Funcția putere cu exponent real: definiție și domeniu

Johannes Kepler a petrecut ani întregi comparând tabele cu distanțele planetelor față de Soare și cu perioadele lor de revoluție, până când, în $1618$, a găsit legătura. Dacă măsori distanța $a$ în unități astronomice (distanța Pământ–Soare) și perioada $T$ în ani, atunci $T^2=a^3$, adică $T=a^{3/2}$. Verifică singur pe Marte: distanța este $a\approx 1,524$, iar $1,524^{3/2}\approx 1,881$ — exact perioada de revoluție a lui Marte, $1$ an și $322$ de zile. Sau pe Jupiter: $5,2^{3/2}\approx 11,86$ ani, cât arată și observațiile. O singură funcție, cu un singur exponent, descrie mișcarea întregului sistem solar.

Funcțiile de acest tip — în care variabila este baza, iar exponentul e un număr fix — se numesc funcții putere și sunt peste tot în știință: volumul unui cub depinde de muchie prin $V(l)=l^3$, aria unui disc de rază $r$ prin $A(r)=\pi r^2$, iar consumul de energie al unui animal depinde de masa lui aproximativ prin $M^{3/4}$. Le-ai întâlnit deja, în clasa a IX-a, pentru exponenți întregi și pentru radicali. Acum, având la dispoziție puterile cu exponent real, le putem studia pentru orice exponent. Prima întrebare, și cea mai importantă la Bacalaureatul M1, este: pentru ce valori ale lui $x$ are sens expresia $x^{\alpha }$?

Ce vei învăța

• Vei ști să definești funcția putere $f(x)=x^{\alpha }$ și să o deosebești clar de funcția exponențială.
• Vei ști să determini domeniul maxim de definiție pentru orice exponent real, pe cazuri.
• Vei ști să explici de ce, la exponent neîntreg, domeniul se restrânge la numere nenegative.
• Vei ști să afli domeniul unor funcții compuse, de tipul ${\left(2x-6\right)}^{3/4}$ sau ${\left(x^2-4\right)}^{-1/2}$.
• Vei ști primele proprietăți: punctul fix $(1,1)$, semnul valorilor, imaginea funcției.
• Vei ști să nu confunzi funcția putere $x^{\alpha }$ cu funcția exponențială $a^x$ — și de ce confuzia costă scump.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este funcția putere

Definiție. Fie $\alpha \in \mathbb{R}$ un număr fixat. Funcția putere de exponent $\alpha$ este funcția

$$f:D\to \mathbb{R},f(x)=x^{\alpha },$$

unde $D$ este mulțimea tuturor numerelor reale $x$ pentru care expresia $x^{\alpha }$ are sens (domeniul maxim de definiție).

Deosebirea față de funcția exponențială, pe care o vei studia peste două lecții, este esențială și merită scrisă mare:

• la funcția putere $x^{\alpha }$, variabila este baza, iar exponentul e fix;
• la funcția exponențială $a^x$, baza e fixă, iar variabila este exponentul.

Sunt funcții complet diferite, cu grafice diferite și comportamente diferite, chiar dacă notațiile seamănă. Vom reveni la comparația lor în ultima secțiune.

Câteva funcții putere pe care le cunoști deja din clasa a IX-a: $f(x)=x^2$ (funcția de gradul al doilea cu $b=c=0$), $f(x)=x^3$, $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$ și $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$, studiată la funcția radical de ordin 2. Noutatea clasei a X-a este că exponentul poate fi acum orice număr real: $x^{3/2}$, $x^{-2/3}$, chiar $x^{\sqrt{2}}$ sau $x^{\pi }$.

2. Domeniul maxim de definiție, pe cazuri

Domeniul depinde doar de tipul exponentului. Iată tabelul complet — este cel mai important lucru din lecție.

Prin „$\alpha$ neîntreg" înțelegem atât exponenții raționali care nu sunt întregi ($\frac{3}{2}$, $-\frac{2}{3}$, $\frac{1}{3}$), cât și pe cei iraționali ($\sqrt{2}$, $\pi$).

