_5^2\cdot C_3^1}{C_8^3}=\frac{10\cdot 3}{56}=\frac{15}{28}$.

6. Model cu revenire (schema lui Bernoulli), cu $p=\frac{5}{8}$, $n=3$, $k=2$: $P=C_3^2{\left(\frac{5}{8}\right)}^2\frac{3}{8}=\frac{225}{512}$.

7. Fals. $\frac{15}{28}\approx 0,536$, iar $\frac{225}{512}\approx 0,439$ — valori diferite. Explicația: fără revenire, probabilitatea de succes scade după fiecare bilă albă extrasă, deci probele nu sunt independente; cu revenire, ele sunt. Modelul de extragere, nu compoziția urnei, decide formula.

8. Suma este partea reală a dezvoltării $(1+i{)}^{10}=\sum C_{10}^k{i}^k$, iar $(1+i{)}^{10}=(2i{)}^5=32i$, cu partea reală $0$. Deci suma este $0$. Control direct: $1-45+210-210+45-1=0$ ✓.

9. Termenul general este $T_{k+1}=C_9^k{x}^{9-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k=C_9^k{2}^k{x}^{9-2k}$. Condiția $9-2k=5$ dă $k=2$, valoare naturală cu $0\le 2\le 9$, deci termenul cerut este $T_3=C_9^2\cdot 2^2\cdot x^5=36\cdot 4\cdot x^5=144x^5$.

10. Fals. Termenul liber ar cere $9-2k=0$, adică $k=4,5$, care nu este număr natural. Prin urmare dezvoltarea nu are termen liber — iar acest lucru trebuie scris explicit, nu doar subînțeles. (Cauza: exponentul $9$ este impar, iar $9-2k$ este mereu impar.)

11. Scriem $-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$. Modulul rădăcinilor este $\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$, iar argumentele sunt $\frac{\pi +2k\pi }{4}$ pentru $k\in \{0,1,2,3\}$, adică $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$. Obținem $z\in \{1+i,-1+i,-1-i,1-i\}$. Verificare dus-întors: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ ✓. Suma celor patru soluții este $0$, iar imaginile lor sunt vârfurile unui pătrat.

12. Efectuăm împărțirea: $X^4+X^2+1=\left(X^2+X+1\right)\left(X^2-X+1\right)$, cu rest $0$, deci divizibilitatea are loc. Verificare prin înmulțire înapoi: $\left(X^2+X+1\right)\left(X^2-X+1\right)={\left(X^2+1\right)}^2-X^2=X^4+2X^2+1-X^2=X^4+X^2+1$ ✓. (A doua cale: dacă $\epsilon$ este o rădăcină a lui $X^2+X+1$, atunci ${\epsilon }^3=1$ și ${\epsilon }^4+{\epsilon }^2+1=\epsilon +{\epsilon }^2+1=0$.)

13. Cu $t=2^x$, $t>0$: $t^2-t-2=0$, cu $t_1=2$ și $t_2=-1$. Valoarea $t_2=-1$ se respinge, pentru că $2^x>0$ pentru orice $x$ real, deci nu provine de la niciun $x$. Din $2^x=2$ rezultă $x=1$; verificare: $4-2-2=0$ ✓.

14. Probabilitățile de succes sunt diferite, deci se aplică schema lui Poisson: probabilitatea cerută este coeficientul lui $x^2$ din produsul

$$\left(\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}\right)\left(\frac{7}{10}x+\frac{3}{10}\right)\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}\right).$$

Coeficientul lui $x^2$ este $\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{5}+\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{3}{5}=\frac{56}{250}+\frac{36}{250}+\frac{21}{250}=\frac{113}{250}=0,452$. Control: suma tuturor coeficienților este $\frac{6}{250}+\frac{47}{250}+\frac{113}{250}+\frac{84}{250}=1$ ✓.

15. a) Alegerea urnei formează un sistem complet de evenimente, cu $P(U_1)=P(U_2)=\frac{1}{2}$. Legea probabilității totale dă

$$P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{3}+\frac{3}{16}=\frac{16}{48}+\frac{9}{48}=\frac{25}{48}.$$

Control: rezultatul este o medie ponderată, deci trebuie să fie între $\frac{3}{8}$ și $\frac{2}{3}$; într-adevăr, $0,375<0,5208<0,667$ ✓. b) $P(U_1\mid A)=\frac{P(U_1\cap A)}{P(A)}=\frac{1/3}{25/48}=\frac{48}{75}=\frac{16}{25}=0,64$.

