Tabla legii de compoziție: pe scurt

Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită este tabelul pătratic care are semnul legii în colțul din stânga sus, elementele mulțimii pe prima linie și pe prima coloană în aceeași ordine, iar în căsuța de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ compusul $x\ast y$. Se completează linie cu linie și se verifică la final: dacă apare o valoare din afara mulțimii, operația nu este lege de compoziție pe acea mulțime, iar tabla nici nu se poate scrie. Aceeași lege se poate descrie și prin dependență funcțională, prin diagramă sau prin arbore.

Din tablă se citesc, fără niciun calcul, trei lucruri. Comutativitatea este simetria față de diagonala principală, șirul căsuțelor $x\ast x$. Elementul neutru $e$ este acela a cărui linie reproduce antetul de sus și a cărui coloană reproduce antetul din stânga; ambele condiții se verifică, altfel legea $x\ast y=y$ ar părea că are neutru. Elementele simetrizabile se găsesc căutând $e$ în interiorul tablei: dacă $e$ stă pe linia lui $x$, în coloana lui $y$, și simetric, atunci $x^{\prime }=y$.

Asociativitatea nu se vede în tablă, fiindcă implică trei elemente; ea se demonstrează algebric, dar se respinge cu un singur triplet. Pe o mulțime cu $n$ elemente există $n^{n^2}$ legi de compoziție.

Exerciții din această mini-lecție

1. În tabla unei legi de compoziție, compusul $x\ast y$ se citește:

   • a) pe linia lui $y$ și pe coloana lui $x$
   • b) pe diagonala principală
   • c) pe linia lui $x$ și pe coloana lui $y$
   • d) în colțul din stânga sus
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) pe linia lui $x$ și pe coloana lui $y$

   Convenția este: întâi linia (elementul din stânga al compunerii), apoi coloana. Varianta a este inversarea liniei cu coloana — greșeala care trece neobservată la legile comutative, dar schimbă rezultatul la cele necomutative. Pe diagonala principală stau numai compusele $x\ast x$, iar în colț stă semnul legii.

2. Într-o tablă, fiecare linie reproduce antetul de sus. Ce se poate spune despre elementul neutru?

   • a) orice element al mulțimii este neutru
   • b) primul element din antet este neutru
   • c) legea este cu siguranță comutativă
   • d) nu rezultă nimic: trebuie verificate și coloanele
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu rezultă nimic: trebuie verificate și coloanele

   Elementul neutru cere amândouă condițiile: $e\ast x=x$ (linia reproduce antetul de sus) și $x\ast e=x$ (coloana reproduce antetul din stânga). Contraexemplul standard este legea $x\ast y=y$: toate liniile reproduc antetul, dar nicio coloană nu o face, deci element neutru nu există. Variantele a și b declară neutrul după o singură linie, iar c confundă neutrul cu simetria tablei.

3. Care proprietate nu se poate citi direct din tabla unei legi de compoziție?

   • a) asociativitatea
   • b) comutativitatea
   • c) existența elementului neutru
   • d) lista elementelor simetrizabile
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) asociativitatea

   Asociativitatea leagă trei elemente, iar tabla arată numai compuneri de câte două; nicio simetrie și nicio culoare nu o dezvăluie, iar verificarea directă ar cere $n^3$ triplete. Celelalte trei se citesc dintr-o privire: simetria față de diagonala principală, liniile și coloanele care reproduc antetele, respectiv pozițiile în care apare elementul neutru.