Logica din spatele tabelului, în trei fraze:

• Pentru exponent natural nenul, $x^{\alpha }$ e un produs de factori egali — se poate calcula pentru orice $x$, inclusiv negativ sau nul.
• Pentru exponent întreg negativ, apare $\frac{1}{x^{|\alpha |}}$, deci trebuie doar ca $x\ne 0$.
• Pentru exponent neîntreg, intervine definiția puterii cu exponent rațional sau real, care cere baza strict pozitivă; se adaugă $x=0$ doar când $\alpha >0$, prin convenția $0^{\alpha }=0$.

3. De ce se restrânge domeniul la exponent neîntreg

Motivul e cel demonstrat în lecția despre puteri cu exponent rațional: pentru baze negative, definiția puterii cu exponent rațional neîntreg produce contradicții, pentru că același număr rațional se scrie în mai multe feluri.

Există totuși o capcană care trebuie desfăcută cu grijă, pentru că ea încurcă foarte mulți elevi. Radicalul de ordin impar $\sqrt[3]{x}$ este definit pentru orice număr real: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Ai studiat această funcție în clasa a IX-a, la funcția radical de ordinul 3, unde domeniul era într-adevăr $\mathbb{R}$. De ce, atunci, funcția putere $f(x)=x^{1/3}$ are domeniul $[0,\infty )$ și nu $\mathbb{R}$?

Pentru că sunt două funcții diferite, chiar dacă pe $[0,\infty )$ coincid:

• funcția radical $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt[3]{x}$, definită prin „numărul al cărui cub este $x$";
• funcția putere $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{1/3}$, definită prin puterea cu exponent rațional, care cere bază nenegativă.

Convenția de a restrânge domeniul funcției putere nu e o toană: doar așa rămân valabile toate regulile de calcul din lecțiile anterioare. Dacă am accepta $x^{1/3}$ pe numere negative, am pierde, de exemplu, egalitatea ${\left(x^{1/3}\right)}^2=x^{2/3}$ pentru $x<0$ — și odată cu ea, coerența întregului capitol. Pe scurt: la funcția putere cu exponent neîntreg, bazele negative nu intră în domeniu, chiar dacă un radical de ordin impar ar „merge".

4. Valorile funcției: punct fix, semn, imagine

Câteva proprietăți care se citesc direct din definiție și pe care le vei folosi mereu.

Punctul fix $(1,1)$. Pentru orice exponent $\alpha \in \mathbb{R}$, $f(1)=1^{\alpha }=1$. Prin urmare graficul oricărei funcții putere trece prin punctul $(1,1)$. Este cel mai bun reper când desenezi grafice: oricât de diferite ar fi, toate curbele se întâlnesc acolo.

Semnul valorilor. Pentru $x>0$, $f(x)=x^{\alpha }>0$, indiferent de exponent — am demonstrat că o putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă. Deci, pe partea din domeniu care ne interesează cel mai des, funcția putere nu se anulează și nu ia valori negative.

Zeroul funcției. Singura valoare nulă apare pentru $x=0$ și doar când $\alpha >0$: $0^{\alpha }=0$. Graficul trece atunci și prin origine.

Imaginea funcției. Pentru $\alpha$ neîntreg:

• dacă $\alpha >0$, $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ are imaginea $[0,\infty )$;
• dacă $\alpha <0$, $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ are imaginea $(0,\infty )$.

Tabel de valori, ca să prinzi ordinele de mărime. Pentru $f(x)=x^{3/2}$:

Fiecare valoare se calculează cel mai simplu ca ${\left(\sqrt{x}\right)}^3$: pentru $x=16$, ${\left(\sqrt{16}\right)}^3=4^3=64$.

Iar pentru $g(x)=x^{-2/3}$:

Observă comportamentul opus: prima funcție crește, a doua scade. Monotonia funcțiilor putere e subiectul lecției următoare, graficul funcției putere; monotonie și comparări.

5. Domeniul funcțiilor compuse

La Bacalaureatul M1, exponentul e rareori aplicat direct lui $x$; de obicei apare o expresie. Metoda este însă mereu aceeași, în doi pași:

1. Identifică tipul exponentului și citește din tabel condiția pe care trebuie să o îndeplinească baza.
2. Rezolvă inecuația obținută pentru expresia din bază.