16. Din relațiile lui Viète, $S_1=3$ și $S_2=12$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=9-24=-15$. Rezultatul negativ nu este o eroare: rădăcinile sunt $1$, $1+3i$ și $1-3i$ (ecuația este cea din Exemplul 1), iar $1+(1+3i{)}^2+(1-3i{)}^2=1+(-8+6i)+(-8-6i)=-15$ ✓.

17. a) $r=2$; semnele $(+,-)$ dau cadranul IV; din $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ rezultă $\phi =\frac{5\pi }{3}$, deci $z=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$. b) Modulul: $2^6=64$; argumentul: $6\cdot \frac{5\pi }{3}=10\pi$, multiplu de $2\pi$, redus la $0$; deci $z^6=64$. Control: $z^3=-8$, iar $(-8{)}^2=64$ ✓. c) $z^n$ este real când $\frac{5n\pi }{3}$ este multiplu de $\pi$, adică $3\mid 5n$; cum $5$ și $3$ sunt prime între ele, $3\mid n$. Cel mai mic este $n=3$, cu $z^3=-8$.

18. Din binomul lui Newton, $(1+1{)}^n=\sum C_n^k=2^n$ și $(1-1{)}^n=\sum (-1{)}^k{C}_n^k=0$ pentru $n\ge 1$. Notând cu $P$ suma coeficienților de rang par și cu $I$ pe cea de rang impar, primele două relații devin $P+I=2^n$ și $P-I=0$. Adunând, $2P=2^n$, deci $P=2^{n-1}$ (și, la fel, $I=2^{n-1}$). Verificare pentru $n=10$: $C_{10}^0+C_{10}^2+C_{10}^4+C_{10}^6+C_{10}^8+C_{10}^{10}=1+45+210+210+45+1=512=2^9$ ✓.

De reținut

• O rădăcină nereală a unui polinom cu coeficienți reali vine la pachet cu conjugata ei, iar perechea dă factorul real $X^2-2aX+\left(a^2+b^2\right)$, cu care cobori gradul.
• Substituția $t=a^x$ cere $t>0$; substituția $t={\log }_{a}x$ nu cere nimic asupra lui $t$. Deosebirea aceasta decide ce se respinge și ce nu.
• Un singur cuvânt din enunț alege schema de probabilitate: „simultan/fără revenire" duce la hipergeometrică, „cu revenire" la Bernoulli, „probabilități diferite" la Poisson.
• Binomul lui Newton merge și cu numere complexe: punând $b=i$ obții, prin separarea părților reală și imaginară, sume alternante de combinări.
• Pașii formali se scriu, pentru că se punctează: condițiile de existență, respingerea motivată, reducerea argumentului la $[0,2\pi )$, precizarea modelului de extragere.

Greșeli frecvente

• Se amestecă modelele la numărare. Cazurile favorabile calculate cu combinări și cele posibile calculate cu regula produsului dau un raport fals, uneori chiar mai mare decât $1$. Ambele se numără în același model.
• Se respinge o valoare a lui $t$ fără motiv sau, invers, se păstrează una nepozitivă. La $t=a^x$, singurul criteriu este $t>0$; la $t={\log }_{a}x$, valorile negative sunt perfect legitime.
• Se uită revenirea la $x$ pentru toate valorile lui $t$. După ce ai găsit $t_1$ și $t_2$, ambele conduc la ecuații exponențiale care trebuie rezolvate separat; rezolvarea uneia singure taie jumătate din soluții.
• Se afirmă că o rădăcină nereală are conjugata drept rădăcină, fără a verifica ipoteza. Teorema cere coeficienți reali; pentru un polinom cu vreun coeficient nereal, concluzia este falsă (de exemplu, $X-i$ are rădăcina $i$, dar nu și $-i$).
• Se scrie doar rezultatul la subpunctul $c)$. Ultimul subpunct este cel care cere raționament; o afirmație de tipul „cel mai mic $n$ este $3$" fără condiția $3\mid 5n$ și fără justificarea minimalității nu primește punctajul întreg.

Aplică acasă

1. Antrenamentul de recunoaștere. Ia douăzeci de enunțuri scurte din culegere și, fără să le rezolvi, notează pentru fiecare doar puntea: „complexe $\to$ polinoame", „exponențială $\to$ gradul II", „numărare $\to$ probabilități" sau „Newton $\to$ complexe". Verifică apoi rezolvările și numără câte ai nimerit.

2. Simularea de trei ore. Alege șase cerințe din această lecție, scrie-le pe o foaie și rezolvă-le cronometrat, în cel mult $90$ de minute, cu redactare completă. Corectează-te singur, acordând puncte pentru pași, nu pentru rezultat — vei vedea unde pierzi de fapt.