Trei exemple, gradate:

a) $f(x)={\left(2x-6\right)}^{3/4}$. Exponentul $\frac{3}{4}$ este neîntreg și pozitiv, deci baza trebuie să fie nenegativă: $2x-6\ge 0$, adică $x\ge 3$. Domeniul maxim este $D=[3,+\infty )$.

b) $f(x)={\left(x^2-4\right)}^{-1/2}$. Exponentul $-\frac{1}{2}$ este neîntreg și negativ, deci baza trebuie să fie strict pozitivă: $x^2-4>0$. Rezolvăm inecuația de gradul al doilea: rădăcinile sunt $-2$ și $2$, iar expresia e pozitivă în afara lor. Domeniul este $D=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$.

c) $f(x)={\left(x^2-5x+6\right)}^{1/3}$. Exponent neîntreg pozitiv, deci $x^2-5x+6\ge 0$. Descompunem: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, cu rădăcinile $2$ și $3$; expresia e nenegativă în afara intervalului dintre rădăcini. Domeniul este $D=(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$.

Atenție la o eroare foarte des întâlnită: exponentul negativ nu înseamnă „numitor, deci baza diferită de zero", ci ceva mai tare — baza trebuie să fie strict pozitivă, pentru că exponentul e și neîntreg. La ${\left(x^2-4\right)}^{-1/2}$, răspunsul $\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$ este greșit.

6. Paritate: doar la exponent întreg

Pentru $\alpha$ întreg, domeniul este simetric față de origine ($\mathbb{R}$ sau ${\mathbb{R}}^{\ast }$), deci întrebarea despre paritate are sens și răspunsul îl știi din clasa a IX-a, de la funcții pare și impare:

• dacă $\alpha$ este par, $f(-x)=(-x{)}^{\alpha }=x^{\alpha }=f(x)$, deci funcția e pară, cu grafic simetric față de axa $Oy$ (exemplu: $x^2$, $x^{-4}$);
• dacă $\alpha$ este impar, $f(-x)=-f(x)$, deci funcția e impară, cu grafic simetric față de origine (exemplu: $x^3$, $x^{-1}$).

Pentru $\alpha$ neîntreg, domeniul este $[0,\infty )$ sau $(0,\infty )$ — nu este simetric față de origine, deci nu are sens să întrebăm dacă funcția e pară sau impară. Graficul există doar în cadranul întâi.

7. Funcția putere nu este funcția exponențială

Închidem cu deosebirea care produce cele mai multe confuzii la teze. Compară, pe același tabel, funcția putere $f(x)=x^2$ cu funcția exponențială $g(x)=2^x$:

Cele două se intersectează de două ori (la $x=2$ și $x=4$), iar între aceste valori puterea e mai mare. După $x=4$ însă, exponențiala o ia înainte definitiv și fără întoarcere: la $x=10$ raportul e deja de peste zece ori, iar la $x=20$ exponențiala dă $1048576$ față de $400$.

De reținut, ca reflex: întreabă-te întotdeauna unde stă variabila. Dacă $x$ e la bază, e funcție putere; dacă $x$ e la exponent, e funcție exponențială. Domeniile lor diferă radical: funcția exponențială $a^x$ e definită pe tot $\mathbb{R}$, indiferent de bază, în timp ce funcția putere are, de cele mai multe ori, domeniul restrâns.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori ale funcțiilor putere

Calculați: a) $f(4)$, $f(9)$ și $f(25)$, pentru $f(x)=x^{3/2}$; b) $g(8)$ și $g(64)$, pentru $g(x)=x^{-2/3}$; c) $h\left(\frac{1}{8}\right)$, pentru $h(x)=x^{2/3}$.

Rezolvare. a) Folosim $x^{3/2}={\left(\sqrt{x}\right)}^3$: $f(4)=2^3=8$, $f(9)=3^3=27$, $f(25)=5^3=125$.

b) $x^{-2/3}=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$: $g(8)=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$, $g(64)=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.

c) $h\left(\frac{1}{8}\right)={\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

Exemplul 2 — Domenii, direct din tabel

Determinați domeniul maxim de definiție pentru: a) $f(x)=x^7$; b) $g(x)=x^{-4}$; c) $h(x)=x^{\sqrt{2}}$; d) $k(x)=x^{-\pi }$.

Rezolvare. a) Exponent natural nenul, deci $D=\mathbb{R}$.

b) Exponent întreg negativ, deci $D={\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

c) Exponent irațional pozitiv, deci $D=[0,+\infty )$ (se acceptă $x=0$, cu $0^{\sqrt{2}}=0$).

d) Exponent irațional negativ, deci $D=(0,+\infty )$ — la $x=0$ ar apărea împărțirea la zero.

Exemplul 3 — Domenii cu expresie compusă

Determinați domeniul maxim pentru: a) $f(x)={\left(9-x^2\right)}^{\pi }$; b) $g(x)={\left(x-1\right)}^{-3/4}$; c) $h(x)={\left(x^2+1\right)}^{-2/5}$.

Rezolvare. a) Exponent irațional pozitiv, deci $9-x^2\ge 0$, adică $x^2\le 9$, de unde $D=[-3,3]$.

b) Exponent rațional neîntreg negativ, deci $x-1>0$, adică $D=(1,+\infty )$.

c) Exponent rațional neîntreg negativ, deci $x^2+1>0$. Această inecuație este însă adevărată pentru orice $x$ real, pentru că $x^2\ge 0$ implică $x^2+1\ge 1>0$. Prin urmare $D=\mathbb{R}$.

Punctul c) arată că nu domeniul funcției putere „simple" contează, ci condiția asupra bazei — iar aceasta poate fi satisfăcută peste tot.

Exemplul 4 — Capcana radicalului de ordin impar

Un elev scrie: „funcția $f(x)=x^{1/3}$ are domeniul $\mathbb{R}$, pentru că $\sqrt[3]{x}$ există și pentru numere negative; de exemplu $f(-8)=-2$." Comentați.

Rezolvare. Elevul confundă două funcții. Radicalul de ordinul $3$, $g(x)=\sqrt[3]{x}$, este într-adevăr definit pe $\mathbb{R}$ și $g(-8)=-2$. Dar funcția putere $f(x)=x^{1/3}$ folosește definiția puterii cu exponent rațional, care cere baza nenegativă, deci $D=[0,+\infty )$.

Nu e o subtilitate fără consecințe. Dacă am accepta $(-8{)}^{1/3}=-2$, atunci, din $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, ar trebui să avem și $(-8{)}^{2/6}=\sqrt[6]{64}=2$ — două valori pentru aceeași putere. Restrângând domeniul, păstrăm toate regulile de calcul intacte.

Pe $[0,\infty )$ cele două funcții coincid: $f(8)=g(8)=2$. Deosebirea apare doar pe partea negativă.

Exemplul 5 — Un model din biologie

Consumul energetic zilnic al unui mamifer se estimează prin legea lui Kleiber: $R(M)=70\cdot M^{3/4}$ kilocalorii pe zi, unde $M$ este masa în kilograme. a) Precizați domeniul care are sens fizic. b) Calculați $R(16)$. c) De câte ori crește consumul dacă masa se înmulțește cu $16$?

Rezolvare. a) Matematic, exponentul $\frac{3}{4}$ este neîntreg pozitiv, deci domeniul maxim ar fi $[0,\infty )$. Fizic, masa unui animal este strict pozitivă, deci lucrăm pe $(0,+\infty )$.

b) $R(16)=70\cdot 16^{3/4}=70\cdot {\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=70\cdot 2^3=70\cdot 8=560$ kilocalorii pe zi.

c) Calculăm raportul, folosind regula puterii unui produs:

$$\frac{R(16M)}{R(M)}=\frac{70\cdot (16M{)}^{3/4}}{70\cdot M^{3/4}}=\frac{16^{3/4}\cdot M^{3/4}}{M^{3/4}}=16^{3/4}=8.$$

Deci un animal de $16$ ori mai greu consumă doar de $8$ ori mai multă energie — de aici faptul, verificat experimental, că animalele mari sunt mai „economice" pe kilogram decât cele mici.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(x^2-3x+2\right)}^{-1/2}$, unde $D$ este domeniul maxim de definiție. a) Determinați $D$. b) Calculați $f(0)$ și $f(3)$. c) Arătați că $f$ nu este injectivă.