3. Cartea de formule de o pagină. Scrie pe o singură foaie tot ce ai nevoie la algebra clasei a X-a: puterile și logaritmii, formele numărului complex și Moivre, Horner și Viète, cele patru formule de numărare și cele trei scheme de probabilitate. Dacă nu încape, ai reținut prea multe cazuri particulare și prea puține principii.

Pentru părinți și profesori

Lecția schimbă obiectul evaluării: nu mai verifică dacă elevul știe un capitol, ci dacă recunoaște capitolul potrivit atunci când enunțul nu i-l numește. Este exact saltul dintre lucrarea de teză și subiectul de examen, iar el se antrenează separat de învățarea teoriei.

Puncte de verificat într-o lucrare: (1) la orice ecuație logaritmică apar condițiile de existență înainte de rezolvare și respingerea motivată după; (2) la substituții apare condiția asupra necunoscutei auxiliare, corect aleasă în funcție de tipul substituției; (3) la probabilități este precizat modelul de extragere înainte de formulă; (4) la subpunctele finale există raționament, nu doar rezultat. Întrebări bune de control: „Ce s-ar schimba în rezolvare dacă enunțul ar spune «cu revenire» în loc de «simultan»?"; „De ce ai voie să afirmi că și conjugata este rădăcină?"; „Cum arăți că $n=3$ este cel mai mic, nu doar că funcționează?".

Recomandarea de organizare: în ultimele săptămâni înainte de o evaluare, două ședințe scurte de recunoaștere (douăzeci de enunțuri, doar identificarea metodei, fără calcul) valorează mai mult decât o ședință lungă de rezolvări complete. Elevii pierd rareori puncte pentru că nu știu să calculeze; le pierd pentru că pornesc pe drumul greșit sau pentru că sar pașii pe care baremul îi punctează separat.

Întrebări frecvente

Ce părți din materia clasei a X-a apar la Bacalaureat M1? Din anul acesta apar, cel mai des, numerele complexe (operații, formă trigonometrică, Moivre), polinoamele (Horner, Bézout, Viète, ecuații algebrice), exponențialele și logaritmii, combinatorica și probabilitățile. Subiectul complet mai folosește însă și conținuturi din clasele a XI-a și a XII-a, care se studiază mai târziu.

Cum îmi dau seama, dintr-un enunț, ce capitol se cere? Caută cuvântul-semnal. „Rădăcină nereală" plus „coeficienți reali" înseamnă rădăcini conjugate. Un exponent care este dublul altuia înseamnă substituție. „Simultan" sau „cu revenire" alege schema de probabilitate. O sumă alternantă de combinări trimite la binomul lui Newton cu $b=i$.

De ce trebuie să scriu condițiile de existență dacă răspunsul îmi iese corect oricum? Pentru că baremul le punctează ca pas distinct, iar la unele ecuații ele sunt singurul lucru care elimină o soluție falsă. Rezolvarea din care lipsesc condițiile este considerată incompletă chiar când rezultatul final coincide.

La substituție, când pun condiția $t>0$? Numai când $t$ este o putere, adică $t=a^x$: funcția exponențială ia doar valori strict pozitive. Dacă $t$ este un logaritm, $t={\log }_{a}x$, nu pui nicio condiție asupra lui $t$, pentru că logaritmul poate lua orice valoare reală; condiția merge asupra lui $x$, în condițiile de existență.

Cum aleg între schema hipergeometrică și cea a lui Bernoulli? După modul extragerii. Fără revenire (inclusiv „simultan", care dă aceleași probabilități) înseamnă hipergeometrică, cu combinări. Cu revenire înseamnă probe independente, deci Bernoulli. Dacă probabilitățile de succes sunt diferite de la o probă la alta, se folosește schema lui Poisson.

Cum verific rapid o probabilitate calculată? Trei controale: rezultatul este între $0$ și $1$; suma probabilităților peste toate valorile posibile ale lui $k$ dă $1$; iar la legea probabilității totale rezultatul trebuie să fie între cea mai mică și cea mai mare dintre probabilitățile condiționate, fiind o medie ponderată.

Ce fac la un subpunct de tipul „determinați cel mai mic $n$"? Scrii condiția algebrică ce caracterizează proprietatea (de pildă, „$\frac{n\phi }{\pi }$ este întreg"), o rezolvi în numere naturale nenule și justifici minimalitatea — fie printr-un argument de divizibilitate, fie verificând că valorile mai mici nu convin. Fără acest ultim pas, punctajul nu este întreg.

Cât timp aloc fiecărei cerințe? O cerință din prima parte a subiectului trebuie rezolvată în două–trei minute; dacă depășești cinci minute, cel mai probabil ai ales metoda greșită și merită să recitești enunțul în căutarea cuvântului-semnal. Timpul câștigat aici este exact timpul de care ai nevoie la problemele lungi.