Rezolvare. a) Exponentul $-\frac{1}{2}$ este neîntreg și negativ, deci baza trebuie să fie strict pozitivă:

$$x^2-3x+2>0.$$

Rădăcinile trinomului sunt $x_1=1$ și $x_2=2$ (din $\Delta =9-8=1$), iar coeficientul dominant e pozitiv, deci expresia este strict pozitivă în afara intervalului rădăcinilor:

$$D=(-\infty ,1)\cup (2,+\infty ).$$

b) Pentru $x=0$: $0-0+2=2$, deci $f(0)=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pentru $x=3$: $9-9+2=2$, deci $f(3)=2^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. (Ambele valori aparțin domeniului: $0<1$ și $3>2$. ✓)

c) Am găsit $0\ne 3$ cu $f(0)=f(3)$, deci funcția nu este injectivă, conform definiției din clasa a IX-a de la funcții injective, surjective, bijective. Cauza e simetria trinomului față de vârful său, situat la $x=\frac{3}{2}$: punctele $0$ și $3$ sunt simetrice față de această valoare.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare domeniu, scrie explicit condiția pe care o impui bazei și de ce — la Bacalaureat M1 acest pas se punctează separat.

1. Calculați $f(4)$, $f(9)$, $f(16)$ și $f(25)$ pentru $f(x)=x^{3/2}$.

2. Calculați $g(8)$, $g(27)$ și $g(64)$ pentru $g(x)=x^{-2/3}$.

3. Determinați domeniul maxim de definiție: $f(x)=x^5$, $g(x)=x^{-3}$, $h(x)=x^{2/3}$, $k(x)=x^{\sqrt{2}}$.

4. Determinați domeniul maxim de definiție: $f(x)=x^{-1/2}$, $g(x)=x^{-\pi }$, $h(x)=x^0$.

5. Determinați domeniul maxim pentru $f(x)={\left(2x-6\right)}^{3/4}$.

6. Determinați domeniul maxim pentru $f(x)={\left(x^2-4\right)}^{-1/2}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=x^{1/3}$ are domeniul maxim $\mathbb{R}$, pentru că $\sqrt[3]{x}$ este definit pentru orice număr real."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice exponent real $\alpha$, graficul funcției $f(x)=x^{\alpha }$ trece prin punctul $(1,1)$."

9. Determinați domeniul maxim pentru $f(x)={\left(9-x^2\right)}^{\pi }$ și pentru $g(x)={\left(x-1\right)}^{-3/4}$.

10. Determinați domeniul maxim pentru $h(x)={\left(x^2-5x+6\right)}^{1/3}$.

11. Determinați domeniul maxim pentru $f(x)={\left(x^2+1\right)}^{-2/5}$ și explicați de ce răspunsul e diferit de cel de la exercițiul 6.

12. Calculați $h(64)$, $h(125)$ și $h\left(\frac{1}{8}\right)$ pentru $h(x)=x^{2/3}$.

13. (Problemă aplicată.) Consumul energetic al unui mamifer este $R(M)=70\cdot M^{3/4}$ kcal/zi, cu $M$ masa în kilograme. Calculați $R(1)$, $R(16)$ și $R(81)$, apoi arătați că un animal de $81$ de ori mai greu consumă de $27$ de ori mai multă energie.

14. (Problemă aplicată.) Legea a treia a lui Kepler dă perioada de revoluție în ani, $T(a)=a^{3/2}$, unde $a$ este distanța medie la Soare în unități astronomice. Calculați $T(4)$ și $T(9)$, apoi verificați cu calculatorul că pentru Jupiter ($a\approx 5,2$) rezultă aproximativ $11,86$ ani.

15. Completați un tabel cu valorile funcțiilor $f(x)=x^3$ și $g(x)=3^x$ pentru $x\in \{1,2,3,4\}$ și precizați pentru ce valori ele coincid.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(x^2-3x+2\right)}^{-1/2}$, cu $D$ domeniul maxim. a) Determinați $D$. b) Calculați $f(0)$ și $f(3)$. c) Arătați că $f(0)=f(3)$.

17. Determinați numărul real $\alpha$ pentru care funcția $f(x)=x^{\alpha }$ verifică $f(8)=4$.

18. (Provocare.) Arătați că funcția $f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$, $f(x)=x^{3/2}$, este bijectivă și determinați inversa ei. Ce legătură are rezultatul cu legea lui Kepler?

Răspunsuri și explicații

1. $f(4)={\left(\sqrt{4}\right)}^3=8$; $f(9)=3^3=27$; $f(16)=4^3=64$; $f(25)=5^3=125$.

2. $g(8)=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}=\frac{1}{4}$; $g(27)=\frac{1}{9}$; $g(64)=\frac{1}{16}$.

3. $x^5$: exponent natural nenul, $D=\mathbb{R}$. $x^{-3}$: exponent întreg negativ, $D={\mathbb{R}}^{\ast }$. $x^{2/3}$: exponent neîntreg pozitiv, $D=[0,+\infty )$. $x^{\sqrt{2}}$: exponent irațional pozitiv, $D=[0,+\infty )$.

4. $x^{-1/2}$: exponent neîntreg negativ, $D=(0,+\infty )$. $x^{-\pi }$: la fel, $D=(0,+\infty )$. $x^0$: prin convenție $x^0=1$ pentru $x\ne 0$, deci $D={\mathbb{R}}^{\ast }$ (expresia $0^0$ nu se definește).

5. Exponentul $\frac{3}{4}$ e neîntreg pozitiv, deci $2x-6\ge 0$, adică $x\ge 3$. Domeniul este $D=[3,+\infty )$.

6. Exponentul $-\frac{1}{2}$ e neîntreg negativ, deci $x^2-4>0$. Rădăcinile sunt $\pm 2$, iar expresia e pozitivă în exteriorul lor: $D=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$.

7. Fals. Se confundă funcția radical $g(x)=\sqrt[3]{x}$, definită pe $\mathbb{R}$, cu funcția putere $f(x)=x^{1/3}$, care folosește definiția puterii cu exponent rațional și cere baza nenegativă: $D=[0,+\infty )$. Dacă am accepta baze negative, din $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ am obține două valori diferite pentru aceeași putere.

8. Adevărat. $f(1)=1^{\alpha }=1$ pentru orice exponent real, iar $x=1$ aparține tuturor domeniilor din tabel. Deci punctul $(1,1)$ e comun tuturor graficelor de funcții putere.

9. ${\left(9-x^2\right)}^{\pi }$: exponent irațional pozitiv, deci $9-x^2\ge 0$, adică $D=[-3,3]$. ${\left(x-1\right)}^{-3/4}$: exponent neîntreg negativ, deci $x-1>0$, adică $D=(1,+\infty )$.

10. Exponent neîntreg pozitiv, deci $x^2-5x+6\ge 0$. Cum $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, expresia e nenegativă în afara intervalului rădăcinilor: $D=(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$.

11. Condiția este $x^2+1>0$, adevărată pentru orice $x$ real, deci $D=\mathbb{R}$. Diferența față de exercițiul 6 vine din bază, nu din exponent: acolo trinomul $x^2-4$ se anulează și devine negativ, aici $x^2+1\ge 1$ este mereu strict pozitiv.

12. $h(64)={\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2=4^2=16$; $h(125)=5^2=25$; $h\left(\frac{1}{8}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

13. $R(1)=70\cdot 1=70$ kcal/zi; $R(16)=70\cdot 8=560$ kcal/zi; $R(81)=70\cdot {\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3=70\cdot 27=1890$ kcal/zi. Raportul: $\frac{R(81M)}{R(M)}=81^{3/4}=3^3=27$, independent de $M$.

14. $T(4)={\left(\sqrt{4}\right)}^3=8$ ani; $T(9)=3^3=27$ de ani. Pentru $a=5,2$: $5,2^{3/2}\approx 11,858$, adică aproximativ $11,86$ ani — perioada reală de revoluție a lui Jupiter.

15. $f(x)=x^3$ dă $1,8,27,64$; $g(x)=3^x$ dă $3,9,27,81$. Coincid la $x=3$, unde ambele valorează $27$. Observă că pentru $x=4$ exponențiala a luat-o deja înainte ($81>64$) și nu mai este întrecută niciodată.

16. a) $x^2-3x+2>0$, cu rădăcinile $1$ și $2$, deci $D=(-\infty ,1)\cup (2,+\infty )$. b) $f(0)=2^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $f(3)=2^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. c) Cele două valori sunt egale, pentru că trinomul ia aceeași valoare $2$ în $x=0$ și în $x=3$ (puncte simetrice față de $x=\frac{3}{2}$, abscisa vârfului parabolei).

17. Din $8^{\alpha }=4$ scriem ambele numere în baza $2$: ${\left(2^3\right)}^{\alpha }=2^2$, adică $2^{3\alpha }=2^2$. Prin injectivitate, $3\alpha =2$, deci $\alpha =\frac{2}{3}$. Verificare: $8^{2/3}=4$. ✓

18. Injectivitate: dacă $x_1^{3/2}=x_2^{3/2}$, ridicăm ambii membri la puterea $\frac{2}{3}$ (operație permisă, ambii fiind nenegativi) și obținem $x_1=x_2$. Surjectivitate: pentru orice $y\ge 0$, numărul $x=y^{2/3}\ge 0$ verifică $f(x)={\left(y^{2/3}\right)}^{3/2}=y^1=y$. Deci $f$ e bijectivă, iar inversa este $f^{-1}:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $f^{-1}(y)=y^{2/3}$. Legătura cu Kepler: dacă $T=a^{3/2}$ dă perioada din distanță, atunci $a=T^{2/3}$ dă distanța din perioadă — exact ceea ce fac astronomii când descoperă o planetă măsurându-i doar perioada.

De reținut

• Funcția putere este $f(x)=x^{\alpha }$, cu exponentul $\alpha$ fix și baza variabilă — spre deosebire de funcția exponențială $a^x$, unde variabila stă la exponent.
• Domeniul maxim depinde doar de tipul exponentului: $\mathbb{R}$ pentru $\alpha$ natural nenul; ${\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru $\alpha$ întreg negativ sau nul; $[0,\infty )$ pentru $\alpha$ neîntreg pozitiv; $(0,\infty )$ pentru $\alpha$ neîntreg negativ.
• La exponent neîntreg, bazele negative nu intră în domeniu, chiar dacă un radical de ordin impar ar avea sens. Funcția radical $\sqrt[3]{x}$ și funcția putere $x^{1/3}$ sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0,\infty )$.
• Punctul $(1,1)$ aparține graficului oricărei funcții putere, iar pentru $x>0$ valorile sunt întotdeauna strict pozitive.
• La funcțiile compuse, condiția se pune asupra bazei: nenegativă dacă exponentul neîntreg e pozitiv, strict pozitivă dacă e negativ. Apoi rezolvi inecuația.

Greșeli frecvente

• Domeniul $\mathbb{R}$ pentru $x^{1/3}$. Confuzia cu radicalul de ordin impar. Ca funcție putere, domeniul este $[0,+\infty )$.
• Condiția „$\ne 0$" în loc de „$>0$" la exponent neîntreg negativ. La ${\left(x^2-4\right)}^{-1/2}$, răspunsul nu e $\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, ci $(-\infty ,-2)\cup (2,\infty )$: baza trebuie să fie strict pozitivă, nu doar nenulă.
• Confundarea funcției putere cu cea exponențială. $x^2$ și $2^x$ au grafice, domenii și comportamente complet diferite, deși la $x=2$ și $x=4$ iau aceleași valori. Întreabă-te mereu unde stă variabila.
• Uitarea capătului la exponent pozitiv. Pentru $\alpha$ neîntreg pozitiv, $x=0$ aparține domeniului ($0^{\alpha }=0$); pentru $\alpha$ negativ, nu. Diferența dintre $[0,\infty )$ și $(0,\infty )$ contează la barem.
• Studiul parității la exponent neîntreg. Nu are sens: domeniul $[0,\infty )$ nu e simetric față de origine, deci întrebarea „e pară sau impară?" nu se pune.

Aplică acasă

1. Legea lui Kepler, verificată de tine. Caută pe internet distanțele medii la Soare (în unități astronomice) pentru Venus ($0,72$), Marte ($1,52$) și Saturn ($9,54$). Calculează cu telefonul $a^{3/2}$ pentru fiecare și compară rezultatele cu perioadele de revoluție reale. Vei obține potriviri de peste $99\%$ — o lege descoperită acum patru sute de ani, cu date culese fără telescop.

2. Cubul din bucătărie. Ia un recipient cubic (o cutie, un pahar pătrat) și măsoară-i muchia. Calculează volumul cu $V(l)=l^3$, apoi calculează ce muchie ar trebui să aibă un recipient de două ori mai încăpător: $l^{\prime }=l\cdot 2^{1/3}$. Verifică apoi cu apă, folosind un pahar gradat — și observă că muchia crește cu doar $26\%$, deși volumul se dublează.

3. Vânătoarea de domenii. Deschide culegerea la capitolul de funcții și alege cinci expresii cu exponenți neîntregi. Pentru fiecare, scrie într-un tabel: tipul exponentului, condiția asupra bazei, inecuația rezolvată și domeniul final. Este exact structura pe care o cere baremul de Bacalaureat M1.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce funcția putere cu exponent real, primul dintre cele trei mari tipuri de funcții ale clasei a X-a (alături de exponențială și logaritmică). Accentul cade pe domeniul maxim de definiție — subiect care apare la Bacalaureat M1 aproape la fiecare sesiune, fie explicit („determinați domeniul maxim"), fie implicit, ca prim pas al unei rezolvări.

Ce verifică lecția: (1) elevul distinge funcția putere de cea exponențială; (2) reproduce tabelul domeniilor pe cazuri și justifică fiecare caz; (3) nu confundă funcția radical de ordin impar cu funcția putere de exponent $\frac{1}{3}$; (4) impune corect condiția asupra bazei la funcții compuse, deosebind „$\ge 0$" de „$>0$". Întrebări bune de control: „Unde stă variabila la funcția putere?", „De ce $x^{1/3}$ nu e definită pe numere negative, deși $\sqrt[3]{x}$ este?", „Ce condiție pui la ${\left(x-1\right)}^{-3/4}$ și de ce nu doar $x\ne 1$?".

Semne că elevul a înțeles: determină domeniul lui ${\left(x^2-4\right)}^{-1/2}$ în două rânduri, cu inecuația scrisă corect; explică singur diferența dintre $x^2$ și $2^x$ pe un tabel de valori; nu se sperie când exponentul e irațional, pentru că știe că regula depinde doar de „întreg sau neîntreg, pozitiv sau negativ". Lecția următoare, graficul funcției putere; monotonie și comparări, studiază forma graficului și modul în care se compară valorile.

Întrebări frecvente

Ce este funcția putere cu exponent real? Este funcția $f(x)=x^{\alpha }$, unde $\alpha$ este un număr real fixat, iar variabila $x$ stă la bază. Domeniul ei maxim depinde de tipul exponentului: poate fi $\mathbb{R}$, ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $[0,+\infty )$ sau $(0,+\infty )$.

Care este domeniul maxim de definiție al funcției putere? Pentru exponent natural nenul, $\mathbb{R}$; pentru exponent întreg negativ sau nul, ${\mathbb{R}}^{\ast }$; pentru exponent neîntreg pozitiv (rațional sau irațional), $[0,+\infty )$; pentru exponent neîntreg negativ, $(0,+\infty )$.

De ce funcția $x^{1/3}$ nu este definită pentru numere negative? Pentru că definiția puterii cu exponent rațional cere baza strict pozitivă. Dacă am accepta baze negative, din $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ ar rezulta două valori diferite pentru aceeași putere. Radicalul $\sqrt[3]{x}$ este o altă funcție, definită pe tot $\mathbb{R}$, care coincide cu $x^{1/3}$ doar pentru $x\ge 0$.

Care e diferența dintre funcția putere și funcția exponențială? La funcția putere $x^{\alpha }$, variabila este baza, iar exponentul e fix. La funcția exponențială $a^x$, baza e fixă și variabila este exponentul. Funcția exponențială e definită pe tot $\mathbb{R}$; funcția putere are, de regulă, domeniul restrâns.

Cum determin domeniul unei funcții de tipul ${\left(2x-6\right)}^{3/4}$? Te uiți la exponent: $\frac{3}{4}$ e neîntreg și pozitiv, deci baza trebuie să fie nenegativă. Rezolvi $2x-6\ge 0$ și obții $x\ge 3$, adică $D=[3,+\infty )$.

Trece graficul funcției putere prin origine? Doar când exponentul este pozitiv: atunci $f(0)=0^{\alpha }=0$. Pentru exponent negativ, $x=0$ nici nu aparține domeniului. În schimb, punctul $(1,1)$ aparține graficului oricărei funcții putere.

Funcția putere poate lua valori negative? Pe partea pozitivă a domeniului, niciodată: $x^{\alpha }>0$ pentru $x>0$. Valori negative apar doar pentru exponenți întregi impari, evaluați în numere negative — de exemplu $(-2{)}^3=-8$.

Unde apare funcția putere la Bacalaureat M1? Cel mai des la Subiectul II, ca cerință de tipul „determinați domeniul maxim de definiție", și ca prim pas obligatoriu în probleme cu ecuații sau inecuații care conțin exponenți neîntregi. Omiterea condiției asupra bazei este una dintre cele mai frecvente pierderi de puncte.